Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Hindi

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$I$ धारा ले जाने वाले बेलनाकार चालक की अक्ष से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार होता है:
$1$. $r < R$ के लिए (छड़ के अंदर): $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$,जहाँ $R$ छड़ की त्रिज्या है।
$2$. $r > R$ के लिए (छड़ के बाहर): $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र दोनों क्षेत्रों में शून्य नहीं है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र छड़ के अंदर और बाहर दोनों जगह मौजूद होता है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$ होता है।
एक लंबी खोखली पाइप के लिए,विद्युत धारा $I$ केवल पाइप की सतह से प्रवाहित होती है।
पाइप के अंदर,कोई भी एम्पीरियन लूप शून्य धारा को घेरेगा $(I_{enclosed} = 0)$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B = 0$ होगा।
पाइप के बाहर,अक्ष से $r$ दूरी पर,एम्पीरियन लूप कुल धारा $I$ को घेरता है,जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र केवल पाइप के बाहर ही उत्पन्न होता है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकल लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है,अर्थात $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$।
अक्ष से $r$ दूरी पर समाक्षीय केबल के बाहर एक बिंदु के लिए,हम $r$ त्रिज्या का एक एम्पीरियन लूप मानते हैं।
इस लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा आंतरिक चालक से बहने वाली धारा $(+i)$ और बाहरी चालक से वापस आने वाली धारा $(-i)$ का योग है।
इसलिए,$I_{\text{enclosed}} = i + (-i) = 0$।
चूंकि परिबद्ध कुल धारा शून्य है,इसलिए केबल के बाहर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ शून्य होगा।

(A) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ होता है।
यहाँ,प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = 10 \ turns/cm = 1000 \ turns/m$ है।
धारा $I = 5 \ A$ है।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times 5$
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3$
$B = 20\pi \times 10^{-4} \ T$
$B = 2\pi \times 10^{-3} \ T$.

(B) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ को एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
प्रति इकाई लंबाई $n$ फेरों वाली और $i$ एम्पीयर धारा ले जाने वाली परिनालिका के लिए,परिनालिका के भीतर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है:
$B = \mu_0 ni$
जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान (free space) की पारगम्यता है।

(B) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,और $I$ परिनालिका से बहने वाली धारा है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र $B$,परिनालिका से बहने वाली धारा $I$ के सीधे आनुपातिक है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) एक लंबी परिनालिका के अक्ष पर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 ni$ होता है,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,और $i$ परिनालिका में प्रवाहित होने वाली धारा है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र $B$,प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ और धारा $i$ के गुणनफल के सीधे आनुपातिक है।
इसलिए,$B \propto ni$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n i$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
$B = 20 \text{ mT} = 20 \times 10^{-3} \text{ T}$
$n = 20 \text{ turns/cm} = 20 \times 100 \text{ turns/m} = 2000 \text{ turns/m}$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A} \Rightarrow \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
धारा $i$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$i = \frac{B}{\mu_0 n}$
मान रखने पर:
$i = \frac{20 \times 10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7} \times 2000}$
$i = \frac{20 \times 10^{-3}}{8\pi \times 10^{-4}}$
$i = \frac{200}{8\pi} = \frac{25}{\pi} \approx \frac{25}{3.14} \approx 7.96 \text{ A}$
निकटतम पूर्णांक में,$i \approx 8 \text{ A}$ प्राप्त होता है।

(D) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन उस पथ द्वारा घिरे कुल विद्युत धारा $i_{enclosed}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है,अर्थात $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_{enclosed}$।
एक लंबी खोखली तांबे की नली के लिए,यदि हम नली के अंदर (त्रिज्या $r < R$ पर) एक एम्पीरियन लूप पर विचार करें,तो इस लूप द्वारा घिरी धारा शून्य होती है क्योंकि धारा केवल नली के पदार्थ से होकर बहती है।
चूंकि $i_{enclosed} = 0$ है,इसलिए नली के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ शून्य होगा।

(C) प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = 50 \, turns/cm = 5000 \, turns/m$ है। धारा $I = 4 \, A$ है। निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ है।
$(i)$ आंतरिक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{in} = \mu_0 n I = (4\pi \times 10^{-7}) \times 5000 \times 4 = 25.12 \times 10^{-3} \, Wb/m^2 \approx 25.1 \times 10^{-3} \, Wb/m^2$।
(ii) एक सिरे पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{end} = \frac{1}{2} B_{in} = \frac{25.1 \times 10^{-3}}{2} = 12.55 \times 10^{-3} \, Wb/m^2 \approx 12.6 \times 10^{-3} \, Wb/m^2$।

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है।
यहाँ, $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है, जिसे $n = N/L$ के रूप में गणना की जाती है।
दिया गया है: $N = 4250$, $L = 1.0 \ m$, $I = 5.0 \ A$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
सबसे पहले, $n$ की गणना करें: $n = 4250 / 1.0 = 4250 \ \text{फेरे}/m$.
अब, मानों को सूत्र में रखें: $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 4250 \times 5.0$.
$B = (4 \times 3.14159 \times 10^{-7}) \times 21250$.
$B \approx 12.566 \times 10^{-7} \times 21250 \approx 0.0267 \ T$.
अतः, $B \approx 2.7 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$.

(D) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ होता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
यहाँ कुल फेरों की संख्या $N$ और परिनालिका की लंबाई $L$ दी गई है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = \frac{N}{L}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $B = \mu_0 \left( \frac{N}{L} \right) I$ प्राप्त होता है।
अतः,सही व्यंजक $\mu_0 \frac{N}{L} I$ है।

(C) एक लंबी परिनालिका के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \mu_0 n i$
जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है $(n = N/l)$,
$i$ परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा है,
और $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ केवल प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $(n)$ और धारा $(i)$ पर निर्भर करता है।
यह परिनालिका की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन लूप द्वारा घिरे कुल विद्युत धारा $I_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
एक अनंत लंबाई के,पतली दीवार वाले पाइप के लिए जिसमें विद्युत धारा $I$ प्रवाहित हो रही है,पाइप के अंदर चुना गया कोई भी बंद लूप शून्य धारा को घेरता है $(I_{\text{enclosed}} = 0)$.
इसलिए,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,जिसका अर्थ है कि पाइप के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ शून्य है।

(A) एक टोरॉइड अनिवार्य रूप से एक सोलेनोइड है जिसे गोलाकार आकार में मोड़ा गया है।
प्रति इकाई लंबाई $n$ फेरों और $i$ धारा वाले टोरॉइड के लिए,कोर के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
एम्पीयर के नियम के अनुसार,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$।
टोरॉइड के अंदर $r$ त्रिज्या के एक गोलाकार पथ के लिए,लंबाई $2\pi r$ है और फेरों की कुल संख्या $N = n(2\pi r)$ है।
इस प्रकार,$B(2\pi r) = \mu_0 (n \cdot 2\pi r) i$।
इसे सरल करने पर,हमें $B = \mu_0 ni$ प्राप्त होता है।

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
दिया गया है:
प्रति सेमी फेरे, $n' = 200 \, \text{turns/cm} = 200 \times 10^2 \, \text{turns/m} = 2 \times 10^4 \, \text{turns/m}$.
धारा, $I = 2.5 \, A$.
पारगम्यता, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times 2.5$
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^4$
$B = 20\pi \times 10^{-3} \, T$
$B = 2 \times 3.14 \times 10^{-2} \, T = 6.28 \times 10^{-2} \, Wb/m^2$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे बेलनाकार तार की अक्ष से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$ द्वारा दिया जाता है।
तार की अक्ष पर स्थित बिंदु के लिए,दूरी $r = 0$ होती है।
चूंकि धारा तार के अनुप्रस्थ काट पर वितरित होती है,इसलिए $r = 0$ त्रिज्या वाले लूप द्वारा परिबद्ध धारा शून्य होती है $(I_{enclosed} = 0)$।
अतः,तार की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $0\, T$ होता है।

(A) एक लंबी परिनालिका के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B_{center} = \mu_0 nI$ होता है।
एक लंबी परिनालिका के सिरों पर चुंबकीय क्षेत्र,केंद्र के चुंबकीय क्षेत्र का ठीक आधा होता है।
अतः,सिरों पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{ends} = \frac{\mu_0 nI}{2}$ होगा।

(B) "एक चालक तार में धारा प्रवाहित करने पर उसके चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है" यह कथन उस मूलभूत अवलोकन का वर्णन करता है जो एम्पियर के नियम के विकास का आधार बना।
एम्पियर का नियम एक बंद लूप के चारों ओर एकीकृत चुंबकीय क्षेत्र को लूप से गुजरने वाली विद्युत धारा से संबंधित करता है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n i$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ विद्युत धारा है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ है।
जब धारा को दोगुना किया जाता है,तो नई धारा $i' = 2i$ हो जाती है।
जब प्रति सेमी फेरों की संख्या को आधा किया जाता है,तो प्रति इकाई लंबाई में फेरों की नई संख्या $n' = n/2$ हो जाती है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \mu_0 n' i' = \mu_0 (n/2) (2i) = \mu_0 n i$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$B' = B$ होगा।

(D) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 ni$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों परिनालिकाएं समाक्षीय हैं और धाराएं विपरीत दिशाओं में बह रही हैं,आंतरिक कुंडली के अंदर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ व्यक्तिगत चुंबकीय क्षेत्रों का अंतर है: $B_{net} = |B_1 - B_2|$।
चुंबकीय क्षेत्र के शून्य होने के लिए,$B_1 = B_2$ होना चाहिए।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu_0 n_1 i_1 = \mu_0 n_2 i_2$ प्राप्त होता है,जो $n_1 i_1 = n_2 i_2$ में सरल हो जाता है।
यह स्थिति तब संतुष्ट होती है यदि $n_1 i_1 = n_2 i_2$ हो (विकल्प $b$)।
इसके अतिरिक्त,यदि $n_1 = n_2$ और $i_1 = i_2$ हो,तो $n_1 i_1 = n_2 i_2$ की स्थिति भी संतुष्ट होती है (विकल्प $c$)।
इसलिए,$(b)$ और $(c)$ दोनों विकल्प सही हैं।

(A) एक लंबी परिनालिका के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B_{center} = \mu_0 n i$ द्वारा दिया जाता है।
परिनालिका के सिरों पर,चुंबकीय क्षेत्र $B_{end} = \frac{1}{2} \mu_0 n i = \frac{1}{2} B_{center}$ होता है।
जैसे-जैसे हम एक सिरे $(x=0)$ से केंद्र की ओर बढ़ते हैं,चुंबकीय क्षेत्र $\frac{1}{2} B_{center}$ से बढ़कर $B_{center}$ हो जाता है और केंद्र के पास लगभग स्थिर रहता है,फिर दूसरे सिरे की ओर बढ़ने पर यह पुनः घट जाता है।
ग्राफ $A$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है,जो सिरे से क्रमिक वृद्धि,केंद्र पर स्थिरता और दूसरे सिरे की ओर सममित कमी को प्रदर्शित करता है।

(B) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
कुल फेरों की संख्या $N = 3 \times 1000 = 3000$.
लंबाई $L = 1.5 \, m$.
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = N/L = 3000 / 1.5 = 2000 \, turns/m$.
धारा $I = 2.0 \, A$.
त्रिज्या $r = 2.0 \, cm = 0.02 \, m$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4} \, m^2$.
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = (\mu_0 n I) A$.
$\phi = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times 2.0 \times (4\pi \times 10^{-4})$.
$\phi = 16 \pi^2 \times 10^{-7} \times 4000 \times 10^{-4} = 64 \pi^2 \times 10^{-8} \approx 6.31 \times 10^{-6} \, Wb$.

(A) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है: $B = \mu_0 n i$, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ धारा है。
दिया गया है: $n = 20 \text{ turns/cm} = 2000 \text{ turns/m}$.
दिया गया है: $B = 20 \text{ mT} = 20 \times 10^{-3} \text{ T}$.
हम जानते हैं कि $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$20 \times 10^{-3} = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times i$
$20 \times 10^{-3} = 8\pi \times 10^{-4} \times i$
$i = \frac{20 \times 10^{-3}}{8\pi \times 10^{-4}} = \frac{200}{8\pi} = \frac{25}{\pi} \approx 7.96 \text{ A}$.
निकटतम पूर्णांक में, धारा $8 \text{ A}$ है。

(D) टोरॉइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n i$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है: त्रिज्या $R = 0.1 \ m$,फेरों की संख्या $N = 500$,धारा $i = 0.5 \ A$.
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = \frac{N}{2\pi R}$ है।
मान रखने पर: $n = \frac{500}{2\pi \times 0.1} = \frac{500}{0.2\pi} = \frac{2500}{\pi} \ m^{-1}$.
अब,$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times \left(\frac{2500}{\pi}\right) \times 0.5$.
$B = 4 \times 10^{-7} \times 2500 \times 0.5$.
$B = 4 \times 10^{-7} \times 1250$.
$B = 5000 \times 10^{-7} \ T = 5 \times 10^{-4} \ T$.

(A) एक परिमित परिनालिका (finite solenoid) की अक्ष पर बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है:
$B = \frac{{{\mu _0}ni}}{2}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
जहाँ $\theta_1$ और $\theta_2$ परिनालिका के सिरों द्वारा बिंदु $P$ पर बनाए गए कोण हैं।
आकृति से,$\theta_1 = 60^\circ$ और $\theta_2 = 30^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{{{\mu _0}ni}}{2}(\sin 60^\circ + \sin 30^\circ)$
$B = \frac{{{\mu _0}ni}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2})$
$B = \frac{{{\mu _0}ni}}{4}(\sqrt{3} + 1)$

(D) आंतरिक त्रिज्या $a = R$ और बाहरी त्रिज्या $b = 2R$ वाले बेलनाकार चालक के लिए,केंद्र से $r$ दूरी $(a < r < b)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ एम्पीयर के नियम के अनुसार है:
$B(2\pi r) = \mu_0 I_{enclosed}$
$I_{enclosed} = i \left( \frac{r^2 - a^2}{b^2 - a^2} \right)$
यहाँ $a = R$,$b = 2R$,और $r = \frac{3R}{2}$ रखने पर:
$I_{enclosed} = i \left( \frac{(\frac{3R}{2})^2 - R^2}{(2R)^2 - R^2} \right) = i \left( \frac{\frac{9R^2}{4} - R^2}{4R^2 - R^2} \right) = i \left( \frac{\frac{5R^2}{4}}{3R^2} \right) = i \left( \frac{5}{12} \right)$
अब,$B = \frac{\mu_0 I_{enclosed}}{2\pi r} = \frac{\mu_0 (i \cdot \frac{5}{12})}{2\pi (\frac{3R}{2})}$
$B = \frac{5\mu_0 i}{12 \cdot 2\pi \cdot \frac{3R}{2}} = \frac{5\mu_0 i}{36\pi R}$

(C) सोलेनोइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ कुल फेरों की संख्या है,$i$ धारा है और $l$ सोलेनोइड की लंबाई है।
दिया गया है: $B = 0.2 \, T$,$l = 0.8 \, m$,$i = 10 \, A$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
मान रखने पर: $0.2 = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times N \times 10}{0.8}$.
$N$ के लिए हल करने पर: $N = \frac{0.2 \times 0.8}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{0.16}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^4}{\pi}$.
तार की कुल लंबाई $L = (2\pi r) \times N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$.
$L = 2\pi \times (3 \times 10^{-2}) \times \frac{4 \times 10^4}{\pi}$.
$L = 6 \times 10^{-2} \times 4 \times 10^4 = 24 \times 10^2 = 2.4 \times 10^3 \, m$.

(C) सोलेनोइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ कुल फेरों की संख्या है,$i$ धारा है और $l$ सोलेनोइड की लंबाई है।
दिया गया है: $B = 0.2\, T$,$i = 10\, A$,$l = 0.8\, m$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$.
मान रखने पर: $0.2 = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times N \times 10}{0.8}$.
$N$ के लिए हल करने पर: $N = \frac{0.2 \times 0.8}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{0.16}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^4}{\pi}$.
वाइंडिंग तार की लंबाई $L$ एक फेरे की परिधि और कुल फेरों की संख्या के गुणनफल के बराबर होती है: $L = (2\pi r) \times N$.
यहाँ $r = 3\, cm = 3 \times 10^{-2}\, m$.
$L = 2\pi \times (3 \times 10^{-2}) \times \frac{4 \times 10^4}{\pi} = 6 \times 10^{-2} \times 4 \times 10^4 = 24 \times 10^2 = 2.4 \times 10^3\, m$.

(D) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन लूप द्वारा घिरे कुल धारा $I_{enclosed}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
अनंत लंबाई के एक खोखले बेलन के लिए,जिसमें सतह पर धारा घनत्व $\lambda$ (अक्ष के अनुदिश प्रति इकाई लंबाई धारा) है,बेलन के अंदर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है। इसका कारण यह है कि धारा परिधि के अनुदिश बहती है,जो एक परिनालिका जैसी संरचना बनाती है। इस विशिष्ट मामले में,बेलन के अंदर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
वैकल्पिक रूप से,बेलन के अंदर एक लूप के लिए एम्पीयर के नियम का उपयोग करने पर,घिरा हुआ कुल धारा शून्य है,इसलिए $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed} = 0$,जिसका अर्थ है कि खोखले बेलन के अंदर $B = 0$ है।

(D) समान धारा घनत्व $J$ वाले एक लंबे बेलनाकार चालक के लिए,केंद्र से $x$ दूरी $(x < r)$ पर चुंबकीय क्षेत्र एम्पीयर के परिपथीय नियम द्वारा दिया जाता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$.
$B(2\pi x) = \mu_0 (J \cdot \pi x^2) \implies B = \frac{\mu_0 J x}{2}$.
मान लीजिए कि बाएं बेलन का केंद्र $x = -d/2$ पर है और दाएं बेलन का केंद्र $x = d/2$ पर है। बिंदु $A$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
बाएं बेलन के कारण (धारा पृष्ठ के बाहर) $A$ पर क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 J (d/2)}{2} = \frac{\mu_0 J d}{4}$ है जो $+y$-दिशा में है।
दाएं बेलन के कारण (धारा पृष्ठ के अंदर) $A$ पर क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 J (d/2)}{2} = \frac{\mu_0 J d}{4}$ है जो $+y$-दिशा में है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 J d}{2}$ जो $+y$-दिशा में है।

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ धारा है।
पहली परिनालिका के लिए: $B_1 = \mu_0 n_1 i_1 = 6.28 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$,जहाँ $n_1 = 200 \ turns/cm$ और $i_1 = i$ है।
दूसरी परिनालिका के लिए: $n_2 = 100 \ turns/cm$ और $i_2 = i/3$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 n_2 i_2}{\mu_0 n_1 i_1} = \frac{n_2 i_2}{n_1 i_1}$।
मान रखने पर: $\frac{B_2}{6.28 \times 10^{-2}} = \frac{100 \times (i/3)}{200 \times i} = \frac{100}{200 \times 3} = \frac{1}{6}$।
अतः,$B_2 = \frac{6.28 \times 10^{-2}}{6} \approx 1.05 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन लूप द्वारा घिरे कुल विद्युत धारा $I_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$
एक पतली दीवार वाले पाइप के लिए जिसमें उसकी लंबाई के अनुदिश $I$ धारा बह रही है,पाइप के अंदर खींचा गया कोई भी बंद लूप शून्य कुल धारा को घेरता है $(I_{\text{enclosed}} = 0)$।
चूंकि धारा केवल पाइप की सतह पर वितरित होती है,इसलिए आंतरिक क्षेत्र से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,जिसका अर्थ है कि पाइप के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ शून्य है।

(D) एक ही दिशा में धारा प्रवाहित करने वाली दो समाक्षीय परिनालिकाओं के लिए,बाहरी परिनालिका द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उसके अंदर एकसमान होता है और उसके बाहर शून्य होता है। आंतरिक परिनालिका को इस एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है। चूंकि आंतरिक परिनालिका में धारा सममित रूप से वितरित होती है,इसलिए आंतरिक परिनालिका पर कुल चुंबकीय बल शून्य होता है क्योंकि विपरीत पक्षों पर लगने वाले बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
इसी प्रकार,आंतरिक परिनालिका द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उसके अपने आयतन के भीतर सीमित होता है और उसके बाहर शून्य होता है। इसलिए,बाहरी परिनालिका को ऐसे क्षेत्र में रखा जाता है जहाँ आंतरिक परिनालिका के कारण चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है। अतः,बाहरी परिनालिका पर कुल चुंबकीय बल भी शून्य होता है।
इसलिए,$\overrightarrow{F_1} = 0$ और $\overrightarrow{F_2} = 0$।

(C) समान रूप से वितरित $i$ धारा वाले एक लंबे बेलनाकार पाइप (खोखले बेलन) के लिए:
$1$. खोखले क्षेत्र के अंदर $(x < r)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$। चूंकि कोई धारा संलग्न नहीं है,इसलिए $B = 0$ है।
$2$. पाइप के पदार्थ के भीतर $(r < x < R)$: $x$ त्रिज्या के लूप द्वारा संलग्न धारा $I_{enclosed} = i \cdot \frac{\pi x^2 - \pi r^2}{\pi R^2 - \pi r^2}$ है। अतः,$B(2\pi x) = \mu_0 i \frac{x^2 - r^2}{R^2 - r^2}$,जो दर्शाता है कि $B \propto \frac{x^2 - r^2}{x}$। यह एक गैर-रेखीय वृद्धि को दर्शाता है।
$3$. पाइप के बाहर $(x > R)$: कुल संलग्न धारा $i$ है। अतः,$B(2\pi x) = \mu_0 i$,जिसका अर्थ है $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi x}$,यानी $B \propto 1/x$।
इन विशेषताओं की तुलना करने पर,ग्राफ $x < r$ के लिए $B=0$,$r < x < R$ के लिए गैर-रेखीय वृद्धि और $x > R$ के लिए $1/x$ के अनुसार गिरावट दिखाता है। विकल्प $C$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) एम्पीयर का परिपथीय नियम तब सबसे प्रभावी होता है जब उच्च स्तर की सममिति हो,जैसे कि अनंत लंबाई का सीधा तार,परिनालिका (सोलेनोइड) या टोरॉइड।
सीमित लंबाई के तार के लिए,चुंबकीय क्षेत्र में एम्पीयर के नियम को आसानी से लागू करने के लिए आवश्यक सममिति नहीं होती है,क्योंकि क्षेत्र रेखाएं तार की धुरी पर सरल वृत्त नहीं बनाती हैं।
इसलिए,कथन-$1$ असत्य है।
कथन-$2$ के संबंध में,एक सीमित तार का चुंबकीय क्षेत्र वास्तव में तार के चारों ओर सममित (बेलनाकार सममिति) होता है,लेकिन यह सममिति चुंबकीय क्षेत्र का मान ज्ञात करने के लिए एम्पीयर के नियम को लागू करने के लिए पर्याप्त नहीं है।
अतः,कथन-$2$ सत्य है।

(A) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,एक बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकल,उस पथ द्वारा घिरे कुल धारा $i_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 i_{\text{enclosed}}$
अक्ष से $r > c$ दूरी पर केबल के बाहर स्थित बिंदु $P$ के लिए,हम $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार एम्पीयरियन लूप मानते हैं।
इस लूप द्वारा घिरी कुल धारा आंतरिक चालक $(+i)$ और बाहरी चालक $(-i)$ में प्रवाहित धारा का योग है।
$i_{\text{enclosed}} = i + (-i) = 0$
इसलिए,बिंदु $P$ पर चुंबकीय प्रेरण $B$ का मान है:
$B(2 \pi r) = \mu_0 (0)$
$B = 0$

(D) मोटे बेलन के भीतर $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक पतले बेलनाकार कोश पर विचार करें।
इस पतले कोश पर आवेश $dQ = \rho (2\pi r dr) L$ है।
इस घूमते हुए कोश द्वारा उत्पन्न धारा $dI = \frac{dQ}{T} = \frac{dQ \cdot \omega}{2\pi} = \rho \omega r L dr$ है।
यह एक सोलेनोइड के रूप में कार्य करता है जिसमें प्रति इकाई लंबाई $n = \frac{1}{L}$ फेरे हैं। केंद्र $P$ पर इस कोश द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $dB = \mu_0 n dI = \mu_0 \left(\frac{1}{L}\right) (\rho \omega r L dr) = \mu_0 \omega \rho r dr$ है।
$r = a$ से $r = b$ तक समाकलन करने पर,$P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_P = \int_a^b \mu_0 \omega \rho r dr = \frac{\mu_0 \omega \rho (b^2 - a^2)}{2}$ प्राप्त होता है।
एक लंबे सोलेनोइड के लिए,सिरों ($A$ या $B$) पर चुंबकीय क्षेत्र केंद्र के क्षेत्र का ठीक आधा होता है: $B_A = B_B = \frac{B_P}{2} = \frac{\mu_0 \omega \rho (b^2 - a^2)}{4}$।
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित होती है और अक्ष के अनुदिश समान रहती है। अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का ग्राफ मध्य में एक अचर मान और सिरों की ओर कमी दर्शाता है,जो एक लंबे सोलेनोइड के गुणों के अनुरूप है।

(B) मान लीजिए कि दो बड़ी समानांतर प्लेटें समान दिशा में सतही धारा घनत्व $K$ प्रवाहित कर रही हैं।
एकल प्लेट के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,चुंबकीय क्षेत्र $B$ प्लेट के समानांतर और धारा की दिशा के लंबवत होता है।
दाहिनी ओर बहने वाली धारा $K$ वाली प्लेट के लिए,चुंबकीय क्षेत्र प्लेट के ऊपर 'बाहर' (हमारी ओर) और प्लेट के नीचे 'अंदर' (हमसे दूर) इंगित करता है।
मान लीजिए कि ऊपरी प्लेट $S_1$ है और निचली प्लेट $S_2$ है।
$S_1$ के ऊपर: दोनों प्लेटें 'बाहर' (हमारी ओर) दिशा में क्षेत्र उत्पन्न करती हैं।
$S_1$ और $S_2$ के बीच: $S_1$ 'अंदर' (हमसे दूर) दिशा में क्षेत्र उत्पन्न करती है,और $S_2$ 'बाहर' (हमारी ओर) दिशा में क्षेत्र उत्पन्न करती है। परिमाण समान होने के कारण,वे एक-दूसरे के प्रभाव को रद्द कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप बीच में क्षेत्र शून्य हो जाता है।
$S_2$ के नीचे: दोनों प्लेटें 'अंदर' (हमसे दूर) दिशा में क्षेत्र उत्पन्न करती हैं।
इस प्रकार,प्लेटों के बीच चुंबकीय क्षेत्र शून्य है और प्लेटों के ऊपर यह हमारी ओर है और प्लेटों के नीचे यह हमसे दूर है।

(D) $R_1$ आंतरिक त्रिज्या और $R_2$ बाहरी त्रिज्या वाले एक लंबे खोखले बेलनाकार तार के लिए जिसमें कुल धारा $i$ समान रूप से वितरित है:
$1$. $r < R_1$ के लिए: परिबद्ध धारा शून्य है,इसलिए एम्पीयर के नियम के अनुसार,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed} = 0$,जिसका अर्थ है $B = 0$.
$2$. $R_1 \le r \le R_2$ के लिए: परिबद्ध धारा $I(r) = i \cdot \frac{\pi(r^2 - R_1^2)}{\pi(R_2^2 - R_1^2)}$ है। एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $B(2\pi r) = \mu_0 i \frac{r^2 - R_1^2}{R_2^2 - R_1^2}$,इसलिए $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \frac{r^2 - R_1^2}{R_2^2 - R_1^2}$। यह दर्शाता है कि $B$,$r = R_1$ पर $0$ से बढ़कर $r = R_2$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।
$3$. $r > R_2$ के लिए: परिबद्ध धारा कुल धारा $i$ है। एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $B(2\pi r) = \mu_0 i$,इसलिए $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$। यह दर्शाता है कि $B$,$1/r$ के अनुसार घटता है।
सही ग्राफ $r < R_1$ के लिए $B=0$,$R_1 \le r \le R_2$ के लिए वृद्धि और $r > R_2$ के लिए $1/r$ के अनुसार गिरावट को दर्शाता है। विकल्प $D$ इस व्यवहार का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(A) सोलेनोइड में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} LI^2$ द्वारा दी जाती है।
सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 \mu_r N^2 A}{\ell}$ है, जहाँ $N$ कुल फेरों की संख्या है और $\ell$ लंबाई है।
प्रति इकाई लंबाई ऊर्जा $u = \frac{U}{\ell} = \frac{1}{\ell} \left( \frac{1}{2} \frac{\mu_0 \mu_r N^2 A}{\ell} I^2 \right) = \frac{1}{2} \mu_0 \mu_r \left( \frac{N}{\ell} \right)^2 A I^2$.
दिया गया है: टर्न घनत्व $n = \frac{N}{\ell} = 5000 \, \text{turns/m}$, क्षेत्रफल $A = 10 \, \text{cm}^2 = 10 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$, धारा $I = 1 \, \text{A}$, सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1000$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}$.
मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times (5000)^2 \times (10 \times 10^{-4}) \times (1)^2$
$u = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 10^3 \times 25 \times 10^6 \times 10^{-3} \times 1$
$u = 2\pi \times 10^{-7} \times 25 \times 10^9 \times 10^{-3} = 50\pi \approx 157.08 \times 0.1 = 15.7 \, \text{J/m}$.

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$।
मान लीजिए कि तल से बाहर आने वाली धारा धनात्मक है और तल के अंदर जाने वाली धारा ऋणात्मक है।
पथ $a$ के लिए: यह $2\, A$ (बाहर) और $2\, A$ (अंदर) को घेरता है। कुल धारा $I_a = 2 - 2 = 0\, A$ है।
पथ $b$ के लिए: यह $2\, A$ (बाहर) और $3\, A$ (बाहर) को घेरता है। कुल धारा $I_b = 2 + 3 = 5\, A$ है।
पथ $c$ के लिए: यह $2\, A$ (अंदर) और $3\, A$ (बाहर) को घेरता है। कुल धारा $I_c = 3 - 2 = 1\, A$ है।
पथ $d$ के लिए: यह $2\, A$ (बाहर),$2\, A$ (अंदर) और $3\, A$ (बाहर) को घेरता है। कुल धारा $I_d = 2 - 2 + 3 = 3\, A$ है।
कुल धाराओं की तुलना करने पर: $I_a = 0\, A$,$I_c = 1\, A$,$I_d = 3\, A$,$I_b = 5\, A$ है।
अतः,छोटे से बड़े क्रम में व्यवस्था $a, c, d, b$ होगी।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा $I_{\text{en}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{en}}$.
अनंत लंबी पतली दीवार वाली नली के अंदर किसी भी बिंदु के लिए,हम $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार एम्पीरियन लूप मान सकते हैं (जहाँ $r < R$,नली की त्रिज्या है)।
चूंकि धारा $i$ केवल नली की सतह पर बहती है,इसलिए इस एम्पीरियन लूप द्वारा परिबद्ध धारा $I_{\text{en}} = 0$ है।
अतः,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0(0) = 0$.
इसका अर्थ है कि नली के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय प्रेरण $B$ का मान $0$ है।

(C) सोलेनोइड का चुंबकीय आघूर्ण $m$,$m = N i A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चुंबकन $\vec M$ को प्रति इकाई आयतन $V$ चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है।
$V = A \ell$,जहाँ $\ell$ सोलेनोइड की लंबाई है।
अतः,$|\vec M| = \frac{m}{V} = \frac{N i A}{A \ell} = \frac{N i}{\ell}$.
दिया गया है $N = 500$,$i = 15\,A$,और $\ell = 25\,cm = 0.25\,m$.
$|\vec M| = \frac{500 \times 15}{0.25} = \frac{7500}{0.25} = 30000\,A m^{-1}$.

(C) $6$ परतों के लिए फेरों की कुल संख्या $N$, जहाँ प्रत्येक परत में $450$ फेरे हैं, इस प्रकार है:
$N = 6 \times 450 = 2700$
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$n = \frac{N}{l} = \frac{2700}{90 \times 10^{-2}\, m} = \frac{2700}{0.9}\, m^{-1} = 3000\, m^{-1}$
एक लंबी परिनालिका के अंदर उसके केंद्र के पास चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \mu_{0} n I$
मान रखने पर $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$, $n = 3000\, m^{-1}$, और $I = 6\, A$:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 3000 \times 6$
$B = 72\pi \times 10^{-4}\, T$
चूंकि $1\, T = 10^4\, G$ (गॉस), इसलिए:
$B = 72\pi \times 10^{-4} \times 10^4\, G = 72\pi\, G$

(B) चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है,जिसे $\oint_S B \cdot dS = 0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
एक आदर्श परिनालिका के मामले में,चुंबकीय क्षेत्र को अंदर एकसमान और बाहर शून्य माना जाता है।
यदि हम एक गॉसियन सतह (एक बेलन) पर विचार करें जो आंशिक रूप से परिनालिका के अंदर और बाहर है,तो सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य नहीं होगा क्योंकि क्षेत्र रेखाएं परिनालिका के भीतर सीमित हैं और किनारों से बाहर नहीं निकलती हैं,जो चुंबकीय क्षेत्रों की डाइवर्जेंस-मुक्त प्रकृति $(\nabla \cdot B = 0)$ का उल्लंघन करती है।
इसलिए,एक आदर्श परिनालिका में पूरी तरह से सीमित चुंबकीय क्षेत्र की धारणा चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम का खंडन करती है।

(D) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,धारावाही चालक की अक्ष से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $P$ के लिए,जो खोखले भाग में स्थित है,परिबद्ध धारा $I_{enclosed} = 0$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_P = 0$ होगा।
बिंदु $Q$ के लिए,जो चालक पाइप के पदार्थ के अंदर है,परिबद्ध धारा शून्य नहीं है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_Q \neq 0$ होगा।
बिंदु $R$ के लिए,जो पाइप के बाहर है,एम्पीयरियन लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा पाइप से बहने वाली कुल धारा $I$ है। एक लंबे सीधे बेलनाकार चालक के लिए,बाहर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है। यह केवल तभी शून्य हो सकता है जब $I=0$ हो या $r \to \infty$ हो। अतः,$B_R \neq 0$ होगा।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र केवल बिंदु $P$ पर शून्य है।

(A) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n i$ है।
यहाँ, $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है: $n = 20 \text{ turns/cm} = 2000 \text{ turns/m}$.
दिया गया है: $B = 20 \text{ mT} = 20 \times 10^{-3} \text{ T}$.
दिया गया है: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$20 \times 10^{-3} = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times i$
$20 \times 10^{-3} = 8\pi \times 10^{-4} \times i$
$i = \frac{20 \times 10^{-3}}{8\pi \times 10^{-4}} = \frac{200}{8\pi} = \frac{25}{\pi} \approx \frac{25}{3.14} \approx 7.96 \text{ A}$.
निकटतम पूर्णांक में, धारा लगभग $8 \text{ A}$ है।