Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Hindi

(B) परिनालिका के अंदर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = nI$ होता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका में बहने वाली धारा है।
दिया गया है:
प्रति मीटर फेरों की संख्या,$n = 1000 \ m^{-1}$.
धारा,$I = 2 \ A$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$H = 1000 \times 2 = 2000 \ \frac{A}{m}$.
इसे वैज्ञानिक संकेतन में $2 \times 10^3 \ \frac{A}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) परिनालिका के भीतर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = nI$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा है।
दिया गया है:
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = 1000 \text{ m}^{-1}$
धारा $I = 2 \text{ A}$
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 400$ (नोट: चुंबकीय तीव्रता $H$ की गणना के लिए इस मान की आवश्यकता नहीं है,क्योंकि $H$ केवल ज्यामिति और धारा पर निर्भर करता है)।
सूत्र में मान रखने पर:
$H = 1000 \times 2$
$H = 2000 \text{ A m}^{-1}$
$H = 2 \times 10^3 \text{ A m}^{-1}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \mu_0 n I$, जहाँ $n = N/l$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है:
लंबाई $l = 0.5 \ m$
फेरों की संख्या $N = 250$
धारा $I = 5 \ A$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 N I}{l}$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 250 \times 5}{0.5}$
$B = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 1250}{0.5}$
$B = 8 \pi \times 10^{-7} \times 1250$
$B = 10000 \pi \times 10^{-7} \ T$
$B = \pi \times 10^{-3} \ T \approx 3.14 \times 10^{-3} \ T$.

(C) चुंबकीय कोर वाली परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है:
$B = \mu_0 \mu_r n I$
जहाँ:
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu_r = 400$
$n = 1000 \text{ फेरे/मीटर}$
$I = 1 \text{ A}$
मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 400 \times 1000 \times 1$
$B = 4\pi \times 4 \times 10^5 \times 10^{-7}$
$B = 16\pi \times 10^{-2} \text{ T}$

(A) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है, जहाँ $n = N/l$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
दिया गया है:
लंबाई $l = 0.25 \ m$
फेरों की संख्या $N = 500$
धारा $I = 2.5 \ A$
पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
गणना:
$n = \frac{500}{0.25} = 2000 \ \text{फेरे}/m$
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times 2.5$
$B = 4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 5000$
$B = 12.56 \times 10^{-4} \ T = 6.28 \times 10^{-3} \ T$.

(A) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \mu_0 n I$,जहाँ $n = \frac{N}{l}$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है:
लंबाई $l = 0.5 \ m$
फेरों की संख्या $N = 1000$
धारा $I = 10 \ A$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$n = \frac{1000}{0.5} = 2000 \ turns/m$
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times 10$
$B = 8\pi \times 10^{-3} \ T$
$B \approx 25.12 \times 10^{-3} \ T = 2.51 \times 10^{-2} \ T$.

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = 50 \text{ फेरे/cm} = 50 \times 10^2 \text{ फेरे/m} = 5000 \text{ फेरे/m}$.
धारा $I = 2.5 \ A$.
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
मान रखने पर:
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times (5000) \times (2.5)$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 12500$
$B = 4 \pi \times 1.25 \times 10^{-3}$
$B = 5 \pi \times 10^{-3} \ T$.

(D) $r$ त्रिज्या वाले और $I$ समान धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के लिए,तार के अंदर $(a < r)$ अक्ष से $a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ एम्पीयर के नियम द्वारा दिया जाता है।
एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$।
तार के अंदर एक बिंदु के लिए,परिबद्ध धारा $I_{enclosed} = I \times (\frac{\pi a^2}{\pi r^2}) = I \frac{a^2}{r^2}$ होती है।
अतः,$B(2 \pi a) = \mu_0 I \frac{a^2}{r^2}$।
$B$ के लिए हल करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 I a}{2 \pi r^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu_0$,$I$ और $r$ स्थिरांक हैं,इसलिए $B \propto a$ होता है।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर उसके केंद्र के पास चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है:
परिनालिका की लंबाई $L = 120 \ cm = 1.2 \ m$.
परतों की संख्या $= 4$.
प्रति परत फेरे $= 400$.
कुल फेरों की संख्या $N = 4 \times 400 = 1600$.
धारा $I = 8.0 \ A$.
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = \frac{N}{L} = \frac{1600}{1.2} = \frac{4000}{3} \ m^{-1}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A) \times (\frac{4000}{3} \ m^{-1}) \times (8.0 \ A)$.
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times \frac{32000}{3} \ T$.
$B = \frac{128000}{3} \pi \times 10^{-7} \ T$.
$B \approx 42666.67 \pi \times 10^{-7} \ T$.
$B \approx 4.266 \pi \times 10^{-3} \ T$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $B \approx 4.27 \pi \times 10^{-3} \ T$ प्राप्त होता है।

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकल उस पथ द्वारा घिरे कुल धारा $I_{\text{enclosed}}$ के $\mu_{0}$ गुना के बराबर होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{\text{enclosed}}$.
पाइप के अंदर किसी बिंदु के लिए जहाँ त्रिज्यीय दूरी $r < R$ है (जहाँ $R$ पाइप की त्रिज्या है),पाइप के अंदर खींचा गया कोई भी बंद वृत्ताकार पथ शून्य कुल धारा को घेरता है क्योंकि धारा केवल पाइप की दीवारों से होकर बहती है।
अतः,$I_{\text{enclosed}} = 0$.
एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $B(2 \pi r) = \mu_{0}(0) \implies B = 0$.
इसलिए,पाइप के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
बाहरी बिंदु के लिए जहाँ $r > R$ है,पथ कुल धारा $I$ को घेरता है,इसलिए $B(2 \pi r) = \mu_{0} I \implies B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$.
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(B) दिया गया है: परिनालिका की लंबाई $\ell = 1 \ m$,व्यास $d = 4 \ cm$,त्रिज्या $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$।
कुल फेरों की संख्या $N = 5 \times 1000 = 5000$।
धारा $I = 7 \ A$।
एक परिमित परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2\ell} (\cos \theta_1 + \cos \theta_2)$ होता है।
चूंकि परिनालिका अपनी त्रिज्या की तुलना में लंबी है,हम आदर्श परिनालिका के सूत्र $B = \mu_0 n I$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $n = N/\ell$ है।
$B = \frac{\mu_0 N I}{\ell} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5000 \times 7}{1}$।
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 35000 = 14\pi \times 10^{-3} \ T$।
$B \approx 14 \times 3.14159 \times 10^{-3} \ T = 43.98 \times 10^{-3} \ T = 4.398 \times 10^{-2} \ T$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $4.396 \times 10^{-2} \ T$ है।

(D) दिया गया है,परिनालिका की लंबाई,$l = 50 \,cm = 0.5 \,m$ है।
फेरों की संख्या,$N = 100$ है।
धारा,$I = 2.5 \,A$ है।
परिनालिका में प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = \frac{N}{l} = \frac{100}{0.5} = 200 \,turns/m$ है।
परिनालिका के एक सिरे पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2}$ होता है।
मान रखने पर,$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 2.5}{2}$ प्राप्त होता है।
$B = 2\pi \times 10^{-7} \times 500 = 1000\pi \times 10^{-7} = \pi \times 10^{-4} \,T$ है।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$B = 3.14 \times 10^{-4} \,T$ प्राप्त होता है।

(C) टोरॉइड के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$ का निर्धारण एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करके किया जाता है:
$(i)$ $r < R_{1}$ के लिए (टोरॉइड के अंदर के खाली स्थान में),घिरा हुआ कुल करंट शून्य है,इसलिए $B = 0$ है।
(ii) $R_{1} < r < R_{2}$ के लिए (टोरॉइड के कोर के अंदर),चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
(iii) $r > R_{2}$ के लिए (टोरॉइड के बाहर),एम्पीरियन लूप द्वारा घिरा हुआ कुल करंट शून्य है,इसलिए $B = 0$ है।
चूंकि प्रश्न में टोरॉइड के कोर के भीतर त्रिज्यीय दूरी $r$ के साथ चुंबकीय क्षेत्र का परिवर्तन पूछा गया है,और दिए गए विकल्प अनुप्रस्थ काट पर व्यवहार को दर्शाते हैं,इसलिए टोरॉइड के अंदर क्षेत्र के लिए सही निरूपण $1/r$ के समानुपाती एक वक्र है,जिसे ग्राफ $C$ में दिखाया गया है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले और $I$ धारा प्रवाहित करने वाले एक लंबे बेलनाकार तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < R)$,चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $\mu_0, I, R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $B_{\text{in}} \propto r$ है। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. तार के बाहर $(r > R)$,चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $\mu_0, I$ स्थिरांक हैं,इसलिए $B_{\text{out}} \propto \frac{1}{r}$ है। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
$3$. सतह पर $(r = R)$,चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है,$B_{\text{max}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$।
अतः,ग्राफ $r < R$ के लिए रैखिक वृद्धि और $r > R$ के लिए अतिपरवलयिक गिरावट को दर्शाता है,जो ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(B) टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
दिया गया है: $n = 500 \text{ m}^{-1}$, $I = 2 \text{ A}$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
सूत्र में $B = \mu_0 n I$ रखने पर, $u_B = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} = \frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $u_B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (500)^2 \times (2)^2}{2}$.
$u_B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 250000 \times 4}{2} = 2\pi \times 10^{-7} \times 10^6 = 2\pi \times 10^{-1} = 0.2 \times 3.14 = 0.628 \text{ J/m}^3$.

(A) दिया गया है: प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $ n = 40 \text{ फेरे/सेमी} = 4000 \text{ फेरे/मीटर} = 4 \times 10^3 \text{ m}^{-1} $.
धारा $ I = 1 \text{ A} $.
प्रति इकाई आयतन में संचित चुंबकीय ऊर्जा $ u_m $ का सूत्र $ u_m = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2 $ है।
मान रखने पर:
$ u_m = \frac{1}{2} \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (4 \times 10^3)^2 \times (1)^2 $.
$ u_m = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 16 \times 10^6 \times 1 $.
$ u_m = 2\pi \times 16 \times 10^{-1} $.
$ u_m = 32\pi \times 0.1 = 3.2\pi \text{ J m}^{-3} $.

(A) दिया गया है: परिनालिका की लंबाई $l = 0.4 \,m$, फेरों की संख्या $N = 400$, धारा $I = 5 \,A$ है।
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = \frac{N}{l} = \frac{400}{0.4} = 1000 \,m^{-1}$ है।
परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है।
मान रखने पर: $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times 5$ है।
$B = 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 5000$ है।
$B = 20 \times 3.14159 \times 10^{-4} = 62.83 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-3} \,T$।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2.2 \times 10^{-30} \,kg$,आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,वेग $v = 10 \,km/s = 10^4 \,m/s$,त्रिज्या $r = 2.8 \,cm = 2.8 \times 10^{-2} \,m$,प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = 25 \,turns/cm = 2500 \,turns/m$.
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{Bq}$ होती है।
सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ होता है।
त्रिज्या के सूत्र में $B$ का मान रखने पर: $r = \frac{mv}{(\mu_0 n I)q}$.
धारा $I$ के लिए सूत्र: $I = \frac{mv}{\mu_0 n q r}$.
मान रखने पर: $I = \frac{2.2 \times 10^{-30} \times 10^4}{4\pi \times 10^{-7} \times 2500 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.8 \times 10^{-2}}$.
गणना करने पर $I \approx 1.56 \times 10^{-3} \,A = 1.56 \,mA$ प्राप्त होता है।

(B) एम्पीयर के नियम से,$I$ धारा ले जाने वाले तार की सतह पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा $I = 12 \ A$ है।
तार का व्यास $d = 1.2 \ mm = 1.2 \times 10^{-3} \ m$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.6 \times 10^{-3} \ m$ है।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ है।
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 12}{2 \pi \times 0.6 \times 10^{-3}}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{0.6 \times 10^{-3}}$
$B = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.6 \times 10^{-3}} = 40 \times 10^{-4} \ T = 4 \times 10^{-3} \ T = 4 \ mT$.
अतः,अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र $4 \ mT$ है।

(B) एम्पीयर का परिपथीय नियम बताता है कि किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का रेखीय समाकलन,लूप द्वारा घिरे सतह से गुजरने वाली कुल धारा $I$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\oint B \cdot dl = \mu_0 I$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में संचित चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $(u_B)$ का सूत्र है: $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$।
हम जानते हैं कि निर्वात में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ होती है,जिसका अर्थ है $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$।
इससे,हम निर्वात की पारगम्यता (permeability) को $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\mu_0$ के इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$u_B = \frac{B^2}{2(1 / \varepsilon_0 c^2)}$
$u_B = \frac{\varepsilon_0 c^2 B^2}{2}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 1 \ m$
धारा $I = 5 \ A$
परतों की संख्या $= 5$
प्रति परत फेरे $= 700$
कुल फेरों की संख्या $N = 5 \times 700 = 3500$
चूंकि लंबाई $1 \ m$ है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = N / L = 3500 / 1 = 3500 \ m^{-1}$ है।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ है।
मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 3500 \times 5$
$B = 20\pi \times 3500 \times 10^{-7}$
$B = 70000\pi \times 10^{-7}$
$B = 7\pi \times 10^{-3} \ T$
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$B \approx 7 \times 3.14 \times 10^{-3} \ T = 21.98 \times 10^{-3} \ T \approx 22 \ mT$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

$(A)$ एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है और $i$ धारा है।
पहली परिनालिका के लिए: $B_1 = \mu_0 n_1 i_1 = 6.24 \times 10^{-2} \,T$,जहाँ $n_1 = 400$ और $i_1 = i$ है।
अतः,$\mu_0 (400) i = 6.24 \times 10^{-2} \,T$ है।
दूसरी परिनालिका के लिए: $n_2 = 200$ और $i_2 = \frac{i}{2}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \mu_0 n_2 i_2 = \mu_0 (200) \left( \frac{i}{2} \right) = \mu_0 (100) i$ है।
$B_2$ की $B_1$ से तुलना करने पर: $B_2 = \frac{\mu_0 (100) i}{\mu_0 (400) i} \times B_1 = \frac{1}{4} \times 6.24 \times 10^{-2} \,T$ है।
$B_2 = 1.56 \times 10^{-2} \,T$।

(D) टोरॉइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \mu_0 \left( \frac{N}{2 \pi R} \right) I$
जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$R$ औसत त्रिज्या है,और $I$ विद्युत धारा है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $B \propto \frac{N}{R}$ है।
दिया गया है:
$N_1 = 400, R_1 = 30 \ cm$
$N_2 = 200, R_2 = 60 \ cm$
चूंकि दोनों के लिए धारा $I$ समान है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात होगा:
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{N_1}{N_2} \right) \times \left( \frac{R_2}{R_1} \right)$
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{400}{200} \right) \times \left( \frac{60}{30} \right)$
$\frac{B_1}{B_2} = 2 \times 2 = 4$
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) परिनालिका का चुम्बकन क्षेत्र (या चुम्बकीय तीव्रता) $H$ सूत्र $H = nI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ वाइंडिंग में बहने वाली धारा है।
दिया गया है:
$n = 500 \,m^{-1}$
$I = 4 \,A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$H = 500 \times 4 = 2000 \,Am^{-1}$
$H = 2 \times 10^3 \,Am^{-1}$
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,कोई भी विकल्प $2000 \,Am^{-1}$ से मेल नहीं खाता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) टोरॉइड की माध्य त्रिज्या $r$,आंतरिक और बाहरी त्रिज्या के औसत द्वारा दी जाती है:
$r = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{24 \ cm + 25 \ cm}{2} = 24.5 \ cm = 24.5 \times 10^{-2} \ m$
दिए गए फेरों की संख्या $N = 4900$ और धारा $I = 12 \ A$ है।
टोरॉइड के कोर के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4900 \times 12}{2 \pi \times 24.5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4900 \times 12}{24.5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{2 \times 4900 \times 12}{24.5} \times 10^{-5}$
$B = \frac{117600}{24.5} \times 10^{-5} = 4800 \times 10^{-5} \ T = 48 \ mT$.

(A) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 1 \,m$
परतों की संख्या $= 5$
प्रति परत फेरे $= 500$
कुल फेरों की संख्या $N = 5 \times 500 = 2500$
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = N / L = 2500 / 1 = 2500 \,m^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 4.4 \,mT = 4.4 \times 10^{-3} \,T$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$4.4 \times 10^{-3} = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2500 \times I$
$4.4 \times 10^{-3} = (4 \times 3.14159 \times 10^{-7}) \times 2500 \times I$
$4.4 \times 10^{-3} = 3.14159 \times 10^{-3} \times I$
$I = 4.4 / 3.14159 \approx 1.4 \,A$
अतः, प्रवाहित धारा $1.4 \,A$ है।

(A) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ है।
खोखले बेलन के अंदर किसी बिंदु $(r < R)$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = 0$ है। इसलिए,$B(2\pi r) = 0$,जिसका अर्थ है कि $r < R$ के लिए $B = 0$ है।
खोखले बेलन के बाहर किसी बिंदु $(r \geq R)$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = i$ है। इसलिए,$B(2\pi r) = \mu_0 i$,जिसका अर्थ है कि $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ है।
यह दर्शाता है कि बेलन के अंदर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है और बेलन के बाहर यह $1/r$ के अनुसार घटता है। आरेख $(i)$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) दिया गया है: आंतरिक त्रिज्या $r_1 = 20 \,cm = 0.2 \,m$, बाहरी त्रिज्या $r_2 = 25 \,cm = 0.25 \,m$, फेरों की संख्या $N = 800$, धारा $I = 12 \,A$ है।
टोरोइड के भीतर केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $B \propto \frac{1}{r}$, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र न्यूनतम त्रिज्या $(r_1)$ पर अधिकतम और अधिकतम त्रिज्या $(r_2)$ पर न्यूनतम होता है।
अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र: $B_{\max} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 800 \times 12}{2 \pi \times 0.2} = 9.6 \times 10^{-3} \,T = 9.6 \,mT$.
न्यूनतम चुंबकीय क्षेत्र: $B_{\min} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 800 \times 12}{2 \pi \times 0.25} = 7.68 \times 10^{-3} \,T = 7.68 \,mT$.

(A) एक आदर्श परिनालिका वह कुंडली है जिसकी लंबाई $L$ उसकी त्रिज्या $R$ से बहुत अधिक होती है $(L \gg R)$ और जिसके फेरे पास-पास लिपटे होते हैं। इस विन्यास में,परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र लगभग एकसमान और अक्ष के समानांतर होता है। इसलिए,यह कथन कि 'फेरे एक-दूसरे से दूर होते हैं' गलत है।

(D) अक्ष से $r = 3R/2$ की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हैं: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
चूंकि धारा $i$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A = \pi(2R)^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$ पर समान रूप से वितरित है,इसलिए धारा घनत्व $J = \frac{i}{3\pi R^2}$ है।
$r = 3R/2$ त्रिज्या वाले एम्पीयरियन लूप द्वारा परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = J \times \text{Area}_{\text{enclosed}} = J \times \pi(r^2 - R^2) = \frac{i}{3\pi R^2} \times \pi \left( \left(\frac{3R}{2}\right)^2 - R^2 \right) = \frac{i}{3R^2} \times \left( \frac{9R^2}{4} - R^2 \right) = \frac{i}{3R^2} \times \frac{5R^2}{4} = \frac{5i}{12}$ है।
एम्पीयर के नियम को लागू करने पर: $B(2\pi r) = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
$B \times 2\pi \left(\frac{3R}{2}\right) = \mu_0 \left(\frac{5i}{12}\right)$.
$B(3\pi R) = \frac{5\mu_0 i}{12}$.
$B = \frac{5\mu_0 i}{36\pi R}$.

(B) परिनालिका का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $M = N I A$, जहाँ $N$ फेरों की संख्या है, $I$ धारा है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
$N = 1200$
$A = 5 \,cm^2 = 5 \times 10^{-4} \,m^2$
$M = 1.2 \,J \,T^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$1.2 = 1200 \times I \times (5 \times 10^{-4})$
$1.2 = 1200 \times 5 \times 10^{-4} \times I$
$1.2 = 6000 \times 10^{-4} \times I$
$1.2 = 0.6 \times I$
$I = \frac{1.2}{0.6} = 2 \,A$
अतः, परिनालिका से प्रवाहित धारा $2 \,A$ है।

(C) एक टोरॉइड अनिवार्य रूप से एक परिनालिका है जिसे गोलाकार रूप में मोड़ा गया है। टोरॉइड द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं पूरी तरह से इसके कोर के भीतर सीमित रहती हैं,जो संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र टोरॉइड के भीतर सीमित है,इसलिए टोरॉइड के बाहर शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
यदि चुंबकीय आघूर्ण $m$ शून्य नहीं होता,तो टोरॉइड बड़ी दूरियों पर एक चुंबकीय द्विध्रुव की तरह कार्य करता,जिससे $\frac{1}{r^3}$ के रूप में घटने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता।
चूंकि एक आदर्श टोरॉइड के बाहर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,इसलिए इसका चुंबकीय आघूर्ण $m$ शून्य होना चाहिए।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \times 10^{-27} \ kg$,आवेश $q = 1 \times 10^{-16} \ C$,गति $v = 1000 \ m/s$,कोण $\theta = 60^{\circ}$,फेरों की संख्या $N = 5000$,धारा $I = 5 \ A$.
वेग के घटक हैं:
$v_{\parallel} = v \cos 60^{\circ} = 1000 \times 0.5 = 500 \ m/s$ (अक्ष के अनुदिश)
$v_{\perp} = v \sin 60^{\circ} = 1000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3} \ m/s$ (अक्ष के लंबवत)
सोलेनोइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I = \mu_0 (N/L) I$ है।
सोलेनोइड की लंबाई $L$ को तय करने में लगा समय $t = \frac{L}{v_{\parallel}} = \frac{L}{500}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में एक चक्कर का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ है।
चक्करों की संख्या $n'$ इस प्रकार है: $n' = \frac{t}{T} = \frac{L/v_{\parallel}}{2\pi m / qB} = \frac{L \cdot q \cdot B}{v_{\parallel} \cdot 2\pi m}$.
$B = \frac{\mu_0 N I}{L}$ रखने पर:
$n' = \frac{L \cdot q \cdot (\mu_0 N I / L)}{v_{\parallel} \cdot 2\pi m} = \frac{q \mu_0 N I}{v_{\parallel} \cdot 2\pi m}$.
मान रखने पर:
$n' = \frac{10^{-16} \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 5000 \times 5}{500 \times 2\pi \times 10^{-27}}$
$n' = \frac{10^{-16} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 25000}{1000\pi \times 10^{-27}}$
$n' = 10^6$.
अतः,चक्करों की कुल संख्या $1 \times 10^6$ है।

(A) टोरॉइड की वाइंडिंग में धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ H m}^{-1}$,$n = 1500 \text{ turns/m}$,और $I = 10 \text{ A}$।
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 1500 \times 10 = 6 \pi \times 10^{-3} \text{ T} = 6 \pi \text{ mT}$।
कुल आंतरिक चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = 10 \pi \text{ mT}$ दिया गया है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र धारा के कारण क्षेत्र और चुम्बकन के कारण क्षेत्र $(B_m)$ का योग होता है:
$B_0 = B + B_m$।
अतः,$B_m = B_0 - B = 10 \pi \text{ mT} - 6 \pi \text{ mT} = 4 \pi \text{ mT}$।

(C) एक आदर्श परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है: लंबाई $L = 0.5 \ m$,त्रिज्या $R = 0.1 \ m$,धारा $I = 2.5 \ A$.
कुल फेरे $N = 2 \times 100 = 200$.
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = N / L = 200 / 0.5 = 400 \ turns/m$.
चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 400 \times 2.5$.
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 1000 = 4 \pi \times 10^{-4} \ T$.
चूंकि बिंदु अक्ष से $5 \ cm$ की दूरी पर है,यह परिनालिका के अंदर स्थित है (क्योंकि $5 \ cm < 10 \ cm$ है)।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $4 \pi \times 10^{-4} \ T$ है।

(A) परिनालिका के अंदर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = nI$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा है।
दिया गया है:
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या,$n = 1000 \ turns/m = 10^3 \ m^{-1}$.
धारा,$I = 2 \ A$.
सापेक्ष पारगम्यता,$\mu_r = 400$ (नोट: चुंबकीय तीव्रता $H$ क्रोड सामग्री से स्वतंत्र होती है)।
मान रखने पर:
$H = 10^3 \ m^{-1} \times 2 \ A = 2000 \ Am^{-1} = 2 \times 10^3 \ Am^{-1}$.
अतः,परिनालिका के अंदर चुंबकीय तीव्रता $2 \times 10^3 \ Am^{-1}$ है।

(B) परिनालिका की लंबाई, $L = 80 \,cm = 0.8 \,m$ है।
कुल फेरों की संख्या, $N = 5 \times 400 = 2000$ है।
धारा, $i = 8 \,A$ है।
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या, $n = \frac{N}{L} = \frac{2000}{0.8} = 2500 \,turns/m$ है।
एक लंबी परिनालिका के अंदर उसके केंद्र के पास चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 ni$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A) \times (2500 \,m^{-1}) \times (8 \,A)$।
$B = 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 20000$।
$B = 12.566 \times 10^{-3} \times 2 = 2.513 \times 10^{-2} \,T$।
अतः, चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण लगभग $2.5 \times 10^{-2} \,T$ है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन लूप द्वारा घिरे कुल विद्युत धारा $i_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_{\text{enclosed}}$
पतली दीवार वाले पाइप के अंदर किसी भी बिंदु के लिए,हम एक एम्पीरियन लूप (वृत्त) चुन सकते हैं जो पूरी तरह से पाइप के अंदर स्थित हो।
चूंकि विद्युत धारा $i$ केवल पाइप की दीवारों से होकर बहती है,इसलिए इस लूप द्वारा घिरी हुई धारा $i_{\text{enclosed}} = 0$ है।
अतः,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,जिसका अर्थ है कि पाइप के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ शून्य है।

(A) दिया गया है:
आंतरिक त्रिज्या $r_1 = 24 \ cm = 0.24 \ m$
बाहरी त्रिज्या $r_2 = 26 \ cm = 0.26 \ m$
फेरों की संख्या $N = 2000$
धारा $I = 12 \ A$
टोरोइड की औसत त्रिज्या $r$ इस प्रकार है:
$r = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25 \ cm = 0.25 \ m$
टोरोइड के कोर के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र:
$B = \mu_0 n I$
जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है,$n = \frac{N}{2 \pi r}$.
मान रखने पर:
$B = \mu_0 \left( \frac{N}{2 \pi r} \right) I$
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times \left( \frac{2000}{2 \pi \times 0.25} \right) \times 12$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times \left( \frac{2000}{0.25} \right) \times 12$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times 8000 \times 12$
$B = 192000 \times 10^{-7} \ T$
$B = 1.92 \times 10^{-2} \ T$

(B) दिया गया है:
$n = 70 \text{ turns } cm^{-1} = 7000 \text{ turns } m^{-1}$
$r = 2.5 \text{ cm} = 0.025 \text{ m}$
$v = 4.4 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$
$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल चुंबकीय लॉरेंज बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
एक लंबी परिनालिका के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान है:
$B = \mu_0 n I$
बल के समीकरण में $B$ का मान रखने पर:
$\frac{mv^2}{r} = qv(\mu_0 n I)$
धारा $I$ के लिए हल करने पर:
$I = \frac{mv}{q \mu_0 n r}$
मान रखने पर:
$I = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (4.4 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (7000) \times (0.025)}$
$I = 0.1125 \text{ A} = 112.5 \text{ mA}$

(C) सोलेनोइड के अंदर किसी भी बिंदु पर सोलेनोइड के कारण चुंबकीय क्षेत्र उसकी अक्ष की दिशा में होता है: $B_s = \mu_0 n I_s$. यहाँ $n = 10 \text{ turns/cm} = 1000 \text{ turns/m}$ और $I_s = 7 \times 10^{-3} \text{ A}$ है। अतः, $B_s = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 7 \times 10^{-3} = 28\pi \times 10^{-7} \text{ T}$.
$r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ की दूरी पर सीधे चालक के कारण चुंबकीय क्षेत्र स्पर्शरेखीय दिशा में होता है: $B_c = \frac{\mu_0 I_c}{2\pi r}$.
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र अक्ष के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाता है। इसलिए, $\tan(60^{\circ}) = \frac{B_c}{B_s}$.
$\sqrt{3} = \frac{\mu_0 I_c / (2\pi r)}{\mu_0 n I_s} = \frac{I_c}{2\pi r n I_s}$.
$I_c = \sqrt{3} \times 2\pi r n I_s = 1.7 \times 2 \times 3.14 \times 0.05 \times 1000 \times 7 \times 10^{-3}$.
$I_c = 1.7 \times 6.28 \times 0.05 \times 7 = 3.7366 \text{ A} \approx 3.74 \text{ A}$.

(C) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(H)$ का सूत्र $H = n \cdot I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका से बहने वाली धारा है।
दिया गया है:
$H = 1000 \ A/m$
$I = 2 \ A$
सूत्र $H = n \cdot I$ का उपयोग करने पर:
$1000 = n \times 2$
$n = 500 \ \text{फेरे/मीटर}$.
प्रति मीटर फेरों को प्रति सेंटीमीटर फेरों में बदलने के लिए:
$n = 500 \ \text{फेरे/मीटर} = 500 \ \text{फेरे} / 100 \ \text{सेमी} = 5 \ \text{फेरे/सेमी}$.
अतः,प्रति सेंटीमीटर फेरों की संख्या $5$ है।

(C) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \mu_0 n i$,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,और $i$ परिनालिका में प्रवाहित होने वाली धारा है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ के सीधे आनुपातिक है $(B \propto n)$,इसलिए यदि $n$ का मान दोगुना कर दिया जाए,तो चुंबकीय क्षेत्र $B$ भी दोगुना हो जाएगा।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे बेलनाकार चालक के लिए,चालक की अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित बाहरी बिंदु $P$ (जहाँ $r > R$) पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
यहाँ,$\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$I$ धारा है,और $r$ चालक के केंद्र से बिंदु $P$ तक की त्रिज्यीय दूरी है।

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है $(n = N/L)$।
दिया गया है:
लंबाई $L = 50 \ cm = 0.5 \ m$
फेरों की संख्या $N = 400$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \pi \times 10^{-3} \ T$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
सबसे पहले,प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या की गणना करें:
$n = \frac{N}{L} = \frac{400}{0.5} = 800 \ turns/m$
अब,$B = \mu_0 n I$ सूत्र में मान रखें:
$4 \pi \times 10^{-3} = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 800 \times I$
$I = \frac{4 \pi \times 10^{-3}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 800}$
$I = \frac{10^{-3}}{10^{-7} \times 800} = \frac{10^4}{800} = \frac{100}{8} = 12.5 \ A$.

(A) दिया गया है: सापेक्ष पारगम्यता, $\mu_r = \frac{800}{\pi}$.
धारा, $I = 2 \text{ A}$.
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या, $n = 1000 \text{ m}^{-1}$.
परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = nI$ द्वारा दी जाती है।
$H = 1000 \times 2 = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$.
चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu H = \mu_0 \mu_r H$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{800}{\pi}) \times (2 \times 10^3)$.
$B = 4 \times 10^{-7} \times 800 \times 2 \times 10^3$.
$B = 6400 \times 10^{-4} \text{ T} = 0.64 \text{ T}$.
चूंकि $1 \text{ T} = 1000 \text{ mT}$, इसलिए $B = 0.64 \times 1000 \text{ mT} = 640 \text{ mT}$.

(A) परिनालिका के अक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
परिनालिका के अंदर (केंद्र पर) एक बिंदु के लिए,$\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
अतः,$B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = \frac{\mu_0 n I}{2}(1 - (-1)) = \mu_0 n I$.
परिनालिका के अंतिम अक्षीय बिंदु के लिए,$\theta_1 = 90^{\circ}$ और $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
अतः,$B_{\text{end}} = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos 90^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = \frac{\mu_0 n I}{2}(0 - (-1)) = \frac{\mu_0 n I}{2}$.
केंद्र और अंतिम बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $\frac{B_{\text{center}}}{B_{\text{end}}} = \frac{\mu_0 n I}{\frac{\mu_0 n I}{2}} = 2$ है।

(B) परिनालिका में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U = \frac{B^2 V}{2 \mu_0}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$V$ आयतन है,और $\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता है।
दिया गया है कि दोनों परिनालिकाओं में संचित चुंबकीय ऊर्जा समान है,इसलिए $U_X = U_Y$ है।
अतः,$\frac{B_X^2 V_X}{2 \mu_0} = \frac{B_Y^2 V_Y}{2 \mu_0}$,जो सरल होकर $B_X^2 V_X = B_Y^2 V_Y$ हो जाता है।
चूँकि आयतन $V = A \times L$ होता है,हमारे पास $B_X^2 A_X L_X = B_Y^2 A_Y L_Y$ है।
दिया गया है कि $A_Y = 2 A_X$ और $L_Y = 2 L_X$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$B_X^2 A_X L_X = B_Y^2 (2 A_X) (2 L_X)$।
$B_X^2 A_X L_X = 4 B_Y^2 A_X L_X$।
दोनों पक्षों को $A_X L_X$ से विभाजित करने पर,हमें $B_X^2 = 4 B_Y^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{B_X^2}{B_Y^2} = 4$,जिसका अर्थ है $\frac{|B_X|}{|B_Y|} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(D) परिनालिका के लिए,चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है: $I = 20 \ A$,$l = 2 \ m$,$B = 20 \ mT = 20 \times 10^{-3} \ T$,और व्यास $d = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$.
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 1.5 \times 10^{-2} \ m$.
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ की गणना:
$n = \frac{B}{\mu_0 I} = \frac{20 \times 10^{-3}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 20} = \frac{10^4}{4 \pi} \ m^{-1}$.
कुल फेरों की संख्या $N = n \times l = \frac{10^4}{4 \pi} \times 2 = \frac{10^4}{2 \pi}$.
तार की लंबाई कुल फेरों की संख्या और एक फेरे की परिधि का गुणनफल है:
$L_{wire} = N \times (2 \pi r) = \left( \frac{10^4}{2 \pi} \right) \times (2 \pi \times 1.5 \times 10^{-2}) = 10^4 \times 1.5 \times 10^{-2} = 1.5 \times 10^2 \ m = 150 \ m$.