Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(B) હિલિયમ ન્યુક્લિયસ પરનો વિદ્યુતભાર, $q = +2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,C = 3.2 \times 10^{-19} \,C$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા, $r = 0.8 \,m$.
સમયગાળો (આવર્તકાળ), $T = 2 \,s$.
તેથી, ગતિ કરતા હિલિયમ ન્યુક્લિયસ સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{3.2 \times 10^{-19} \,C}{2 \,s} = 1.6 \times 10^{-19} \,A$ છે।
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે।
કિંમતો મૂકતા, $B = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = \mu_0 \times 10^{-19} \,T$ મળે છે.

$(C)$ હિલિયમ ન્યુક્લિયસ પરનો વિદ્યુતભાર $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,C = 3.2 \times 10^{-19} \,C$ છે।
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 0.8 \,m$ અને સમયગાળો $T = 2.5 \,s$ છે।
વિદ્યુતભારના પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{2.5} = 1.28 \times 10^{-19} \,A$ છે।
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.28 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.28}{1.6} = 4 \pi \times 10^{-7} \times 0.8 \times 10^{-19} = 3.2 \pi \times 10^{-26} \,T$.
આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી નજીકની કિંમત $4 \pi \times 10^{-26} \,T$ છે।

(A) વાહક બે અર્ધ-અનંત સીધા વિભાગો અને એક વર્તુળાકાર ચાપનો બનેલો છે.
કેન્દ્ર $O$ પર દરેક ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરીએ:
$1$. બે સીધા વિભાગો $PQ$ અને $CD$ કેન્દ્ર $O$ થી $r$ અંતરે છે. અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે. બંને વિભાગો સમાન દિશામાં ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$2$. વર્તુળાકાર ચાપ કેન્દ્ર પર $\theta = \frac{3\pi}{2}$ ખૂણો આંતરે છે. ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} = \frac{3\mu_0 I}{8 r}$ છે.
આમ,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I(\pi+1)}{2 \pi r}$ મળે છે.

(B) આકૃતિમાં દર્શાવેલ ગોઠવણીમાં,કેન્દ્ર $C$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ અને વર્તુળાકાર ભાગને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ ના સરવાળા જેટલું હશે.
$1$. મેક્સવેલના જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,બિંદુ $C$ પર બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની દિશા સમાન અને કાગળના સમતલની બહારની તરફ હશે.
$2$. સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ છે.
$3$. વર્તુળાકાર ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 r}$ છે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 i}{4 r} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}(1 + \pi)$ થાય છે.

(A) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $i$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $h$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N i r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$ છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N i r^2}{2 r^3 (1 + h^2/r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N i}{2 r} (1 + h^2/r^2)^{-3/2}$.
દ્વિપદી પ્રમેય $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા ($h \ll r$ માટે): $B_{\text{axis}} \approx \frac{\mu_0 N i}{2 r} (1 - \frac{3h^2}{2r^2})$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 N i}{2 r}$ છે.
તેથી,$B_{\text{axis}} = B_{\text{center}} (1 - \frac{3h^2}{2r^2}) = B_{\text{center}} - \frac{3h^2}{2r^2} B_{\text{center}}$.
આમ,ક્ષેત્રમાં થતો ઘટાડો $\frac{3h^2}{2r^2} B_{\text{center}}$ છે,તેથી તે $\frac{3h^2}{2r^2}$ જેટલા અપૂર્ણાંકથી નાનું છે.

(D) અનંત લંબાઈના તારને કારણે $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ છે.
$X$-અક્ષ પર રહેલા $I_x = 4 \text{ A}$ પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે બિંદુ $P(0, 0, d)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઋણ $Y$-દિશામાં હશે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ).
$B_x = \frac{\mu_0 (4)}{2 \pi d} (-\hat{j})$
$Y$-અક્ષ પર રહેલા $I_y = 3 \text{ A}$ પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે બિંદુ $P(0, 0, d)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધન $X$-દિશામાં હશે.
$B_y = \frac{\mu_0 (3)}{2 \pi d} (\hat{i})$
આ બંને ક્ષેત્રો પરસ્પર લંબ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે:
$B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2}$
$B = \sqrt{\left(\frac{4 \mu_0}{2 \pi d}\right)^2 + \left(\frac{3 \mu_0}{2 \pi d}\right)^2}$
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{4^2 + 3^2}$
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{16 + 9}$
$B = \frac{5 \mu_0}{2 \pi d} \text{ T}$

(A) વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં $r = 3 \text{ cm}$ અને $x = 4 \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી અંતર $d = \sqrt{r^2 + x^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ cm}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $54 \mu\text{T} = \frac{\mu_0 I (3 \text{ cm})^2}{2(5 \text{ cm})^3} = \frac{\mu_0 I (9)}{2(125)}$.
તેથી,$\frac{\mu_0 I}{2} = \frac{54 \times 125}{9} = 750 \mu\text{T} \cdot \text{cm}$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{750 \mu\text{T} \cdot \text{cm}}{3 \text{ cm}} = 250 \mu\text{T}$ મળે છે.

(A) બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતા $i$ પ્રવાહ ધરાવતા સીધા તારના ભાગને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે,કારણ કે બિંદુ $P$ આ ભાગની અક્ષ પર આવેલું છે.
બીજા ભાગ માટે,બિંદુ $P$ થી તારની રેખા સુધીનું લંબ અંતર $r = d \sin(45^{\circ}) = \frac{d}{\sqrt{2}}$ છે.
$r$ લંબ અંતરે રહેલા અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = \frac{d}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d / \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{4 \pi d} = \frac{\mu_0 i}{2 \sqrt{2} \pi d}$ મળે છે.

(C) સીમિત સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ છે.
આપેલ છે: $L = 32 \,cm$, તેથી અડધી લંબાઈ $a = 16 \,cm$. લંબ અંતર $r = 12 \,cm$.
કર્ણ $d = \sqrt{r^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \,cm$.
તેથી, $\sin \theta_1 = \sin \theta_2 = \frac{a}{d} = \frac{16}{20} = 0.8$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{10^{-7} \times 30}{12 \times 10^{-2}} (0.8 + 0.8)$
$B = \frac{30 \times 10^{-5}}{12} (1.6) = 2.5 \times 10^{-5} \times 1.6 = 4 \times 10^{-5} \,T$.
$1 \,T = 10^4 \,G$ હોવાથી, $B = 4 \times 10^{-5} \times 10^4 \,G = 0.4 \,G$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $i$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{loop} = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
$i$ પ્રવાહ વહેતા અનંત લંબાઈના સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{wire} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ છે.
જ્યારે લૂપમાં પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોય,ત્યારે લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે,અને સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે. તેથી,$B_1 = \frac{\mu_0 i}{2r} - \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} (1 - \frac{1}{\pi})$.
જ્યારે લૂપમાં પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,ત્યારે લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે,અને સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે. તેથી,$B_2 = \frac{\mu_0 i}{2r} + \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} (1 + \frac{1}{\pi})$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1 - \frac{1}{\pi}}{1 + \frac{1}{\pi}} = \frac{\pi - 1}{\pi + 1}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ મૂકતા,આપણને $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{22}{7} - 1}{\frac{22}{7} + 1} = \frac{15}{29}$ મળે છે.

(A) અર્ધ-અનંત તારને કારણે લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ છે.
આડા ભાગ માટે,બિંદુ $P$ તેની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી આ ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
ત્રાંસા ભાગ માટે,બિંદુ $P$ થી તારનું લંબ અંતર $r = d \sin 45^{\circ} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ છે.
ત્રાંસા તારના છેડાઓ દ્વારા $P$ આગળ બનતા ખૂણા $\phi_1 = 90^{\circ}$ (વળાંક $Q$ થી) અને $\phi_2 = 45^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin 90^{\circ} - \sin 45^{\circ})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d/\sqrt{2})} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{4 \pi d} (\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sqrt{2}-1)$.

(B) ધારો કે તાર $P$ અને $Q$ માં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે. તાર $P$ એ $x = -a$ પર અને તાર $Q$ એ $x = a$ પર છે. અનંત તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર,$P$ ને કારણે ક્ષેત્ર $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} = B$ (કાગળની અંદરની તરફ) છે.
$O$ પર $Q$ ને કારણે ક્ષેત્ર $B_Q = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} = B$ (તે પણ અંદરની તરફ) છે.
$O(0,0)$ પર પરિણામી ક્ષેત્ર $B_{net} = B + B = 2B$ છે. આમ,$D-i$.
$X$-અક્ષ પરના સામાન્ય બિંદુ $x$ માટે,$P$ ને કારણે ક્ષેત્ર $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x+a)}$ અને $Q$ ને કારણે $B_Q = \frac{\mu_0 I}{2\pi (a-x)}$ છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ક્ષેત્રોનો સરવાળો થાય છે: $B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} [\frac{1}{x+a} + \frac{1}{a-x}] = B [\frac{a^2}{a^2-x^2}]$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચી જોડ $A-iv, B-ii, C-iii, D-i$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $B_{center} = 6\sqrt{6} \times B_{axis}$,તેથી:
$\frac{\mu_0 I}{2R} = 6\sqrt{6} \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
સાદું રૂપ આપતા,$1 = 6\sqrt{6} \times \frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 6\sqrt{6} R^3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(R^2 + x^2)^3 = (6\sqrt{6})^2 R^6 = 216 \times 6 \times R^6 = 1296 R^6$.
ઘનમૂળ લેતા: $R^2 + x^2 = (1296)^{1/3} R^2 = 6 R^2$ (નોંધ: $6^3 = 216$,અહીં $216^{1/3} = 6$ આવે છે).
તેથી $x^2 = 5R^2$,એટલે કે $x = R\sqrt{5}$.
$x = 8 \times 2.236 = 17.888 \approx 17.89 \ cm$.

(D) $n$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ગૂંચળાઓ સમકેન્દ્રીય હોવાથી અને વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો તફાવત છે.
આપેલ છે: $n_1 = n_2 = 20$,$I_1 = 0.4 \text{ A}$,$r_1 = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$,$I_2 = 0.6 \text{ A}$,$r_2 = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m}$.
$B_{\text{net}} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 n_1 I_1}{2 r_1} - \frac{\mu_0 n_2 I_2}{2 r_2} \right|$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 \times 20}{2} \left( \frac{0.4}{0.3} - \frac{0.6}{0.6} \right)$
$B_{\text{net}} = 10 \mu_0 \left( \frac{4}{3} - 1 \right)$
$B_{\text{net}} = 10 \mu_0 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{10}{3} \mu_0 \text{ T}$.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાબી બાજુના તાર માટે, બિંદુ $O$ આડા ભાગની અક્ષ પર આવેલું છે, તેથી આડા ભાગને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $0$ છે. ઉભો ભાગ $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$ અંતરે રહેલો અર્ધ-અનંત તાર છે. અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $O$ પર ક્ષેત્ર $B_1$ પાનાની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
તે જ રીતે, જમણી બાજુના તાર માટે, બિંદુ $O$ આડા ભાગની અક્ષ પર આવેલું છે, તેથી તેનું યોગદાન $0$ છે. ઉભો ભાગ $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$ અંતરે રહેલો અર્ધ-અનંત તાર છે. $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ પાનાની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = 2 \times \left( \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 10}{2\pi \times 0.02} = \frac{2 \times 10^{-6}}{0.02} = 10^{-4} \ T$.

(C) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બે વાહકો $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે.
મધ્યબિંદુએ,દરેક વાહકથી અંતર $r = \frac{d}{2} = 0.05 \text{ m}$ છે.
પ્રથમ વાહક માટે,મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ સમતલની અંદરની તરફ છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
બીજા વાહક માટે,મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ સમતલની બહારની તરફ છે.
જેহেতু પ્રવાહ સમાન છે $(I_1 = I_2 = 3 \text{ A})$ અને અંતર સમાન છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થાય છે.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું પ્રેરણ $B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \quad \dots (i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રકાશની ઝડપ $c$,પરમીબિલિટી $\mu_0$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \implies \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$B = \left( \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \right) \frac{I}{2r}$
આપેલ કિંમતો: $I = 0.9 \,A$,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,$c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$.
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 (3 \times 10^8)^2} \times \frac{0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{0.1} = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times 9$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 10^{16}}$

(A) $x=1 \ cm$ પરના તારને કારણે ઉગમબિંદુ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (0.01)}$ $+z$ દિશામાં $(\hat{k})$ છે.
$x=-2 \ cm$ પરના તારને કારણે ઉગમબિંદુ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (0.02)}$ $-z$ દિશામાં $(-\hat{k})$ છે.
ઉગમબિંદુ પરનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_{net} = B_0 \hat{k} - \frac{B_0}{2} \hat{k} = \frac{B_0}{2} \hat{k}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v} = U \cos(45^{\circ}) \hat{i} + U \sin(45^{\circ}) \hat{j} = \frac{U}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{U}{\sqrt{2}} \hat{j}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) = (-e) \left( \frac{U}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{U}{\sqrt{2}} \hat{j} \right) \times \left( \frac{B_0}{2} \hat{k} \right)$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
$\vec{F} = -e \left( \frac{U B_0}{2 \sqrt{2}} (-\hat{j}) + \frac{U B_0}{2 \sqrt{2}} (\hat{i}) \right) = \frac{-e U B_0}{2 \sqrt{2}} (\hat{i} - \hat{j})$.

(A) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ સૂત્ર $\phi = B A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $B$ એ ચુંબકીય પ્રેરણ છે.
$B$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $B = \frac{\phi}{A}$ મળે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નો $SI$ એકમ વેબર $(Wb)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો $SI$ એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
તેથી,ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નો એકમ $\frac{Wb}{m^2}$ અથવા $Wb m^{-2}$ છે.

(B) મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0$ એ સંબંધ $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આના પરથી,એકમ $\mu_0 = \frac{B \cdot r}{I} = \frac{\text{Tesla} \cdot \text{metre}}{\text{Ampere}}$ થાય છે.
કારણ કે $1 \text{ Tesla} = 1 \text{ Weber/metre}^2$,તેથી $\mu_0 = \frac{\text{Weber}}{\text{metre}^2} \cdot \frac{\text{metre}}{\text{Ampere}} = \frac{\text{Weber}}{\text{Ampere} \cdot \text{metre}}$.
વળી,$1 \text{ Henry} = 1 \text{ Weber/Ampere}$ હોવાથી,એકમને $\text{Henry/metre}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,$1 \text{ Volt} = 1 \text{ Weber/second}$,તેથી $1 \text{ Weber} = 1 \text{ Volt} \cdot \text{second}$.
આ કિંમત મૂકતા,$\mu_0 = \frac{\text{Volt} \cdot \text{second}}{\text{Ampere} \cdot \text{metre}}$.
કારણ કે $1 \text{ Ohm} = 1 \text{ Volt/Ampere}$,આપણને $\mu_0 = \frac{\text{Ohm} \cdot \text{second}}{\text{metre}}$ મળે છે.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ (વેબર/એમ્પિયર) માં છેદમાં 'મીટર' પદ ખૂટે છે,તેથી તે ખોટું નિરૂપણ છે.

(B) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. $N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળાનો પરિઘ $L = N(2\pi R)$ છે.
ગૂંચળા $P$ માટે: $L = N_P(2\pi R_P) = 4(2\pi R_P) \implies R_P = \frac{L}{8\pi}$.
ગૂંચળા $Q$ માટે: $L = N_Q(2\pi R_Q) = 2(2\pi R_Q) \implies R_Q = \frac{L}{4\pi}$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ છે.
ધારો કે બંને ગૂંચળામાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે:
$B_P = \frac{\mu_0 N_P I}{2 R_P} = \frac{\mu_0 (4) I}{2 (L/8\pi)} = \frac{16\pi \mu_0 I}{L}$.
$B_Q = \frac{\mu_0 N_Q I}{2 R_Q} = \frac{\mu_0 (2) I}{2 (L/4\pi)} = \frac{4\pi \mu_0 I}{L}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{B_P}{B_Q} = \frac{16\pi \mu_0 I / L}{4\pi \mu_0 I / L} = \frac{16}{4} = 4$ થાય.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_d = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે.
ઘનના કદ $V$ માં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ઉર્જા $U = u_d \times V = \frac{B^2}{2\mu_0} \times a^3$ છે,જ્યાં $a$ એ ઘનની બાજુ છે.
$B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2\mu_0} \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right)^2 \times a^3 = \frac{\mu_0 i^2 a^3}{8r^2}$ મળે છે.
આપેલ છે: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,$i = 2 \ A$,$r = 0.2 \ m$,$a = 10^{-3} \ m$.
$U = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (2)^2 \times (10^{-3})^3}{8 \times (0.2)^2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4 \times 10^{-9}}{8 \times 0.04} = \frac{16\pi \times 10^{-16}}{0.32} = 50\pi \times 10^{-16} \approx 1.57 \times 10^{-14} \ J$.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સર્પાકારના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ જાડાઈ ધરાવતા એક નાના વર્તુળાકાર ઘટકનો વિચાર કરો.
આ ઘટકમાં કુલ આંટાની સંખ્યા $dN = \frac{N}{b-a} dr$ છે.
આ ઘટકમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $di = I \cdot dN = \frac{N I}{b-a} dr$ છે.
આ ઘટકને કારણે સર્પાકારના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \frac{dr}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = a$ થી $r = b$ સુધી સંકલન કરતા,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ મળે છે:
$B = \int_a^b \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.
અહીં $N = 100$,$I = 1 \text{ A}$,$a = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$,અને $b = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 100 \times 1}{2(2 \times 10^{-2} - 1 \times 10^{-2})} \ln \left( \frac{2 \times 10^{-2}}{1 \times 10^{-2}} \right)$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-2}} \ln(2) = 2 \pi \times 10^{-3} \ln(2) \text{ T}$.
$1 \text{ T} = 10^3 \text{ mT}$ હોવાથી,$B = 2 \pi \ln(2) \text{ mT}$ મળે છે.

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$I d\vec{l}$ પ્રવાહ ખંડ દ્વારા $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબ છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
કારણ કે $\vec{r} = r \hat{r}$,આને નીચે મુજબ પણ લખી શકાય:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \hat{r})}{r^2}$
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$d\vec{B}$ ની દિશા $d\vec{l}$ અને $\vec{r}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.

(A) અનંત લંબાઈના તારમાંથી વહેતા પ્રવાહ $i$ ને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x_1 = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$ પરના તાર માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ): $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (10^{-2})} \hat{j}$.
$x_2 = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ પરના તાર માટે,ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે: $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (2 \times 10^{-2})} \hat{j}$.
ઉગમબિંદુ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi} \left[ \frac{1}{10^{-2}} + \frac{1}{2 \times 10^{-2}} \right] \hat{j} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}} \left[ 1 + \frac{1}{2} \right] \hat{j} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}} \left( \frac{3}{2} \right) \hat{j}$.
આપેલ છે કે $B_0$ એ માત્ર પ્રથમ તારને કારણે ક્ષેત્રનું મૂલ્ય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $B / B_0 = \frac{3}{2}$ થાય.

(D) $i_1$ અને $i_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$f = 4 \times 10^{-5} \ N \ m^{-1}$
$r = 2.50 \ cm = 2.50 \times 10^{-2} \ m$
$i_1 = 0.5 \ A$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m \ A^{-1}$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 \times 10^{-5} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.5 \times i_2}{2 \pi \times 2.50 \times 10^{-2}}$
$4 \times 10^{-5} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 0.5 \times i_2}{2.50 \times 10^{-2}}$
$4 \times 10^{-5} = \frac{10^{-7} \times i_2}{2.50 \times 10^{-2}}$
$i_2 = \frac{4 \times 10^{-5} \times 2.50 \times 10^{-2}}{10^{-7}}$
$i_2 = 4 \times 2.50 = 10 \ A$
તાર એકબીજાને અપાકર્ષે છે,તેથી વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવા જોઈએ.

(A) આપેલ છે,તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I=8 \text{ A}$.
અર્ધ-વર્તુળાકાર તારની ત્રિજ્યા $R=10 \pi \text{ cm} = 10 \pi \times 10^{-2} \text{ m} = 0.1 \pi \text{ m}$.
અર્ધ-વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત તાર દ્વારા તેના કેન્દ્ર $O$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 R}$
કિંમતો મૂકતા $(\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A})$:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 8}{4 \times 0.1 \pi} = \frac{32 \pi \times 10^{-7}}{0.4 \pi} = 80 \times 10^{-7} = 8 \times 10^{-6} \text{ T}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત તાર પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = I B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારને લંબ હોવાથી,$\sin 90^{\circ} = 1$,તેથી $f = I B$.
$f = 8 \text{ A} \times 8 \times 10^{-6} \text{ T} = 64 \times 10^{-6} \text{ N/m} = 64 \mu \text{N/m}$.

(A) ધારો કે દરેક વાયરની લંબાઈ $L$ છે અને તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે।
$N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળા માટે, વાયરની લંબાઈ $L = N(2\pi R)$ થાય, તેથી $R = L / (2\pi N)$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$R$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $B = \frac{\mu_0 N I}{2(L / 2\pi N)} = \frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}$ મળે છે।
અહીં $\mu_0$, $\pi$, $I$, અને $L$ અચળ હોવાથી, $B \propto N^2$ થાય।
ગૂંચળા $A$ માટે, $N_A = 2$, તેથી $B_A \propto (2)^2 = 4$.
ગૂંચળા $B$ માટે, $N_B = 3$, તેથી $B_B \propto (3)^2 = 9$.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $B_A / B_B = 4 / 9$ થાય.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ એક ખૂણેથી પ્રવેશે છે અને ચોરસ લૂપના નજીકના ખૂણેથી બહાર નીકળે છે.
આ લૂપને બે સમાંતર માર્ગોમાં વિભાજિત કરે છે: એક માર્ગમાં ચોરસની એક બાજુ (લંબાઈ $l = 5 \ cm$) છે,અને બીજા માર્ગમાં ચોરસની ત્રણ બાજુઓ (લંબાઈ $3l = 15 \ cm$) છે.
વાયર સમાન હોવાથી,માર્ગોનો અવરોધ તેમની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે એક બાજુનો અવરોધ $R$ છે. તો પ્રથમ માર્ગનો અવરોધ $R_1 = R$ અને બીજા માર્ગનો અવરોધ $R_2 = 3R$ થશે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4 \ A$ એ $I_1$ અને $I_2$ માં એવી રીતે વહેંચાય છે કે $I_1 R_1 = I_2 R_2$,જેનો અર્થ છે કે $I_1 R = I_2 (3R)$,તેથી $I_1 = 3I_2$.
$I_1 + I_2 = 4 \ A$ હોવાથી,આપણને $4I_2 = 4 \ A$ મળે છે,તેથી $I_2 = 1 \ A$ અને $I_1 = 3 \ A$.
$L$ લંબાઈના સીધા વાયરના ટુકડાને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,જે $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરે છે અને લંબ અંતર $a$ પર છે,તે $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ છે.
$a = 5 \ cm = 0.05 \ m$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,કેન્દ્રથી દરેક બાજુનું અંતર $d = a/2 = 2.5 \ cm = 0.025 \ m$ છે.
દરેક બાજુ માટે,$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$,તેથી $\sin 45^\circ + \sin 45^\circ = \sqrt{2}$.
$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતી એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\sqrt{2}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{2 \pi a}$ છે.
$I_1 = 3 \ A$ (એક બાજુ) ધરાવતા માર્ગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 (3) \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}$ છે.
$I_2 = 1 \ A$ (ત્રણ બાજુઓ) ધરાવતા માર્ગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = 3 \times \frac{\mu_0 (1) \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}$ છે.
કેન્દ્રની આસપાસ વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી,ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
આમ,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_1 - B_2| = |\frac{3 \mu_0 \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)} - \frac{3 \mu_0 \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}| = 0$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં વ્યાસ $d = 2R$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = d/2$ થાય.
અંતર $x = \sqrt{2} d = 2\sqrt{2} R$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + (2\sqrt{2} R)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 8R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(9R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(27 R^3)} = \frac{\mu_0 I}{54 R}$.
ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ થાય.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R} = 27 \times \left( \frac{\mu_0 I}{54 R} \right) = 27 B$.

(C) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $I_1 = 8 \ A$ ધરાવતો તાર $x = 0$ પર છે અને $I_2 = 10 \ A$ ધરાવતો તાર $x = 9 \ cm$ પર છે.
આપણું બિંદુ $x = 4 \ cm$ પર છે.
પ્રથમ તાર માટે $(I_1 = 8 \ A)$: $r_1 = 4 \ cm = 0.04 \ m$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 \times 8}{2 \pi \times 0.04} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.04} = 4 \times 10^{-5} \ T$.
બીજા તાર માટે $(I_2 = 10 \ A)$: $r_2 = 9 \ cm - 4 \ cm = 5 \ cm = 0.05 \ m$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 \times 10}{2 \pi \times 0.05} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 10}{0.05} = 4 \times 10^{-5} \ T$.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,બંને તાર વચ્ચેના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હશે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = 4 \times 10^{-5} \ T + 4 \times 10^{-5} \ T = 8 \times 10^{-5} \ T$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \pi N I r^2}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$
આમ,$B \propto \frac{1}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$.
અહીં $x_A = 4 \ cm$ અને $x_B = 3 \sqrt{3} \ cm$ આપેલ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_A}{B_B} = \frac{216}{125}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{x_B^2 + r^2}{x_A^2 + r^2} \right)^{3/2} = \frac{216}{125}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\left( \frac{x_B^2 + r^2}{x_A^2 + r^2} \right)^{1/2} = \frac{6}{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(3 \sqrt{3})^2 + r^2}{4^2 + r^2} = \frac{36}{25}$
$\frac{27 + r^2}{16 + r^2} = \frac{36}{25}$
$25(27 + r^2) = 36(16 + r^2)$
$675 + 25r^2 = 576 + 36r^2$
$11r^2 = 99$
$r^2 = 9 \Rightarrow r = 3 \ cm$.

(B) આપેલ છે: તાર $A$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1 = 2 \ A$. તાર $B$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2 = 6 \ A$. તાર $A$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $r_1 = 2 \ m$. તાર $B$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $r_2 = 5 \ m - 2 \ m = 3 \ m$.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તાર $A$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ છે,અને તાર $B$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ છે.
લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $A$ ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{2}{2} = 2 \times 10^{-7} \ T$ (અંદરની તરફ).
તાર $B$ ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{6}{3} = 4 \times 10^{-7} \ T$ (બહારની તરફ).
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_2 - B_1| = |4 \times 10^{-7} - 2 \times 10^{-7}| = 2 \times 10^{-7} \ T$.

(D) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $L = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{3}{\pi^2} \text{ A}$.
જ્યારે તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈ વર્તુળના પરિઘ જેટલી થાય છે: $L = 2 \pi R$.
$20 \times 10^{-2} = 2 \pi R \Rightarrow R = \frac{10^{-1}}{\pi} \text{ m}$.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (\frac{3}{\pi^2})}{2 \times (\frac{10^{-1}}{\pi})}$.
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{2 \times 10^{-1} \times \pi} = \frac{12 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi \times 10^{-1}} = 6 \times 10^{-6} \text{ T}$.

(D) સળિયાની ત્રિજ્યા $R = \text{વ્યાસ} / 2 = 4 \text{ mm} / 2 = 2 \text{ mm}$ છે.
સળિયાની અંદર $r_1 = 1 \text{ mm}$ $(r_1 < R)$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 i r_1}{2 \pi R^2}$
સળિયાની બહાર $r_2 = 4 \text{ mm}$ $(r_2 > R)$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r_2}$
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 i r_1}{2 \pi R^2}}{\frac{\mu_0 i}{2 \pi r_2}} = \frac{r_1 r_2}{R^2}$
$r_1 = 1 \text{ mm}$,$r_2 = 4 \text{ mm}$,અને $R = 2 \text{ mm}$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1 \times 4}{(2)^2} = \frac{4}{4} = 1: 1$

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 18 \,A$ અને અંતર $a = 12 \,cm = 0.12 \,m$.
લાંબા સીધા તારથી $a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18}{2 \pi \times 0.12}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 18}{0.12}$
$B = \frac{36 \times 10^{-7}}{0.12}$
$B = 300 \times 10^{-7} \,T = 3 \times 10^{-5} \,T$.

(A) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
અહીં આપેલ કિંમતો $i = 1 \,A$ અને $r = 1 \,m$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1}{2 \pi \times 1}$
$B = 2 \times 10^{-7} \,T$.

(B) બાયો-સાવરના નિયમ મુજબ,$Id\vec{l}$ પ્રવાહ ખંડ દ્વારા $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નીચે મુજબ છે:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl r \sin \theta}{r^3}$
જ્યાં $\theta$ એ પ્રવાહ ખંડ $Id\vec{l}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ શૂન્ય થવા માટે,$\sin \theta$ પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$ હોય.
તેથી,પ્રવાહ ખંડ અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોઈ શકે છે.

(A) કેન્દ્ર $O$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ વળાંકવાળા ભાગ અને સીધા ભાગને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. વળાંકવાળા ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
કેન્દ્ર પર ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta = 2\pi - 2\phi = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ છે.
$B_{\text{arc}} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R} = \frac{10^{-7} \times 5 \times (3\pi/2)}{0.1} = 50 \times 10^{-7} \times 1.5 \times 3.14 \approx 23.55 \mu\text{T}$.
$2$. સીધા ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$O$ થી સીધા તારનું અંતર $d = R \cos(45^{\circ}) = R/\sqrt{2}$ છે.
તારના છેડાઓ દ્વારા $O$ પર આંતરાતા ખૂણા $\phi_1 = 45^{\circ}$ અને $\phi_2 = 45^{\circ}$ છે.
$B_{\text{straight}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{10^{-7} \times 5}{0.1/\sqrt{2}} \times (1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) = \frac{10^{-7} \times 5 \times \sqrt{2}}{0.1} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{10^{-6} \times 5 \times 2}{0.1} = 10 \mu\text{T}$.
$3$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (પાનાની અંદરની તરફ) હોવાથી,$B_{\text{net}} = B_{\text{arc}} + B_{\text{straight}} = 23.55 \mu\text{T} + 10 \mu\text{T} = 33.55 \mu\text{T} \approx 33.6 \mu\text{T}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણો આંતરતા વર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$.
સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેમને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે $(B_{AB} = 0, B_{CD} = 0)$.
ચાપ $AD$ (ત્રિજ્યા $R_1 = 0.01 \text{ m}$) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{AD} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R_1} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\mu_0 i}{24 R_1}$ (બહારની તરફ,$\odot$).
ચાપ $BC$ (ત્રિજ્યા $R_2 = 0.02 \text{ m}$) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{BC} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R_2} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\mu_0 i}{24 R_2}$ (અંદરની તરફ,$\otimes$).
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_{AD} - B_{BC} = \frac{\mu_0 i}{24} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (1.2 / \pi)}{24} \left( \frac{1}{0.01} - \frac{1}{0.02} \right) = \frac{4.8 \times 10^{-7}}{24} (100 - 50) = 0.2 \times 10^{-7} \times 50 = 10 \times 10^{-7} \text{ T} = 1 \mu \text{T}$.

(A) $N$ આંટા, આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2$ ધરાવતી સપાટ સર્પાકાર કોઈલ માટે, કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2(r_2 - r_1)} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
આપેલ છે:
$N = 2000$
$r_1 = 1 \,cm = 0.01 \,m$
$r_2 = 3 \,cm = 0.03 \,m$
$I = \frac{10^{-3}}{\pi} \,A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-3}}{2 \times (0.03 - 0.01) \times \pi} \ln\left(\frac{0.03}{0.01}\right)$
$B = \frac{8 \times 10^{-6}}{0.04} \ln(3) = 200 \times 10^{-6} \ln(3) \,T$
અહીં $K = 200$ મળે છે।

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તાર વર્તુળાકાર લૂપનો ચોથો ભાગ હોવાથી,કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.
કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતા ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ છે.
ક્વાર્ટર રીંગ માટે,$\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{8 R}$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{\mu_0 I}{8 R}$ છે.

(D) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. નિયમિત ષટ્કોણ $6$ સમાન સીધા તારના ટુકડાઓનો બનેલો છે.
પ્રથમ,આપણે એક પ્રવાહ ખંડ $AB$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરીશું.
$\triangle OAM$ માં,કેન્દ્ર $O$ થી ખંડ $AB$ સુધીનું લંબ અંતર $r$ એ $OM$ છે.
ષટ્કોણ નિયમિત હોવાથી,$\triangle OAB$ એ $R$ બાજુઓ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,$OM = R \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} R$.
ખંડ $AB$ ને કારણે બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$.
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (\frac{\sqrt{3}}{2} R)} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R}$.
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ તમામ $6$ ખંડોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R} = \frac{3 \mu_0 I}{\sqrt{3} \pi R} = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I}{\pi R}$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $N$ આંટા ધરાવતા ગૂંચળાના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે $I$ પ્રવાહ પસાર થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં,$R = 1 \ m$,$N = 80$,$I = 0.2 \ A$ છે અને બિંદુ ગૂંચળાંઓની વચ્ચે છે,તેથી બંને ગૂંચળાંઓ માટે $x = 1 \ m$ થશે.
$B_1 = B_2 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 80 \times 0.2 \times 1^2}{2(1^2 + 1^2)^{3/2}} = \frac{64\pi \times 10^{-7}}{2(2)^{3/2}} = \frac{32\pi \times 10^{-7}}{2\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\pi \times 10^{-7} \ T$.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = B_1 + B_2 = 16\sqrt{2}\pi \times 10^{-7} \ T$.
માઇક્રોટેસ્લામાં રૂપાંતર કરતા $(1 \ \mu T = 10^{-6} \ T)$:
$B_{\text{net}} = 1.6\sqrt{2}\pi \ \mu T \approx 7.1 \ \mu T$.

(C) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા અનંત સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર (ઉપરની તરફ) માટે,બિંદુ $P$ પર (તેનાથી $x+y$ અંતરે) ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ (નીચેની તરફ) હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $B_I = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (x+y)}$ છે.
$i$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર (નીચેની તરફ) માટે,બિંદુ $P$ પર (તેનાથી $y$ અંતરે) ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની બહારની તરફ (ઉપરની તરફ) હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $B_i = \frac{\mu_0 i}{2 \pi y}$ છે.
બિંદુ $P$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$B_I = B_i$
$\frac{\mu_0 I}{2 \pi (x+y)} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi y}$
$\frac{I}{x+y} = \frac{i}{y}$
$i = I \left( \frac{y}{x+y} \right)$

(B) તારને ઉગમબિંદુ $O$ પર વાળવામાં આવ્યો છે. એક ભાગ ધન $x$-અક્ષ પર અને બીજો ધન $y$-અક્ષ પર છે。
બિંદુ $P(-2 \,mm, 0)$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે。
$1$. $x$-અક્ષ પરના તારના ભાગ માટે: બિંદુ $P$ આ તારની રેખા પર જ આવેલું છે। તેથી, આ ભાગ દ્વારા બિંદુ $P$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે。
$2$. $y$-અક્ષ પરના તારના ભાગ માટે: આ એક અર્ધ-અનંત તાર છે જે ઉગમબિંદુ $O$ થી શરૂ થઈને ધન $y$-અક્ષ પર વિસ્તરેલો છે। અર્ધ-અનંત તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં, $I = 16 \,A$ અને $r = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{16}{2 \times 10^{-3}}$
$B = 10^{-7} \times 8 \times 10^3$
$B = 8 \times 10^{-4} \,T = 0.8 \times 10^{-3} \,T = 0.8 \,mT$.

(B) તકતીના $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા એક પાતળા રીંગ જેવા ઘટકનો વિચાર કરો.
જો $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા હોય,તો આ ઘટક પરનો વિદ્યુતભાર $dq$ છે:
$dq = \sigma (2 \pi r) dr$
પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર $dq$ સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $di$ છે:
$di = \frac{dq}{T} = \frac{dq \omega}{2 \pi} \quad (\because T = \frac{2 \pi}{\omega})$
$di$ ના સમીકરણમાં $dq$ ની કિંમત મૂકતા:
$di = \frac{(\sigma 2 \pi r dr) \omega}{2 \pi} = \sigma \omega r dr$
આ પ્રવાહધારિત રીંગને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ છે:
$dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 (\sigma \omega r dr)}{2r} = \frac{\mu_0 \sigma \omega}{2} dr$
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}}$ શોધવા માટે,$r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરતા:
$B_{\text{net}} = \int_0^R \frac{\mu_0 \sigma \omega}{2} dr = \frac{\mu_0 \sigma \omega}{2} [r]_0^R = \frac{\mu_0 \sigma \omega R}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \times 10^{-5} \,T$, અંતર $r = 0.2 \,m$, અને શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{I}{r}$
આપેલ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-5} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi} \times \frac{I}{0.2}$
$5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{I}{0.2}$
$5 \times 10^{-5} = 10^{-6} \times I$
$I = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-6}} = 5 \times 10^1 = 50 \,A$
તેથી, તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $50 \,A$ છે.