Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Gujarati

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અનંત લંબાઈના પોલા વાહક નળાકાર માટે જેની સપાટી પર $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે:
$1$) નળાકારની અંદર $(r < R)$,આપણે $r < R$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર એમ્પીરીયન લૂપ પસંદ કરીને એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આ લૂપમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થતો ન હોવાથી,બંધિત વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{enc} = 0$ છે. તેથી,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enc} = 0$,જે સૂચવે છે કે $B = 0$ છે.
$2$) નળાકારની બહાર $(r \geq R)$,આપણે $r \geq R$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર એમ્પીરીયન લૂપ પસંદ કરીએ છીએ. આ લૂપ દ્વારા બંધિત કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે. એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I$. નળાકાર સંમિતિને કારણે,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,જે $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ આપે છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર નળાકારની અંદર શૂન્ય છે અને નળાકારની બહાર અંતર $r$ સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા (ચુંબકીય ક્ષેત્ર) $B_{\text{centre}} = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાંબા સોલેનોઈડની અક્ષ પર તેના છેડા આગળ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B_{\text{end}} = \frac{\mu_0 n I}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર પરની ફ્લક્સ ઘનતા અને છેડા પરની ફ્લક્સ ઘનતાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{end}}} = \frac{\mu_0 n I}{\left(\frac{\mu_0 n I}{2}\right)} = \frac{2}{1}$.
આમ, ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(C) ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$n = 1000 \ m^{-1}$
$I = \frac{1}{4 \pi} \ A$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times \left( \frac{1}{4 \pi} \right)$
$B = 10^{-7} \times 10^3$
$B = 10^{-4} \ T$ (અથવા $Wb/m^2$)
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $(u_B)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને લંબાઈ $L$ ધરાવતા સોલેનોઈડના નાના ભાગનું કદ $(V)$:
$V = A \times L$
આ કદમાં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ઉર્જા $(U)$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે:
$U = u_B \times V$
$U = \left( \frac{B^2}{2 \mu_0} \right) \times (A L)$
$U = \frac{B^2 A L}{2 \mu_0}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$n = 70\,turns/cm = 70 \times 10^2\,turns/m = 7000\,turns/m$
$I = 2.0\,A$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,TmA^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (7000) \times (2.0)$
$B = 56000\pi \times 10^{-7}\,T$
$B = 56\pi \times 10^{-4}\,T$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$B \approx 56 \times 3.14159 \times 10^{-4}\,T$
$B \approx 175.928 \times 10^{-4}\,T \approx 176 \times 10^{-4}\,T$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 1200$
સોલેનોઇડની લંબાઈ $L = 2\,m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2\,A$
સૌ પ્રથમ,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ શોધો:
$n = \frac{N}{L} = \frac{1200}{2} = 600\,m^{-1}$
હવે,ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ ની ગણતરી કરો:
$H = nI = 600 \times 2 = 1200\,A m^{-1}$
તેથી,$H = 1.2 \times 10^3\,A m^{-1}$.

(C) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = N/\ell$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 2\,cm^2 = 2 \times 10^{-4}\,m^2$
લંબાઈ $\ell = 40\,cm = 0.4\,m$
આંટાની સંખ્યા $N = 400$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 0.4\,A$
કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 4\pi \times 10^{-6}\,Wb$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
ચુંબકીય ફ્લક્સનું સૂત્ર $\phi = B \cdot A = (\mu_r \mu_0 \frac{N}{\ell} I) A$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4\pi \times 10^{-6} = \mu_r \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{400}{0.4}) \times 0.4 \times (2 \times 10^{-4})$
$4\pi \times 10^{-6} = \mu_r \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 400 \times (2 \times 10^{-4})$
$10^{-6} = \mu_r \times 10^{-7} \times 400 \times 2 \times 10^{-4}$
$10^{-6} = \mu_r \times 10^{-7} \times 8 \times 10^{-2}$
$10^{-6} = \mu_r \times 8 \times 10^{-9}$
$\mu_r = \frac{10^{-6}}{8 \times 10^{-9}} = \frac{1000}{8} = 125$.

(C) સમાન પ્રવાહ વિતરણ ધરાવતા લાંબા સીધા તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < a)$: એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$. પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$I_{enclosed} = I \cdot (\frac{\pi r^2}{\pi a^2}) = I \frac{r^2}{a^2}$. તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{a^2}$,જે આપે છે $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$. આમ,$B \propto r$.
$2$. તારની બહાર $(r > a)$: એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,જે આપે છે $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$. તેથી,$B \propto \frac{1}{r}$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = ni$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$H = 1.6 \times 10^3 \text{ A m}^{-1}$
$n = 8 \text{ turns/cm} = 8 \times 10^2 \text{ turns/m} = 800 \text{ m}^{-1}$
સૂત્ર $i = H / n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$i = \frac{1.6 \times 10^3}{800} = \frac{1600}{800} = 2 \text{ A}$.
તેથી,સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $2 \text{ A}$ છે.

(D) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = ni$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
સોલેનોઈડની લંબાઈ $\ell = 15\,cm = 0.15\,m$
આંટાની સંખ્યા $N = 60$
ચુંબકીય તીવ્રતા $H = 2.4 \times 10^3\,A/m$
પ્રથમ,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ શોધો:
$n = \frac{N}{\ell} = \frac{60}{0.15} = 400\,turns/m$
હવે,વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ શોધવા માટે $H = ni$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$2.4 \times 10^3 = 400 \times i$
$i = \frac{2400}{400} = 6\,A$
તેથી,જરૂરી વિદ્યુતપ્રવાહ $6\,A$ છે.

(A) પદાર્થથી ભરેલા ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_0$ એ મુક્ત અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\mu_r$ એ પદાર્થની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી છે.
આપેલ છે કે મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m = 2 \times 10^{-2}$.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1 + \chi_m = 1 + 0.02 = 1.02$ છે.
તેથી,નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.02 B_0$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{B - B_0}{B_0} \times 100\%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.02 B_0 - B_0}{B_0} \times 100\% = 0.02 \times 100\% = 2\%$.

(C) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
કેબલની બહારના બિંદુ માટે (બહારના વાહકની ત્રિજ્યા કરતા વધારે અંતર $r$ પર),એમ્પીરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ પ્રવાહ એ કેન્દ્રિય વાહકનો પ્રવાહ $(+I)$ અને બહારના વાહકનો પ્રવાહ $(-I)$ નો સરવાળો છે.
તેથી,$I_{\text{enclosed}} = I + (-I) = 0$.
જેમ કે $I_{\text{enclosed}} = 0$,તેથી કેબલની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે $(n = m/\ell)$.
$n$ માટેનું પદ મૂકતા, આપણને $B = \mu_0 (m/\ell) i$ મળે છે.
$m$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $m = (B \times \ell) / (\mu_0 \times i)$.
આપેલ કિંમતો: $B = 6.28 \times 10^{-3} \,T$, $\ell = 0.5 \,m$, $i = 5 \,A$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \approx 12.56 \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
આ કિંમતો મૂકતા: $m = (6.28 \times 10^{-3} \times 0.5) / (12.56 \times 10^{-7} \times 5)$.
$m = (3.14 \times 10^{-3}) / (62.8 \times 10^{-7}) = (3.14 \times 10^{-3}) / (6.28 \times 10^{-6}) = 0.5 \times 10^3 = 500$.
તેથી, $m$ નું મૂલ્ય $500$ છે.

(A) સમાન પ્રવાહ ઘનતા $J$ ધરાવતા લાંબા નળાકારની અંદરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 J r}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ અક્ષથી અંતર છે.
આ સિસ્ટમને $2a$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $R = a$) ધરાવતા મોટા નળાકાર તરીકે ગણી શકાય જેમાંથી $a$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r_c = a/2$) ધરાવતો નાનો નળાકાર બાદ કરવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ મોટા નળાકારની અક્ષથી $a$ અંતરે અને નાના નળાકારની અક્ષથી $a$ અંતરે છે.
મોટા નળાકારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 J a}{2}$ છે.
નાના નળાકાર (પોલાણ) ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 J (a/2)^2}{2a} = \frac{\mu_0 J a}{8}$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 J a}{2} - \frac{\mu_0 J a}{8} = \frac{3 \mu_0 J a}{8} = \frac{4.5}{12} \mu_0 a J$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ $N = 5$ મળે છે.

(D) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
કિસ્સો-$I$: $r < R/2$ માટે,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 0$,તેથી $|\vec{B}| = 0$.
કિસ્સો-$II$: $R/2 \leq r \leq R$ માટે,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(r^2 - (R/2)^2)$ છે.
એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ કરતા: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(r^2 - R^2/4)$.
આમ,$|\vec{B}| = \frac{\mu_0 J}{2r}(r^2 - R^2/4)$. આ દર્શાવે છે કે $|\vec{B}|$ એ $r = R/2$ પર $0$ થી વધીને $r = R$ પર મહત્તમ થાય છે.
કિસ્સો-$III$: $r > R$ માટે,બંધિત પ્રવાહ અચળ છે: $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(R^2 - (R/2)^2) = J \cdot \pi(3R^2/4)$.
એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ કરતા: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(3R^2/4)$.
આમ,$|\vec{B}| = \frac{3\mu_0 J R^2}{8r}$. આ દર્શાવે છે કે $r > R$ માટે $|\vec{B}|$ એ $1/r$ મુજબ ઘટે છે.
જે આલેખ $r < R/2$ માટે $|\vec{B}| = 0$,$R/2 \leq r \leq R$ માટે વધતું વિધેય અને $r > R$ માટે $1/r$ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $D$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(A) $1$. $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના પોલા નળાકાર વાહક માટે,એમ્પીયરના નિયમ મુજબ અંદરના ભાગમાં $(r < R)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{cyl} = 0$ છે,અને બહારના ભાગમાં $(r > R)$ તે $B_{cyl} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ (સ્પર્શક) છે.
$2$. $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $2R$ ત્રિજ્યાના અનંત સોલેનોઇડ માટે,અંદરના ભાગમાં $(r < 2R)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{sol} = \mu_0 n I$ (અક્ષની દિશામાં) છે,અને બહારના ભાગમાં $(r > 2R)$ તે $0$ છે.
$3$. $0 < r < R$ વિસ્તાર: $B_{cyl} = 0$ અને $B_{sol} = \mu_0 n I$. આમ,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I \neq 0$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$4$. $R < r < 2R$ વિસ્તાર: $B_{cyl} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ (સ્પર્શક) અને $B_{sol} = \mu_0 n I$ (અક્ષીય). કુલ ક્ષેત્ર આ બંનેનો સદિશ સરવાળો છે,જે સંપૂર્ણપણે અક્ષીય કે સંપૂર્ણપણે સ્પર્શક નથી. વિધાન $(B)$ અને $(C)$ ખોટા છે.
$5$. $r > 2R$ વિસ્તાર: $B_{cyl} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ (સ્પર્શક) અને $B_{sol} = 0$. આમ,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \neq 0$. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$6$. તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(D)$ છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{B}{\mu_0} = n I$ મળે છે.
$n$ (એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{-1}]$ છે.
$I$ (વિદ્યુતપ્રવાહ) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે.
તેથી,$\frac{B}{\mu_0}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{-1} A]$ થાય છે.

(A) ત્રિજ્યા ધરાવતા અને સમાન રીતે વહેંચાયેલ પ્રવાહ $I$ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < a)$: એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$. પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$I_{\text{enclosed}} = I \cdot (\pi r^2 / \pi a^2) = I(r^2/a^2)$. તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 I (r^2/a^2)$,જે આપે છે $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$. આમ,$B \propto r$.
$2$. તારની બહાર $(r > a)$: એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,જે આપે છે $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$. તેથી,$B \propto 1/r$.
$3$. સપાટી પર $(r = a)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$B_{\text{max}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાંબા સોલેનોઇડ માટે,અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ મીટર આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આવર્તકાળના સૂત્રમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2\pi m}{q \mu_0 n I}$.
$n$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $n = \frac{2\pi m}{q \mu_0 I T}$.
આપેલ કિંમતો: $m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$I = 1.5 \text{ A}$,$T = 75 \times 10^{-9} \text{ s}$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2\pi \times 9 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 1.5 \times 75 \times 10^{-9}}$.
$n = \frac{18\pi \times 10^{-31}}{9.6\pi \times 10^{-35} \times 75}$.
$n = \frac{18 \times 10^4}{720} = 250 \text{ આંટા/મીટર}$.

(A) લાંબા સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \mu_0 n i = \mu_0 \left( \frac{N}{\ell} \right) i$ છે.
અહીં,$N = 200$,$i = 0.29 \ A$,$B = 2.9 \times 10^{-4} \ T$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ છે.
લંબાઈ $\ell$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\ell = \frac{\mu_0 N i}{B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\ell = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 200 \times 0.29}{2.9 \times 10^{-4}} \ m$.
$\ell = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 0.29}{2.9 \times 10^{-4}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 0.29}{29 \times 10^{-5}} \ m$.
$\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 10^{-1} \ m = 8\pi \times 10^{-2} \ m$.
કારણ કે $1 \ m = 100 \ cm$,તેથી $\ell = 8\pi \times 10^{-2} \times 100 \ cm = 8\pi \ cm$.
આમ,સોલેનોઇડની લંબાઈ $8\pi \ cm$ છે.

(D) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ ધરાવતા માધ્યમમાં ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{B^2}{2\mu_r\mu_0}$ છે.
અહીં $\mu_r = 2$ આપેલ છે,તેથી $u = \frac{B^2}{2(2)\mu_0} = \frac{B^2}{4\mu_0}$ થાય.
કદ $V = Al$ માં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ઉર્જા $U = u \times V$ છે.
તેથી,$U = \frac{B^2}{4\mu_0} \times Al = \frac{B^2 Al}{4\mu_0}$.

(B) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
પ્રતિ $cm$ આંટાની સંખ્યા,$n = 200 \ \text{turns/cm} = 200 \times 10^2 \ \text{turns/m} = 2 \times 10^4 \ \text{turns/m}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 2.5 \ A$.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ \text{Wb/A} \cdot \text{m}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times 2.5$
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^4$
$B = 20\pi \times 10^{-3} \ \text{T}$
$B = 2\pi \times 10^{-2} \ \text{T} \approx 6.28 \times 10^{-2} \ \text{Wb/m}^2$.

(D) લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ હોવાથી, $B = \frac{\phi}{A}$ થાય.
$B$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\phi}{A} = \frac{\mu_0 NI}{L}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = NIA$ શોધવા માટે ગોઠવતા: $NIA = \frac{\phi L}{\mu_0}$.
અહીં $\phi = 1.57 \times 10^{-6} \, Wb$, $L = 0.6 \, m$, અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.6}{4 \pi \times 10^{-7}}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા, $4 \pi \approx 12.56$ થાય.
$M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.6}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{0.942 \times 10^{-6}}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{9.42}{12.56} \approx 0.75 \, Am^2$.

(A) લાંબા સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\ell$ એ લંબાઈ છે.
ધારો કે $r$ એ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા છે,તેથી $A = \pi r^2$. આમ,$L = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{\ell}$.
તારની કુલ લંબાઈ $W$ એ એક આંટાનો પરિઘ ગુણ્યા આંટાની સંખ્યા છે: $W = N(2 \pi r)$.
આના પરથી,$N = \frac{W}{2 \pi r}$.
$N$ ની કિંમત ઇન્ડક્ટન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $L = \frac{\mu_0 (W / 2 \pi r)^2 \pi r^2}{\ell} = \frac{\mu_0 W^2 \pi r^2}{\ell (4 \pi^2 r^2)} = \frac{\mu_0 W^2}{4 \pi \ell}$.
$W$ માટે ઉકેલતા: $W^2 = \frac{4 \pi \ell L}{\mu_0}$,જે આપે છે $W = \left[\frac{4 \pi \ell L}{\mu_0}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(B) ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_{0} N I A}{2 \pi R}$ છે.
કુલ ફ્લક્સ સાંકળ (flux linkage) $N \phi = \frac{\mu_{0} N^{2} I A}{2 \pi R}$ થાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{N \phi}{I}$ છે.
કુલ ફ્લક્સ સાંકળનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $L = \frac{\mu_{0} N^{2} A}{2 \pi R}$ મળે છે.

(C) આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $L$ ને $L = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ટોરોઇડ માટે,કોરની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $n = \frac{N}{2 \pi R}$,તેથી $B = \mu_{0} \left( \frac{N}{2 \pi R} \right) I$.
ગૂંચળાના દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે,જ્યાં $A = \pi r^{2}$ એ ગૂંચળાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$N$ આંટા સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ $\Phi = N \phi = N (B \cdot A) = N \left( \mu_{0} \frac{N}{2 \pi R} I \right) (\pi r^{2})$ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $\Phi = \frac{\mu_{0} N^{2} r^{2} I}{2 R}$ મળે છે.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_{0} N^{2} r^{2}}{2 R}$ થાય છે.

(C) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ નું રેખા સંકલન એ લૂપમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
$\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$
આપેલ આકૃતિમાં,$5 \ A$ અને $2 \ A$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બે તાર લૂપની અંદર છે. આ પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 5 \ A - 2 \ A = 3 \ A$ થાય છે.
$3 \ A$ પ્રવાહ ધરાવતો તાર લૂપની બહાર છે,તેથી તે કુલ ઘેરાયેલા પ્રવાહમાં ફાળો આપતો નથી.
તેથી,રેખા સંકલનનું મૂલ્ય $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_0 \times 3 \ A = 3 \mu_0$ થાય છે.

(C) લાંબા સોલેનોઈડ માટે,તેના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 nI$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ અને મુક્ત અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu_0 H$ છે.
$B$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\mu_0 H = \mu_0 nI$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = nI$ થાય છે.

(D) ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવાનું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$ છે.
આપેલ છે:
$I = 5 \ A$
$r = 20 \ cm = 0.2 \ m$
$N = 4000$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4000 \times 5}{2 \pi \times 0.2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20000}{0.2}$
$B = \frac{4 \times 10^{-3}}{0.2} = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ માટેનું સૂત્ર: $H = nI$,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $(n = N/L)$ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$H = 2.4 \times 10^3 \ A/m$
$L = 15 \ cm = 0.15 \ m$
$N = 60$
સંબંધ $H = \frac{NI}{L}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $I$ શોધી શકીએ છીએ:
$I = \frac{H \times L}{N}$
$I = \frac{2.4 \times 10^3 \times 0.15}{60}$
$I = \frac{360}{60} = 6 \ A$
તેથી,સોલેનોઇડમાં વહેતો પ્રવાહ $6 \ A$ છે.

(C) આદર્શ સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે $(n = N/L)$,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે અને $I$ એ સોલેનોઈડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સૂત્ર $B = \mu_0 (N/L) I$ એ આંટાની સંખ્યા $N$,લંબાઈ $L$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ તે સોલેનોઈડ બનાવવા માટે વપરાતા તારની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,ચુંબકીય પ્રેરણ તારની ત્રિજ્યાથી સ્વતંત્ર છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
શરૂઆતમાં,$B = \mu_0 n I$.
પ્રશ્ન મુજબ,આંટાની નવી સંખ્યા $n' = 3n$ છે અને નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $I' = \frac{I}{4}$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \mu_0 n' I'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા,આપણને $B' = \mu_0 (3n) \left(\frac{I}{4}\right)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$B' = \frac{3}{4} (\mu_0 n I) = \frac{3}{4} B$ થાય છે.

(C) ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની અક્ષ પર ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 n I$
જ્યાં $n = \frac{N}{2 \pi r}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આ સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$
અહીં,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $r$ એ ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા છે.
જોકે,પ્રમાણિત સમીકરણ $B = \mu_0 n I$ માં,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા દર્શાવે છે. ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે. સમીકરણ $B = \mu_0 n I$ દર્શાવે છે કે ક્ષેત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ અને આંટાની ઘનતા પર આધાર રાખે છે. જો $n$ અચળ રાખવામાં આવે,તો ચુંબકીય પ્રેરણ ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા $r$ પર આધારિત નથી.
આમ,ચુંબકીય પ્રેરણ ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યાથી સ્વતંત્ર છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $l$ એ લંબાઈ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$L = \mu_0 \left(\frac{N}{l}\right)^2 \times l \times \frac{\pi d^2}{4}$
આપેલ છે કે $n = N/l$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ ઇન્ડક્ટન્સ:
$\frac{L}{l} = \mu_0 n^2 \left(\frac{\pi d^2}{4}\right)$
$\frac{L}{l} = \mu_0 \pi \left(\frac{nd}{2}\right)^2$

(B) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ટોરોઇડની અંદર $r$ ત્રિજ્યાનો એક એમ્પીયરીયન લૂપ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $r = \frac{r_1 + r_2}{2}$ છે.
એમ્પીયરના નિયમ મુજબ: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વર્તુળાકાર પથ પર સમાન છે અને લંબાઈના ઘટક $d\vec{l}$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
તેથી,$B \oint dl = \mu_0 N I$.
લૂપનો પરિઘ $2 \pi r = 2 \pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right) = \pi(r_1 + r_2)$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $B \cdot \pi(r_1 + r_2) = \mu_0 N I$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{\pi(r_1 + r_2)}$ મળે છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડ માટે,તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ ને $H = B / \mu_0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $H = (\mu_0 n I) / \mu_0 = n I$ મળે છે.
તેથી,લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $n I$ છે.

(D) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 n I$
જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
શરૂઆતનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી આંટાની સંખ્યા $n' = 2n$ અને નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $I' = \frac{1}{3}I$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B'$ નીચે મુજબ મળે:
$B' = \mu_0 n' I'$
$B' = \mu_0 (2n) \left(\frac{1}{3}I\right)$
$B' = \frac{2}{3} (\mu_0 n I)$
$B' = \frac{2}{3} B$
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું નવું મૂલ્ય $\frac{2B}{3}$ થશે.

(B) ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \mu_0 n I$,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
અહીં $B \propto I$ હોવાથી,જો પ્રવાહ ત્રણ ગણો કરવામાં આવે $(I_2 = 3I_1)$,તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ મૂળ મૂલ્ય કરતાં ત્રણ ગણું થશે.
આપેલ છે કે $B_1 = 0.2 \ mT$ અને $I_2 = 3I_1$,તેથી:
$B_2 = 3 \times B_1 = 3 \times 0.2 \ mT = 0.6 \ mT$.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
શરૂઆતમાં,$B_1 = \mu_0 n_1 I_1$.
આપેલ છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ ઘટાડીને $20 \%$ કરવામાં આવે છે,તેથી નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2 = 0.2 I_1$.
પ્રતિ $cm$ આંટાની સંખ્યા પાંચ ગણી વધારવામાં આવે છે,તેથી નવી આંટાની ઘનતા $n_2 = 5 n_1$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \mu_0 n_2 I_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_2 = \mu_0 (5 n_1) (0.2 I_1) = \mu_0 n_1 I_1 (5 \times 0.2) = \mu_0 n_1 I_1 (1) = B_1$.
તેથી,નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ એ $B_1$ જેટલું જ છે.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ, $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા નળાકાર તારની અક્ષથી $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (તારની બહારના બિંદુઓ માટે, જ્યાં $R \ge \text{તારની ત્રિજ્યા}$)।
બંને કિસ્સામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન છે અને અંતર $R$ પણ સમાન છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ અને તારથી અંતર પર આધાર રાખે છે。
આથી, તારનો વ્યાસ તારની બહાર $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રને અસર કરતું નથી。
તેથી, $B_1 = B_2$।

(C) લાંબી સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
અહીં,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 4 \times 1000 = 4000$.
સોલેનોઈડની લંબાઈ $L = 2 \,m$.
તેથી,$n = \frac{N}{L} = \frac{4000}{2} = 2000 \text{ turns/m}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \,A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \,Wb/Am) \times (2000 \text{ turns/m}) \times (5 \,A)$.
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 10000$.
$B = 4 \pi \times 10^{-3} \,T$.

(A) ટોરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા $r = \frac{r_{1} + r_{2}}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} n I$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{2 \pi r}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $n = \frac{N}{2 \pi \left(\frac{r_{1} + r_{2}}{2}\right)} = \frac{N}{\pi(r_{1} + r_{2})}$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} I \left(\frac{N}{\pi(r_{1} + r_{2})}\right) = \frac{\mu_{0} NI}{\pi(r_{1} + r_{2})}$ થાય છે.

(A) ટોરોઇડ એ એક પોલાણવાળી ગોળાકાર રિંગ છે જેના પર ધાતુના તારના ઘણા બધા આંટાઓ નજીકથી વીંટાળેલા હોય છે.
તેને એક એવા સોલેનોઇડ તરીકે વિચારી શકાય છે જેને ગોળાકાર આકારમાં વાળીને બંધ લૂપ બનાવવામાં આવ્યું હોય.
તેથી,ટોરોઇડ એ રિંગ આકારનું બંધ સોલેનોઇડ છે.

(C) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_{0} n_{total} I$ છે,જ્યાં $n_{total}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
અહીં $n$ સ્તરો છે અને દરેક સ્તરમાં $L$ લંબાઈ પર $N$ આંટા છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ કુલ આંટાની સંખ્યા $n_{total} = \frac{n \times N}{L}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $B = \mu_{0} \left( \frac{n N}{L} \right) I$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના આ સમીકરણમાં વ્યાસ $D$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વ્યાસ $D$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA = \frac{\mu_0 NIA}{L}$ છે.
સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = NIA$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ફ્લક્સના સમીકરણમાં $M$ મૂકતા: $\phi = \frac{\mu_0 M}{L}$.
$M$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $M = \frac{\phi L}{\mu_0}$.
આપેલ છે કે $\phi = 1.57 \times 10^{-6} \text{ Wb}$, $L = 0.8 \text{ m}$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.8}{4 \times 3.14 \times 10^{-7}}$.
$M = \frac{1.57 \times 0.8 \times 10^{-6}}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{1.256 \times 10^{-6}}{1.256 \times 10^{-6}} = 1 \text{ Am}^2$.

(A) હવા ગર્ભ ધરાવતા લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 ni$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\chi$ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવતો પદાર્થ સોલેનોઈડની અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1 + \chi$ થાય છે.
ગર્ભ સાથે સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r B_0$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $B = (1 + \chi) \mu_0 ni$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $(u)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$u = \frac{B^2}{2\mu_0}$
આપેલ છે:
$B = 0.6 \ T$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A \approx 12.56 \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{(0.6)^2}{2 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-7}}$
$u = \frac{0.36}{25.12 \times 10^{-7}}$
$u = \frac{0.36}{2.512 \times 10^{-6}}$
$u \approx 0.1433 \times 10^6 \ J/m^3$
$u = 1.43 \times 10^5 \ J/m^3$