Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Gujarati

(D) સ્થિર સીધો પ્રવાહ $(I)$ વહન કરતી પાતળી પોલી તાંબાની પાઇપ માટે:
$1$. એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ, પોલા વાહકની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે ઘેરાયેલો પ્રવાહ શૂન્ય છે.
$2$. પાઇપની બહાર, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે શૂન્ય નથી.
$3$. પ્રવાહ વહન કરતા વાહક માટે, પ્રવાહ જાળવી રાખવા માટે પાઇપની લંબાઈ સાથે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ હોય છે. આ સૂચવે છે કે સપાટી પર અને વાહકની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$4$. જોકે, પાઇપની બહાર, આસપાસની જગ્યામાં, વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે પાઇપ વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ છે (તે પ્રવાહ વહન કરે છે, ચોખ્ખો સ્થિર વિદ્યુતભાર નહીં).
$5$. તેથી, પાઇપની બહાર વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી તેવું વિધાન ખોટું છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અક્ષ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} nI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \frac{N}{\ell}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
જ્યારે સોલેનોઇડને ચાર સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડાની લંબાઈ $\ell^{\prime} = \frac{\ell}{4}$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ટુકડા પર મૂળ આંટાની સંખ્યા કરતા અડધા આંટા વીંટાળવામાં આવે છે,તેથી $N^{\prime} = \frac{N}{2}$.
એકમ લંબાઈ દીઠ નવા આંટાની સંખ્યા $n^{\prime} = \frac{N^{\prime}}{\ell^{\prime}} = \frac{N/2}{\ell/4} = \frac{4N}{2\ell} = 2 \left(\frac{N}{\ell}\right) = 2n$ થાય છે.
પ્રવાહ $I$ સમાન રહેતો હોવાથી,નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે:
$B^{\prime} = \mu_{0} n^{\prime} I = \mu_{0} (2n) I = 2(\mu_{0} nI) = 2B$.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ માર્ગ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન તે માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
અનંત લંબાઈની પાતળી દીવાલવાળી નળીની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,આપણે નળીની અક્ષ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યાનો (જ્યાં $r < R$,$R$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે) એક વર્તુળાકાર એમ્પીરીયન લૂપ વિચારી શકીએ છીએ.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ફક્ત નળીની સપાટી પર વહેતો હોવાથી,આ એમ્પીરીયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 0$ થાય છે.
એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
અહીં $I_{\text{enclosed}} = 0$ હોવાથી,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = 0$ મળે છે.
તેથી,નળીની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નું મૂલ્ય $0$ છે.

(D) પ્રવાહ ધારિત સોલેનોઇડ ગજિયા ચુંબક જેવું જ વર્તે છે. જ્યારે ગજિયા ચુંબક અથવા પ્રવાહ ધારિત સોલેનોઇડને મુક્ત રીતે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ચુંબકીય મેરિડિયન (ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા) ની સાથે ગોઠવાય છે. તેથી,તે ચુંબકીય મેરિડિયનને લંબ રહે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) સીમિત લંબાઈના સોલેનોઈડના અક્ષીય મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 n i}{2} (\cos \theta_1 + \cos \theta_2)$
મધ્યબિંદુ માટે,$\theta_1 = \theta_2 = \theta$. તેથી,$B = \mu_0 n i \cos \theta$.
અહીં,$n = \frac{N}{l}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
સોલેનોઈડની ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{l/2}{\sqrt{r^2 + (l/2)^2}} = \frac{l}{\sqrt{4r^2 + l^2}}$.
આ કિંમતોને $B$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \mu_0 \left(\frac{N}{l}\right) i \left(\frac{l}{\sqrt{4r^2 + l^2}}\right)$
$B = \frac{N \mu_0 i}{\sqrt{4r^2 + l^2}}$

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનો ચુંબકીય સ્થિતિમાનનો તફાવત એકમ ઉત્તર ધ્રુવને ખસેડવા માટે કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે. વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારની આસપાસના બંધ ગાળા માટે, કરેલું કાર્ય $W = m \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ, $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$.
તેથી, એક પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં થયેલું કાર્ય $W_{rev} = m \mu_0 I$ છે.
આપેલ છે: $m = 10 \, Am$, $I = 5 \, A$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$W_{rev} = 10 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 5 = 200\pi \times 10^{-7} = 2\pi \times 10^{-5} \, J$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $30 \, \text{rpm} = 0.5 \, \text{revolutions/sec}$ છે.
એક સેકન્ડમાં થયેલું કાર્ય = $(\text{પ્રતિ પરિભ્રમણ કાર્ય}) \times (\text{સેકન્ડ દીઠ પરિભ્રમણની સંખ્યા}) = (2\pi \times 10^{-5} \, J) \times 0.5 = \pi \times 10^{-5} \, J$.

(D) આંતરિક ત્રિજ્યા $a = R/2$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $b = R$ ધરાવતા અનંત પોલા નળાકાર માટે,જેમાં સમાન પ્રવાહ ઘનતા $J$ વહે છે:
$1$. $r < R/2$ માટે,બંધિત પ્રવાહ $0$ છે,તેથી $B = 0$.
$2$. $R/2 \le r \le R$ માટે,એમ્પીયરના નિયમ $\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 I_{enc}$ નો ઉપયોગ કરતા,$B(2\pi r) = \mu_0 J \pi (r^2 - (R/2)^2)$ મળે છે. તેથી,$B = \frac{\mu_0 J}{2r} (r^2 - R^2/4) = \frac{\mu_0 J}{2} (r - R^2/4r)$.
$3$. $r > R$ માટે,કુલ પ્રવાહ $I = J \pi (R^2 - (R/2)^2) = J \pi (3R^2/4)$ બંધિત છે. તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,જે આપે છે $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$,એટલે કે $B \propto 1/r$.
આ વર્તણૂકની સરખામણી કરતા: $r < R/2$ માટે $B=0$,વાહકની અંદર $B$ વધે છે અને પછી ઘટે છે,અને $r > R$ માટે $B \propto 1/r$. આ ફેરફારને આલેખ $D$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \frac{N}{L}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે તારની ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, mm$ છે,તેથી તારનો વ્યાસ $d = 2r = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$ થાય.
આંટાઓ એકબીજાને ચુસ્ત રીતે વીંટાળેલા હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા $n = \frac{1}{d} = \frac{1}{2r} = \frac{1}{10^{-3} \, m} = 10^3 \, m^{-1}$ થશે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \, A$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \mu_0 n I = (4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A) \times (10^3 \, m^{-1}) \times (5 \, A)$
$B = 20 \pi \times 10^{-4} \, T$
$B = 2 \pi \times 10^{-3} \, T$.

(D) માધ્યમ ધરાવતા ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 \mu_r N i}{L}$
જ્યાં $L = 2 \pi r$ એ સરેરાશ પરિઘ લંબાઈ છે.
આપેલ કિંમતો:
$i = 2.0\,A$
$N = 400\,\text{આંટા}$
$L = 40\,cm = 0.4\,m$
$B = 1.0\,T$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,T \cdot m/A$
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\mu_r = \frac{B \cdot L}{\mu_0 \cdot N \cdot i}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu_r = \frac{1.0 \times 0.4}{4 \pi \times 10^{-7} \times 400 \times 2.0}$
$\mu_r = \frac{0.4}{3200 \pi \times 10^{-7}}$
$\mu_r = \frac{0.4}{3.2 \pi \times 10^{-4}} = \frac{4000}{3.2 \pi} \approx \frac{4000}{10.05} \approx 398$
આપેલા વિકલ્પોમાં નજીકની કિંમત લેતા, $\mu_r \approx 400$ મળે છે.

(D) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$
આ પ્રશ્નમાં,$R$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર પથ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહન કરતા સીધા તારને ઘેરતો નથી. તેથી,વર્તુળાકાર પથ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 0$ છે.
જેহেতু સંકલન બંધ વર્તુળાકાર પથ પર લેવામાં આવે છે,અને બાહ્ય તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તાર ન હોય તેવા વિસ્તારમાં સંરક્ષી છે,તેથી બંધ લૂપની આસપાસ સ્પર્શકીય ઘટક $\vec{B}_T$ નું રેખીય સંકલન શૂન્ય થાય છે.
આમ,$\oint \vec{B}_T \cdot d\vec{l} = 0$.

(C) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$n = 1000 \ m^{-1}$
$I = \frac{1}{4\pi} \ A$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times \left(\frac{1}{4\pi}\right)$
$B = 10^{-7} \times 10^3$
$B = 10^{-4} \ Wb/m^2$.

(A) અનંત લંબાઈના આદર્શ સોલેનોઈડ માટે,તેની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માત્ર એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા અને વિદ્યુતપ્રવાહ પર આધાર રાખે છે,જે તેને સોલેનોઈડની કુલ લંબાઈ $l$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ થી સ્વતંત્ર બનાવે છે.
આદર્શ સોલેનોઈડની અંદર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન અને સોલેનોઈડની અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ સમજાવે છે કે શા માટે ક્ષેત્ર સોલેનોઈડના પરિમાણોથી સ્વતંત્ર છે (કારણ કે સમાન ક્ષેત્ર એ આદર્શ સોલેનોઈડ મોડેલનો ગુણધર્મ છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2$ છે.
ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $I^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવાથી (એટલે કે $I$ ને $-I$ કરવાથી) $I^2$ ના મૂલ્યમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,સોલેનોઈડમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા અચળ રહે છે.
વિધાનમાં ઉર્જા ઘટે છે તેમ કહેવામાં આવ્યું છે,તેથી વિધાન ખોટું છે.
કારણ જણાવે છે કે ઉર્જા ઘનતા પ્રવાહના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,જે સાચું છે.
આમ,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(C) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$I$ પ્રવાહ વહન કરતા $R$ ત્રિજ્યાના લાંબા નળાકાર વાહકની અક્ષથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$d \leq R$ (વાહકની અંદર) માટે,$B = \frac{\mu_{0}Id}{2 \pi R^{2}}$,જે દર્શાવે છે કે $B \propto d$ (રેખીય સંબંધ).
$d > R$ (વાહકની બહાર) માટે,$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi d}$,જે દર્શાવે છે કે $B \propto \frac{1}{d}$ (હાયપરબોલિક સંબંધ).
સપાટી પર $(d = R)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$B_{max} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $d = R$ સુધી રેખીય વધારો અને $d > R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે તે આકૃતિ $C$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(A) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{2 \pi r}$ છે,જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાઓની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $r$ એ સરેરાશ ત્રિજ્યા છે.
ટોરોઇડ $1$ માટે આપેલ છે: $N_1 = 200$,$r_1 = 40 \; cm$.
ટોરોઇડ $2$ માટે આપેલ છે: $N_2 = 100$,$r_2 = 20 \; cm$.
બંને માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ સમાન હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 N_1 i}{2 \pi r_1}}{\frac{\mu_0 N_2 i}{2 \pi r_2}} = \frac{N_1}{N_2} \times \frac{r_2}{r_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{200}{100} \right) \times \left( \frac{20}{40} \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $I$ છે અને પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{I}{\pi a^2}$ છે.
તારની અંદર $r < a$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,એમ્પીયરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{enclosed}$.
$B(2\pi r) = \mu_0 (J \cdot \pi r^2) \Rightarrow B = \frac{\mu_0 J r}{2}$.
$r = \frac{a}{3}$ માટે,$B_A = \frac{\mu_0 J (a/3)}{2} = \frac{\mu_0 J a}{6}$.
તારની બહાર $r > a$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,તાર તેની અક્ષ પર $I$ પ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર તરીકે વર્તે છે.
$B(2\pi r) = \mu_0 I = \mu_0 (J \pi a^2) \Rightarrow B = \frac{\mu_0 J a^2}{2r}$.
$r = 2a$ માટે,$B_B = \frac{\mu_0 J a^2}{2(2a)} = \frac{\mu_0 J a}{4}$.
ગુણોત્તર $\frac{B_A}{B_B} = \frac{\mu_0 J a / 6}{\mu_0 J a / 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ થાય.

(N/A) $r > a$ કિસ્સાનો વિચાર કરો. એમ્પીરીયન લૂપ,જેને $2$ તરીકે દર્શાવેલ છે,તે આડછેદ સાથે કેન્દ્રિત વર્તુળ છે. આ લૂપ માટે,પથની લંબાઈ $L = 2 \pi r$ છે.
લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_e = I$ છે.
એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_e$,આપણને મળે છે:
$B(2 \pi r) = \mu_0 I$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આમ,$r > a$ માટે $B \propto \frac{1}{r}$ થાય છે.
$(b)$ $r < a$ કિસ્સાનો વિચાર કરો. એમ્પીરીયન લૂપ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું $1$ તરીકે દર્શાવેલ વર્તુળ છે.
પથની લંબાઈ $L = 2 \pi r$ છે.
પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોવાથી,ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_e$ એ લૂપના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં છે:
$I_e = I \left( \frac{\pi r^2}{\pi a^2} \right) = I \frac{r^2}{a^2}$.
એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$B(2 \pi r) = \mu_0 \left( I \frac{r^2}{a^2} \right)$
$B = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi a^2} \right) r$
આમ,$r < a$ માટે $B \propto r$ થાય છે.

(A) એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $N = 500$ અને $l = 0.5\; m$ આપેલ છે, તેથી $n = \frac{500}{0.5} = 1000\; \text{turns}/m$.
સોલેનોઈડની લંબાઈ $l = 0.5\; m$ અને ત્રિજ્યા $r = 0.01\; m$ છે. અહીં $l \gg r$ હોવાથી, આપણે તેને આદર્શ લાંબા સોલેનોઈડ તરીકે ગણી શકીએ.
લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\; T\cdot m/A$, $n = 1000\; m^{-1}$, અને $I = 5\; A$.
$B = (4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times 1000 \times 5$
$B = 20 \times 3.14 \times 10^{-4} = 62.8 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-3}\; T$.

(A) સોલેનોઈડની લંબાઈ,$l = 80\; cm = 0.8\; m$.
સોલેનોઈડ પર $400$ આંટાવાળા $5$ સ્તર છે.
તેથી,સોલેનોઈડ પરના કુલ આંટાની સંખ્યા,$N = 5 \times 400 = 2000$.
સોલેનોઈડમાંથી વહેતો પ્રવાહ,$I = 8.0\; A$.
સોલેનોઈડની અંદર તેના કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\; T\; m\; A^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 8.0}{0.8}$.
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 10 = 8\pi \times 10^{-3} \approx 2.512 \times 10^{-2}\; T$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય આશરે $2.5 \times 10^{-2}\; T$ છે.

(A) સોલેનોઈડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
આપેલ છે $B = 100 \;G = 10^{-2} \;T$.
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \;T \;m \;A^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$n I = \frac{B}{\mu_0} = \frac{10^{-2}}{4\pi \times 10^{-7}} \approx 7958 \;A \;m^{-1}$.
મહત્તમ $n = 1000 \;turns \;m^{-1}$ અને મહત્તમ $I = 15 \;A$ હોવાથી,$n I$ નો ગુણાકાર $15000 \;A \;m^{-1}$ સુધી હોઈ શકે છે.
$n I \approx 7958 \;A \;m^{-1}$ મેળવવા માટે,આપણે $n = 800 \;turns \;m^{-1}$ અને $I \approx 10 \;A$ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
$10 \;cm$ ની લંબાઈ પર સમાન ક્ષેત્ર માટે,સોલેનોઈડની લંબાઈ નોંધપાત્ર રીતે મોટી હોવી જોઈએ,દા.ત.,$L = 50 \;cm$. ત્રિજ્યા આડછેદને સમાવવા માટે પૂરતી મોટી હોવી જોઈએ,દા.ત.,$r = 2 \;cm$ (ક્ષેત્રફળ $\approx 1.25 \times 10^{-3} \;m^2$).
આમ,$50 \;cm$ લંબાઈ,$2 \;cm$ ત્રિજ્યા,$400$ આંટા અને $10 \;A$ પ્રવાહ ધરાવતો સોલેનોઈડ એક યોગ્ય ડિઝાઇન છે.

(B) આપેલ છે:
આંતરિક ત્રિજ્યા $r_{1} = 25 \; cm = 0.25 \; m$
બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_{2} = 26 \; cm = 0.26 \; m$
આંટાની સંખ્યા $N = 3500$
પ્રવાહ $I = 11 \; A$
$(a)$ ટોરોઇડની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે ટોરોઇડની બહાર એમ્પીરીયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ પ્રવાહ શૂન્ય છે.
$(b)$ ટોરોઇડના કોરની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} N I}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ સરેરાશ પરિઘ છે.
સરેરાશ ત્રિજ્યા $r = \frac{r_{1} + r_{2}}{2} = \frac{0.25 + 0.26}{2} = 0.255 \; m$
સરેરાશ લંબાઈ $l = 2 \pi r = 2 \pi (0.255) = 0.51 \pi \; m$
$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7} \; T \cdot m \cdot A^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3500 \times 11}{0.51 \pi} = \frac{4 \times 10^{-7} \times 38500}{0.51} \approx 3.02 \times 10^{-2} \; T$
$(c)$ ટોરોઇડ દ્વારા ઘેરાયેલી ખાલી જગ્યામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,કારણ કે આ વિસ્તારમાં એમ્પીરીયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(C) સોલેનોઇડની લંબાઈ,$L = 0.6 \; m$.
સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા,$r = 0.04 \; m$.
કુલ આંટાની સંખ્યા,$N = 3 \times 300 = 900$.
તારની લંબાઈ,$l = 0.02 \; m$.
તારનું દળ,$m = 2.5 \times 10^{-3} \; kg$.
તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ,$i = 6.0 \; A$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 9.8 \; m \; s^{-2}$.
સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{L}$ છે,જ્યાં $I$ એ સોલેનોઇડમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = B i l = \frac{\mu_0 N I i l}{L}$ છે.
ચુંબકીય બળ તારના વજનને ટેકો આપે તે માટે,$F = mg$.
તેથી,$\frac{\mu_0 N I i l}{L} = mg$.
$I$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $I = \frac{mgL}{\mu_0 N i l}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8 \times 0.6}{4 \pi \times 10^{-7} \times 900 \times 6.0 \times 0.02}$.
$I = \frac{0.0147}{1.357 \times 10^{-4}} \approx 108 \; A$.

(N/A) $2l$ લંબાઈ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સોલેનોઈડનો વિચાર કરો,જેમાં એકમ લંબાઈ દીઠ $n$ આંટા છે. આપણે કેન્દ્ર $O$ થી $r$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવા માંગીએ છીએ.
કેન્દ્ર $O$ થી $x$ અંતરે $dx$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા વર્તુળાકાર ઘટકનો વિચાર કરો. આ ઘટકમાં આંટાની સંખ્યા $n dx$ છે. ધારો કે સોલેનોઈડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે.
બિંદુ $P$ પર આ વર્તુળાકાર ઘટકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$,વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$dB = \frac{\mu_0 (n dx) I a^2}{2[(r-x)^2 + a^2]^{3/2}}$
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે,આપણે આ પદનું $x = -l$ થી $x = +l$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$B = \int_{-l}^{l} \frac{\mu_0 n I a^2}{2[(r-x)^2 + a^2]^{3/2}} dx$
સોલેનોઈડથી દૂર આવેલા બિંદુ $P$ માટે ($r \gg a$ અને $r \gg l$),આપણે છેદનું આશરે મૂલ્ય લઈ શકીએ:
$[(r-x)^2 + a^2]^{3/2} \approx r^3$
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$B \approx \frac{\mu_0 n I a^2}{2r^3} \int_{-l}^{l} dx$
$B \approx \frac{\mu_0 n I a^2}{2r^3} [x]_{-l}^{l} = \frac{\mu_0 n I a^2}{2r^3} (2l)$
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = n(2l)$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 N I a^2}{2r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2(N I \pi a^2)}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{r^3}$,જ્યાં $m = N I A$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.

(N/A) એમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને તેને ઉત્પન્ન કરતા વિદ્યુતપ્રવાહ વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરવાની એક વૈકલ્પિક અને આકર્ષક રીત પૂરી પાડે છે.
ધારો કે એક ખુલ્લી સપાટી છે જેની સીમા (boundary) છે. આ સપાટીમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે.
આપણે ધારીએ છીએ કે આ સીમા નાના રેખીય ખંડોની બનેલી છે. આવા એક $d\vec{l}$ લંબાઈના ખંડનો વિચાર કરો.
આ ખંડ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સ્પર્શકીય ઘટક $B_{T}$ લઈએ અને તેને તે ખંડની લંબાઈ $dl$ સાથે ગુણીએ:
$B_{T} dl = \vec{B} \cdot d\vec{l}$
જેમ ખંડોની સંખ્યા વધે છે,તેમ આ સરવાળો રેખીય સંકલનમાં ફેરવાય છે.
એમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ જણાવે છે કે: કોઈપણ બંધ ગાળાની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન,તે ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલી સપાટીમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના $\mu_{0}$ ગણું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} \Sigma I$
જ્યાં $\Sigma I$ એ ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતપ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ માટેની સંજ્ઞા પદ્ધતિ જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: જો જમણા હાથની આંગળીઓને લૂપ સંકલનની દિશામાં વાળવામાં આવે,તો અંગૂઠો ધન વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા દર્શાવે છે.

(N/A) ધારો કે $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતો એક અનંત લંબાઈનો સીધો તાર છે. તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે તારના કેન્દ્ર પર $r$ ત્રિજ્યાનું એક વર્તુળાકાર એમ્પિયરિયન લૂપ પસંદ કરીએ છીએ.
સીધા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારને કારણે ઉદ્ભવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કેન્દ્રિત વર્તુળો છે. તેથી,લૂપ પરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ લૂપને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
આકૃતિની સંમિતિ પરથી કહી શકાય કે,લૂપના દરેક બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય સમાન છે. તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું રેખા સંકલન નીચે મુજબ થાય:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint B dl \cos 0^{\circ}$
$= B \oint dl$
$= B(2\pi r)$
એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I$
આ બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$B(2\pi r) = \mu_{0} I$
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2\pi r}$

(N/A) સોલેનોઇડ એટલે હેલિક્સના સ્વરૂપમાં નજીકથી વીંટાળાયેલો ઇન્સ્યુલેટેડ તાંબાનો તાર. લાંબા સોલેનોઇડનો અર્થ એ છે કે સોલેનોઇડની લંબાઈ તેના વ્યાસની સરખામણીમાં ખૂબ મોટી છે.
જો તેની લંબાઈ ત્રિજ્યા કરતા ટૂંકી હોય,તો તેને ટૂંકો સોલેનોઇડ કહેવામાં આવે છે.
તે હેલિક્સના સ્વરૂપમાં વીંટાળાયેલા લાંબા તારનો બનેલો હોય છે જ્યાં પાસપાસેના આંટાઓ નજીક હોય છે. તેથી,દરેક આંટાને વર્તુળાકાર લૂપ તરીકે ગણી શકાય.
વાઇન્ડિંગ માટે ઇનેમલ્ડ વાયરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેથી આંટાઓ એકબીજાથી ઇન્સ્યુલેટેડ રહે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ તમામ આંટાઓને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
આકૃતિ $(a)$ માં આ સોલેનોઇડનો એક વિભાગ વિસ્તૃત રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે.
આકૃતિ $(b)$ માં સમગ્ર મર્યાદિત સોલેનોઇડ અને તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર દર્શાવવામાં આવ્યું છે.
આકૃતિ $(a)$ માં,વર્તુળાકાર લૂપ્સ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે બે પાસપાસેના આંટાઓ વચ્ચેનું ક્ષેત્ર નાબૂદ થાય છે.
આકૃતિ $(b)$ માં,આપણે જોઈએ છીએ કે આંતરિક મધ્યબિંદુ $P$ પરનું ક્ષેત્ર સમાન,પ્રબળ અને સોલેનોઇડની અક્ષની દિશામાં છે.
બાહ્ય મધ્યબિંદુ $Q$ પરનું ક્ષેત્ર નબળું છે અને તે સોલેનોઇડની અક્ષની દિશામાં છે,જેમાં કોઈ લંબ ઘટક નથી.
જેમ સોલેનોઇડ લાંબો બનાવવામાં આવે છે,તેમ તે લાંબી નળાકાર ધાતુની શીટ જેવો દેખાય છે.
સોલેનોઇડની બહારનું ક્ષેત્ર શૂન્યની નજીક પહોંચે છે. આપણે ધારી લઈએ છીએ કે બહારનું ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
અંદરનું ક્ષેત્ર દરેક જગ્યાએ અક્ષને સમાંતર બની જાય છે.

(N/A) આકૃતિ લાંબા સોલેનોઇડનો આડછેદ દર્શાવે છે. સોલેનોઇડના વિવિધ આંટાઓ પર,પ્રવાહ $\odot$ તરીકે ચિહ્નિત બિંદુઓ પર કાગળના સમતલમાંથી બહાર આવે છે અને $\otimes$ તરીકે ચિહ્નિત બિંદુઓ પર કાગળના સમતલમાં પ્રવેશે છે.
અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નક્કી કરવા માટે,એમ્પેરિયન લૂપ તરીકે લંબચોરસ બંધ માર્ગ $abcd$ ધ્યાનમાં લો.
એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ:
$\oint \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \int_{a}^{b} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} + \int_{b}^{c} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} + \int_{c}^{d} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} + \int_{d}^{a} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} \quad \dots(1)$
$cd$ ભાગ સોલેનોઇડની બહાર છે. બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે,તેથી $\int_{c}^{d} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = 0$. $bc$ અને $da$ ભાગો માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર માર્ગને લંબ છે,તેથી $\int_{b}^{c} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \int_{d}^{a} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = 0$.
આમ,સમીકરણ $(1)$ આ મુજબ સરળ બને છે:
$\oint \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \int_{a}^{b} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \int_{a}^{b} B dl \cos 0^{\circ} = B \int_{a}^{b} dl = B h$
(જ્યાં $h$ એ $ab$ ભાગની લંબાઈ છે).
ધારો કે એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ છે. $h$ લંબાઈમાં કુલ આંટાની સંખ્યા $nh$ છે. જો દરેક આંટામાં પ્રવાહ $I$ હોય,તો લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ પ્રવાહ $I_{e} = I(nh) \quad \dots(2)$ છે.
એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_{0} I_{e}$:
$Bh = \mu_{0} (nhI)$
$B = \mu_{0} nI$

(N/A) ટોરોઇડ એ એક એવું સાધન છે જેમાં પોલા રિંગ પર ઇન્સ્યુલેટેડ વાયરના ઘણા બધા આંટા વીંટાળેલા હોય છે.
સોલેનોઇડને વાળીને બંધ રિંગના સ્વરૂપમાં બનાવવામાં આવે તો તેને ટોરોઇડલ સોલેનોઇડ કહેવાય છે.
ધારો કે તેમાંથી $I$ જેટલો પ્રવાહ વહે છે.
એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,આપણે ટોરોઇડની અંદર $r$ ત્રિજ્યાનો એક વર્તુળાકાર એમ્પિરિયન લૂપ વિચારીએ છીએ. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ દરેક બિંદુએ લૂપને સ્પર્શક છે.
એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$
ટોરોઇડની અંદર $r$ ત્રિજ્યાના લૂપ માટે,કુલ આવરી લેવાયેલ પ્રવાહ $N I$ છે,જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે.
$\oint B dl = B (2 \pi r) = \mu_0 N I$
તેથી,ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$
જો $n = \frac{N}{2 \pi r}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા હોય,તો $B = \mu_0 n I$ થાય.

(B) એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ બંધ લૂપની આસપાસના સંકલિત ચુંબકીય ક્ષેત્રને લૂપમાંથી પસાર થતા વિદ્યુત પ્રવાહ સાથે જોડે છે.
તે સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં ગૌસના નિયમનું ચુંબકીય સમકક્ષ છે.
જેમ ગૌસનો નિયમ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતા વિદ્યુત ફ્લક્સને અંદરના વિદ્યુતભાર સાથે જોડે છે,તેમ એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ બંધ માર્ગની આસપાસના ચુંબકીય ક્ષેત્રના રેખા સંકલનને તે માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુત પ્રવાહ સાથે જોડે છે.
તેથી,તે સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં ગૌસના નિયમ સાથે સંકળાયેલ છે.

(N/A) એમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ ગાળાની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન,તે ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$.
અહીં,$\oint$ એ બંધ માર્ગ પરનું રેખીય સંકલન દર્શાવે છે,$\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$d\vec{l}$ એ માર્ગનો સૂક્ષ્મ ખંડ છે,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,અને $I_{enclosed}$ એ ગાળામાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.

(N/A) એમ્પીરીયન લૂપ એ અવકાશમાં એક કાલ્પનિક બંધ લૂપ અથવા માર્ગ છે,જેનો ઉપયોગ વિદ્યુતપ્રવાહના વિતરણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટે એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમને લાગુ કરવા માટે કરવામાં આવે છે.
તે સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં ગોસિયન સપાટી (Gaussian surface) જેવું જ છે.
આ લૂપ સામાન્ય રીતે એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે જેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ કાં તો માર્ગ પર અચળ રહે અથવા તેને લંબ હોય,જે રેખીય સંકલન $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ ને સરળ બનાવે છે.

(A) એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ,તેના મૂળ સ્વરૂપમાં,બંધ ગાળાની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ના રેખા સંકલનને ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા સપાટીમાંથી પસાર થતા સ્થાયી પ્રવાહ $I$ સાથે સંબંધિત કરે છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$.
આ મૂળ સ્વરૂપ ફક્ત એવા સ્થાયી પ્રવાહો (ડાયરેક્ટ કરંટ) માટે જ સખત રીતે માન્ય છે જે સમય સાથે બદલાતા નથી.
સમય સાથે બદલાતા પ્રવાહો માટે,આ નિયમ અધૂરો છે અને તેને મેક્સવેલ દ્વારા સૂચવ્યા મુજબ ડિસ્પ્લેસમેન્ટ કરંટ પદ ઉમેરીને સુધારવો પડે છે,જે એમ્પીયર-મેક્સવેલ નિયમ બને છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I_c + I_d)$,જ્યાં $I_c$ એ વહન પ્રવાહ છે અને $I_d$ એ ડિસ્પ્લેસમેન્ટ કરંટ છે.
તેથી,પ્રારંભિક ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં શીખવવામાં આવતા પ્રમાણભૂત એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમના સંદર્ભમાં,તે સ્થાયી પ્રવાહો માટે સાચો માનવામાં આવે છે.

(N/A) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
$(a)$ $r > a$ માટે: ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I$ છે. તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,જે આપણને $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ આપે છે.
$(b)$ $r = a$ માટે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$ થાય છે.
$(c)$ $r < a$ માટે: પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{I}{\pi a^2}$ છે. ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = J(\pi r^2) = I \frac{r^2}{a^2}$ થાય. એમ્પિયરના નિયમ મુજબ: $B(2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{a^2}$,જે આપણને $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ આપે છે.
$(d)$ અક્ષ પર $(r = 0)$: $r < a$ માટેના સમીકરણમાં $r = 0$ મૂકતા,આપણને $B = 0$ મળે છે.

(N/A) સોલેનોઇડ એ એક લાંબો તાર છે જે નજીકથી વીંટળાયેલા હેલિક્સ (કુંતલ) સ્વરૂપે હોય છે. જ્યારે તેમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ પસાર થાય છે,ત્યારે તે ગજિયા ચુંબક જેવું જ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
લાંબો સોલેનોઇડ એટલે એવો સોલેનોઇડ કે જેની લંબાઈ $(L)$ તેની ત્રિજ્યા $(R)$ કરતા ઘણી વધારે હોય,એટલે કે $L \gg R$.
લાંબા સોલેનોઇડમાં,અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગભગ સમાન હોય છે અને તે સોલેનોઇડની અક્ષની દિશામાં હોય છે. સોલેનોઇડની બહારનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નહિવત હોય છે. આદર્શ લાંબા સોલેનોઇડ માટે,અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુત પ્રવાહ છે.

(A) આદર્શ સોલેનોઇડ માટે,જે અનંત લંબાઈ ધરાવે છે અને જેના આંટાઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક વીંટળાયેલા હોય છે,સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ અક્ષને સમાંતર હોય છે.
આદર્શ સોલેનોઇડની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સોલેનોઇડની બહાર બંધ ગાળો બનાવતી નથી,અને વાઇન્ડિંગના ઉપરના અને નીચેના ભાગોનું યોગદાન એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
તેથી,આદર્શ સોલેનોઇડની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $0$ હોય છે.

(N/A) ખૂબ લાંબા સોલેનોઇડ (આદર્શ સોલેનોઇડ) માટે,જેમાં $I$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે અને એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ છે,તેના અંદરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 n I$
જ્યાં:
$B$ એ ટેસ્લા $(T)$ માં ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,
$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A)$ છે,
$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $(N/L)$ છે,
$I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ એમ્પીયર $(A)$ માં છે.

(B) ટોરોઇડ એ એક પોલો વર્તુળાકાર રિંગ છે જેના પર તારના ઘણા બધા આંટાઓ નજીકથી વીંટાળેલા હોય છે.
એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$N$ કુલ આંટા ધરાવતા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવડાવતા ટોરોઇડ માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે (કોરની અંદર) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$
અહીં પથ $r$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ હોવાથી,$\oint dl = 2 \pi r$ થાય.
પથ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ પ્રવાહ $N \times I$ છે.
તેથી,$B(2 \pi r) = \mu_0 N I$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$ છે.

(B) સોલેનોઇડ એ તારનું લાંબું ગૂંચળું છે જે હેલિકલ આકારમાં વીંટળાયેલું હોય છે. જ્યારે તેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે ગજિયા ચુંબક જેવું જ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે,જ્યારે બહારની તરફ તે ગજિયા ચુંબકની ક્ષેત્ર રેખાઓ જેવી જ હોય છે,જેમાં એક છેડો ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે અને બીજો છેડો દક્ષિણ ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે. તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત સોલેનોઇડ ગજિયા ચુંબક તરીકે વર્તે છે.

(N/A) $2L$ લંબાઈ,$R$ ત્રિજ્યા અને એકમ લંબાઈ દીઠ $n$ આંટા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેવડાવતા મર્યાદિત સોલેનોઇડ માટે,તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા અક્ષ પરના બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2} [\cos \theta_1 + \cos \theta_2]$
જ્યાં $\theta_1$ અને $\theta_2$ એ સોલેનોઇડના છેડાઓ દ્વારા અક્ષ પરના બિંદુ $P$ પર આંતરેલા ખૂણા છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કેન્દ્રથી અંતર $x$ ના સંદર્ભમાં:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2} \left[ \frac{L-x}{\sqrt{R^2 + (L-x)^2}} + \frac{L+x}{\sqrt{R^2 + (L+x)^2}} \right]$

(B) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ એ એક પ્રકારનું ચુંબક છે જેમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
તે સામાન્ય રીતે નરમ લોખંડના ગર્ભની આસપાસ વીંટાળેલા તારના ગૂંચળા (સોલેનોઇડ) થી બનેલું હોય છે.
જ્યારે ગૂંચળામાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,ત્યારે નરમ લોખંડનો ગર્ભ ચુંબકીય બને છે,જે એક મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અદૃશ્ય થઈ જાય છે,જે તેને કામચલાઉ ચુંબક બનાવે છે.

(C) સોલેનોઈડનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
$1$. જો આપણે એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા $(n)$ વધારીએ, તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધે છે.
$2$. જો સોલેનોઈડની અંદર નરમ લોખંડ જેવો ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ (ગર્ભ) મૂકવામાં આવે, તો તેની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $(\mu_r)$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અનેકગણું વધી જાય છે $(B = \mu_0 \mu_r n I)$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) બિંદુ ડાયપોલ $\vec{M} = M\hat{k}$ નું સ્થાન $\vec{r}$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{3(\vec{M} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{M}}{r^3} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એમ્પીયરનો નિયમ જણાવે છે કે $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$.
બિંદુ ડાયપોલ માટે,ઉગમબિંદુ સિવાયના વિસ્તારોમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર સંરક્ષી છે,એટલે કે $\vec{r} \neq 0$ માટે $\nabla \times \vec{B} = 0$ થાય છે.
કારણ કે માર્ગ $C$ એ એક બંધ ગાળો છે જે કોઈપણ પ્રવાહ સ્ત્રોતને ઘેરતો નથી (ડાયપોલ એ ઉગમબિંદુ પરનો બિંદુ સ્ત્રોત છે અને માર્ગ $x-z$ સમતલમાં છે),તેથી કુલ ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{enclosed} = 0$ છે.
તેથી,$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,જે એમ્પીયરના નિયમની ચકાસણી કરે છે કારણ કે $0 = \mu_0(0)$ થાય છે.

(N/A) $z$-અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં હોય છે. તેથી,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = B_z dz$. $z$-અક્ષ પર $B_z$ હંમેશા ધન (અથવા પ્રવાહની દિશા મુજબ ઋણ) હોવાથી,સંકલન $\int_{-L}^{L} B_z dz$ એ $B_z$ વિરુદ્ધ $z$ ના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. જેમ $L$ વધે છે,તેમ સંકલન વધુ ક્ષેત્રફળ એકત્રિત કરે છે,તેથી $\Im(L)$ એકવિધ રીતે વધે છે.
$(b)$ $z$-અક્ષ પર $-L$ થી $L$ સુધીના રેખાખંડ અને $x-y$ સમતલમાં $r \to \infty$ ત્રિજ્યાના મોટા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપથી બનેલા એમ્પીરીયન લૂપનો વિચાર કરો. એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$. જેમ $r \to \infty$ થાય છે,તેમ ચાપમાંથી મળતું યોગદાન શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે $B \propto 1/r^3$. તેથી,$\int_{-L}^{L} B_z dz + 0 = \mu_0 I$,એટલે કે $\Im(\infty) = \mu_0 I$.
$(c)$ વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}}$ છે. $-\infty$ થી $\infty$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mu_0 I R^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}} dz$. ધારો કે $z = R \tan \theta$,તો $dz = R \sec^2 \theta d\theta$. સંકલન $\frac{\mu_0 I}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{2} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \mu_0 I$ બને છે.
$(d)$ ચોરસ કોઈલ માટે,સંમિતિ અલગ છે,પરંતુ અક્ષ પરનું રેખા સંકલન હજુ પણ એમ્પીયરના નિયમની સમાન ટોપોલોજીકલ મર્યાદાઓને અનુસરે છે. તેથી,સમાન બંધ પ્રવાહને કારણે $\Im(\infty)$ એ $\mu_0 I$ જ રહે છે,જ્યારે $\Im(L)$ હજુ પણ એકવિધ રીતે વધશે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \mu_{0} n I$,જ્યાં $n = \frac{N}{\ell}$ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $\ell = 50\, cm = 0.5\, m$
આંટાની સંખ્યા $N = 100$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2.5\, A$
પરમિયેબિલિટી $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\, T\, m\, A^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times \left(\frac{100}{0.5}\right) \times 2.5$
$B = (4 \times 3.14159 \times 10^{-7}) \times 200 \times 2.5$
$B = 12.566 \times 10^{-7} \times 500$
$B = 6283.18 \times 10^{-7} = 6.283 \times 10^{-4}\, T$
આને $...... \times 10^{-5}\, T$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$B = 62.83 \times 10^{-5}\, T$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $62.8$ છે.

(B) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 \mu_r n I$
જ્યાં $n = \frac{N}{2 \pi r}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N = 250$,$r = 0.5 \, cm = 0.5 \times 10^{-2} \, m$,$I = 1.5 \, A$,$\mu_r = 700$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 700 \times \left[ \frac{250}{2 \pi \times 0.5 \times 10^{-2}} \right] \times 1.5$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times 700 \times \left[ \frac{250}{0.5 \times 10^{-2}} \right] \times 1.5$
$B = (14 \times 10^{-5}) \times (50000) \times 1.5$
$B = 14 \times 5 \times 1.5 \times 10^{-1} = 10.5 \, T$.

(A) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
કિસ્સો $(i)$: $x < a$ માટે,$x$ ત્રિજ્યાના એમ્પીરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = i_o \left( \frac{\pi x^2}{\pi a^2} \right) = i_o \frac{x^2}{a^2}$ છે.
એમ્પીયરના નિયમ મુજબ: $B_1 (2 \pi x) = \mu_0 i_o \frac{x^2}{a^2} \implies B_1 = \frac{\mu_0 i_o x}{2 \pi a^2}$.
કિસ્સો $(ii)$: $a < x < b$ માટે,$x$ ત્રિજ્યાના એમ્પીરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ પ્રવાહ એ આંતરિક તારનો કુલ પ્રવાહ છે,$I_{\text{enclosed}} = i_o$.
એમ્પીયરના નિયમ મુજબ: $B_2 (2 \pi x) = \mu_0 i_o \implies B_2 = \frac{\mu_0 i_o}{2 \pi x}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 i_o x}{2 \pi a^2}}{\frac{\mu_0 i_o}{2 \pi x}} = \frac{x}{a^2} \cdot x = \frac{x^2}{a^2}$ થાય છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા જાડા નળાકાર કેબલ માટે:
$1$. કેબલની અંદર $(r < R)$: એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $B \propto r$,જે રેખીય સંબંધ છે.
$2$. કેબલની બહાર $(r > R)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $B \propto 1/r$,જે હાયપરબોલિક સંબંધ છે.
$3$. સપાટી પર $(r = R)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$.
તેથી,આલેખ કેન્દ્રથી સપાટી સુધી રેખીય રીતે વધે છે અને ત્યારબાદ સપાટીની બહાર અંતર વધતા હાયપરબોલિક રીતે ઘટે છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 100 \text{ આંટા/mm} = 100 \times 10^3 \text{ આંટા/m} = 10^5 \text{ આંટા/m}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 1\,A$.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T}\,\text{m/A}$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (10^5) \times (1)$
$B = 4\pi \times 10^{-2} \text{ T}$
$B \approx 4 \times 3.14 \times 10^{-2} \text{ T} = 12.56 \times 10^{-2} \text{ T}$.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ જેટલો સ્થાયી પ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < R)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ છે. આમ,$B \propto r$,જેનો અર્થ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેન્દ્રથી અંતર $r$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
$2$. તારની બહાર $(r > R)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે. આમ,$B \propto 1/r$,જેનો અર્થ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેન્દ્રથી અંતર $r$ સાથે $1/r$ મુજબ ઘટે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સીમા $(r = R)$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે અને ત્યારબાદ બહારના વિસ્તાર માટે $1/r$ મુજબ ઘટે છે.

(B) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,બંધ ગાળાની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન એ ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રવાહના $\mu_{0}$ ગણું હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{\text{enclosed}}$.
કેન્દ્રથી $r < R$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,આપણે $r$ ત્રિજ્યાનો એમ્પેરિયન લૂપ વિચારીએ છીએ.
પ્રવાહ ઘનતા $J$ સમાન છે,તેથી $J = \frac{I}{\pi R^{2}}$.
$r$ ત્રિજ્યાના લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = J \cdot (\pi r^{2}) = \frac{I}{\pi R^{2}} \cdot \pi r^{2} = I \frac{r^{2}}{R^{2}}$ છે.
એમ્પિયરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $B(2\pi r) = \mu_{0} \left( I \frac{r^{2}}{R^{2}} \right)$.
$B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $B = \frac{\mu_{0} I r}{2\pi R^{2}}$ મળે છે.
અહીં $\mu_{0}$,$I$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$B \propto r$ થાય છે.