Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Hindi

(D) स्थिर दिष्ट धारा $(I)$ ले जाने वाली एक पतली खोखली तांबे की पाइप के लिए:
$1$. एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार, खोखले चालक के अंदर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि घिरा हुआ कुल धारा शून्य है।
$2$. पाइप के बाहर, चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है, जो शून्य नहीं है।
$3$. धारा ले जाने वाले चालक के लिए, धारा को बनाए रखने के लिए पाइप की लंबाई के साथ विभव प्रवणता (potential gradient) होती है। इसका अर्थ है कि सतह पर और चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र मौजूद होता है।
$4$. हालाँकि, पाइप के बाहर, आसपास के स्थान में, विद्युत क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि पाइप विद्युत रूप से तटस्थ है (यह धारा ले जाती है, न कि शुद्ध स्थिर आवेश)।
$5$. इसलिए, यह कथन कि पाइप के बाहर विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है, गलत है।

(B) एक लंबी परिनालिका की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} nI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = \frac{N}{\ell}$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
जब परिनालिका को चार बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $\ell^{\prime} = \frac{\ell}{4}$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार,इस टुकड़े पर मूल फेरों की संख्या के आधे फेरे लपेटे जाते हैं,इसलिए $N^{\prime} = \frac{N}{2}$।
प्रति इकाई लंबाई में नए फेरों की संख्या $n^{\prime} = \frac{N^{\prime}}{\ell^{\prime}} = \frac{N/2}{\ell/4} = \frac{4N}{2\ell} = 2 \left(\frac{N}{\ell}\right) = 2n$ है।
चूंकि धारा $I$ समान रहती है,नया चुंबकीय क्षेत्र $B^{\prime}$ होगा:
$B^{\prime} = \mu_{0} n^{\prime} I = \mu_{0} (2n) I = 2(\mu_{0} nI) = 2B$।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकल उस पथ द्वारा घेरे गए कुल विद्युत धारा $I_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
अनंत लंबी पतली दीवार वाली नली के अंदर किसी भी बिंदु के लिए,हम नली की अक्ष पर केंद्रित $r$ त्रिज्या (जहाँ $r < R$,$R$ नली की त्रिज्या है) का एक वृत्ताकार एम्पीरियन लूप मान सकते हैं।
चूंकि धारा $i$ केवल नली की सतह पर बहती है,इसलिए इस एम्पीरियन लूप द्वारा घेरी गई धारा $I_{\text{enclosed}} = 0$ है।
एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$।
चूंकि $I_{\text{enclosed}} = 0$ है,इसलिए $\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,नली के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय प्रेरण $B$ का मान $0$ है।

(D) एक धारावाही परिनालिका बिल्कुल छड़ चुंबक की तरह व्यवहार करती है। जब किसी छड़ चुंबक या धारावाही परिनालिका को स्वतंत्र रूप से लटकाया जाता है,तो यह पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के कारण चुंबकीय याम्योत्तर (उत्तर-दक्षिण दिशा) के साथ संरेखित हो जाती है। इसलिए,यह कथन कि यह चुंबकीय याम्योत्तर के लंबवत रहती है,गलत है।

(C) सीमित लंबाई की परिनालिका के अक्षीय मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 n i}{2} (\cos \theta_1 + \cos \theta_2)$
मध्य बिंदु के लिए,$\theta_1 = \theta_2 = \theta$। अतः,$B = \mu_0 n i \cos \theta$।
यहाँ,$n = \frac{N}{l}$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
परिनालिका की ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{l/2}{\sqrt{r^2 + (l/2)^2}} = \frac{l}{\sqrt{4r^2 + l^2}}$।
इन मानों को $B$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \mu_0 \left(\frac{N}{l}\right) i \left(\frac{l}{\sqrt{4r^2 + l^2}}\right)$
$B = \frac{N \mu_0 i}{\sqrt{4r^2 + l^2}}$

(B) चुंबकीय क्षेत्र में दो बिंदुओं के बीच चुंबकीय विभव अंतर एक इकाई उत्तरी ध्रुव को स्थानांतरित करने में किए गए कार्य के बराबर होता है। धारावाही तार के चारों ओर एक बंद लूप के लिए, किया गया कार्य $W = m \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ ध्रुव प्रबलता है।
एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार, $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$ है।
अतः, एक पूर्ण चक्कर में किया गया कार्य $W_{rev} = m \mu_0 I$ है।
दिया गया है: $m = 10 \, Am$, $I = 5 \, A$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$।
$W_{rev} = 10 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 5 = 200\pi \times 10^{-7} = 2\pi \times 10^{-5} \, J$।
घूर्णन की आवृत्ति $30 \, \text{rpm} = 0.5 \, \text{revolutions/sec}$ है।
एक सेकंड में किया गया कार्य = $(\text{प्रति चक्कर कार्य}) \times (\text{प्रति सेकंड चक्करों की संख्या}) = (2\pi \times 10^{-5} \, J) \times 0.5 = \pi \times 10^{-5} \, J$।

(D) आंतरिक त्रिज्या $a = R/2$ और बाहरी त्रिज्या $b = R$ वाले एक अनंत खोखले बेलन के लिए,जिसमें एक समान धारा घनत्व $J$ प्रवाहित हो रहा है:
$1$. $r < R/2$ के लिए,परिबद्ध धारा $0$ है,इसलिए $B = 0$ है।
$2$. $R/2 \le r \le R$ के लिए,एम्पीयर के नियम $\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 I_{enc}$ का उपयोग करने पर,$B(2\pi r) = \mu_0 J \pi (r^2 - (R/2)^2)$ प्राप्त होता है। अतः,$B = \frac{\mu_0 J}{2r} (r^2 - R^2/4) = \frac{\mu_0 J}{2} (r - R^2/4r)$।
$3$. $r > R$ के लिए,कुल धारा $I = J \pi (R^2 - (R/2)^2) = J \pi (3R^2/4)$ परिबद्ध है। अतः,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ प्राप्त होता है,अर्थात $B \propto 1/r$।
इस व्यवहार की तुलना करने पर: $r < R/2$ के लिए $B=0$,चालक के भीतर $B$ पहले बढ़ता है और फिर घटता है,और $r > R$ के लिए $B \propto 1/r$ है। ग्राफ $D$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = \frac{N}{L}$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है कि तार की त्रिज्या $r = 0.5 \, mm$ है,इसलिए तार का व्यास $d = 2r = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$ है।
चूंकि फेरे कसकर लपेटे गए हैं,प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = \frac{1}{d} = \frac{1}{2r} = \frac{1}{10^{-3} \, m} = 10^3 \, m^{-1}$ होगी।
धारा $I = 5 \, A$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \mu_0 n I = (4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A) \times (10^3 \, m^{-1}) \times (5 \, A)$
$B = 20 \pi \times 10^{-4} \, T$
$B = 2 \pi \times 10^{-3} \, T$.

(D) माध्यम से भरे टोरोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 \mu_r N i}{L}$
जहाँ $L = 2 \pi r$ औसत परिधीय लंबाई है।
दिए गए मान:
$i = 2.0\,A$
$N = 400\,\text{फेरे}$
$L = 40\,cm = 0.4\,m$
$B = 1.0\,T$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,T \cdot m/A$
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\mu_r = \frac{B \cdot L}{\mu_0 \cdot N \cdot i}$
मान रखने पर:
$\mu_r = \frac{1.0 \times 0.4}{4 \pi \times 10^{-7} \times 400 \times 2.0}$
$\mu_r = \frac{0.4}{3200 \pi \times 10^{-7}}$
$\mu_r = \frac{0.4}{3.2 \pi \times 10^{-4}} = \frac{4000}{3.2 \pi} \approx \frac{4000}{10.05} \approx 398$
दिए गए विकल्पों में निकटतम मान लेने पर, $\mu_r \approx 400$ प्राप्त होता है।

(D) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकल लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा $I_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$
इस प्रश्न में,$R$ त्रिज्या का वृत्तातीय पथ धारा $I$ ले जाने वाले सीधे तार को परिबद्ध नहीं करता है। इसलिए,वृत्तातीय पथ द्वारा परिबद्ध कुल धारा $I_{\text{enclosed}} = 0$ है।
चूंकि समाकल बंद वृत्तातीय पथ पर लिया जाता है,और बाहरी तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उस क्षेत्र में संरक्षी होता है जहाँ तार नहीं है,इसलिए बंद लूप के चारों ओर स्पर्शरेखीय घटक $\vec{B}_T$ का रेखीय समाकल शून्य होता है।
अतः,$\oint \vec{B}_T \cdot d\vec{l} = 0$.

(C) टोरोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता है,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
$n = 1000 \ m^{-1}$
$I = \frac{1}{4\pi} \ A$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times \left(\frac{1}{4\pi}\right)$
$B = 10^{-7} \times 10^3$
$B = 10^{-4} \ Wb/m^2$.

(A) अनंत लंबाई की एक आदर्श परिनालिका के लिए,इसके अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ धारा है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ केवल प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या और धारा पर निर्भर करता है,जिससे यह परिनालिका की कुल लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ से स्वतंत्र हो जाता है।
एक आदर्श परिनालिका के अंदर,चुंबकीय क्षेत्र एकसमान और परिनालिका की अक्ष के समानांतर होता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण सही ढंग से बताता है कि क्षेत्र परिनालिका के आयामों से स्वतंत्र क्यों है (क्योंकि एकसमान क्षेत्र आदर्श परिनालिका मॉडल का एक गुण है)।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है।
चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा घनत्व $u = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2$ है।
चूंकि ऊर्जा घनत्व $u$,$I^2$ के समानुपाती है,इसलिए धारा की दिशा को उलटने (अर्थात $I$ को $-I$ करने) से $I^2$ के मान में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,परिनालिका में संचित चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि कथन में ऊर्जा घटने का दावा किया गया है,इसलिए कथन गलत है।
कारण बताता है कि ऊर्जा घनत्व धारा के वर्ग के समानुपाती है,जो सही है।
इस प्रकार,कथन गलत है और कारण सही है।

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$I$ धारा ले जाने वाले $R$ त्रिज्या के एक लंबे बेलनाकार चालक की अक्ष से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$d \leq R$ (चालक के अंदर) के लिए,$B = \frac{\mu_{0}Id}{2 \pi R^{2}}$,जो दर्शाता है कि $B \propto d$ (एक रैखिक संबंध)।
$d > R$ (चालक के बाहर) के लिए,$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi d}$,जो दर्शाता है कि $B \propto \frac{1}{d}$ (एक अतिपरवलयिक संबंध)।
सतह पर $(d = R)$,चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है,$B_{max} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,वह ग्राफ जो $d = R$ तक रैखिक वृद्धि और $d > R$ के लिए अतिपरवलयिक गिरावट दिखाता है,उसे चित्र $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{2 \pi r}$ है,जहाँ $N$ कुल फेरों की संख्या है,$i$ धारा है और $r$ औसत त्रिज्या है।
टोरॉइड $1$ के लिए दिया गया है: $N_1 = 200$,$r_1 = 40 \; cm$.
टोरॉइड $2$ के लिए दिया गया है: $N_2 = 100$,$r_2 = 20 \; cm$.
चूंकि दोनों के लिए धारा $i$ समान है,चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात होगा:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 N_1 i}{2 \pi r_1}}{\frac{\mu_0 N_2 i}{2 \pi r_2}} = \frac{N_1}{N_2} \times \frac{r_2}{r_1}$
मान रखने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{200}{100} \right) \times \left( \frac{20}{40} \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(A) माना कुल धारा $I$ है और धारा घनत्व $J = \frac{I}{\pi a^2}$ है।
तार के अंदर $r < a$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,एम्पीयर के नियम का उपयोग करते हुए: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{enclosed}$.
$B(2\pi r) = \mu_0 (J \cdot \pi r^2) \Rightarrow B = \frac{\mu_0 J r}{2}$.
$r = \frac{a}{3}$ पर,$B_A = \frac{\mu_0 J (a/3)}{2} = \frac{\mu_0 J a}{6}$.
तार के बाहर $r > a$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,तार अपनी अक्ष पर धारा $I$ ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार की तरह व्यवहार करता है।
$B(2\pi r) = \mu_0 I = \mu_0 (J \pi a^2) \Rightarrow B = \frac{\mu_0 J a^2}{2r}$.
$r = 2a$ पर,$B_B = \frac{\mu_0 J a^2}{2(2a)} = \frac{\mu_0 J a}{4}$.
अनुपात $\frac{B_A}{B_B} = \frac{\mu_0 J a / 6}{\mu_0 J a / 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।

(N/A) $r > a$ स्थिति पर विचार करें। एम्पीरियन लूप,जिसे $2$ के रूप में चिह्नित किया गया है,अनुप्रस्थ काट के साथ संकेंद्रित एक वृत्त है। इस लूप के लिए,पथ की लंबाई $L = 2 \pi r$ है।
लूप द्वारा परिबद्ध धारा $I_e = I$ है।
एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_e$,हमें प्राप्त होता है:
$B(2 \pi r) = \mu_0 I$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
अतः,$r > a$ के लिए $B \propto \frac{1}{r}$ है।
$(b)$ $r < a$ स्थिति पर विचार करें। एम्पीरियन लूप $r$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है जिसे $1$ के रूप में चिह्नित किया गया है।
पथ की लंबाई $L = 2 \pi r$ है।
चूंकि धारा समान रूप से वितरित है,इसलिए परिबद्ध धारा $I_e$ लूप के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है:
$I_e = I \left( \frac{\pi r^2}{\pi a^2} \right) = I \frac{r^2}{a^2}$.
एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए:
$B(2 \pi r) = \mu_0 \left( I \frac{r^2}{a^2} \right)$
$B = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi a^2} \right) r$
अतः,$r < a$ के लिए $B \propto r$ है।

(A) प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = \frac{N}{l}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $N = 500$ और $l = 0.5\; m$ दिया गया है, इसलिए $n = \frac{500}{0.5} = 1000\; \text{turns}/m$ है।
परिनालिका की लंबाई $l = 0.5\; m$ और त्रिज्या $r = 0.01\; m$ है। चूँकि $l \gg r$, हम इसे एक आदर्श लंबी परिनालिका मान सकते हैं।
लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\; T\cdot m/A$, $n = 1000\; m^{-1}$, और $I = 5\; A$.
$B = (4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times 1000 \times 5$
$B = 20 \times 3.14 \times 10^{-4} = 62.8 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-3}\; T$.

(A) परिनालिका की लंबाई,$l = 80\; cm = 0.8\; m$ है।
परिनालिका पर $400$ फेरों वाली $5$ परतें हैं।
अतः,परिनालिका पर फेरों की कुल संख्या,$N = 5 \times 400 = 2000$ है।
परिनालिका द्वारा प्रवाहित धारा,$I = 8.0\; A$ है।
परिनालिका के भीतर उसके केंद्र के पास चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण सूत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\; T\; m\; A^{-1}$ है।
मान रखने पर: $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 8.0}{0.8}$।
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 10 = 8\pi \times 10^{-3} \approx 2.512 \times 10^{-2}\; T$।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण लगभग $2.5 \times 10^{-2}\; T$ है।

(A) परिनालिका द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
दिया गया है $B = 100 \;G = 10^{-2} \;T$.
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \;T \;m \;A^{-1}$ का उपयोग करते हुए,$n I = \frac{B}{\mu_0} = \frac{10^{-2}}{4\pi \times 10^{-7}} \approx 7958 \;A \;m^{-1}$.
चूंकि अधिकतम $n = 1000 \;turns \;m^{-1}$ और अधिकतम $I = 15 \;A$ है,इसलिए $n I$ का गुणनफल $15000 \;A \;m^{-1}$ तक हो सकता है।
$n I \approx 7958 \;A \;m^{-1}$ प्राप्त करने के लिए,हम $n = 800 \;turns \;m^{-1}$ और $I \approx 10 \;A$ चुन सकते हैं।
$10 \;cm$ की लंबाई पर एकसमान क्षेत्र के लिए,परिनालिका की लंबाई काफी बड़ी होनी चाहिए,उदाहरण के लिए $L = 50 \;cm$। त्रिज्या अनुप्रस्थ काट को समायोजित करने के लिए पर्याप्त बड़ी होनी चाहिए,उदाहरण के लिए $r = 2 \;cm$ (क्षेत्रफल $\approx 1.25 \times 10^{-3} \;m^2$)।
अतः,$50 \;cm$ लंबाई,$2 \;cm$ त्रिज्या,$400$ फेरों और $10 \;A$ धारा वाली परिनालिका एक उपयुक्त डिजाइन है।

(B) दिया गया है:
आंतरिक त्रिज्या $r_{1} = 25 \; cm = 0.25 \; m$
बाहरी त्रिज्या $r_{2} = 26 \; cm = 0.26 \; m$
फेरों की संख्या $N = 3500$
धारा $I = 11 \; A$
$(a)$ टोरोइड के बाहर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि टोरोइड के बाहर एम्पीरियन लूप द्वारा घिरा कुल करंट शून्य होता है।
$(b)$ टोरोइड के कोर के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} N I}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ औसत परिधि है।
औसत त्रिज्या $r = \frac{r_{1} + r_{2}}{2} = \frac{0.25 + 0.26}{2} = 0.255 \; m$
औसत लंबाई $l = 2 \pi r = 2 \pi (0.255) = 0.51 \pi \; m$
$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7} \; T \cdot m \cdot A^{-1}$ का उपयोग करते हुए:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3500 \times 11}{0.51 \pi} = \frac{4 \times 10^{-7} \times 38500}{0.51} \approx 3.02 \times 10^{-2} \; T$
$(c)$ टोरोइड द्वारा घिरे खाली स्थान में चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है,क्योंकि इस क्षेत्र में एम्पीरियन लूप द्वारा घिरा कुल करंट शून्य होता है।

(C) परिनालिका की लंबाई,$L = 0.6 \; m$.
परिनालिका की त्रिज्या,$r = 0.04 \; m$.
कुल फेरों की संख्या,$N = 3 \times 300 = 900$.
तार की लंबाई,$l = 0.02 \; m$.
तार का द्रव्यमान,$m = 2.5 \times 10^{-3} \; kg$.
तार में प्रवाहित धारा,$i = 6.0 \; A$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \; m \; s^{-2}$.
परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{L}$ है,जहाँ $I$ परिनालिका में प्रवाहित धारा है।
तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = B i l = \frac{\mu_0 N I i l}{L}$ है।
चुंबकीय बल द्वारा तार के भार को संतुलित करने के लिए,$F = mg$.
अतः,$\frac{\mu_0 N I i l}{L} = mg$.
$I$ के लिए हल करने पर: $I = \frac{mgL}{\mu_0 N i l}$.
मान रखने पर: $I = \frac{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8 \times 0.6}{4 \pi \times 10^{-7} \times 900 \times 6.0 \times 0.02}$.
$I = \frac{0.0147}{1.357 \times 10^{-4}} \approx 108 \; A$.

(N/A) $2l$ लंबाई और $a$ त्रिज्या वाली एक परिनालिका पर विचार करें,जिसमें प्रति इकाई लंबाई $n$ फेरे हैं। हम केंद्र $O$ से $r$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात करना चाहते हैं।
केंद्र $O$ से $x$ दूरी पर $dx$ मोटाई वाले एक पतले वृत्ताकार तत्व पर विचार करें। इस तत्व में फेरों की संख्या $n dx$ है। मान लीजिए कि परिनालिका में बहने वाली धारा $I$ है।
बिंदु $P$ पर इस वृत्ताकार तत्व के कारण चुंबकीय क्षेत्र $dB$,वृत्ताकार कुंडली के अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$dB = \frac{\mu_0 (n dx) I a^2}{2[(r-x)^2 + a^2]^{3/2}}$
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का $x = -l$ से $x = +l$ तक समाकलन करते हैं:
$B = \int_{-l}^{l} \frac{\mu_0 n I a^2}{2[(r-x)^2 + a^2]^{3/2}} dx$
परिनालिका से दूर स्थित बिंदु $P$ के लिए ($r \gg a$ और $r \gg l$),हम हर (denominator) का अनुमानित मान ले सकते हैं:
$[(r-x)^2 + a^2]^{3/2} \approx r^3$
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$B \approx \frac{\mu_0 n I a^2}{2r^3} \int_{-l}^{l} dx$
$B \approx \frac{\mu_0 n I a^2}{2r^3} [x]_{-l}^{l} = \frac{\mu_0 n I a^2}{2r^3} (2l)$
चूंकि कुल फेरों की संख्या $N = n(2l)$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_0 N I a^2}{2r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2(N I \pi a^2)}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{r^3}$,जहाँ $m = N I A$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण (magnetic dipole moment) है।

(N/A) एम्पियर का परिपथीय नियम चुंबकीय क्षेत्र और उसे उत्पन्न करने वाली विद्युत धारा के बीच संबंध को व्यक्त करने का एक वैकल्पिक और आकर्षक तरीका प्रदान करता है।
एक ऐसी खुली सतह पर विचार करें जिसकी एक सीमा (boundary) है। इस सतह से विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है।
हम मानते हैं कि यह सीमा कई छोटे रेखीय तत्वों से बनी है। ऐसे ही $d\vec{l}$ लंबाई वाले एक तत्व पर विचार करें।
हम इस तत्व पर चुंबकीय क्षेत्र के स्पर्शरेखीय घटक $B_{T}$ का मान लेते हैं और इसे उस तत्व की लंबाई $dl$ से गुणा करते हैं:
$B_{T} dl = \vec{B} \cdot d\vec{l}$
जैसे-जैसे तत्वों की संख्या बढ़ती है,यह योग एक रेखीय समाकल (line integral) में बदल जाता है।
एम्पियर का परिपथीय नियम कहता है: किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकल,लूप द्वारा घिरी सतह से गुजरने वाली कुल विद्युत धारा $I$ का $\mu_{0}$ गुना होता है।
गणितीय रूप से,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} \Sigma I$
जहाँ $\Sigma I$ लूप द्वारा घिरी धाराओं का बीजगणितीय योग है।
धारा के लिए चिह्न परिपाटी दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है: यदि दाएं हाथ की उंगलियों को लूप समाकलन की दिशा में मोड़ा जाए,तो अंगूठा धनात्मक धारा की दिशा को इंगित करता है।

(N/A) मान लीजिए कि $I$ धारा ले जाने वाला एक अनंत लंबाई का सीधा तार है। तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम तार पर केंद्रित $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार एम्पियरियन लूप चुनते हैं।
सीधे धारावाही तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं संकेंद्रित वृत्त होती हैं। इसलिए,लूप के किसी भी बिंदु पर,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ लूप के स्पर्शरेखीय होता है।
व्यवस्था की समरूपता से,लूप के सभी बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण समान रहता है। अतः,चुंबकीय क्षेत्र का रेखा समाकल है:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint B dl \cos 0^{\circ}$
$= B \oint dl$
$= B(2\pi r)$
एम्पियर के परिपथीय नियम के अनुसार:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I$
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$B(2\pi r) = \mu_{0} I$
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र का मान है:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2\pi r}$

(N/A) परिनालिका एक कुचालक तांबे के तार से बनी होती है जिसे हेलिक्स के रूप में कसकर लपेटा जाता है। एक लंबी परिनालिका का अर्थ है कि परिनालिका की लंबाई उसके व्यास की तुलना में बहुत बड़ी है।
यदि इसकी लंबाई त्रिज्या से कम है,तो इसे छोटी परिनालिका कहा जाता है।
यह हेलिक्स के रूप में लपेटे गए एक लंबे तार से बनी होती है जहाँ पड़ोसी फेरे (turns) एक-दूसरे के करीब होते हैं। इसलिए,प्रत्येक फेरे को एक वृत्ताकार लूप के रूप में माना जा सकता है।
वाइंडिंग के लिए इनेमल वाले तारों का उपयोग किया जाता है ताकि फेरे एक-दूसरे से इंसुलेटेड रहें।
कुल चुंबकीय क्षेत्र सभी फेरों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग होता है।
चित्र $(a)$ में इस परिनालिका के एक खंड को बड़े रूप में दिखाया गया है।
चित्र $(b)$ में पूरी परिमित परिनालिका और उसके चुंबकीय क्षेत्र को दिखाया गया है।
चित्र $(a)$ में,वृत्ताकार लूपों से यह स्पष्ट है कि दो पड़ोसी फेरों के बीच का क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देता है।
चित्र $(b)$ में,हम देखते हैं कि आंतरिक मध्य बिंदु $P$ पर क्षेत्र एकसमान,प्रबल और परिनालिका की अक्ष के अनुदिश होता है।
बाहरी मध्य बिंदु $Q$ पर क्षेत्र कमजोर होता है और परिनालिका की अक्ष के अनुदिश होता है,जिसमें कोई लंबवत घटक नहीं होता है।
जैसे-जैसे परिनालिका लंबी होती जाती है,यह एक लंबी बेलनाकार धातु की शीट की तरह दिखाई देती है।
परिनालिका के बाहर का क्षेत्र शून्य के करीब पहुंच जाता है। हम मान लेते हैं कि बाहर का क्षेत्र शून्य है।
अंदर का क्षेत्र हर जगह अक्ष के समानांतर हो जाता है।

(N/A) चित्र एक लंबी परिनालिका का अनुप्रस्थ काट दृश्य दिखाता है। परिनालिका के विभिन्न फेरों पर,धारा $\odot$ द्वारा चिह्नित बिंदुओं पर कागज के तल से बाहर आती है और $\otimes$ द्वारा चिह्नित बिंदुओं पर कागज के तल में प्रवेश करती है।
अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ निर्धारित करने के लिए,एम्पीरियन लूप के रूप में एक आयताकार बंद पथ $abcd$ पर विचार करें।
एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार:
$\oint \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \int_{a}^{b} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} + \int_{b}^{c} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} + \int_{c}^{d} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} + \int_{d}^{a} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} \quad \dots(1)$
$cd$ भाग परिनालिका के बाहर है। बाहर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,इसलिए $\int_{c}^{d} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = 0$। $bc$ और $da$ भागों के लिए,चुंबकीय क्षेत्र पथ के लंबवत है,इसलिए $\int_{b}^{c} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \int_{d}^{a} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = 0$।
अतः,समीकरण $(1)$ इस प्रकार सरल हो जाता है:
$\oint \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \int_{a}^{b} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \int_{a}^{b} B dl \cos 0^{\circ} = B \int_{a}^{b} dl = B h$
(जहाँ $h$ भाग $ab$ की लंबाई है)।
मान लीजिए कि प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n$ है। लंबाई $h$ में फेरों की कुल संख्या $nh$ है। यदि प्रत्येक फेरे में धारा $I$ है,तो लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा $I_{e} = I(nh) \quad \dots(2)$ है।
एम्पीयर के परिपथीय नियम को लागू करने पर,$\oint \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_{0} I_{e}$:
$Bh = \mu_{0} (nhI)$
$B = \mu_{0} nI$

(N/A) टोरॉइड एक ऐसा उपकरण है जिसमें एक खोखले छल्ले पर इंसुलेटेड तार के बहुत सारे फेरे लिपटे होते हैं।
एक सोलेनोइड जिसे एक बंद छल्ले के रूप में मोड़ा गया हो,उसे टोरॉइडल सोलेनोइड कहा जाता है।
मान लीजिए कि इसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है।
एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,हम टोरॉइड के अंदर $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार एम्पीरियन लूप मानते हैं। चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ प्रत्येक बिंदु पर लूप के स्पर्शरेखीय है।
एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$
टोरॉइड के अंदर $r$ त्रिज्या वाले लूप के लिए,कुल परिबद्ध धारा $N I$ है,जहाँ $N$ फेरों की कुल संख्या है।
$\oint B dl = B (2 \pi r) = \mu_0 N I$
अतः,टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण है:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$
यदि $n = \frac{N}{2 \pi r}$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है,तो $B = \mu_0 n I$।

(B) एम्पीयर का परिपथीय नियम एक बंद लूप के चारों ओर एकीकृत चुंबकीय क्षेत्र को लूप से गुजरने वाली विद्युत धारा से संबंधित करता है।
यह स्थिरवैद्युतिकी में गॉस के नियम का चुंबकीय अनुरूप है।
जिस प्रकार गॉस का नियम एक बंद सतह से गुजरने वाले विद्युत फ्लक्स को परिबद्ध आवेश से संबंधित करता है,उसी प्रकार एम्पीयर का परिपथीय नियम एक बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के रेखा समाकल को उस पथ द्वारा परिबद्ध धारा से संबंधित करता है।
इसलिए,यह स्थिरवैद्युतिकी में गॉस के नियम से संबंधित है।

(N/A) एम्पियर का परिपथीय नियम बताता है कि किसी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन,लूप द्वारा घिरे कुल विद्युत धारा $I$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$.
यहाँ,$\oint$ बंद पथ पर रेखीय समाकलन को दर्शाता है,$\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है,$d\vec{l}$ पथ का सूक्ष्म अवयव है,$\mu_0$ मुक्त आकाश की पारगम्यता (permeability) है,और $I_{enclosed}$ लूप से गुजरने वाली कुल विद्युत धारा है।

(N/A) एम्पीरियन लूप अंतरिक्ष में एक काल्पनिक बंद लूप या पथ है,जिसे धारा वितरण द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की गणना करने के लिए एम्पीयर के परिपथीय नियम (Ampere's circuital law) को लागू करने के लिए चुना जाता है।
यह स्थिर वैद्युतकी (electrostatics) में गॉसियन सतह (Gaussian surface) के समान है।
लूप को आमतौर पर इस तरह चुना जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ या तो पथ के अनुदिश स्थिर रहे या उसके लंबवत हो,जिससे रेखीय समाकलन $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ सरल हो जाता है।

(A) एम्पीयर का परिपथीय नियम,अपने मूल रूप में,एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के रेखीय समाकल को लूप द्वारा घिरे सतह से गुजरने वाली स्थिर धारा $I$ से संबंधित करता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$।
यह मूल रूप केवल उन स्थिर धाराओं (दिष्ट धारा) के लिए सख्ती से मान्य है जो समय के साथ नहीं बदलती हैं।
समय के साथ बदलने वाली धाराओं के लिए,यह नियम अधूरा है और इसे मैक्सवेल द्वारा प्रस्तावित विस्थापन धारा पद को जोड़कर संशोधित किया जाना चाहिए,जिससे यह एम्पीयर-मैक्सवेल नियम बन जाता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I_c + I_d)$,जहाँ $I_c$ चालन धारा है और $I_d$ विस्थापन धारा है।
इसलिए,प्रारंभिक भौतिकी में पढ़ाए जाने वाले मानक एम्पीयर के परिपथीय नियम के संदर्भ में,इसे स्थिर धाराओं के लिए सत्य माना जाता है।

(N/A) एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
$(a)$ $r > a$ के लिए: परिबद्ध धारा $I$ है। अतः,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
$(b)$ $r = a$ के लिए: चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$ है।
$(c)$ $r < a$ के लिए: धारा घनत्व $J = \frac{I}{\pi a^2}$ है। परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = J(\pi r^2) = I \frac{r^2}{a^2}$ है। एम्पीयर के नियम को लागू करने पर: $B(2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{a^2}$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ प्राप्त होता है।
$(d)$ अक्ष पर $(r = 0)$: $r < a$ के व्यंजक में $r = 0$ रखने पर,हमें $B = 0$ प्राप्त होता है।

(N/A) परिनालिका एक लंबा तार है जिसे पास-पास लपेटकर एक हेलिक्स (कुंडली) के रूप में बनाया जाता है। जब इसमें से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो यह एक छड़ चुंबक के समान चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
लंबी परिनालिका वह परिनालिका है जिसकी लंबाई $(L)$ उसकी त्रिज्या $(R)$ से बहुत अधिक होती है,अर्थात $L \gg R$।
एक लंबी परिनालिका में,अंदर का चुंबकीय क्षेत्र लगभग एकसमान होता है और यह परिनालिका की अक्ष की दिशा में होता है। परिनालिका के बाहर चुंबकीय क्षेत्र नगण्य होता है। एक आदर्श लंबी परिनालिका के लिए,अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,और $I$ परिनालिका से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा है।

(A) एक आदर्श परिनालिका के लिए,जो अनंत लंबाई की होती है और जिसमें तार पास-पास लिपटे होते हैं,परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं अक्ष के समानांतर होती हैं।
आदर्श परिनालिका के बाहर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं परिनालिका के बाहर एक बंद लूप नहीं बनाती हैं,और वाइंडिंग के ऊपरी और निचले हिस्सों का योगदान एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देता है।
इसलिए,एक आदर्श परिनालिका के बाहर चुंबकीय क्षेत्र $0$ होता है।

(N/A) एक बहुत लंबी परिनालिका (आदर्श परिनालिका) जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है और प्रति इकाई लंबाई में $n$ फेरे हैं,उसके अंदर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \mu_0 n I$
जहाँ:
$B$ टेस्ला $(T)$ में चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,
$\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता $(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A)$ है,
$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $(N/L)$ है,
$I$ परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा एम्पीयर $(A)$ में है।

(B) टोरोइड एक खोखली गोलाकार रिंग होती है जिस पर तार के बहुत सारे फेरे पास-पास लपेटे जाते हैं।
एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$N$ कुल फेरों वाले और $I$ धारा प्रवाहित करने वाले टोरोइड के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर (कोर के अंदर) चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$
चूंकि पथ $r$ त्रिज्या का एक वृत्त है,इसलिए $\oint dl = 2 \pi r$ होता है।
पथ द्वारा घेरी गई कुल धारा $N \times I$ है।
इसलिए,$B(2 \pi r) = \mu_0 N I$।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$ है।

(B) परिनालिका तार का एक लंबा कुंडल होता है जो एक हेलिक्स के रूप में लिपटा होता है। जब इससे विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो यह एक छड़ चुंबक के समान चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं समानांतर और एकसमान होती हैं,जबकि बाहर की ओर वे एक छड़ चुंबक की क्षेत्र रेखाओं के समान होती हैं,जिसमें एक सिरा उत्तरी ध्रुव के रूप में और दूसरा दक्षिणी ध्रुव के रूप में कार्य करता है। इसलिए,धारावाही परिनालिका एक छड़ चुंबक की तरह व्यवहार करती है।

(N/A) $2L$ लंबाई,$R$ त्रिज्या और प्रति इकाई लंबाई $n$ फेरों वाली $I$ धारा प्रवाहित करने वाली परिमित परिनालिका के लिए,इसके केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ निम्न प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2} [\cos \theta_1 + \cos \theta_2]$
जहाँ $\theta_1$ और $\theta_2$ परिनालिका के सिरों द्वारा अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ पर बनाए गए कोण हैं।
वैकल्पिक रूप से,केंद्र से दूरी $x$ के संदर्भ में:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2} \left[ \frac{L-x}{\sqrt{R^2 + (L-x)^2}} + \frac{L+x}{\sqrt{R^2 + (L+x)^2}} \right]$

(B) विद्युतचुंबक एक प्रकार का चुंबक है जिसमें चुंबकीय क्षेत्र विद्युत धारा द्वारा उत्पन्न होता है।
यह आमतौर पर नरम लोहे के कोर के चारों ओर लिपटे तार की एक कुंडली (सोलेनोइड) से बना होता है।
जब कुंडली से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो नरम लोहे का कोर चुंबकित हो जाता है,जिससे एक मजबूत चुंबकीय क्षेत्र बनता है।
जब धारा बंद कर दी जाती है,तो चुंबकीय क्षेत्र गायब हो जाता है,जिससे यह एक अस्थायी चुंबक बन जाता है।

(C) परिनालिका का चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
$1$. यदि हम प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $(n)$ बढ़ाते हैं, तो चुंबकीय क्षेत्र बढ़ जाता है।
$2$. यदि परिनालिका के अंदर नरम लोहे जैसा फेरोमैग्नेटिक पदार्थ (क्रोड) रखा जाता है, तो इसकी सापेक्ष पारगम्यता $(\mu_r)$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र कई गुना बढ़ जाता है $(B = \mu_0 \mu_r n I)$।
अतः, सही विकल्प $(C)$ है।

(A) बिंदु द्विध्रुव $\vec{M} = M\hat{k}$ का स्थिति $\vec{r}$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{3(\vec{M} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{M}}{r^3} \right]$ द्वारा दिया जाता है।
एम्पियर का नियम कहता है कि $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$।
बिंदु द्विध्रुव के लिए,मूल बिंदु को छोड़कर अन्य क्षेत्रों में चुंबकीय क्षेत्र संरक्षी होता है,जिसका अर्थ है कि $\vec{r} \neq 0$ के लिए $\nabla \times \vec{B} = 0$ होता है।
चूंकि पथ $C$ एक बंद लूप है जो किसी भी धारा स्रोत को नहीं घेरता है (द्विध्रुव मूल बिंदु पर एक बिंदु स्रोत है और पथ $x-z$ तल में है),इसलिए कुल परिबद्ध धारा $I_{enclosed} = 0$ है।
अतः,$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,जो एम्पियर के नियम को सत्यापित करता है क्योंकि $0 = \mu_0(0)$ होता है।

(N/A) $z$-अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$z$-अक्ष की दिशा में होता है। अतः,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = B_z dz$। चूंकि $z$-अक्ष पर $B_z$ हमेशा धनात्मक (या धारा की दिशा के अनुसार ऋणात्मक) होता है,समाकल $\int_{-L}^{L} B_z dz$ $B_z$ बनाम $z$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल को दर्शाता है। जैसे-जैसे $L$ बढ़ता है,समाकल अधिक क्षेत्रफल संचित करता है,इसलिए $\Im(L)$ एकदिष्ट रूप से बढ़ता है।
$(b)$ $z$-अक्ष पर $-L$ से $L$ तक के खंड और $x-y$ तल में $r \to \infty$ त्रिज्या के एक बड़े अर्धवृत्ताकार चाप से बने एम्पीरियन लूप पर विचार करें। एम्पीयर के नियम के अनुसार,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$। जैसे $r \to \infty$ होता है,चाप से योगदान शून्य हो जाता है क्योंकि $B \propto 1/r^3$। अतः,$\int_{-L}^{L} B_z dz + 0 = \mu_0 I$,जिससे $\Im(\infty) = \mu_0 I$ प्राप्त होता है।
$(c)$ वृत्ताकार लूप की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}}$ है। $-\infty$ से $\infty$ तक समाकलन करने पर: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mu_0 I R^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}} dz$। मान लीजिए $z = R \tan \theta$,तो $dz = R \sec^2 \theta d\theta$। समाकल $\frac{\mu_0 I}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{2} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \mu_0 I$ हो जाता है।
$(d)$ वर्गाकार कुंडली के लिए,समरूपता अलग है,लेकिन अक्ष के अनुदिश रेखा समाकल अभी भी एम्पीयर के नियम की समान टोपोलॉजिकल बाधाओं का पालन करता है। अतः,समान परिबद्ध धारा के कारण $\Im(\infty)$ का मान $\mu_0 I$ ही रहता है,जबकि $\Im(L)$ अभी भी एकदिष्ट रूप से बढ़ता रहेगा।

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \mu_{0} n I$,जहाँ $n = \frac{N}{\ell}$ है।
दिया गया है:
लंबाई $\ell = 50\, cm = 0.5\, m$
फेरों की संख्या $N = 100$
धारा $I = 2.5\, A$
पारगम्यता $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\, T\, m\, A^{-1}$
मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times \left(\frac{100}{0.5}\right) \times 2.5$
$B = (4 \times 3.14159 \times 10^{-7}) \times 200 \times 2.5$
$B = 12.566 \times 10^{-7} \times 500$
$B = 6283.18 \times 10^{-7} = 6.283 \times 10^{-4}\, T$
इसे $...... \times 10^{-5}\, T$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$B = 62.83 \times 10^{-5}\, T$
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $62.8$ है।

(B) टोरॉइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \mu_0 \mu_r n I$
जहाँ $n = \frac{N}{2 \pi r}$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिए गए मानों को रखने पर: $N = 250$,$r = 0.5 \, cm = 0.5 \times 10^{-2} \, m$,$I = 1.5 \, A$,$\mu_r = 700$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 700 \times \left[ \frac{250}{2 \pi \times 0.5 \times 10^{-2}} \right] \times 1.5$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times 700 \times \left[ \frac{250}{0.5 \times 10^{-2}} \right] \times 1.5$
$B = (14 \times 10^{-5}) \times (50000) \times 1.5$
$B = 14 \times 5 \times 1.5 \times 10^{-1} = 10.5 \, T$.

(A) एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
स्थिति $(i)$: $x < a$ के लिए,$x$ त्रिज्या के एम्पीरियन लूप द्वारा परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = i_o \left( \frac{\pi x^2}{\pi a^2} \right) = i_o \frac{x^2}{a^2}$ है।
एम्पीयर के नियम को लागू करने पर: $B_1 (2 \pi x) = \mu_0 i_o \frac{x^2}{a^2} \implies B_1 = \frac{\mu_0 i_o x}{2 \pi a^2}$.
स्थिति $(ii)$: $a < x < b$ के लिए,$x$ त्रिज्या के एम्पीरियन लूप द्वारा परिबद्ध धारा आंतरिक तार की कुल धारा है,$I_{\text{enclosed}} = i_o$.
एम्पीयर के नियम को लागू करने पर: $B_2 (2 \pi x) = \mu_0 i_o \implies B_2 = \frac{\mu_0 i_o}{2 \pi x}$.
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 i_o x}{2 \pi a^2}}{\frac{\mu_0 i_o}{2 \pi x}} = \frac{x}{a^2} \cdot x = \frac{x^2}{a^2}$ है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले और $I$ समान धारा का वहन करने वाले मोटे बेलनाकार केबल के लिए:
$1$. केबल के अंदर $(r < R)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करने पर,चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि $B \propto r$,जो एक रैखिक संबंध है।
$2$. केबल के बाहर $(r > R)$: चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि $B \propto 1/r$,जो एक हाइपरबोलिक संबंध है।
$3$. सतह पर $(r = R)$: चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है,$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$।
अतः,ग्राफ केंद्र से सतह तक रैखिक रूप से बढ़ता है और फिर सतह के बाहर दूरी बढ़ने पर हाइपरबोलिक रूप से घटता है।

(A) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n i$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ धारा है।
दिया गया है:
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = 100 \text{ फेरे/mm} = 100 \times 10^3 \text{ फेरे/m} = 10^5 \text{ फेरे/m}$.
धारा $i = 1\,A$.
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T}\,\text{m/A}$.
मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (10^5) \times (1)$
$B = 4\pi \times 10^{-2} \text{ T}$
$B \approx 4 \times 3.14 \times 10^{-2} \text{ T} = 12.56 \times 10^{-2} \text{ T}$.

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या वाले और $I$ स्थिर धारा का वहन करने वाले एक लंबे सीधे तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < R)$: चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ होता है। अतः,$B \propto r$,जिसका अर्थ है कि चुंबकीय क्षेत्र केंद्र से दूरी $r$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$2$. तार के बाहर $(r > R)$: चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है। अतः,$B \propto 1/r$,जिसका अर्थ है कि चुंबकीय क्षेत्र केंद्र से दूरी $r$ के साथ $1/r$ के अनुसार घटता है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र सीमा $(r = R)$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है और उसके बाद बाहरी क्षेत्र के लिए $1/r$ के अनुसार घटता है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,एक बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकल उस पथ द्वारा परिबद्ध धारा के $\mu_{0}$ गुना के बराबर होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{\text{enclosed}}$.
केंद्र से $r < R$ दूरी पर स्थित एक बिंदु के लिए,हम $r$ त्रिज्या का एक एम्पीरियन लूप मानते हैं।
धारा घनत्व $J$ समान है,इसलिए $J = \frac{I}{\pi R^{2}}$.
$r$ त्रिज्या वाले लूप द्वारा परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = J \cdot (\pi r^{2}) = \frac{I}{\pi R^{2}} \cdot \pi r^{2} = I \frac{r^{2}}{R^{2}}$ है।
एम्पीयर के नियम को लागू करने पर: $B(2\pi r) = \mu_{0} \left( I \frac{r^{2}}{R^{2}} \right)$.
$B$ के लिए हल करने पर,हमें $B = \frac{\mu_{0} I r}{2\pi R^{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu_{0}$,$I$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $B \propto r$ होता है।