Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Gujarati

(B) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઈડમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
પ્રતિ મીટર આંટાની સંખ્યા,$n = 1000 \ m^{-1}$.
પ્રવાહ,$I = 2 \ A$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = 1000 \times 2 = 2000 \ \frac{A}{m}$.
આને વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં $2 \times 10^3 \ \frac{A}{m}$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઈડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 1000 \text{ m}^{-1}$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \text{ A}$
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 400$ (નોંધ: ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ ની ગણતરી કરવા માટે આ મૂલ્યની જરૂર નથી,કારણ કે $H$ માત્ર ભૌમિતિક રચના અને વિદ્યુતપ્રવાહ પર આધાર રાખે છે).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$H = 1000 \times 2$
$H = 2000 \text{ A m}^{-1}$
$H = 2 \times 10^3 \text{ A m}^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટેનું સૂત્ર: $B = \mu_0 n I$, જ્યાં $n = N/l$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે।
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 0.5 \ m$
આંટાની સંખ્યા $N = 250$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \ A$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 N I}{l}$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 250 \times 5}{0.5}$
$B = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 1250}{0.5}$
$B = 8 \pi \times 10^{-7} \times 1250$
$B = 10000 \pi \times 10^{-7} \ T$
$B = \pi \times 10^{-3} \ T \approx 3.14 \times 10^{-3} \ T$.

(C) ચુંબકીય કોર ધરાવતા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \mu_0 \mu_r n I$
જ્યાં:
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu_r = 400$
$n = 1000 \text{ આંટા/મીટર}$
$I = 1 \text{ A}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 400 \times 1000 \times 1$
$B = 4\pi \times 4 \times 10^5 \times 10^{-7}$
$B = 16\pi \times 10^{-2} \text{ T}$

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે, જ્યાં $n = N/l$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે।
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 0.25 \ m$
આંટાની સંખ્યા $N = 500$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2.5 \ A$
પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
ગણતરી:
$n = \frac{500}{0.25} = 2000 \ \text{આંટા}/m$
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times 2.5$
$B = 4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 5000$
$B = 12.56 \times 10^{-4} \ T = 6.28 \times 10^{-3} \ T$.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \mu_0 n I$,જ્યાં $n = \frac{N}{l}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 0.5 \ m$
આંટાઓની સંખ્યા $N = 1000$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 10 \ A$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{1000}{0.5} = 2000 \ turns/m$
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times 10$
$B = 8\pi \times 10^{-3} \ T$
$B \approx 25.12 \times 10^{-3} \ T = 2.51 \times 10^{-2} \ T$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 50 \text{ આંટા/cm} = 50 \times 10^2 \text{ આંટા/m} = 5000 \text{ આંટા/m}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2.5 \ A$.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times (5000) \times (2.5)$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 12500$
$B = 4 \pi \times 1.25 \times 10^{-3}$
$B = 5 \pi \times 10^{-3} \ T$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર માટે,તારની અંદર $(a < r)$ અક્ષથી $a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$.
તારની અંદરના બિંદુ માટે,બંધિત પ્રવાહ $I_{enclosed} = I \times (\frac{\pi a^2}{\pi r^2}) = I \frac{a^2}{r^2}$ થાય.
તેથી,$B(2 \pi a) = \mu_0 I \frac{a^2}{r^2}$.
$B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 I a}{2 \pi r^2}$ મળે છે.
અહીં $\mu_0$,$I$ અને $r$ અચળ હોવાથી,$B \propto a$ થાય છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર તેના કેન્દ્રની નજીક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
સોલેનોઇડની લંબાઈ $L = 120 \ cm = 1.2 \ m$.
સ્તરોની સંખ્યા $= 4$.
દરેક સ્તરમાં આંટા $= 400$.
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 4 \times 400 = 1600$.
પ્રવાહ $I = 8.0 \ A$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{L} = \frac{1600}{1.2} = \frac{4000}{3} \ m^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A) \times (\frac{4000}{3} \ m^{-1}) \times (8.0 \ A)$.
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times \frac{32000}{3} \ T$.
$B = \frac{128000}{3} \pi \times 10^{-7} \ T$.
$B \approx 42666.67 \pi \times 10^{-7} \ T$.
$B \approx 4.266 \pi \times 10^{-3} \ T$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $B \approx 4.27 \pi \times 10^{-3} \ T$ મળે છે.

(C) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું કોઈપણ બંધ માર્ગ પરનું રેખીય સંકલન તે માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_{0}$ ગણું હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{\text{enclosed}}$.
પાઇપની અંદરના બિંદુ માટે જ્યાં ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r < R$ છે (જ્યાં $R$ એ પાઇપની ત્રિજ્યા છે),પાઇપની અંદર દોરેલો કોઈપણ બંધ વર્તુળાકાર માર્ગ શૂન્ય કુલ પ્રવાહને ઘેરે છે કારણ કે પ્રવાહ માત્ર પાઇપની દીવાલોમાંથી જ વહે છે.
આમ,$I_{\text{enclosed}} = 0$.
એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ પાડતા: $B(2 \pi r) = \mu_{0}(0) \implies B = 0$.
તેથી,પાઇપની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
બાહ્ય બિંદુ માટે જ્યાં $r > R$ છે,માર્ગ કુલ પ્રવાહ $I$ ને ઘેરે છે,તેથી $B(2 \pi r) = \mu_{0} I \implies B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે: સોલેનોઇડની લંબાઈ $\ell = 1 \ m$,વ્યાસ $d = 4 \ cm$,ત્રિજ્યા $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$.
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 5 \times 1000 = 5000$.
પ્રવાહ $I = 7 \ A$.
સીમિત સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2\ell} (\cos \theta_1 + \cos \theta_2)$ છે.
સોલેનોઇડ તેની ત્રિજ્યાની સરખામણીમાં લાંબો હોવાથી,આપણે આદર્શ સોલેનોઇડના સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ,જ્યાં $n = N/\ell$.
$B = \frac{\mu_0 N I}{\ell} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5000 \times 7}{1}$.
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 35000 = 14\pi \times 10^{-3} \ T$.
$B \approx 14 \times 3.14159 \times 10^{-3} \ T = 43.98 \times 10^{-3} \ T = 4.398 \times 10^{-2} \ T$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $4.396 \times 10^{-2} \ T$ છે.

(D) આપેલ છે,સોલેનોઈડની લંબાઈ,$l = 50 \,cm = 0.5 \,m$.
આંટાની સંખ્યા,$N = 100$.
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 2.5 \,A$.
સોલેનોઈડમાં એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{l} = \frac{100}{0.5} = 200 \,turns/m$ છે.
સોલેનોઈડના એક છેડે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 2.5}{2}$.
$B = 2\pi \times 10^{-7} \times 500 = 1000\pi \times 10^{-7} = \pi \times 10^{-4} \,T$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$B = 3.14 \times 10^{-4} \,T$ મળે છે.

(C) ટોરોઇડને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે:
$(i)$ $r < R_{1}$ માટે (ટોરોઇડની અંદરની ખાલી જગ્યામાં),ઘેરાયેલો કુલ પ્રવાહ શૂન્ય છે,તેથી $B = 0$.
(ii) $R_{1} < r < R_{2}$ માટે (ટોરોઇડના કોરની અંદર),ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
(iii) $r > R_{2}$ માટે (ટોરોઇડની બહાર),એમ્પીરીયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ પ્રવાહ શૂન્ય છે,તેથી $B = 0$.
પ્રશ્નમાં ટોરોઇડના કોરની અંદર ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ફેરફાર પૂછવામાં આવ્યો છે,અને આપેલા વિકલ્પો આડછેદ પરનું વર્તન દર્શાવે છે,તેથી ટોરોઇડની અંદરના ક્ષેત્ર માટે સાચી રજૂઆત $1/r$ ના પ્રમાણમાં વક્ર છે,જે આલેખ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ જેટલો સમાન પ્રવાહ વહેવડાવતા લાંબા નળાકાર તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < R)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $\mu_0, I, R$ અચળ હોવાથી,$B_{\text{in}} \propto r$ મળે છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. તારની બહાર $(r > R)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $\mu_0, I$ અચળ હોવાથી,$B_{\text{out}} \propto \frac{1}{r}$ મળે છે. આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
$3$. સપાટી પર $(r = R)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$B_{\text{max}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$.
આમ,આલેખ $r < R$ માટે રેખીય વધારો અને $r > R$ માટે અતિવલય આકારનો ઘટાડો દર્શાવે છે,જે આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે: $n = 500 \text{ m}^{-1}$, $I = 2 \text{ A}$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $B = \mu_0 n I$ મૂકતા, $u_B = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} = \frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $u_B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (500)^2 \times (2)^2}{2}$.
$u_B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 250000 \times 4}{2} = 2\pi \times 10^{-7} \times 10^6 = 2\pi \times 10^{-1} = 0.2 \times 3.14 = 0.628 \text{ J/m}^3$.

(A) આપેલ છે: એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $ n = 40 \text{ આંટા/સેમી} = 4000 \text{ આંટા/મીટર} = 4 \times 10^3 \text{ m}^{-1} $.
વિદ્યુતપ્રવાહ $ I = 1 \text{ A} $.
એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $ u_m $ નું સૂત્ર $ u_m = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2 $ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$ u_m = \frac{1}{2} \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (4 \times 10^3)^2 \times (1)^2 $.
$ u_m = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 16 \times 10^6 \times 1 $.
$ u_m = 2\pi \times 16 \times 10^{-1} $.
$ u_m = 32\pi \times 0.1 = 3.2\pi \text{ J m}^{-3} $.

(A) આપેલ છે: સોલેનોઇડની લંબાઈ $l = 0.4 \,m$, આંટાની સંખ્યા $N = 400$, વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \,A$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{l} = \frac{400}{0.4} = 1000 \,m^{-1}$.
સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times 5$.
$B = 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 5000$.
$B = 20 \times 3.14159 \times 10^{-4} = 62.83 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-3} \,T$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2.2 \times 10^{-30} \,kg$,વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,વેગ $v = 10 \,km/s = 10^4 \,m/s$,ત્રિજ્યા $r = 2.8 \,cm = 2.8 \times 10^{-2} \,m$,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા $n = 25 \,turns/cm = 2500 \,turns/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{Bq}$ છે.
સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{mv}{(\mu_0 n I)q}$.
પ્રવાહ $I$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $I = \frac{mv}{\mu_0 n q r}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{2.2 \times 10^{-30} \times 10^4}{4\pi \times 10^{-7} \times 2500 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.8 \times 10^{-2}}$.
ગણતરી કરતા $I \approx 1.56 \times 10^{-3} \,A = 1.56 \,mA$ મળે છે.

(B) એમ્પીયરના નિયમ પરથી,$I$ પ્રવાહ ધરાવતા તારની સપાટી પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ $I = 12 \ A$ છે.
તારનો વ્યાસ $d = 1.2 \ mm = 1.2 \times 10^{-3} \ m$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.6 \times 10^{-3} \ m$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 12}{2 \pi \times 0.6 \times 10^{-3}}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{0.6 \times 10^{-3}}$
$B = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.6 \times 10^{-3}} = 40 \times 10^{-4} \ T = 4 \times 10^{-3} \ T = 4 \ mT$.
આમ,મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $4 \ mT$ છે.

(B) એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું રેખા સંકલન,લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલી સપાટીમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\oint B \cdot dl = \mu_0 I$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $(u_B)$ નું સૂત્ર: $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$.
આના પરથી,આપણે શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટીને $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$ તરીકે લખી શકીએ.
$\mu_0$ ની આ કિંમતને ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$u_B = \frac{B^2}{2(1 / \varepsilon_0 c^2)}$
$u_B = \frac{\varepsilon_0 c^2 B^2}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 1 \ m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \ A$
સ્તરોની સંખ્યા $= 5$
દરેક સ્તરમાં આંટા $= 700$
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 5 \times 700 = 3500$
લંબાઈ $1 \ m$ હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = N / L = 3500 / 1 = 3500 \ m^{-1}$.
શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 3500 \times 5$
$B = 20\pi \times 3500 \times 10^{-7}$
$B = 70000\pi \times 10^{-7}$
$B = 7\pi \times 10^{-3} \ T$
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$B \approx 7 \times 3.14 \times 10^{-3} \ T = 21.98 \times 10^{-3} \ T \approx 22 \ mT$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

$(A)$ લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ પ્રવાહ છે.
પ્રથમ સોલેનોઇડ માટે: $B_1 = \mu_0 n_1 i_1 = 6.24 \times 10^{-2} \,T$,જ્યાં $n_1 = 400$ અને $i_1 = i$.
તેથી,$\mu_0 (400) i = 6.24 \times 10^{-2} \,T$.
બીજા સોલેનોઇડ માટે: $n_2 = 200$ અને $i_2 = \frac{i}{2}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \mu_0 n_2 i_2 = \mu_0 (200) \left( \frac{i}{2} \right) = \mu_0 (100) i$.
$B_2$ ની $B_1$ સાથે સરખામણી કરતા: $B_2 = \frac{\mu_0 (100) i}{\mu_0 (400) i} \times B_1 = \frac{1}{4} \times 6.24 \times 10^{-2} \,T$.
$B_2 = 1.56 \times 10^{-2} \,T$.

(D) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 \left( \frac{N}{2 \pi R} \right) I$
જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$R$ એ સરેરાશ ત્રિજ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B \propto \frac{N}{R}$.
આપેલ છે:
$N_1 = 400, R_1 = 30 \ cm$
$N_2 = 200, R_2 = 60 \ cm$
બંને માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{N_1}{N_2} \right) \times \left( \frac{R_2}{R_1} \right)$
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{400}{200} \right) \times \left( \frac{60}{30} \right)$
$\frac{B_1}{B_2} = 2 \times 2 = 4$
તેથી,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) સોલેનોઇડનું મેગ્નેટાઇઝિંગ ફિલ્ડ (અથવા ચુંબકીય તીવ્રતા) $H$ એ સૂત્ર $H = nI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ ગૂંચળામાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$n = 500 \,m^{-1}$
$I = 4 \,A$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = 500 \times 4 = 2000 \,Am^{-1}$
$H = 2 \times 10^3 \,Am^{-1}$
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $2000 \,Am^{-1}$ સાથે મેળ ખાતો નથી। તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(D) ટોરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા $r$ એ આંતરિક અને બાહ્ય ત્રિજ્યાની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$r = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{24 \ cm + 25 \ cm}{2} = 24.5 \ cm = 24.5 \times 10^{-2} \ m$
આપેલ આંટાની સંખ્યા $N = 4900$ અને પ્રવાહ $I = 12 \ A$ છે.
ટોરોઇડના કોરની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4900 \times 12}{2 \pi \times 24.5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4900 \times 12}{24.5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{2 \times 4900 \times 12}{24.5} \times 10^{-5}$
$B = \frac{117600}{24.5} \times 10^{-5} = 4800 \times 10^{-5} \ T = 48 \ mT$.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 1 \,m$
સ્તરોની સંખ્યા $= 5$
દરેક સ્તરમાં આંટા $= 500$
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 5 \times 500 = 2500$
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = N / L = 2500 / 1 = 2500 \,m^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4.4 \,mT = 4.4 \times 10^{-3} \,T$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4.4 \times 10^{-3} = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2500 \times I$
$4.4 \times 10^{-3} = (4 \times 3.14159 \times 10^{-7}) \times 2500 \times I$
$4.4 \times 10^{-3} = 3.14159 \times 10^{-3} \times I$
$I = 4.4 / 3.14159 \approx 1.4 \,A$
તેથી, વહેતો પ્રવાહ $1.4 \,A$ છે.

(A) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
પોલા નળાકારની અંદરના બિંદુ માટે $(r < R)$,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 0$ છે. તેથી,$B(2\pi r) = 0$,જે સૂચવે છે કે $r < R$ માટે $B = 0$ છે.
પોલા નળાકારની બહારના બિંદુ માટે $(r \geq R)$,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = i$ છે. તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 i$,જે સૂચવે છે કે $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$.
આ દર્શાવે છે કે નળાકારની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને નળાકારની બહાર તે $1/r$ મુજબ ઘટે છે. આલેખ $(i)$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે: આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1 = 20 \,cm = 0.2 \,m$, બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2 = 25 \,cm = 0.25 \,m$, આંટાની સંખ્યા $N = 800$, વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 12 \,A$.
ટોરોઇડની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $B \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા $(r_1)$ પર મહત્તમ અને મહત્તમ ત્રિજ્યા $(r_2)$ પર ન્યૂનતમ હોય છે.
મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{\max} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 800 \times 12}{2 \pi \times 0.2} = 9.6 \times 10^{-3} \,T = 9.6 \,mT$.
ન્યૂનતમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{\min} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 800 \times 12}{2 \pi \times 0.25} = 7.68 \times 10^{-3} \,T = 7.68 \,mT$.

(A) આદર્શ સોલેનોઇડ એટલે એવી કોઈલ કે જેની લંબાઈ $L$ તેની ત્રિજ્યા $R$ કરતા ઘણી વધારે હોય $(L \gg R)$ અને તેના આંટાઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક વીંટળાયેલા હોય. આવી રચનામાં,સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગભગ સમાન અને અક્ષને સમાંતર હોય છે. તેથી,'આંટાઓ એકબીજાથી દૂર હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(D) અક્ષથી $r = 3R/2$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
પ્રવાહ $i$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A = \pi(2R)^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$ પર સમાન રીતે વિતરિત હોવાથી,પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{i}{3\pi R^2}$ છે.
$r = 3R/2$ ત્રિજ્યાવાળા એમ્પીયરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = J \times \text{Area}_{\text{enclosed}} = J \times \pi(r^2 - R^2) = \frac{i}{3\pi R^2} \times \pi \left( \left(\frac{3R}{2}\right)^2 - R^2 \right) = \frac{i}{3R^2} \times \left( \frac{9R^2}{4} - R^2 \right) = \frac{i}{3R^2} \times \frac{5R^2}{4} = \frac{5i}{12}$ છે.
એમ્પીયરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $B(2\pi r) = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
$B \times 2\pi \left(\frac{3R}{2}\right) = \mu_0 \left(\frac{5i}{12}\right)$.
$B(3\pi R) = \frac{5\mu_0 i}{12}$.
$B = \frac{5\mu_0 i}{36\pi R}$.

(B) સોલેનોઇડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $M = N I A$, જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે, $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે, અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે।
આપેલ છે:
$N = 1200$
$A = 5 \,cm^2 = 5 \times 10^{-4} \,m^2$
$M = 1.2 \,J \,T^{-1}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1.2 = 1200 \times I \times (5 \times 10^{-4})$
$1.2 = 1200 \times 5 \times 10^{-4} \times I$
$1.2 = 6000 \times 10^{-4} \times I$
$1.2 = 0.6 \times I$
$I = \frac{1.2}{0.6} = 2 \,A$
તેથી, સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $2 \,A$ છે।

(C) ટોરોઇડ એ મૂળભૂત રીતે સોલેનોઇડનું વર્તુળાકાર સ્વરૂપ છે. ટોરોઇડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તેના કોરની અંદર જ મર્યાદિત રહે છે અને તે સમકેન્દ્રી વર્તુળો બનાવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ટોરોઇડની અંદર મર્યાદિત હોવાથી,ટોરોઇડની બહારનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
જો ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ શૂન્ય ન હોત,તો ટોરોઇડ મોટા અંતરે ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તત,જે $\frac{1}{r^3}$ ના દરે ઘટતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરત.
આમ,આદર્શ ટોરોઇડની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ શૂન્ય હોવી જોઈએ.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1 \times 10^{-27} \ kg$,વીજભાર $q = 1 \times 10^{-16} \ C$,ઝડપ $v = 1000 \ m/s$,ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$,આંટાની સંખ્યા $N = 5000$,પ્રવાહ $I = 5 \ A$.
વેગના ઘટકો:
$v_{\parallel} = v \cos 60^{\circ} = 1000 \times 0.5 = 500 \ m/s$ (અક્ષની દિશામાં)
$v_{\perp} = v \sin 60^{\circ} = 1000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3} \ m/s$ (અક્ષને લંબ)
સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I = \mu_0 (N/L) I$ છે.
સોલેનોઈડની લંબાઈ $L$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v_{\parallel}} = \frac{L}{500}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n'$ નીચે મુજબ મળે: $n' = \frac{t}{T} = \frac{L/v_{\parallel}}{2\pi m / qB} = \frac{L \cdot q \cdot B}{v_{\parallel} \cdot 2\pi m}$.
$B = \frac{\mu_0 N I}{L}$ મૂકતા:
$n' = \frac{L \cdot q \cdot (\mu_0 N I / L)}{v_{\parallel} \cdot 2\pi m} = \frac{q \mu_0 N I}{v_{\parallel} \cdot 2\pi m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$n' = \frac{10^{-16} \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 5000 \times 5}{500 \times 2\pi \times 10^{-27}}$
$n' = \frac{10^{-16} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 25000}{1000\pi \times 10^{-27}}$
$n' = 10^6$.
આમ,પરિભ્રમણની કુલ સંખ્યા $1 \times 10^6$ છે.

(A) ટોરોઇડના વાઇન્ડિંગમાં પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ H m}^{-1}$,$n = 1500 \text{ turns/m}$,અને $I = 10 \text{ A}$.
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 1500 \times 10 = 6 \pi \times 10^{-3} \text{ T} = 6 \pi \text{ mT}$.
કુલ આંતરિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = 10 \pi \text{ mT}$ આપેલ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર અને મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $(B_m)$ નો સરવાળો છે:
$B_0 = B + B_m$.
તેથી,$B_m = B_0 - B = 10 \pi \text{ mT} - 6 \pi \text{ mT} = 4 \pi \text{ mT}$.

(C) આદર્શ સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $L = 0.5 \ m$,ત્રિજ્યા $R = 0.1 \ m$,પ્રવાહ $I = 2.5 \ A$.
કુલ આંટા $N = 2 \times 100 = 200$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = N / L = 200 / 0.5 = 400 \ turns/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 400 \times 2.5$.
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 1000 = 4 \pi \times 10^{-4} \ T$.
બિંદુ અક્ષથી $5 \ cm$ દૂર હોવાથી,તે સોલેનોઈડની અંદર આવેલું છે (કારણ કે $5 \ cm < 10 \ cm$).
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $4 \pi \times 10^{-4} \ T$ છે.

(A) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઈડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા,$n = 1000 \ turns/m = 10^3 \ m^{-1}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 2 \ A$.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી,$\mu_r = 400$ (નોંધ: ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ એ ગર્ભના દ્રવ્ય પર આધારિત નથી).
કિંમતો મૂકતા:
$H = 10^3 \ m^{-1} \times 2 \ A = 2000 \ Am^{-1} = 2 \times 10^3 \ Am^{-1}$.
આમ,સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $2 \times 10^3 \ Am^{-1}$ છે.

(B) સોલેનોઈડની લંબાઈ, $L = 80 \,cm = 0.8 \,m$.
કુલ આંટાની સંખ્યા, $N = 5 \times 400 = 2000$.
પ્રવાહ, $i = 8 \,A$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા, $n = \frac{N}{L} = \frac{2000}{0.8} = 2500 \,turns/m$.
લાંબા સોલેનોઈડની અંદર તેના કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 ni$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A) \times (2500 \,m^{-1}) \times (8 \,A)$.
$B = 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 20000$.
$B = 12.566 \times 10^{-3} \times 2 = 2.513 \times 10^{-2} \,T$.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય આશરે $2.5 \times 10^{-2} \,T$ છે.

(B) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ ગાળાની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન એ ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_{\text{enclosed}}$
પાતળી દીવાલવાળા પાઇપની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,આપણે એક એમ્પેરિયન લૂપ (વર્તુળ) પસંદ કરી શકીએ છીએ જે સંપૂર્ણપણે પાઇપની અંદર હોય.
કારણ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ફક્ત પાઇપની દીવાલોમાંથી જ વહે છે,આ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{\text{enclosed}} = 0$ થાય છે.
તેથી,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,જે સૂચવે છે કે પાઇપની અંદરના કોઈપણ બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શૂન્ય છે.

(A) આપેલ છે:
આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1 = 24 \ cm = 0.24 \ m$
બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2 = 26 \ cm = 0.26 \ m$
આંટાની સંખ્યા $N = 2000$
પ્રવાહ $I = 12 \ A$
ટોરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25 \ cm = 0.25 \ m$
ટોરોઇડના કોરની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \mu_0 n I$
જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,$n = \frac{N}{2 \pi r}$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \mu_0 \left( \frac{N}{2 \pi r} \right) I$
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times \left( \frac{2000}{2 \pi \times 0.25} \right) \times 12$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times \left( \frac{2000}{0.25} \right) \times 12$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times 8000 \times 12$
$B = 192000 \times 10^{-7} \ T$
$B = 1.92 \times 10^{-2} \ T$

(B) આપેલ છે:
$n = 70 \text{ turns } cm^{-1} = 7000 \text{ turns } m^{-1}$
$r = 2.5 \text{ cm} = 0.025 \text{ m}$
$v = 4.4 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$
$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
લાંબા સોલેનોઈડ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 n I$
બળના સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{mv^2}{r} = qv(\mu_0 n I)$
પ્રવાહ $I$ માટે સૂત્ર:
$I = \frac{mv}{q \mu_0 n r}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (4.4 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (7000) \times (0.025)}$
$I = 0.1125 \text{ A} = 112.5 \text{ mA}$

(C) સોલેનોઈડની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સોલેનોઈડને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે: $B_s = \mu_0 n I_s$. અહીં $n = 10 \text{ turns/cm} = 1000 \text{ turns/m}$ અને $I_s = 7 \times 10^{-3} \text{ A}$ છે। તેથી, $B_s = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 7 \times 10^{-3} = 28\pi \times 10^{-7} \text{ T}$.
$r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ અંતરે સીધા વાહકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે: $B_c = \frac{\mu_0 I_c}{2\pi r}$.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર અક્ષ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે। તેથી, $\tan(60^{\circ}) = \frac{B_c}{B_s}$.
$\sqrt{3} = \frac{\mu_0 I_c / (2\pi r)}{\mu_0 n I_s} = \frac{I_c}{2\pi r n I_s}$.
$I_c = \sqrt{3} \times 2\pi r n I_s = 1.7 \times 2 \times 3.14 \times 0.05 \times 1000 \times 7 \times 10^{-3}$.
$I_c = 1.7 \times 6.28 \times 0.05 \times 7 = 3.7366 \text{ A} \approx 3.74 \text{ A}$.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(H)$ નું સૂત્ર $H = n \cdot I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$H = 1000 \ A/m$
$I = 2 \ A$
સૂત્ર $H = n \cdot I$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1000 = n \times 2$
$n = 500 \ \text{આંટા/મીટર}$.
પ્રતિ મીટર આંટાને પ્રતિ સેન્ટિમીટર આંટામાં ફેરવવા માટે:
$n = 500 \ \text{આંટા/મીટર} = 500 \ \text{આંટા} / 100 \ \text{સેમી} = 5 \ \text{આંટા/સેમી}$.
આમ,પ્રતિ સેન્ટિમીટર આંટાની સંખ્યા $5$ છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \mu_0 n i$,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,અને $i$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(B \propto n)$,જો $n$ નું મૂલ્ય બમણું કરવામાં આવે,તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પણ બમણું થઈ જશે.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા નળાકાર વાહક માટે,વાહકની અક્ષથી $r$ અંતરે આવેલા બહારના બિંદુ $P$ (જ્યાં $r > R$) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
અહીં,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,અને $r$ એ વાહકના કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ સુધીનું ત્રિજ્યાવર્તી અંતર છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે $(n = N/L)$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 50 \ cm = 0.5 \ m$
આંટાની સંખ્યા $N = 400$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \pi \times 10^{-3} \ T$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
સૌ પ્રથમ,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યાની ગણતરી કરો:
$n = \frac{N}{L} = \frac{400}{0.5} = 800 \ turns/m$
હવે,$B = \mu_0 n I$ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકો:
$4 \pi \times 10^{-3} = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 800 \times I$
$I = \frac{4 \pi \times 10^{-3}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 800}$
$I = \frac{10^{-3}}{10^{-7} \times 800} = \frac{10^4}{800} = \frac{100}{8} = 12.5 \ A$.

(A) આપેલ છે: સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી, $\mu_r = \frac{800}{\pi}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ, $I = 2 \text{ A}$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા, $n = 1000 \text{ m}^{-1}$.
સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = nI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H = 1000 \times 2 = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu H = \mu_0 \mu_r H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{800}{\pi}) \times (2 \times 10^3)$.
$B = 4 \times 10^{-7} \times 800 \times 2 \times 10^3$.
$B = 6400 \times 10^{-4} \text{ T} = 0.64 \text{ T}$.
$1 \text{ T} = 1000 \text{ mT}$ હોવાથી, $B = 0.64 \times 1000 \text{ mT} = 640 \text{ mT}$.

(A) સોલેનોઇડના અક્ષીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોલેનોઇડની અંદરના બિંદુ (કેન્દ્ર) માટે,$\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 180^{\circ}$ છે.
તેથી,$B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = \frac{\mu_0 n I}{2}(1 - (-1)) = \mu_0 n I$.
સોલેનોઇડના છેડા પરના બિંદુ માટે,$\theta_1 = 90^{\circ}$ અને $\theta_2 = 180^{\circ}$ છે.
તેથી,$B_{\text{end}} = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos 90^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = \frac{\mu_0 n I}{2}(0 - (-1)) = \frac{\mu_0 n I}{2}$.
કેન્દ્ર અને છેડા પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $\frac{B_{\text{center}}}{B_{\text{end}}} = \frac{\mu_0 n I}{\frac{\mu_0 n I}{2}} = 2$ થાય છે.

(B) સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U = \frac{B^2 V}{2 \mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$V$ એ કદ છે અને $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે.
આપેલ છે કે બંને સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા સમાન છે,તેથી $U_X = U_Y$.
તેથી,$\frac{B_X^2 V_X}{2 \mu_0} = \frac{B_Y^2 V_Y}{2 \mu_0}$,જેનું સાદું રૂપ $B_X^2 V_X = B_Y^2 V_Y$ થાય છે.
કદ $V = A \times L$ હોવાથી,આપણી પાસે $B_X^2 A_X L_X = B_Y^2 A_Y L_Y$ છે.
આપેલ છે કે $A_Y = 2 A_X$ અને $L_Y = 2 L_X$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$B_X^2 A_X L_X = B_Y^2 (2 A_X) (2 L_X)$.
$B_X^2 A_X L_X = 4 B_Y^2 A_X L_X$.
બંને બાજુ $A_X L_X$ વડે ભાગતા,આપણને $B_X^2 = 4 B_Y^2$ મળે છે.
આમ,$\frac{B_X^2}{B_Y^2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{|B_X|}{|B_Y|} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) સોલેનોઈડ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $I = 20 \ A$,$l = 2 \ m$,$B = 20 \ mT = 20 \times 10^{-3} \ T$,અને વ્યાસ $d = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 1.5 \times 10^{-2} \ m$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી:
$n = \frac{B}{\mu_0 I} = \frac{20 \times 10^{-3}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 20} = \frac{10^4}{4 \pi} \ m^{-1}$.
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = n \times l = \frac{10^4}{4 \pi} \times 2 = \frac{10^4}{2 \pi}$.
તારની લંબાઈ એ કુલ આંટાની સંખ્યા અને એક આંટાના પરિઘનો ગુણાકાર છે:
$L_{wire} = N \times (2 \pi r) = \left( \frac{10^4}{2 \pi} \right) \times (2 \pi \times 1.5 \times 10^{-2}) = 10^4 \times 1.5 \times 10^{-2} = 1.5 \times 10^2 \ m = 150 \ m$.