Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે:
લાંબા તારમાં વહેતો પ્રવાહ,$I = 18 \,A$.
સોલેનોઇડને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B_1 = 8.0 \times 10^{-3} \,T$ (અક્ષની દિશામાં).
અક્ષથી બિંદુ $P$ નું અંતર,$r = 0.6 \,mm = 0.6 \times 10^{-3} \,m$.
લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 18}{0.6 \times 10^{-3}} = \frac{36 \times 10^{-7}}{0.6 \times 10^{-3}} = 60 \times 10^{-4} \,T = 6 \times 10^{-3} \,T$.
સોલેનોઇડને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ અક્ષની દિશામાં છે અને તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ તારની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળને સ્પર્શકની દિશામાં છે. આમ,$B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(8 \times 10^{-3})^2 + (6 \times 10^{-3})^2} \,T$
$B = \sqrt{64 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}} \,T = \sqrt{100 \times 10^{-6}} \,T = 10 \times 10^{-3} \,T$.

(C) ટોરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા $r_m$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$r_m = \frac{0.24 + 0.26}{2} = 0.25 \ m$
ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \mu_0 n I = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r_m}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N = 2500$,$I = 10 \ A$,$r_m = 0.25 \ m$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2500 \times 10}{2 \pi \times 0.25}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25000}{0.25} = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.25} = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \ T$

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા પોલા નળાકાર માટે જે તેની લંબાઈ સાથે સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ વહન કરે છે:
$1$. નળાકારની અંદર $(d < R)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય છે કારણ કે બંધિત વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય છે.
$2$. નળાકારની બહાર $(d \geq R)$,એમ્પીયરના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} i}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $B \propto \frac{1}{d}$.
તેથી,$B$ વિરુદ્ધ $d$ નો આલેખ $d < R$ માટે $B = 0$ અને $d \geq R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવશે. આ આકૃતિ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) સમાન રીતે વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના લાંબા નળાકાર વાહક માટે,અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$1$. વાહકની અંદર $(r < R)$: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$. અક્ષ પર $(r = 0)$,$B = 0$ થાય છે,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$2$. સપાટી પર $(r = R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$3$. વાહકની બહાર $(r > R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$,જે $r$ વધવાની સાથે ઘટે છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર વાહકની અક્ષ પર ન્યૂનતમ હોય છે (વિધાન $D$). વિધાન $A, B, C, E$ ખોટા છે. તેથી,માત્ર વિધાન $D$ સાચું છે.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તે સોલેનોઇડની અક્ષ પર ગતિ કરે છે,તેથી તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_{B} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય છે,તેથી $\vec{F}_{B} = 0$ મળે છે.
કણ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}_{g} = m\vec{g}$ છે જે નીચેની તરફ લાગે છે.
તેથી,પરિણામી બળ $\vec{F}_{net} = m\vec{g}$ થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m\vec{a} = m\vec{g}$,જે દર્શાવે છે કે $\vec{a} = \vec{g}$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $a = g$ થશે.

(B) કોર ધરાવતા સોલેનોઇડમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_r \mu_0 H$ છે,જ્યાં $H$ એ ચુંબકીય તીવ્રતા છે.
આપેલ કિંમતો: $B = 1.0 \text{ T}$,$\mu_r = 400$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$H$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $H = \frac{B}{\mu_r \mu_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{1.0}{400 \times 4\pi \times 10^{-7}} = \frac{1}{1600\pi \times 10^{-7}} = \frac{1}{16\pi \times 10^{-5}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $H = \frac{10^5}{16\pi} = \frac{1}{16\pi} \times 10^5 \text{ A/m}$ મળે છે.
આપેલ પદ $\alpha \times 10^5$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{16\pi}$ મળે છે.