Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Hindi

(D) दिया गया है:
लंबे तार में धारा,$I = 18 \,A$.
परिनालिका के कारण चुंबकीय क्षेत्र,$B_1 = 8.0 \times 10^{-3} \,T$ (अक्ष की दिशा में)।
अक्ष से बिंदु $P$ की दूरी,$r = 0.6 \,mm = 0.6 \times 10^{-3} \,m$.
लंबे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 18}{0.6 \times 10^{-3}} = \frac{36 \times 10^{-7}}{0.6 \times 10^{-3}} = 60 \times 10^{-4} \,T = 6 \times 10^{-3} \,T$.
परिनालिका के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ अक्ष की दिशा में है और तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ तार के चारों ओर $r$ त्रिज्या के वृत्त के स्पर्शरेखीय है। अतः,$B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$:
$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(8 \times 10^{-3})^2 + (6 \times 10^{-3})^2} \,T$
$B = \sqrt{64 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}} \,T = \sqrt{100 \times 10^{-6}} \,T = 10 \times 10^{-3} \,T$.

(C) टोरोइड की औसत त्रिज्या $r_m$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$r_m = \frac{0.24 + 0.26}{2} = 0.25 \ m$
टोरोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \mu_0 n I = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r_m}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$N = 2500$,$I = 10 \ A$,$r_m = 0.25 \ m$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2500 \times 10}{2 \pi \times 0.25}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25000}{0.25} = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.25} = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \ T$

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक पतले खोखले बेलन के लिए जो अपनी लंबाई के अनुदिश एक समान धारा $i$ का वहन करता है:
$1$. बेलन के अंदर $(d < R)$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ शून्य है क्योंकि परिबद्ध धारा शून्य है।
$2$. बेलन के बाहर $(d \geq R)$,एम्पीयर के नियम के अनुसार चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} i}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $B \propto \frac{1}{d}$ है।
अतः,$B$ बनाम $d$ का ग्राफ $d < R$ के लिए $B = 0$ और $d \geq R$ के लिए एक अतिपरवलयिक (hyperbolic) क्षय दिखाएगा। यह चित्र $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) $R$ त्रिज्या के एक लंबे बेलनाकार चालक के लिए जिसमें धारा $I$ समान रूप से वितरित है,अक्ष से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ एम्पीयर के परिपथीय नियम द्वारा दिया जाता है:
$1$. चालक के अंदर $(r < R)$: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$। अक्ष पर $(r = 0)$,$B = 0$ होता है,जो न्यूनतम मान है।
$2$. सतह पर $(r = R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$,जो अधिकतम मान है।
$3$. चालक के बाहर $(r > R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$,जो $r$ बढ़ने के साथ घटता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र चालक की अक्ष पर न्यूनतम होता है (कथन $D$)। कथन $A, B, C, E$ गलत हैं। इसलिए,केवल कथन $D$ सही है।

(A) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ उसकी अक्ष की दिशा में होता है।
चूंकि कण को विरामावस्था से छोड़ा जाता है और वह परिनालिका की अक्ष के अनुदिश गति करता है,इसलिए उसका वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_{B} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होगा,अतः $\vec{F}_{B} = 0$ है।
कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F}_{g} = m\vec{g}$ है जो नीचे की ओर कार्य करता है।
इसलिए,कुल बल $\vec{F}_{net} = m\vec{g}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m\vec{a} = m\vec{g}$,जिससे $\vec{a} = \vec{g}$ प्राप्त होता है।
अतः,कण का त्वरण $a = g$ होगा।

(B) कोर वाली परिनालिका में चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_r \mu_0 H$ है,जहाँ $H$ चुंबकीय तीव्रता है।
दिए गए मान हैं: $B = 1.0 \text{ T}$,$\mu_r = 400$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$H$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $H = \frac{B}{\mu_r \mu_0}$.
मान रखने पर: $H = \frac{1.0}{400 \times 4\pi \times 10^{-7}} = \frac{1}{1600\pi \times 10^{-7}} = \frac{1}{16\pi \times 10^{-5}}$.
इसे सरल करने पर $H = \frac{10^5}{16\pi} = \frac{1}{16\pi} \times 10^5 \text{ A/m}$ प्राप्त होता है।
दिए गए व्यंजक $\alpha \times 10^5$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = \frac{1}{16\pi}$ प्राप्त होता है।