Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Hindi

(D) $R$ त्रिज्या वाले एक अनंत लंबे खोखले चालक बेलन के लिए जिसकी सतह पर $I$ धारा प्रवाहित हो रही है:
$1$) बेलन के अंदर $(r < R)$,हम $r < R$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार एम्पीरियन लूप चुनकर एम्पीयर के परिपथीय नियम को लागू कर सकते हैं। चूंकि इस लूप से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए परिबद्ध धारा $I_{enc} = 0$ है। अतः,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enc} = 0$,जिसका अर्थ है कि $B = 0$ है।
$2$) बेलन के बाहर $(r \geq R)$,हम $r \geq R$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार एम्पीरियन लूप चुनते हैं। इस लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा $I$ है। एम्पीयर के नियम के अनुसार,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I$। बेलनाकार समरूपता के कारण,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,चुंबकीय क्षेत्र बेलन के अंदर शून्य है और बेलन के बाहर दूरी $r$ के साथ व्युत्क्रमानुपाती रूप से घटता है। यह ग्राफ विकल्प $D$ में दर्शाया गया है।

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व (चुंबकीय क्षेत्र) $B_{\text{centre}} = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है।
एक लंबी परिनालिका के अक्ष पर उसके सिरे पर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B_{\text{end}} = \frac{\mu_0 n I}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र पर फ्लक्स घनत्व और सिरे पर फ्लक्स घनत्व का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{end}}} = \frac{\mu_0 n I}{\left(\frac{\mu_0 n I}{2}\right)} = \frac{2}{1}$.
अतः, अनुपात $2: 1$ है।

(C) टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
दिया गया है:
$n = 1000 \ m^{-1}$
$I = \frac{1}{4 \pi} \ A$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times \left( \frac{1}{4 \pi} \right)$
$B = 10^{-7} \times 10^3$
$B = 10^{-4} \ T$ (या $Wb/m^2$)
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $(u_B)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ और लंबाई $L$ वाले परिनालिका के छोटे क्षेत्र का आयतन $(V)$:
$V = A \times L$
इस आयतन में संग्रहीत कुल चुंबकीय ऊर्जा $(U)$,ऊर्जा घनत्व और आयतन का गुणनफल है:
$U = u_B \times V$
$U = \left( \frac{B^2}{2 \mu_0} \right) \times (A L)$
$U = \frac{B^2 A L}{2 \mu_0}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
$n = 70\,turns/cm = 70 \times 10^2\,turns/m = 7000\,turns/m$
$I = 2.0\,A$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,TmA^{-1}$
मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (7000) \times (2.0)$
$B = 56000\pi \times 10^{-7}\,T$
$B = 56\pi \times 10^{-4}\,T$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$B \approx 56 \times 3.14159 \times 10^{-4}\,T$
$B \approx 175.928 \times 10^{-4}\,T \approx 176 \times 10^{-4}\,T$.

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = nI$ होता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका में प्रवाहित होने वाली धारा है।
दिया गया है:
कुल फेरों की संख्या $N = 1200$
परिनालिका की लंबाई $L = 2\,m$
धारा $I = 2\,A$
सबसे पहले,प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{N}{L} = \frac{1200}{2} = 600\,m^{-1}$
अब,चुंबकीय तीव्रता $H$ की गणना करें:
$H = nI = 600 \times 2 = 1200\,A m^{-1}$
अतः,$H = 1.2 \times 10^3\,A m^{-1}$।

(C) सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_r \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = N/\ell$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 2\,cm^2 = 2 \times 10^{-4}\,m^2$
लंबाई $\ell = 40\,cm = 0.4\,m$
फेरों की संख्या $N = 400$
धारा $I = 0.4\,A$
कुल चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 4\pi \times 10^{-6}\,Wb$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
चुंबकीय फ्लक्स का सूत्र $\phi = B \cdot A = (\mu_r \mu_0 \frac{N}{\ell} I) A$ है।
मान रखने पर:
$4\pi \times 10^{-6} = \mu_r \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{400}{0.4}) \times 0.4 \times (2 \times 10^{-4})$
$4\pi \times 10^{-6} = \mu_r \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 400 \times (2 \times 10^{-4})$
$10^{-6} = \mu_r \times 10^{-7} \times 400 \times 2 \times 10^{-4}$
$10^{-6} = \mu_r \times 10^{-7} \times 8 \times 10^{-2}$
$10^{-6} = \mu_r \times 8 \times 10^{-9}$
$\mu_r = \frac{10^{-6}}{8 \times 10^{-9}} = \frac{1000}{8} = 125$.

(C) समान धारा वितरण वाले एक लंबे सीधे तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$। चूंकि धारा समान है,$I_{enclosed} = I \cdot (\frac{\pi r^2}{\pi a^2}) = I \frac{r^2}{a^2}$। अतः,$B(2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{a^2}$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B \propto r$।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B \propto \frac{1}{r}$।

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = ni$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
$H = 1.6 \times 10^3 \text{ A m}^{-1}$
$n = 8 \text{ turns/cm} = 8 \times 10^2 \text{ turns/m} = 800 \text{ m}^{-1}$
सूत्र $i = H / n$ का उपयोग करने पर:
$i = \frac{1.6 \times 10^3}{800} = \frac{1600}{800} = 2 \text{ A}$.
अतः,परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा $2 \text{ A}$ है।

(D) परिनालिका के भीतर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = ni$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
परिनालिका की लंबाई $\ell = 15\,cm = 0.15\,m$
फेरों की संख्या $N = 60$
चुंबकीय तीव्रता $H = 2.4 \times 10^3\,A/m$
सबसे पहले,प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{N}{\ell} = \frac{60}{0.15} = 400\,turns/m$
अब,धारा $i$ ज्ञात करने के लिए $H = ni$ सूत्र का उपयोग करें:
$2.4 \times 10^3 = 400 \times i$
$i = \frac{2400}{400} = 6\,A$
अतः,आवश्यक धारा $6\,A$ है।

(A) पदार्थ से भरे टोरोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_r B_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_0$ मुक्त स्थान में चुंबकीय क्षेत्र है और $\mu_r$ पदार्थ की सापेक्ष पारगम्यता (relative permeability) है।
दिया गया है कि चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m = 2 \times 10^{-2}$ है।
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1 + \chi_m = 1 + 0.02 = 1.02$ है।
इसलिए,नया चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.02 B_0$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में प्रतिशत वृद्धि $\frac{B - B_0}{B_0} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{1.02 B_0 - B_0}{B_0} \times 100\% = 0.02 \times 100\% = 2\%$.

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ होता है।
केबल के बाहर किसी बिंदु के लिए (बाहरी चालक की त्रिज्या से अधिक दूरी $r$ पर),एम्पीरियन लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा केंद्रीय चालक की धारा $(+I)$ और बाहरी चालक की धारा $(-I)$ का योग है।
अतः,$I_{\text{enclosed}} = I + (-I) = 0$ है।
चूँकि $I_{\text{enclosed}} = 0$ है,इसलिए केबल के बाहर चुंबकीय क्षेत्र $B$ शून्य होता है।

(A) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n i$ है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है $(n = m/\ell)$.
$n$ का मान रखने पर, हमें $B = \mu_0 (m/\ell) i$ प्राप्त होता है।
$m$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $m = (B \times \ell) / (\mu_0 \times i)$.
दिए गए मान: $B = 6.28 \times 10^{-3} \,T$, $\ell = 0.5 \,m$, $i = 5 \,A$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \approx 12.56 \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
इन मानों को रखने पर: $m = (6.28 \times 10^{-3} \times 0.5) / (12.56 \times 10^{-7} \times 5)$.
$m = (3.14 \times 10^{-3}) / (62.8 \times 10^{-7}) = (3.14 \times 10^{-3}) / (6.28 \times 10^{-6}) = 0.5 \times 10^3 = 500$.
अतः, $m$ का मान $500$ है.

(A) समान धारा घनत्व $J$ वाले एक लंबे बेलन के अंदर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 J r}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ अक्ष से दूरी है।
हम इस प्रणाली को $2a$ व्यास (त्रिज्या $R = a$) वाले एक बड़े बेलन के रूप में मान सकते हैं जिसमें से $a$ व्यास (त्रिज्या $r_c = a/2$) वाला एक छोटा बेलन घटाया गया है।
बिंदु $P$ बड़े बेलन की अक्ष से $a$ दूरी पर और छोटे बेलन की अक्ष से $a$ दूरी पर स्थित है।
बड़े बेलन के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 J a}{2}$ है।
छोटे बेलन (गुहा) के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 J (a/2)^2}{2a} = \frac{\mu_0 J a}{8}$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 J a}{2} - \frac{\mu_0 J a}{8} = \frac{3 \mu_0 J a}{8} = \frac{4.5}{12} \mu_0 a J$.
दिए गए समाधान के अनुसार $N = 5$ प्राप्त होता है।

(D) एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$।
स्थिति-$I$: $r < R/2$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = 0$,इसलिए $|\vec{B}| = 0$ है।
स्थिति-$II$: $R/2 \leq r \leq R$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(r^2 - (R/2)^2)$ है।
एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(r^2 - R^2/4)$।
अतः,$|\vec{B}| = \frac{\mu_0 J}{2r}(r^2 - R^2/4)$। यह दर्शाता है कि $|\vec{B}|$,$r = R/2$ पर $0$ से बढ़कर $r = R$ पर अधिकतम हो जाता है।
स्थिति-$III$: $r > R$ के लिए,परिबद्ध धारा स्थिर है: $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(R^2 - (R/2)^2) = J \cdot \pi(3R^2/4)$।
एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(3R^2/4)$।
अतः,$|\vec{B}| = \frac{3\mu_0 J R^2}{8r}$। यह दर्शाता है कि $r > R$ के लिए $|\vec{B}|$,$1/r$ के अनुसार घटता है।
जो ग्राफ $r < R/2$ के लिए $|\vec{B}| = 0$,$R/2 \leq r \leq R$ के लिए एक वर्धमान फलन,और $r > R$ के लिए $1/r$ के अनुसार ह्रास दर्शाता है,वह विकल्प $D$ द्वारा प्रदर्शित है।

(A) $1$. धारा $I$ वाले $R$ त्रिज्या के खोखले बेलनाकार चालक के लिए,एम्पीयर के नियम के अनुसार अंदर $(r < R)$ चुंबकीय क्षेत्र $B_{cyl} = 0$ है,और बाहर $(r > R)$ यह $B_{cyl} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ (स्पर्शरेखीय) है।
$2$. धारा $I$ वाली $2R$ त्रिज्या की अनंत परिनालिका के लिए,अंदर $(r < 2R)$ चुंबकीय क्षेत्र $B_{sol} = \mu_0 n I$ (अक्ष के अनुदिश) है,और बाहर $(r > 2R)$ यह $0$ है।
$3$. $0 < r < R$ क्षेत्र: $B_{cyl} = 0$ और $B_{sol} = \mu_0 n I$। अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I \neq 0$ है। कथन $(A)$ सही है।
$4$. $R < r < 2R$ क्षेत्र: $B_{cyl} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ (स्पर्शरेखीय) और $B_{sol} = \mu_0 n I$ (अक्षीय)। कुल क्षेत्र इन दोनों का सदिश योग है,जो न तो पूरी तरह से अक्षीय है और न ही पूरी तरह से स्पर्शरेखीय। कथन $(B)$ और $(C)$ गलत हैं।
$5$. $r > 2R$ क्षेत्र: $B_{cyl} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ (स्पर्शरेखीय) और $B_{sol} = 0$। अतः,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \neq 0$ है। कथन $(D)$ सही है।
$6$. इसलिए,सही कथन $(A)$ और $(D)$ हैं।

(B) एक लंबी परिनालिका (solenoid) के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{B}{\mu_0} = n I$ प्राप्त होता है।
$n$ (प्रति इकाई लंबाई फेरे) की विमा $[L^{-1}]$ है।
$I$ (विद्युत धारा) की विमा $[A]$ है।
अतः,$\frac{B}{\mu_0}$ की विमा $[L^{-1} A]$ है।

(A) त्रिज्या वाले और समान रूप से वितरित धारा $I$ का वहन करने वाले एक लंबे सीधे तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$। चूंकि धारा समान है,$I_{\text{enclosed}} = I \cdot (\pi r^2 / \pi a^2) = I(r^2/a^2)$। अतः,$B(2\pi r) = \mu_0 I (r^2/a^2)$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B \propto r$।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B \propto 1/r$।
$3$. सतह पर $(r = a)$: चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है,$B_{\text{max}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$।
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ में दिया गया आलेख इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
एक लंबी परिनालिका के लिए,अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ होता है,जहाँ $n$ प्रति मीटर फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
आवर्तकाल के सूत्र में $B$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi m}{q \mu_0 n I}$.
$n$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $n = \frac{2\pi m}{q \mu_0 I T}$.
दिए गए मान: $m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$I = 1.5 \text{ A}$,$T = 75 \times 10^{-9} \text{ s}$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$.
इन मानों को रखने पर:
$n = \frac{2\pi \times 9 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 1.5 \times 75 \times 10^{-9}}$.
$n = \frac{18\pi \times 10^{-31}}{9.6\pi \times 10^{-35} \times 75}$.
$n = \frac{18 \times 10^4}{720} = 250 \text{ फेरे/मीटर}$.

(A) एक लंबी परिनालिका के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \mu_0 n i = \mu_0 \left( \frac{N}{\ell} \right) i$।
यहाँ,$N = 200$,$i = 0.29 \ A$,$B = 2.9 \times 10^{-4} \ T$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ है।
लंबाई $\ell$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\ell = \frac{\mu_0 N i}{B}$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\ell = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 200 \times 0.29}{2.9 \times 10^{-4}} \ m$।
$\ell = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 0.29}{2.9 \times 10^{-4}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 0.29}{29 \times 10^{-5}} \ m$।
$\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 10^{-1} \ m = 8\pi \times 10^{-2} \ m$।
चूंकि $1 \ m = 100 \ cm$,इसलिए $\ell = 8\pi \times 10^{-2} \times 100 \ cm = 8\pi \ cm$।
अतः,परिनालिका की लंबाई $8\pi \ cm$ है।

(D) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ वाले माध्यम में चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र $u = \frac{B^2}{2\mu_r\mu_0}$ है।
यहाँ $\mu_r = 2$ दिया गया है,इसलिए $u = \frac{B^2}{2(2)\mu_0} = \frac{B^2}{4\mu_0}$ होगा।
आयतन $V = Al$ में संचित कुल चुंबकीय ऊर्जा $U = u \times V$ है।
अतः,$U = \frac{B^2}{4\mu_0} \times Al = \frac{B^2 Al}{4\mu_0}$।

(B) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
दिया गया है:
प्रति $cm$ फेरों की संख्या,$n = 200 \ \text{turns/cm} = 200 \times 10^2 \ \text{turns/m} = 2 \times 10^4 \ \text{turns/m}$.
धारा,$I = 2.5 \ A$.
निर्वात की पारगम्यता,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ \text{Wb/A} \cdot \text{m}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times 2.5$
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^4$
$B = 20\pi \times 10^{-3} \ \text{T}$
$B = 2\pi \times 10^{-2} \ \text{T} \approx 6.28 \times 10^{-2} \ \text{Wb/m}^2$.

(D) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है, इसलिए $B = \frac{\phi}{A}$ होगा।
$B$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{\phi}{A} = \frac{\mu_0 NI}{L}$।
चुंबकीय आघूर्ण $M = NIA$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $NIA = \frac{\phi L}{\mu_0}$।
यहाँ $\phi = 1.57 \times 10^{-6} \, Wb$, $L = 0.6 \, m$, और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ दिया गया है।
मान रखने पर: $M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.6}{4 \pi \times 10^{-7}}$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर, $4 \pi \approx 12.56$ होगा।
$M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.6}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{0.942 \times 10^{-6}}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{9.42}{12.56} \approx 0.75 \, Am^2$।

(A) एक लंबी परिनालिका का प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\ell$ लंबाई है।
मान लीजिए $r$ परिनालिका की त्रिज्या है,तो $A = \pi r^2$. अतः,$L = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{\ell}$.
तार की कुल लंबाई $W$ एक फेरे की परिधि और फेरों की संख्या का गुणनफल है: $W = N(2 \pi r)$.
इससे,$N = \frac{W}{2 \pi r}$.
$N$ का मान प्रेरकत्व के सूत्र में रखने पर: $L = \frac{\mu_0 (W / 2 \pi r)^2 \pi r^2}{\ell} = \frac{\mu_0 W^2 \pi r^2}{\ell (4 \pi^2 r^2)} = \frac{\mu_0 W^2}{4 \pi \ell}$.
$W$ के लिए हल करने पर: $W^2 = \frac{4 \pi \ell L}{\mu_0}$,जिससे प्राप्त होता है $W = \left[\frac{4 \pi \ell L}{\mu_0}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(B) टोरोइडल सोलेनोइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_{0} N I A}{2 \pi R}$ है।
कुल फ्लक्स लिंकेज $N \phi = \frac{\mu_{0} N^{2} I A}{2 \pi R}$ है।
परिभाषा के अनुसार,स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{N \phi}{I}$ होता है।
कुल फ्लक्स लिंकेज का मान रखने पर,हमें $L = \frac{\mu_{0} N^{2} A}{2 \pi R}$ प्राप्त होता है।

(C) स्व-प्रेरण गुणांक $L$ को $L = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\phi$ चुंबकीय फ्लक्स है और $I$ विद्युत धारा है।
एक टोरॉइड के लिए,कोर के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है $n = \frac{N}{2 \pi R}$,इसलिए $B = \mu_{0} \left( \frac{N}{2 \pi R} \right) I$.
कुंडली के प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है,जहाँ $A = \pi r^{2}$ कुंडली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
$N$ फेरों से जुड़ा कुल फ्लक्स $\Phi = N \phi = N (B \cdot A) = N \left( \mu_{0} \frac{N}{2 \pi R} I \right) (\pi r^{2})$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $\Phi = \frac{\mu_{0} N^{2} r^{2} I}{2 R}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_{0} N^{2} r^{2}}{2 R}$ है।

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ का रेखीय समाकल,लूप से गुजरने वाली कुल धारा $I_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
$\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$
दिए गए चित्र में,$5 \ A$ और $2 \ A$ धारा ले जाने वाले दो तार लूप के अंदर हैं। चूंकि ये धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा $I_{\text{enclosed}} = 5 \ A - 2 \ A = 3 \ A$ है।
$3 \ A$ धारा ले जाने वाला तार लूप के बाहर स्थित है,इसलिए यह कुल परिबद्ध धारा में योगदान नहीं देता है।
अतः,रेखीय समाकल का मान $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_0 \times 3 \ A = 3 \mu_0$ है।

(C) एक लंबी परिनालिका के लिए,केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B = \mu_0 nI$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ और मुक्त स्थान में चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच संबंध $B = \mu_0 H$ होता है।
$B$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu_0 H = \mu_0 nI$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = nI$ है।

(D) टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$।
दिया गया है:
$I = 5 \ A$
$r = 20 \ cm = 0.2 \ m$
$N = 4000$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4000 \times 5}{2 \pi \times 0.2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20000}{0.2}$
$B = \frac{4 \times 10^{-3}}{0.2} = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$.

(B) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ का सूत्र है: $H = nI$,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $(n = N/L)$ है और $I$ धारा है।
दिया गया है:
$H = 2.4 \times 10^3 \ A/m$
$L = 15 \ cm = 0.15 \ m$
$N = 60$
संबंध $H = \frac{NI}{L}$ का उपयोग करके,हम $I$ के लिए हल कर सकते हैं:
$I = \frac{H \times L}{N}$
$I = \frac{2.4 \times 10^3 \times 0.15}{60}$
$I = \frac{360}{60} = 6 \ A$
अतः,परिनालिका में प्रवाहित होने वाली धारा $6 \ A$ है।

(C) एक आदर्श परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है $(n = N/L)$,$\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता (permeability) है और $I$ परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा है।
चूंकि सूत्र $B = \mu_0 (N/L) I$ फेरों की संख्या $N$,लंबाई $L$ और धारा $I$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह परिनालिका को लपेटने के लिए उपयोग किए गए तार की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,चुंबकीय प्रेरण तार की त्रिज्या से स्वतंत्र होता है।

(C) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
प्रारंभ में,$B = \mu_0 n I$ है।
प्रश्न के अनुसार,फेरों की नई संख्या $n' = 3n$ है और नई धारा $I' = \frac{I}{4}$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \mu_0 n' I'$ द्वारा दिया जाता है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B' = \mu_0 (3n) \left(\frac{I}{4}\right)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$B' = \frac{3}{4} (\mu_0 n I) = \frac{3}{4} B$ प्राप्त होता है।

(C) टोरोइडल सोलेनोइड की अक्ष के अनुदिश चुंबकीय प्रेरण $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \mu_0 n I$
जहाँ $n = \frac{N}{2 \pi r}$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
इस सूत्र में $n$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$
यहाँ,$\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता है,$N$ कुल फेरों की संख्या है,$I$ विद्युत धारा है,और $r$ टोरोइडल सोलेनोइड की त्रिज्या है।
हालाँकि,मानक समीकरण $B = \mu_0 n I$ में,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या को दर्शाता है। टोरोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है। समीकरण $B = \mu_0 n I$ दर्शाता है कि क्षेत्र विद्युत धारा और फेरों के घनत्व पर निर्भर करता है। यदि $n$ को स्थिर रखा जाए,तो चुंबकीय प्रेरण टोरोइडल सोलेनोइड की त्रिज्या $r$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,चुंबकीय प्रेरण टोरोइडल सोलेनोइड की त्रिज्या से स्वतंत्र होता है।

(A) एक लंबी परिनालिका का प्रेरकत्व $L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
जहाँ $N$ फेरों की कुल संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ लंबाई है।
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$L = \mu_0 \left(\frac{N}{l}\right)^2 \times l \times \frac{\pi d^2}{4}$
यह दिया गया है कि $n = N/l$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई प्रेरकत्व है:
$\frac{L}{l} = \mu_0 n^2 \left(\frac{\pi d^2}{4}\right)$
$\frac{L}{l} = \mu_0 \pi \left(\frac{nd}{2}\right)^2$

(B) टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हैं।
टोरॉइड के अंदर $r$ त्रिज्या का एक एम्पीयरियन लूप मानिए,जहाँ $r = \frac{r_1 + r_2}{2}$ है।
एम्पीयर के नियम के अनुसार: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ वृत्ताकार पथ पर समान है और लंबाई के अवयव $d\vec{l}$ के समानांतर है,इसलिए उनके बीच का कोण $0^\circ$ है।
अतः,$B \oint dl = \mu_0 N I$.
लूप की परिधि $2 \pi r = 2 \pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right) = \pi(r_1 + r_2)$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $B \cdot \pi(r_1 + r_2) = \mu_0 N I$.
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{\pi(r_1 + r_2)}$ प्राप्त होता है।

(C) एक लंबी परिनालिका के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है,और $I$ धारा है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ को $H = B / \mu_0$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$B$ का मान रखने पर,हमें $H = (\mu_0 n I) / \mu_0 = n I$ प्राप्त होता है।
अतः,एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $n I$ है।

(D) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \mu_0 n I$
जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका में प्रवाहित धारा है।
प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ है।
प्रश्न के अनुसार,फेरों की नई संख्या $n' = 2n$ और नई धारा $I' = \frac{1}{3}I$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B'$ इस प्रकार होगा:
$B' = \mu_0 n' I'$
$B' = \mu_0 (2n) \left(\frac{1}{3}I\right)$
$B' = \frac{2}{3} (\mu_0 n I)$
$B' = \frac{2}{3} B$
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का नया मान $\frac{2B}{3}$ होगा।

(B) टोरोइडल सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \mu_0 n I$,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,और $I$ सोलेनोइड से बहने वाली धारा है।
चूंकि $B \propto I$,यदि धारा को तीन गुना $(I_2 = 3I_1)$ कर दिया जाए,तो चुंबकीय क्षेत्र भी मूल मान का तीन गुना हो जाएगा।
दिया गया है $B_1 = 0.2 \ mT$ और $I_2 = 3I_1$,इसलिए:
$B_2 = 3 \times B_1 = 3 \times 0.2 \ mT = 0.6 \ mT$.

(A) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
प्रारंभ में,$B_1 = \mu_0 n_1 I_1$ है।
दिया गया है कि धारा को घटाकर $20 \%$ कर दिया गया है,इसलिए नई धारा $I_2 = 0.2 I_1$ है।
प्रति $cm$ फेरों की संख्या पांच गुना बढ़ा दी गई है,इसलिए नई फेरों की घनत्व $n_2 = 5 n_1$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \mu_0 n_2 I_2$ है।
मान रखने पर: $B_2 = \mu_0 (5 n_1) (0.2 I_1) = \mu_0 n_1 I_1 (5 \times 0.2) = \mu_0 n_1 I_1 (1) = B_1$ है।
अतः,नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2$,$B_1$ के बराबर है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार, $I$ धारा प्रवाहित करने वाले एक लंबे सीधे बेलनाकार तार की अक्ष से $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है (तार के बाहर के बिंदुओं के लिए, जहाँ $R \ge \text{तार की त्रिज्या}$)।
चूंकि दोनों स्थितियों में धारा $I$ समान है और दूरी $R$ भी समान है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र केवल धारा और तार से दूरी पर निर्भर करता है。
अतः, तार का व्यास तार के बाहर $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र को प्रभावित नहीं करता है。
इसलिए, $B_1 = B_2$।

(C) एक लंबी परिनालिका के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है।
यहाँ,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
कुल फेरों की संख्या $N = 4 \times 1000 = 4000$.
परिनालिका की लंबाई $L = 2 \,m$.
इसलिए,$n = \frac{N}{L} = \frac{4000}{2} = 2000 \text{ turns/m}$.
धारा $I = 5 \,A$.
सूत्र में मान रखने पर:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \,Wb/Am) \times (2000 \text{ turns/m}) \times (5 \,A)$.
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 10000$.
$B = 4 \pi \times 10^{-3} \,T$.

(A) टोरॉइड की औसत त्रिज्या $r = \frac{r_{1} + r_{2}}{2}$ द्वारा दी जाती है।
टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} n I$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = \frac{N}{2 \pi r}$ है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $n = \frac{N}{2 \pi \left(\frac{r_{1} + r_{2}}{2}\right)} = \frac{N}{\pi(r_{1} + r_{2})}$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} I \left(\frac{N}{\pi(r_{1} + r_{2})}\right) = \frac{\mu_{0} NI}{\pi(r_{1} + r_{2})}$ है।

(A) टोरॉइड एक खोखली गोलाकार वलय (रिंग) होती है जिस पर धातु के तार के बहुत सारे फेरे पास-पास लपेटे जाते हैं।
इसे एक ऐसी परिनालिका के रूप में माना जा सकता है जिसे गोलाकार आकार में मोड़कर एक बंद लूप बनाया गया हो।
इसलिए,टोरॉइड एक वलय के आकार का बंद परिनालिका है।

(C) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_{0} n_{total} I$ है,जहाँ $n_{total}$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
चूँकि इसमें $n$ परतें हैं और प्रत्येक परत में $L$ लंबाई पर $N$ फेरे हैं,इसलिए प्रति इकाई लंबाई में कुल फेरों की संख्या $n_{total} = \frac{n \times N}{L}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $B = \mu_{0} \left( \frac{n N}{L} \right) I$ प्राप्त होता है।
चूँकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ के इस व्यंजक में व्यास $D$ शामिल नहीं है,इसलिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र व्यास $D$ से स्वतंत्र है।

(C) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA = \frac{\mu_0 NIA}{L}$ है।
सोलेनोइड का चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = NIA$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
फ्लक्स समीकरण में $M$ का मान रखने पर: $\phi = \frac{\mu_0 M}{L}$।
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{\phi L}{\mu_0}$।
दिया गया है: $\phi = 1.57 \times 10^{-6} \text{ Wb}$, $L = 0.8 \text{ m}$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$।
$M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.8}{4 \times 3.14 \times 10^{-7}}$।
$M = \frac{1.57 \times 0.8 \times 10^{-6}}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{1.256 \times 10^{-6}}{1.256 \times 10^{-6}} = 1 \text{ Am}^2$।

(A) वायु क्रोड वाली लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 ni$ द्वारा दिया जाता है।
जब $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति वाला पदार्थ परिनालिका के अंदर रखा जाता है,तो पदार्थ की सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1 + \chi$ होती है।
क्रोड के साथ परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_r B_0$ हो जाता है।
मान रखने पर,हमें $B = (1 + \chi) \mu_0 ni$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में संग्रहीत चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $(u)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$u = \frac{B^2}{2\mu_0}$
दिया गया है:
$B = 0.6 \ T$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A \approx 12.56 \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$u = \frac{(0.6)^2}{2 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-7}}$
$u = \frac{0.36}{25.12 \times 10^{-7}}$
$u = \frac{0.36}{2.512 \times 10^{-6}}$
$u \approx 0.1433 \times 10^6 \ J/m^3$
$u = 1.43 \times 10^5 \ J/m^3$