Magnetic field due to magnetic dipole and Dipole in Magnetic Field and Poential Energy and Work Done Questions in Hindi

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,चुंबक क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_1 = 0^\circ$ है। इसे $60^\circ$ घुमाने पर $\theta_2 = 60^\circ$ होता है।
दिया गया है $W = 0.8\, J$,इसलिए $0.8 = MB(\cos 0^\circ - \cos 60^\circ) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$ है।
अतः,$MB = 1.6\, J$ है।
अब,इसे $60^\circ$ से $30^\circ$ और घुमाने के लिए,नई सीमा $\theta_1 = 60^\circ$ से $\theta_2 = 90^\circ$ होगी।
किया गया कार्य $W' = MB(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) = 1.6(0.5 - 0) = 0.8\, J$ है।
चूंकि $1\, J = 10^7\, \text{ergs}$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $0.8 \times 10^7\, \text{ergs}$ है।

(B) चुंबकीय सुई पृथ्वी के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखे एक चुंबकीय द्विध्रुव (dipole) के रूप में कार्य करती है। एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में स्थित चुंबकीय द्विध्रुव पर कोई नेट बल कार्य नहीं करता है,क्योंकि उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर लगने वाले बल समान और विपरीत होते हैं ($F = mB$ और $F = -mB$)। हालाँकि,यह एक टॉर्क (बल आघूर्ण) का अनुभव कर सकती है जो इसे घूमने के लिए प्रेरित करता है। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,$mB_H$ बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप नेट बल शून्य होता है। इसलिए,सुई कॉर्क के साथ मिलकर झील के उत्तर की ओर स्थानांतरित (translate) नहीं होगी; इसके बजाय,यह तब तक घूमेगी जब तक कि यह पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक के समानांतर संरेखित न हो जाए,और इसका उत्तरी ध्रुव भौगोलिक उत्तर की ओर इंगित करे।

(D) लंबे सीधे तार $W$ द्वारा चुंबक के किसी भी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र दाएं हाथ के नियम द्वारा दिया जाता है। चूंकि धारा कागज के तल के अंदर की ओर है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर संकेंद्रित वृत्त हैं।
चूंकि बिंदु $P$ छड़ चुंबक का मध्य बिंदु है,इसलिए तार द्वारा उत्तरी ध्रुव $(N)$ और दक्षिणी ध्रुव $(S)$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र न्यूनतम दूरी की रेखा के सापेक्ष सममित होगा।
उत्तरी ध्रुव पर बल $(F_N = mB_N)$ और दक्षिणी ध्रुव पर बल $(F_S = mB_S)$ का परिमाण समान होगा और चुंबक की अक्ष के सापेक्ष दिशाएं विपरीत होंगी,लेकिन न्यूनतम दूरी की रेखा पर उनके घटक एक ही दिशा में होंगे।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र मध्य बिंदु $P$ से गुजरने वाली न्यूनतम दूरी की रेखा के बारे में सममित है,इसलिए अपने केंद्र $P$ के परितः चुंबक पर लगने वाला कुल टॉर्क शून्य है।
हालाँकि,चुंबक पर लगने वाला कुल बल न्यूनतम दूरी की रेखा के अनुदिश तार की ओर या तार से दूर कार्य करेगा,जो चुंबक के ध्रुवों के अभिविन्यास पर निर्भर करता है।

(B) लूप पर ऋण आवेश दक्षिणावर्त दिशा में घूमता है। चूंकि विद्युत धारा $I$ को धनात्मक आवेश के प्रवाह के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए समतुल्य विद्युत धारा $I$ वामावर्त (anticlockwise) दिशा में प्रवाहित होती है।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,इस वामावर्त धारा लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं लूप के केंद्र में कागज के तल से बाहर की ओर निकलती हैं।
यह धारा लूप एक चुंबकीय द्विध्रुव (magnetic dipole) की तरह व्यवहार करता है जिसका उत्तरी ध्रुव प्रेक्षक की ओर (तल से बाहर) और दक्षिणी ध्रुव प्रेक्षक से दूर (तल के अंदर) होता है।
लूप के ऊपर रखे छोटे चुंबक का उत्तरी ध्रुव दाईं ओर और दक्षिणी ध्रुव बाईं ओर है। लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र छोटे चुंबक के चुंबकीय द्विध्रुव के साथ परस्पर क्रिया करता है।
लूप के चुंबकीय क्षेत्र द्वारा छोटे चुंबक पर लगाए गए बल आघूर्ण (torque) के कारण,चुंबक एक बल का अनुभव करेगा जो इसे घुमाएगा। विशेष रूप से,इस परस्पर क्रिया के परिणामस्वरूप चुंबक नीचे से देखने पर दक्षिणावर्त दिशा में घूमता है।

(A) दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 1.0 \, A-m^2$,द्विध्रुवों के बीच की दूरी $d = 2 \, m$ है। बिंदु मध्य में है,इसलिए प्रत्येक द्विध्रुव से बिंदु की दूरी $r = 1 \, m$ है।
पहले द्विध्रुव के लिए,बिंदु उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित है। चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1}{1^3} = 2 \times 10^{-7} \, T$ है।
दूसरे द्विध्रुव के लिए,बिंदु उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है। चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{1}{1^3} = 1 \times 10^{-7} \, T$ है।
चूंकि अक्ष लंबवत हैं,इसलिए क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(2 \times 10^{-7})^2 + (1 \times 10^{-7})^2} = \sqrt{4 + 1} \times 10^{-7} = \sqrt{5} \times 10^{-7} \, T$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB_H(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
प्रारंभ में,चुंबक चुंबकीय याम्योत्तर के समानांतर है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^\circ$ है।
अंतिम कोण $\theta_2 = \theta$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = MB_H(\cos 0^\circ - \cos \theta)$
चूंकि $\cos 0^\circ = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$W = MB_H(1 - \cos \theta)$

(C) $M$ आघूर्ण वाले दो चुंबकीय द्विध्रुवों के बीच,जो अपनी अक्ष पर $z$ दूरी पर स्थित हैं,बल का सूत्र है:
$F = \frac{3\mu_0}{2\pi} \frac{M^2}{z^4}$
ऊपरी चुंबक के तैरने के लिए,इस प्रतिकर्षण चुंबकीय बल को उस पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए:
$F = m_d g$
$F$ का मान रखने पर:
$\frac{3\mu_0 M^2}{2\pi z^4} = m_d g$
$z$ के लिए हल करने पर:
$z^4 = \frac{3\mu_0 M^2}{2\pi m_d g}$
$z = \left[ \frac{3\mu_0 M^2}{2\pi m_d g} \right]^{1/4}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
यहाँ,प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^\circ$ (क्षेत्र के साथ संरेखित) और अंतिम कोण $\theta_2 = 90^\circ$ (क्षेत्र के लंबवत) है।
दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 1.5 \, A \cdot m^2$ और चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \, T$.
मान रखने पर: $W = 1.5 \times 2 \times (\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$.
$W = 3 \times (1 - 0) = 3 \, J$.
अतः,आवश्यक कार्य $3 \, J$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय सुई को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta_{1} = 0^{\circ}$ और $\theta_{2} = 60^{\circ}$ है,और कार्य $\sqrt{3} \text{ J}$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{3} = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$.
$\sqrt{3} = MB(1 - 0.5) = MB(0.5)$.
अतः,$MB = 2\sqrt{3} \text{ J}$.
सुई को $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\tau = (2\sqrt{3}) \times \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \text{ J}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta_{1} = 0^{\circ}$ और $\theta_{2} = 60^{\circ}$ है,और $W = \sqrt{3} \, J$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{3} = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$.
$\sqrt{3} = MB(1 - 0.5) = MB(0.5) = \frac{MB}{2}$.
अतः,$MB = 2\sqrt{3} \, N \cdot m$.
सुई को $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\tau = (2\sqrt{3}) \sin 60^{\circ} = (2\sqrt{3}) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \, N \cdot m$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{B} = -MB \cos \theta$ है।
स्थिर संतुलन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M}$ को चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के साथ संरेखित होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
दिए गए मानों $M = 0.4\,JT^{-1}$ और $B = 0.16\,T$ को सूत्र में रखने पर:
$U = -(0.4\,JT^{-1})(0.16\,T) \cos(0^{\circ})$
$U = -0.064 \times 1 = -0.064\,J$.
अतः,स्थिर संतुलन में स्थितिज ऊर्जा $-0.064\,J$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -mB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = mB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
टॉर्क के अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta = 1$ होना चाहिए,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर होता है।
स्थितिज ऊर्जा के समीकरण में $\theta = 90^{\circ}$ रखने पर: $U = -mB \cos(90^{\circ}) = -mB(0) = 0$.
अतः,जब टॉर्क अधिकतम होता है तो स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।

(B) मान लीजिए कि दो चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 15 \, mT$ और $B_2$ हैं। उनके बीच का कोण $\alpha = 75^{\circ}$ है।
स्थिर संतुलन में,चुंबकीय द्विध्रुव पर दोनों क्षेत्रों द्वारा लगाया गया टॉर्क समान और विपरीत होना चाहिए।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में द्विध्रुव पर टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $M$ और क्षेत्र $B$ के बीच का कोण है।
मान लीजिए कि द्विध्रुव $B_1$ के साथ $\theta_1 = 30^{\circ}$ का कोण बनाता है। तो $B_2$ के साथ कोण $\theta_2 = \alpha - \theta_1 = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}$ होगा।
संतुलन के लिए,$MB_1 \sin \theta_1 = MB_2 \sin \theta_2$ होना चाहिए।
$B_1 \sin 30^{\circ} = B_2 \sin 45^{\circ}$।
$15 \times \frac{1}{2} = B_2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$B_2 = \frac{15 \times \sqrt{2}}{2} = \frac{15}{1.414} \approx 10.6 \, mT$।
निकटतम पूर्णांक में,$B_2 \approx 11 \, mT$।

(D) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा उसकी अक्ष पर $x$ दूरी (एंड-ऑन स्थिति) पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{x^3}$ द्वारा दिया जाता है।
इस चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले दूसरे चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बल $F = M \cdot \frac{dB}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$B$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$F = M \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{x^3} \right)$
$F = M \cdot \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot 2M \cdot (-3) x^{-4}$
$F = - \frac{6 \mu_0 M^2}{4\pi x^4}$
अतः,बल का परिमाण $F \propto \frac{1}{x^4}$ है,जिसे $F \propto x^{-4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $F \propto x^{-n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।

(C) छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$
दिए गए मान:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 4\,J\,T^{-1}$
केंद्र से दूरी $r = 200\,cm = 2\,m$
चुंबक की लंबाई $2l = 6\,cm$,इसलिए $l = 3\,cm = 0.03\,m$
चूंकि $r \gg l$,हम सूत्र को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$B \approx \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{4}{2^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{4}{8}$
$B = 0.5 \times 10^{-7}\,T = 5 \times 10^{-8}\,T$
अतः,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $5 \times 10^{-8}\,T$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B}$ द्वारा दी जाती है।
$t = 1 \text{ s}$ पर, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 1 \cdot \cos(0.125 \times 1) \hat{i} = \cos(0.125) \hat{i} \text{ T}$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = 10^{-2} \hat{i} \text{ A} \cdot \text{m}^2$ के साथ प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -M B \cos(0.125)$ है।
चुंबकीय आघूर्ण को उलटने के लिए, नया चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}' = -10^{-2} \hat{i} \text{ A} \cdot \text{m}^2$ होगा।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\vec{M}' \cdot \vec{B} = -(-10^{-2}) \cos(0.125) = 10^{-2} \cos(0.125)$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 10^{-2} \cos(0.125) - (-10^{-2} \cos(0.125)) = 2 \times 10^{-2} \cos(0.125) \text{ J}$ है।
$\cos(0.125) \approx 0.992$ का उपयोग करने पर, $W = 2 \times 10^{-2} \times 0.992 = 0.01984 \text{ J} \approx 0.02 \text{ J}$ प्राप्त होता है।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\mu B}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\mu$ चुंबकीय आघूर्ण है।
हुप के लिए,$I_h = MR^2$ और $\mu_h = 2\mu_0$.
ठोस बेलन के लिए,$I_c = \frac{1}{2}MR^2$ और $\mu_c = \mu_0$.
आवर्तकालों का अनुपात लेने पर:
$\frac{T_h}{T_c} = \sqrt{\frac{I_h}{I_c} \cdot \frac{\mu_c}{\mu_h}}$
मान रखने पर:
$\frac{T_h}{T_c} = \sqrt{\frac{MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} \cdot \frac{\mu_0}{2\mu_0}}$
$\frac{T_h}{T_c} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$
अतः,$T_h = T_c$.

(B) बिंदु $P$ पर द्विध्रुव $X$ (अक्षीय स्थिति) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \right) \frac{2M}{(d/2)^3}$ है जो क्षैतिज दिशा में है।
बिंदु $P$ पर द्विध्रुव $Y$ (निरक्षीय स्थिति) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \right) \frac{2M}{(d/2)^3}$ है जो ऊर्ध्वाधर दिशा में है।
चूंकि $B_1 = B_2$,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ क्षैतिज के साथ $45^\circ$ का कोण बनाता है।
आवेश $q$ का वेग सदिश $\vec{v}$ भी क्षैतिज के साथ $45^\circ$ के कोण पर है,जिसका अर्थ है कि $\vec{v}$ और $\vec{B}_{net}$ समानांतर हैं।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{v}$ और $\vec{B}$ समानांतर हैं,इसलिए उनका क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है,अतः कण पर लगने वाला बल $0$ है।

(A) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2Md}{ (d^2 - l^2)^2 }$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $2l$ चुंबक की लंबाई है।
चूंकि दूरियाँ $d_A = 24 \, cm$ और $d_B = 48 \, cm$,चुंबक की लंबाई $2l = 3 \, cm$ की तुलना में बहुत बड़ी हैं,इसलिए हम $B \propto \frac{1}{d^3}$ सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,बिंदुओं $A$ और $B$ पर चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात है:
$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^3$
मान $d_A = 24 \, cm$ और $d_B = 48 \, cm$ रखने पर:
$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{48}{24} \right)^3 = (2)^3 = 8$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$।
दिया गया है:
$\vec{\mu} = 50 \hat{i} \text{ Am}^2$
$\vec{B} = (0.5 \hat{i} + 3.0 \hat{j}) \text{ T}$
मान रखने पर:
$\vec{\tau} = (50 \hat{i}) \times (0.5 \hat{i} + 3.0 \hat{j})$
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{\tau} = (50 \times 0.5) (\hat{i} \times \hat{i}) + (50 \times 3.0) (\hat{i} \times \hat{j})$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$:
$\vec{\tau} = 0 + 150 \hat{k} \text{ Nm}$
$\vec{\tau} = 150 \hat{k} \text{ Nm}$।

(A) मान लीजिए वर्ग $CDEF$ है। चुंबक कोनों $D$ और $F$ पर रखे गए हैं। हमें कोने $E$ पर चुंबकीय प्रेरण ज्ञात करना है।
$1$. $F$ पर स्थित चुंबक $E$ से उसकी अक्ष पर $d$ दूरी पर है। अतः,$E$,$F$ पर स्थित चुंबक के लिए अक्षीय बिंदु है। $F$ पर स्थित चुंबक के कारण $E$ पर चुंबकीय प्रेरण $B_1$ है:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{d^3}$
यह क्षेत्र $EF$ की दिशा में कार्य करता है।
$2$. $D$ पर स्थित चुंबक $E$ से उसकी निरक्षीय रेखा पर $d$ दूरी पर है। अतः,$E$,$D$ पर स्थित चुंबक के लिए निरक्षीय बिंदु है। $D$ पर स्थित चुंबक के कारण $E$ पर चुंबकीय प्रेरण $B_2$ है:
$B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{d^3}$
यह क्षेत्र $D$ पर स्थित चुंबक के चुंबकीय आघूर्ण की विपरीत दिशा में,यानी $FE$ की दिशा में कार्य करता है।
$3$. चूंकि $B_1$ और $B_2$ विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए $E$ पर परिणामी चुंबकीय प्रेरण $B$ है:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{d^3} - \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{d^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{d^3}$

(C) एक छोटे चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B_{\text{axial}} = \frac{2M}{x^3}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $B_{\text{axial}} = 9 \ G$,इसलिए $9 = \frac{2M}{x^3}$,जिसका अर्थ है $\frac{M}{x^3} = 4.5 \ G$ ... $(i)$.
निरक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B_{\text{equatorial}} = \frac{M}{r^3}$ होती है।
यहाँ,$r = \frac{x}{2}$ है। इस मान को सूत्र में रखने पर:
$B_{\text{equatorial}} = \frac{M}{(\frac{x}{2})^3} = \frac{M}{\frac{x^3}{8}} = 8 \times \frac{M}{x^3}$.
समीकरण $(i)$ से मान का उपयोग करने पर:
$B_{\text{equatorial}} = 8 \times 4.5 = 36 \ G$.

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ कोण से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 1.5 \, J/T$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.22 \, T$
प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ (क्षेत्र की दिशा में)
अंतिम कोण $\theta_2 = 90^{\circ}$ (क्षेत्र के लंबवत)
मान रखने पर:
$W = 1.5 \times 0.22 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
$W = 1.5 \times 0.22 \times (1 - 0)$
$W = 0.33 \, J$
अतः,आवश्यक कार्य $0.33 \, J$ है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
$W_1$ के लिए,घूर्णन $0^o$ से $60^o$ तक है:
$W_1 = MB(\cos 0^o - \cos 60^o) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$.
$W_2$ के लिए,घूर्णन $30^o$ से $90^o$ तक है:
$W_2 = MB(\cos 30^o - \cos 90^o) = MB(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \frac{\sqrt{3}}{2} MB$.
$W_1$ और $W_2$ की तुलना करने पर:
$W_2 = \sqrt{3} \times (0.5 MB) = \sqrt{3} W_1$.

(C) जब चुंबकीय द्विध्रुव का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}$ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है (अर्थात $\theta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$),तो वह संतुलन में होता है।
बिंदु $O$ पर,चुंबकीय सुई $P$ का चुंबकीय आघूर्ण ऊपर की ओर है।
किसी भी स्थान पर रखे गए चुंबक $Q$ पर द्विध्रुव $P$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ कार्य करता है। यदि चुंबक $Q$ का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}_Q$,$P$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो निकाय संतुलन में है।
$1$. $Q_1$ और $Q_2$ (अक्षीय स्थितियों) पर,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$P$ के चुंबकीय आघूर्ण के समानांतर है। हालाँकि,$Q_1$ और $Q_2$ का अभिविन्यास क्षैतिज है,जबकि क्षेत्र ऊर्ध्वाधर है। अतः,वे संतुलन में नहीं हैं।
$2$. $Q_3, Q_4, Q_5, Q_6$ (निरक्षीय स्थितियों) पर,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$P$ के चुंबकीय आघूर्ण के प्रति-समानांतर है। इन चुंबकों का अभिविन्यास ऊर्ध्वाधर है,जो क्षेत्र के समानांतर/प्रति-समानांतर है,इसलिए वे संतुलन में हैं।
अतः,$PQ_1$ और $PQ_2$ विन्यास के लिए निकाय संतुलन में नहीं है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,चुंबक क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_1 = 0^\circ$। इसे $60^\circ$ घुमाने पर $\theta_2 = 60^\circ$ होता है।
दिया गया है $W_1 = 0.8\, J$,इसलिए $0.8 = MB(\cos 0^\circ - \cos 60^\circ) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$।
अतः,$MB = 1.6\, J$।
अब,इसे $30^\circ$ और घुमाने का अर्थ है इसे $\theta_1 = 60^\circ$ से $\theta_2 = 90^\circ$ तक घुमाना।
किया गया कार्य $W_2 = MB(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) = 1.6(0.5 - 0) = 0.8\, J$।

(N/A) टॉर्क का सूत्र $\tau = mB \sin \theta$ है। दिया गया है $\theta = 30^{\circ}$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,$B = 800 \; G = 0.08 \; T$,और $\tau = 0.016 \; Nm$.
$0.016 = m \times 0.08 \times 0.5$
$m = 0.016 / 0.04 = 0.40 \; Am^{2}$.
$(b)$ सबसे स्थिर स्थिति $\theta = 0^{\circ}$ है और सबसे अस्थिर स्थिति $\theta = 180^{\circ}$ है। किया गया कार्य $W = U(\theta = 180^{\circ}) - U(\theta = 0^{\circ}) = -mB \cos 180^{\circ} - (-mB \cos 0^{\circ}) = mB + mB = 2mB$.
$W = 2 \times 0.40 \times 0.08 = 0.064 \; J$.
$(c)$ सोलेनोइड के लिए,$m = NIA$ होता है। दिया गया है $m = 0.40 \; Am^{2}$,$N = 1000$,और $A = 2 \times 10^{-4} \; m^{2}$.
$0.40 = 1000 \times I \times 2 \times 10^{-4}$
$0.40 = 0.2 \times I$
$I = 0.40 / 0.2 = 2 \; A$.

(N/A) निकाय की स्थितिज ऊर्जा एक द्विध्रुव $(Q)$ की दूसरे द्विध्रुव $(P)$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र में अन्योन्यक्रिया के कारण उत्पन्न होती है। द्विध्रुव $P$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_P$ इस प्रकार है:
$1$. अक्षीय रेखा पर: $\vec{B}_P = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\vec{m}_P}{r^3}$
$2$. निरक्षीय रेखा पर: $\vec{B}_P = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m}_P}{r^3}$
संतुलन तब होता है जब बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{m}_Q \times \vec{B}_P = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $\vec{m}_Q$ को $\vec{B}_P$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होना चाहिए।
$(a)$ $PQ_1$ और $PQ_2$ विन्यासों में,चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}_Q$ उन बिंदुओं पर क्षेत्र $\vec{B}_P$ के न तो समानांतर है और न ही प्रति-समानांतर। अतः,बलाघूर्ण शून्य नहीं है और निकाय संतुलन में नहीं है।
$(b)$ जब $\vec{m}_Q$,$\vec{B}_P$ के समानांतर होता है तो स्थायी संतुलन (स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{m}_Q \cdot \vec{B}_P$ न्यूनतम होती है) और जब $\vec{m}_Q$,$\vec{B}_P$ के प्रति-समानांतर होता है तो अस्थायी संतुलन (स्थितिज ऊर्जा $U$ अधिकतम होती है) प्राप्त होता है।
$(i)$ स्थायी संतुलन: $PQ_3$ और $PQ_6$.
$(ii)$ अस्थायी संतुलन: $PQ_4$ और $PQ_5$.
$(c)$ स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{m}_Q \cdot \vec{B}_P$ होती है। न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा उस विन्यास के अनुरूप है जहाँ $\vec{m}_Q$ और $\vec{B}_P$ समानांतर हैं और $\vec{B}_P$ का परिमाण अधिकतम है। चूंकि अक्षीय क्षेत्र निरक्षीय क्षेत्र का दोगुना होता है,इसलिए $PQ_6$ (अक्ष पर) न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा प्रदान करता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 0.25 \; T$.
छड़ चुंबक पर लगने वाला टॉर्क,$\tau = 4.5 \times 10^{-2} \; J$.
छड़ चुंबक और बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण,$\theta = 30^{\circ}$.
टॉर्क और चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\tau = M B \sin \theta$
$M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$M = \frac{\tau}{B \sin \theta}$
मान रखने पर:
$M = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times \sin 30^{\circ}}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$:
$M = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times 0.5} = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.125} = 0.36 \; J \; T^{-1}$.
अतः,चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $0.36 \; J \; T^{-1}$ है।

(N/A) दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण,$M = 0.32 \; J \, T^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.15 \; T$
$(a)$ स्थायी संतुलन तब होता है जब चुंबकीय आघूर्ण चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित होता है $(\theta = 0^{\circ})$।
स्थितिज ऊर्जा $U = -M B \cos \theta = -0.32 \times 0.15 \times \cos(0^{\circ}) = -0.048 \; J = -4.8 \times 10^{-2} \; J$।
$(b)$ अस्थायी संतुलन तब होता है जब चुंबकीय आघूर्ण चुंबकीय क्षेत्र के विपरीत दिशा में संरेखित होता है $(\theta = 180^{\circ})$।
स्थितिज ऊर्जा $U = -M B \cos \theta = -0.32 \times 0.15 \times \cos(180^{\circ}) = -0.048 \times (-1) = 0.048 \; J = 4.8 \times 10^{-2} \; J$।

(N/A) चुंबकीय आघूर्ण,$M = 1.5 \, J \, T^{-1}$.
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 0.22 \, T$.
$(i)$ अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच प्रारंभिक कोण,$\theta_{1} = 0^{\circ}$.
अंतिम कोण,$\theta_{2} = 90^{\circ}$.
चुंबकीय आघूर्ण को चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के लंबवत करने के लिए आवश्यक कार्य:
$W = -MB(\cos \theta_{2} - \cos \theta_{1})$
$W = -1.5 \times 0.22 \times (\cos 90^{\circ} - \cos 0^{\circ})$
$W = -0.33 \times (0 - 1) = 0.33 \, J$.
$(ii)$ प्रारंभिक कोण,$\theta_{1} = 0^{\circ}$.
अंतिम कोण,$\theta_{2} = 180^{\circ}$.
चुंबकीय आघूर्ण को चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के विपरीत करने के लिए आवश्यक कार्य:
$W = -1.5 \times 0.22 \times (\cos 180^{\circ} - \cos 0^{\circ})$
$W = -0.33 \times (-1 - 1) = 0.66 \, J$.
$(b)$ टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $(i)$ के लिए,$\theta = 90^{\circ}$:
$\tau = 1.5 \times 0.22 \times \sin 90^{\circ} = 0.33 \, N \cdot m$.
स्थिति $(ii)$ के लिए,$\theta = 180^{\circ}$:
$\tau = 1.5 \times 0.22 \times \sin 180^{\circ} = 0 \, N \cdot m$.

(A) छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण,$M = 5.25 \times 10^{-2} \; J \, T^{-1}$।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का मान,$H = 0.42 \; G = 0.42 \times 10^{-4} \; T$।
$(a)$ निरक्षीय रेखा पर $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi R^{3}}$ होता है।
परिणामी क्षेत्र के पृथ्वी के क्षेत्र के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने के लिए,$B = H$ होना चाहिए।
$\frac{\mu_{0} M}{4 \pi R^{3}} = H \implies R^{3} = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi H} = \frac{10^{-7} \times 5.25 \times 10^{-2}}{0.42 \times 10^{-4}} = 12.5 \times 10^{-5} \; m^{3}$।
$R = (125 \times 10^{-6})^{1/3} \approx 0.05 \; m = 5 \; cm$।
$(b)$ अक्षीय रेखा पर $R'$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_{0} 2 M}{4 \pi R'^{3}}$ होता है।
परिणामी क्षेत्र के पृथ्वी के क्षेत्र के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने के लिए,$B' = H$ होना चाहिए।
$\frac{\mu_{0} 2 M}{4 \pi R'^{3}} = H \implies R'^{3} = \frac{2 \mu_{0} M}{4 \pi H} = 2 \times R^{3} = 25 \times 10^{-5} \; m^{3}$।
$R' = (250 \times 10^{-6})^{1/3} \approx 0.063 \; m = 6.3 \; cm$।

(D) माना कि पहले चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_{1} = 1.2 \times 10^{-2} \; T$ है।
माना कि दूसरे चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_{2}$ है।
दोनों क्षेत्रों के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
स्थिर संतुलन में,द्विध्रुव पहले क्षेत्र $B_{1}$ के साथ $\theta_{1} = 15^{\circ}$ का कोण बनाता है।
द्विध्रुव और दूसरे क्षेत्र $B_{2}$ के बीच का कोण $\theta_{2} = \theta - \theta_{1} = 60^{\circ} - 15^{\circ} = 45^{\circ}$ होगा।
द्विध्रुव के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$B_{1}$ के कारण टॉर्क और $B_{2}$ के कारण टॉर्क एक-दूसरे को संतुलित करेंगे:
$M B_{1} \sin \theta_{1} = M B_{2} \sin \theta_{2}$
जहाँ $M$ द्विध्रुव का चुंबकीय आघूर्ण है।
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर:
$B_{2} = \frac{B_{1} \sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}$
मान रखने पर:
$B_{2} = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times \sin 15^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$
$\sin 15^{\circ} \approx 0.2588$ और $\sin 45^{\circ} \approx 0.7071$ का उपयोग करने पर:
$B_{2} = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times 0.2588}{0.7071} \approx 4.39 \times 10^{-3} \; T$.

(N/A) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ और लंबाई $2l$ वाले छड़ चुंबक के केंद्र से $r$ दूरी पर उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का व्यंजक इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{(r^{2} + l^{2})^{3/2}}$
एक छोटे छड़ चुंबक के लिए जहाँ $r \gg l$ है,व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$B = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi r^{3}}$
जहाँ:
$\mu_{0} = \text{निर्वात की पारगम्यता}$
$M = \text{चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण}$
$r = \text{चुंबक के केंद्र से लंबवत दूरी}$

(N/A) मान लीजिए कि $m$ चुंबकीय आघूर्ण और $2l$ लंबाई वाली एक चुंबकीय सुई (चुंबकीय द्विध्रुव) को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में क्षेत्र की दिशा के साथ $\theta$ कोण पर रखा गया है।
मान लीजिए $q_m$ सुई के प्रत्येक ध्रुव की ध्रुव प्रबलता है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m = q_m \times 2l$ द्वारा दिया जाता है।
उत्तरी ध्रुव $(N)$ पर कार्य करने वाला बल $\vec{F}_N = q_m \vec{B}$ है (क्षेत्र की दिशा में)।
दक्षिणी ध्रुव $(S)$ पर कार्य करने वाला बल $\vec{F}_S = -q_m \vec{B}$ है (क्षेत्र की विपरीत दिशा में)।
ये दो समान और विपरीत बल एक बल-युग्म (couple) बनाते हैं जो सुई पर एक टॉर्क $(\tau)$ लगाता है, जो इसे चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित करने के लिए घुमाने का प्रयास करता है।
टॉर्क $\tau = (\text{किसी एक बल का परिमाण}) \times (\text{दोनों बलों के बीच की लंबवत दूरी})$।
त्रिभुज $NDS$ की ज्यामिति से, लंबवत दूरी $ND = 2l \sin \theta$ है।
इसलिए, $\tau = (q_m B) \times (2l \sin \theta)$।
चूंकि $m = q_m(2l)$, इसलिए $\tau = m B \sin \theta$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में, इसे $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(N/A) मान लीजिए कि $\vec{m}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण वाली एक चुंबकीय सुई एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखी गई है।
$N$ और $S$ ध्रुवों पर लगने वाले बल समान और विपरीत होते हैं,जो एक बल-युग्म बनाते हैं और सुई पर टॉर्क $\vec{\tau}$ लगाते हैं।
टॉर्क का सूत्र $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ है।
अतः,टॉर्क का परिमाण $\tau = mB \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ $\vec{m}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
चूंकि यह टॉर्क सुई को उसकी संतुलन स्थिति में वापस लाने का प्रयास करता है,इसलिए प्रत्यानयन टॉर्क $\tau = -mB \sin \theta$ लिखा जा सकता है।
घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$\tau = I \alpha = I \frac{d^2 \theta}{dt^2}$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
टॉर्क के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mB \sin \theta$.
छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$ लेने पर,$I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mB \theta$.
अतः,$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\left( \frac{mB}{I} \right) \theta$.
यह सरल आवर्त गति का समीकरण है,$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\omega^2 \theta$,जहाँ $\omega^2 = \frac{mB}{I}$.
इसलिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{mB}{I}}$ है।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{mB}{I}}$.
अतः,$T$ के लिए हल करने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mB}}$ प्राप्त होता है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,एक छड़ चुंबक को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ की दिशा के साथ $\theta$ कोण पर रखा गया है।
छड़ चुंबक पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = m B \sin \theta$ है।
छड़ चुंबक की स्थितिज ऊर्जा $U_m$ चुंबकीय टॉर्क के विरुद्ध इसे घुमाने में किया गया कार्य है:
$U_m = \int \tau(\theta) d\theta = \int m B \sin \theta d\theta = -m B \cos \theta$
अतः,स्थितिज ऊर्जा को अदिश गुणनफल के रूप में दिया जाता है:
$U_m = -\vec{m} \cdot \overrightarrow{B}$
विशेष स्थितियाँ:
$(1)$ यदि छड़ चुंबक चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के साथ $\theta = 0^{\circ}$ का कोण बनाता है:
$U_m = -m B \cos 0^{\circ} = -m B$। यह स्थितिज ऊर्जा का न्यूनतम मान है,और चुंबक अपनी सबसे स्थिर स्थिति में है।
$(2)$ यदि छड़ चुंबक चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के साथ $\theta = 180^{\circ}$ का कोण बनाता है:
$U_m = -m B \cos 180^{\circ} = +m B$। यह स्थितिज ऊर्जा का अधिकतम मान है,और चुंबक अपनी सबसे अस्थिर स्थिति में है।
$(3)$ यदि छड़ चुंबक $\overrightarrow{B}$ के लंबवत है $(\theta = 90^{\circ})$:
$U_m = -m B \cos 90^{\circ} = 0$.

(N/A) जब $\vec{m}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण वाले एक छड़ चुंबक को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखा जाता है,तो उस पर एक टॉर्क $\vec{\tau}$ कार्य करता है,जो चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश गुणनफल के बराबर होता है।
इसका समीकरण है: $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$.

(N/A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखे $\vec{m}$ चुंबकीय आघूर्ण वाले छड़ चुंबक की स्थितिज ऊर्जा $U$,चुंबकीय आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दी जाती है:
$U = -\vec{m} \cdot \vec{B}$
वैकल्पिक रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$U = -mB \cos \theta$
जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{m}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित चुंबकीय द्विध्रुव (magnetic dipole) की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{m} \cdot \vec{B} = -mB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = 0^{\circ}$ के लिए,$U = -mB \cos(0^{\circ}) = -mB$,जो न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा है। अतः,चुंबक स्थायी संतुलन की स्थिति में है।
$\theta = 180^{\circ}$ के लिए,$U = -mB \cos(180^{\circ}) = +mB$,जो अधिकतम स्थितिज ऊर्जा है। अतः,चुंबक अस्थायी संतुलन की स्थिति में है।

(N/A) बिंदु द्विध्रुव $\vec{M} = M\hat{k}$ का स्थिति $\vec{r}$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{3(\vec{M} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{M}}{r^3} \right]$ द्वारा दिया जाता है।
$x-z$ तल में,$\vec{r} = x\hat{i} + z\hat{k} = r(\sin\theta\hat{i} + \cos\theta\hat{k})$,जहाँ $\theta$ $z$-अक्ष के साथ कोण है। अतः $\hat{r} = \sin\theta\hat{i} + \cos\theta\hat{k}$ और $\vec{M} \cdot \hat{r} = M\cos\theta$.
इस प्रकार,$\vec{B} = \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} [3\cos\theta(\sin\theta\hat{i} + \cos\theta\hat{k}) - \hat{k}] = \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} [3\sin\theta\cos\theta\hat{i} + (3\cos^2\theta - 1)\hat{k}]$.
एम्पीयर का नियम कहता है कि $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$। बिंदु द्विध्रुव के लिए,कोई संलग्न धारा नहीं है,इसलिए $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$.
$a$ त्रिज्या के चाप पर,$d\vec{l} = a d\theta \hat{\phi} = a d\theta (-\cos\theta\hat{i} + \sin\theta\hat{k})$.
$\vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{\mu_0 M}{4\pi a^3} [3\sin\theta\cos\theta(-\cos\theta) + (3\cos^2\theta - 1)\sin\theta] a d\theta = \frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} [-3\sin\theta\cos^2\theta + 3\sin\theta\cos^2\theta - \sin\theta] d\theta = -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} \sin\theta d\theta$.
$\theta = 0$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर: $\int_0^{\pi/2} -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} \sin\theta d\theta = -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} [-\cos\theta]_0^{\pi/2} = -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2}$.
$x$-अक्ष पर $(z=0, \theta=\pi/2)$,$\vec{B} = \frac{\mu_0 M}{4\pi x^3} [3(1)(0)\hat{i} + (0-1)\hat{k}] = -\frac{\mu_0 M}{4\pi x^3} \hat{k}$. चूँकि $d\vec{l} = dx \hat{i}$,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$.
$z$-अक्ष पर $(x=0, \theta=0)$,$\vec{B} = \frac{\mu_0 M}{4\pi z^3} [0 + (3-1)\hat{k}] = \frac{2\mu_0 M}{4\pi z^3} \hat{k}$. चूँकि $d\vec{l} = dz \hat{k}$,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{2\mu_0 M}{4\pi z^3} dz$.
$z=a$ से $0$ तक समाकलन करने पर: $\int_a^0 \frac{2\mu_0 M}{4\pi z^3} dz = \frac{2\mu_0 M}{4\pi} [-\frac{1}{2z^2}]_a^0$. यह समाकलन मूल बिंदु पर अनंत हो जाता है,जो पुष्टि करता है कि एम्पीयर का नियम द्विध्रुव के क्षेत्र के लिए मान्य है,लेकिन पथ को मूल बिंदु पर विलक्षणता (singularity) से नहीं गुजरना चाहिए।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव की दोलन आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{mB}{I_0}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ चुंबकीय आघूर्ण है और $I_0$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि आवृत्ति $f$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों कुंडलियों के लिए समान हैं,इसलिए $\frac{m_1}{I_1} = \frac{m_2}{I_2}$ होना चाहिए।
वृत्ताकार कुंडली $C_1$ के लिए: फेरों की संख्या $N_1 = \frac{L}{2\pi R}$। चुंबकीय आघूर्ण $m_1 = N_1 I A_1 = \left(\frac{L}{2\pi R}\right) I (\pi R^2) = \frac{LIR}{2}$। जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{M R^2}{2}$।
वर्गाकार कुंडली $C_2$ के लिए: फेरों की संख्या $N_2 = \frac{L}{4a}$। चुंबकीय आघूर्ण $m_2 = N_2 I A_2 = \left(\frac{L}{4a}\right) I (a^2) = \frac{LIa}{4}$। जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{M a^2}{6}$ (केंद्र से गुजरने वाली और एक भुजा के समानांतर अक्ष के परितः)।
अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{m_1}{I_1} = \frac{m_2}{I_2} \Rightarrow \frac{LIR/2}{MR^2/2} = \frac{LIa/4}{Ma^2/6} \Rightarrow \frac{LI}{MR} = \frac{3LI}{2Ma} \Rightarrow \frac{1}{R} = \frac{3}{2a} \Rightarrow a = 1.5R$.

(D) बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $B$ में एक छड़ चुंबक पर टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\theta = 30^{\circ}$,$\tau = 0.018\, Nm$,$B = 0.06\, T$.
मान रखने पर: $0.018 = M \times 0.06 \times \sin 30^{\circ}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $0.018 = M \times 0.06 \times 0.5 = M \times 0.03$.
अतः,$M = \frac{0.018}{0.03} = 0.6\, A\cdot m^2$.
चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -MB \cos \theta$ होती है।
स्थिर संतुलन $\theta = 0^{\circ}$ पर होता है,इसलिए $U_i = -MB \cos 0^{\circ} = -MB$.
अस्थिर संतुलन $\theta = 180^{\circ}$ पर होता है,इसलिए $U_f = -MB \cos 180^{\circ} = MB$.
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = U_f - U_i = MB - (-MB) = 2MB$.
$W = 2 \times 0.6 \times 0.06 = 0.072\, J = 7.2 \times 10^{-2} J$.

(A) द्विध्रुव $m_{1}$ द्वारा बिंदु $P$ पर (जो $m_{1}$ की निरक्षीय रेखा पर है) उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_{1}$ इस प्रकार है:
$B_{1} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m_{1}}{r^{3}}$
यहाँ $m_{1} = 1\, \text{Am}^{2}$, $r = 1\, \text{m}$, और $\frac{\mu_{0}}{4\pi} = 10^{-7}\, \text{T}\cdot\text{m/A}$ दिया गया है।
$B_{1} = 10^{-7} \times \frac{1}{(1)^{3}} = 10^{-7}\, \text{T}$.
$B_{1}$ की दिशा $m_{1}$ की दिशा के विपरीत है।
द्विध्रुव $m_{2}$ द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau$, $\vec{\tau} = \vec{m}_{2} \times \vec{B}_{1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m_{2}$, $B_{1}$ के लंबवत है, टॉर्क का परिमाण है:
$\tau = m_{2} B_{1} \sin(90^{\circ}) = 1 \times 10^{-7} \times 1 = 10^{-7}\, \text{Nm}$.
अतः, मान $1 \times 10^{-7}\, \text{Nm}$ है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 2.0 \times 10^{5} \; J T^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 14 \times 10^{-5} \; T$
प्रारंभिक कोण $\theta_{1} = 0^{\circ}$ (क्षेत्र की दिशा में)
अंतिम कोण $\theta_{2} = 60^{\circ}$
मान रखने पर:
$W = (2.0 \times 10^{5}) \times (14 \times 10^{-5}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 2.0 \times 14 \times (1 - 0.5)$
$W = 28 \times 0.5$
$W = 14 \; J$

(C) एक छोटे छड़ चुंबक (चुंबकीय आघूर्ण $M$) की निरक्षीय रेखा (अक्ष के लंबवत) पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ के लिए दूरी $r_A = x$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_A = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{x^3}$ होगा।
बिंदु $B$ के लिए दूरी $r_B = 3x$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{(3x)^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{27x^3}$ होगा।
$A$ और $B$ पर चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_A}{B_B} = \frac{\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{x^3}}{\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{27x^3}} = 27$ है।
अतः,अनुपात $27: 1$ है।

(A) मान लीजिए कि वर्ग के शीर्ष $(0,0), (d,0), (d,d),$ और $(0,d)$ हैं। चुंबकों को $(0,0)$ और $(d,d)$ पर रखा गया है।
$(0,0)$ पर स्थित चुंबक के लिए,कोना $(d,0)$ उसकी अक्षीय रेखा पर है। $(d,0)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3}$ है (अक्ष की दिशा में)।
$(d,d)$ पर स्थित चुंबक के लिए,कोना $(d,0)$ उसकी निरक्षीय रेखा पर है। $(d,0)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3}$ है (अक्ष के विपरीत दिशा में)।
चूंकि समान ध्रुव एक ही दिशा में हैं,इसलिए क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ विपरीत दिशाओं में हैं।
कुल चुंबकीय प्रेरण $B_{\text{net}} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3} - \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3}$ है।

(B) प्रत्येक चुम्बक का चुम्बकीय आघूर्ण $M$ है। चूंकि दोनों चुम्बक समान हैं और $120^{\circ}$ के कोण पर रखे गए हैं,इसलिए परिणामी चुम्बकीय आघूर्ण $M_{net}$ दोनों व्यक्तिगत चुम्बकीय आघूर्णों के सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है।
$M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2 + 2MM \cos(120^{\circ})} = \sqrt{2M^2 + 2M^2(-0.5)} = \sqrt{M^2} = M$.
इस परिणामी चुम्बकीय आघूर्ण $M_{net}$ की दिशा $120^{\circ}$ के कोण समद्विभाजक के अनुदिश है।
बिंदु $P$ इस समद्विभाजक पर मूल बिंदु से $d$ दूरी पर स्थित है। इसलिए,बिंदु $P$ परिणामी चुम्बकीय आघूर्ण $M_{net}$ की अक्षीय रेखा पर स्थित है।
एक छोटे छड़ चुम्बक की अक्षीय रेखा पर चुम्बकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,बिंदु $P$ पर चुम्बकीय क्षेत्र $\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -M B \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
$1$. अस्थाई संतुलन स्थिति $\theta = 180^{\circ}$ पर होती है,इसलिए प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -M B \cos(180^{\circ}) = -M B (-1) = M B$ है।
$2$. स्थाई संतुलन स्थिति $\theta = 0^{\circ}$ पर होती है,इसलिए अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -M B \cos(0^{\circ}) = -M B (1) = -M B$ है।
$3$. किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$.
$4$. मान रखने पर: $W = -M B - (M B) = -2 M B$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -MB \cos \theta$ है।
चुंबक को $\theta_1$ कोण से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W = U_2 - U_1 = -MB \cos \theta_2 - (-MB \cos \theta_1) = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ होता है।
यहाँ,प्रारंभिक स्थिति क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
अंतिम स्थिति क्षेत्र के प्रति-समानांतर है,इसलिए $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
मान रखने पर: $W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$।
चूँकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\cos 180^{\circ} = -1$ है,इसलिए $W = MB(1 - (-1)) = 2MB$ प्राप्त होता है।
यहाँ $M = 5.0\,Am^2$ और $B = 0.4\,T$ दिया गया है,अतः कार्य $W = 2 \times 5.0 \times 0.4 = 4.0\,J$ होगा।