Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(B) '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતા અને '$I$' વિદ્યુતપ્રવાહનું વહન કરતા લાંબા નળાકાર તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < a)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $B$ એ $r$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(B \propto r)$,જેના પરિણામે કેન્દ્રથી સપાટી સુધી રેખીય વધારો થાય છે.
$2$. તારની બહાર $(r > a)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $B$ એ $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(B \propto 1/r)$,જેના પરિણામે અંતર વધવાની સાથે હાયપરબોલિક ઘટાડો થાય છે.
$3$. આ બંનેને જોડતા,આલેખ $r = a$ સુધી રેખીય વધારો અને $r > a$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે. આ આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
અહીં આપેલ મૂલ્યો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 90 \text{ A}$ અને અંતર $r = 1.5 \text{ m}$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 90}{2\pi \times 1.5}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 90}{1.5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 60 = 120 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો વિદ્યુતપ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ વહેતો હોય,તો તારની ઉપરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્તર દિશા તરફ હોય છે.

(B) ધારો કે બે સમાંતર તાર $d = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$ ના અંતરે છે.
દરેક તારમાં વહેતો પ્રવાહ $I = 8 \text{ A}$ છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવાથી,જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ મધ્યબિંદુએ $(r = d/2 = 0.15 \text{ m})$ બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હશે.
લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
પ્રથમ તાર માટે,$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.15} = \frac{16 \times 10^{-7}}{0.15} = 106.67 \mu \text{T}$.
બંને તાર સમાન દિશામાં ફાળો આપતા હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times 106.67 \mu \text{T} = 213.33 \mu \text{T}$ થાય.

(C) તાર $I$ માટે: કેન્દ્ર $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે સીધા વિભાગો અને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે. $r$ અંતરે રહેલા અર્ધ-અનંત તારને કારણે ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે. આવા બે વિભાગો હોવાથી,તેમનું યોગદાન $2 \times \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે. અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4r}$ છે. આમ,$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} + \frac{\mu_0 I}{4r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2}{\pi} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2+\pi}{\pi})$.
તાર $II$ માટે: કેન્દ્ર $Q$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર અને સીધા વિભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો તફાવત છે. સીધા વિભાગો દરેક $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ જેટલું યોગદાન આપે છે. ભૂમિતિના આધારે,ચોખ્ખું ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4r} - \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (1 - \frac{1}{\pi}) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{\pi-1}{\pi})$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{2+\pi}{\pi}}{\frac{\pi-1}{\pi}} = \frac{2+\pi}{\pi-1}$.

(A) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 0.1} = 4\pi \times 10^{-6} \text{ T}$.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u = \frac{(4\pi \times 10^{-6})^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} = \frac{16\pi^2 \times 10^{-12}}{8\pi \times 10^{-7}} = 2\pi \times 10^{-5} \text{ J/m}^3$.
ઘનનું કદ $V = (1 \text{ mm})^3 = (10^{-3} \text{ m})^3 = 10^{-9} \text{ m}^3$.
સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U = u \times V$.
$U = (2\pi \times 10^{-5}) \times 10^{-9} = 2\pi \times 10^{-14} \text{ J}$.
$\pi = 3.14$ લેતા,$U = 2 \times 3.14 \times 10^{-14} = 6.28 \times 10^{-14} \text{ J}$.
આને $\alpha \times 10^{-14} \text{ J}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 6.28$ મળે છે.

(A) વાહકની અંદર $(r < a)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે દર્શાવે છે કે $B \propto r$. આ વાહકની અક્ષથી સપાટી સુધી ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રેખીય વધારો દર્શાવે છે.
વાહકની બહાર $(r > a)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે દર્શાવે છે કે $B \propto \frac{1}{r}$. આ વાહકથી અંતર વધવાની સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટાડો દર્શાવે છે.
આલેખ $(A)$ યોગ્ય રીતે રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ વ્યસ્ત ઘટાડો દર્શાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.