Magnetic field due to magnetic dipole and Dipole in Magnetic Field and Poential Energy and Work Done Questions in Hindi

(A) चुंबकीय द्विध्रुव के कारण उसकी अक्ष पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^2}$
दिए गए मान:
$V = 1.5 \times 10^{-5} \ T \cdot m$
$r = 20 \ cm = 0.2 \ m = 2 \times 10^{-1} \ m$
$\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \cdot m \cdot A^{-1}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1.5 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{(2 \times 10^{-1})^2}$
$1.5 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{4 \times 10^{-2}}$
$M = \frac{1.5 \times 10^{-5} \times 4 \times 10^{-2}}{10^{-7}}$
$M = \frac{6 \times 10^{-7}}{10^{-7}} = 6 \ A \cdot m^2$
अतः,द्विध्रुव का चुंबकीय आघूर्ण $6 \ A \cdot m^2$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -mB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
सबसे स्थिर संतुलन स्थिति में,कोण $\theta = 0^{\circ}$ है,इसलिए $U_i = -mB \cos 0^{\circ} = -mB$।
सबसे अस्थिर संतुलन स्थिति में,कोण $\theta = 180^{\circ}$ है,इसलिए $U_f = -mB \cos 180^{\circ} = +mB$।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_f - U_i$।
$W = mB - (-mB) = 2mB$।
यहाँ $m = 0.5 \text{ A m}^2$ और $B = 8 \times 10^{-2} \text{ T}$ दिया गया है।
$W = 2 \times 0.5 \times 8 \times 10^{-2} = 1 \times 8 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{-2} \text{ J}$।

(D) चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\tau = 80 \sqrt{3} \ N \ m$ और $\theta = 60^{\circ}$।
$80 \sqrt{3} = MB \sin 60^{\circ} = MB \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$।
दोनों पक्षों को $\frac{2}{\sqrt{3}}$ से गुणा करने पर,हमें $MB = 160 \ J$ प्राप्त होता है।
द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -M \cdot B = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$U = -160 \cos 60^{\circ} = -160 \times \frac{1}{2} = -80 \ J$।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 4 \, A-m^2$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \times 10^{-4} \, T$
प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 30^{\circ}$
अंतिम कोण $\theta_2 = 45^{\circ}$
मान रखने पर:
$W = (4) \times (5 \times 10^{-4}) \times (\cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ})$
$W = 20 \times 10^{-4} \times (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$W = 20 \times 10^{-4} \times (0.866 - 0.707)$
$W = 20 \times 10^{-4} \times (0.159)$
$W = 3.18 \times 10^{-4} \, J \approx 3.2 \times 10^{-4} \, J$

(C) दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 16 \ Am^2$,दूरी $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$। स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \ T \cdot m/A$।
अक्षीय बिंदु के लिए: $B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{2 \times 16}{(0.2)^3} = 10^{-7} \times \frac{32}{0.008} = 10^{-7} \times 4000 = 4 \times 10^{-4} \ T$।
निरक्षीय बिंदु के लिए: $B_{\text{equatorial}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{16}{(0.2)^3} = 10^{-7} \times \frac{16}{0.008} = 10^{-7} \times 2000 = 2 \times 10^{-4} \ T$।
अतः,मान $4 \times 10^{-4} \ T$ और $2 \times 10^{-4} \ T$ हैं।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक स्थिति स्थिर संतुलन स्थिति है,अर्थात $\theta_1 = 0^{\circ}$।
पहले मामले के लिए,$\theta_2 = 90^{\circ}$:
$W_1 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ}) = MB(1 - 0) = MB$.
दूसरे मामले के लिए,$\theta_2 = 60^{\circ}$:
$W_2 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5MB$.
प्रश्न के अनुसार,$W_1 = n \times W_2$.
मान रखने पर: $MB = n \times (0.5MB)$.
$1 = n \times 0.5$.
$n = 1 / 0.5 = 2$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में सरल आवर्त गति करने वाली चुंबकीय सुई का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 6 \times 10^{-2} \text{ A m}^2$
जड़त्व आघूर्ण $I = 9.6 \times 10^{-5} \text{ kg m}^2$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.01 \text{ T}$
मान रखने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{9.6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-2} \times 0.01}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{\frac{9.6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{0.16}$
$T = 6.28 \times 0.4 = 2.512 \text{ s}$
$10$ दोलनों के लिए लगा समय $= 10 \times T = 10 \times 2.512 = 25.12 \text{ s}$.

(A) बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा के लिए,$\cos \theta$ अधिकतम होना चाहिए,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर होता है। अतः,$U_{\text{min}} = -MB \cos 0^{\circ} = -MB(1) = -MB$.
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा के लिए,$\cos \theta$ न्यूनतम होना चाहिए,जो $\theta = 180^{\circ}$ पर होता है। अतः,$U_{\text{max}} = -MB \cos 180^{\circ} = -MB(-1) = +MB$.
इसलिए,न्यूनतम और अधिकतम मान क्रमशः $-MB$ और $+MB$ हैं।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -M B \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव क्षेत्र की दिशा में है,इसलिए $\theta_1 = 0^\circ$। प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -M B \cos(0^\circ) = -M B$ है।
अधिकतम कार्य करने के लिए,द्विध्रुव को उस स्थिति में घुमाया जाना चाहिए जहाँ स्थितिज ऊर्जा अधिकतम हो,जो $\theta_2 = 180^\circ$ है। अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -M B \cos(180^\circ) = M B$ है।
बाह्य कारक द्वारा किया गया कार्य $W = U_f - U_i = M B - (-M B) = 2 M B$ है।

(A) मान लीजिए कि बिंदु चुंबक $A$ की अक्ष पर उसके केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित है।
चुंबक $A$ के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र (अक्षीय स्थिति) $B_{1} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M_{1}}{d^{3}}$ है।
उसी बिंदु पर चुंबक $B$ के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र (निरक्षीय स्थिति) $B_{2} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M_{2}}{d^{3}}$ है।
चूंकि अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं,परिणामी क्षेत्र चुंबक $A$ की अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है,जहाँ $\tan \theta = \frac{B_{2}}{B_{1}}$ है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
अतः,$1 = \frac{(\mu_{0} M_{2}) / (4\pi d^{3})}{(2\mu_{0} M_{1}) / (4\pi d^{3})} = \frac{M_{2}}{2M_{1}}$।
इससे हमें $\frac{M_{2}}{M_{1}} = 2$ प्राप्त होता है,अर्थात $M_{2} : M_{1} = 2 : 1$।

(D) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले छड़ चुंबक के लिए,$d$ दूरी पर अक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}$ होता है।
उसी चुंबक के लिए,$d$ दूरी पर निरक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{equatorial} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}$ होता है।
चूंकि चुंबक लंबवत हैं,इसलिए दोनों केंद्रों से $d$ दूरी पर स्थित बिंदु एक चुंबक के लिए अक्षीय और दूसरे के लिए निरक्षीय बिंदु के रूप में कार्य करता है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_{axial}^{2} + B_{equatorial}^{2}}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{net} = \sqrt{\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}\right)^{2} + \left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}\right)^{2}}$.
$B_{net} = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi d^{3}} \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}} \sqrt{5}$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\theta_1 = 90^{\circ}$ पर $\tau_1 = 1.732 \times 10^{-5} \text{ Nm}$ है।
अतः,$\tau_1 = MB \sin 90^{\circ} = MB(1) = MB$।
इसलिए,$MB = 1.732 \times 10^{-5} \text{ Nm}$।
अब,$\theta_2 = 60^{\circ}$ के लिए,टॉर्क $\tau_2$ होगा:
$\tau_2 = MB \sin 60^{\circ} = (1.732 \times 10^{-5}) \times \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\sqrt{3} = 1.732$,इसलिए:
$\tau_2 = 1.732 \times 10^{-5} \times \frac{1.732}{2} = 1.732 \times 10^{-5} \times 0.866 = 1.4999 \times 10^{-5} \approx 1.5 \times 10^{-5} \text{ Nm}$।

(D) $r$ दूरी पर एक छोटे छड़ चुंबक का अक्षीय चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
समान दूरी '$r$' पर निरक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$ होता है।
जैसे-जैसे बिंदु '$r$' त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर अक्षीय स्थिति से निरक्षीय स्थिति की ओर बढ़ता है,चुंबकीय आघूर्ण सदिश के साथ कोण $\theta$ $0^\circ$ से $90^\circ$ तक बदलता है।
किसी भी बिंदु $(r, \theta)$ पर चुंबकीय क्षेत्र का सामान्य सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} \sqrt{1 + 3\cos^2\theta}$ है।
जैसे-जैसे $\theta$ $0^\circ$ से $90^\circ$ तक बढ़ता है,$\cos^2\theta$ $1$ से $0$ तक घटता है,और इसलिए चुंबकीय क्षेत्र '$B$' का मान घटता जाएगा।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में छड़ चुंबक पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण (युग्म) $T = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,और $\theta$ चुंबक और क्षेत्र के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,चुंबक क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ है।
प्रारंभिक बल आघूर्ण $T = MB \sin(90^{\circ}) = MB$ है।
हम नए बल आघूर्ण $T'$ को प्रारंभिक बल आघूर्ण का आधा करना चाहते हैं,इसलिए $T' = \frac{T}{2} = \frac{MB}{2}$ है।
मान लीजिए नया कोण $\theta'$ है। तब $T' = MB \sin \theta' = \frac{MB}{2}$ होगा।
दोनों पक्षों को $MB$ से विभाजित करने पर,हमें $\sin \theta' = \frac{1}{2} = 0.5$ प्राप्त होता है।
अतः,कोण $\theta' = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$ है।

(B) छड़ चुंबक की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2Md}{(d^2-l^2)^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ केंद्र से दूरी है और $2l$ चुंबकीय लंबाई है।
दिया गया है $d_1 = 10 \ cm$ और $d_2 = 10 + 10 = 20 \ cm$.
अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{d_1}{d_2} \left( \frac{d_2^2 - l^2}{d_1^2 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{10}{20} \left( \frac{20^2 - l^2}{10^2 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2}$.
$\frac{1}{2} \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2} \Rightarrow \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 25$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{400 - l^2}{100 - l^2} = 5$.
$400 - l^2 = 500 - 5l^2 \Rightarrow 4l^2 = 100 \Rightarrow l^2 = 25$.
अतः,$l = 5 \ cm$.
चुंबकीय लंबाई $2l = 2 \times 5 \ cm = 10 \ cm$ है।

(B) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले चुंबकीय द्विध्रुव के कारण $(r, \theta)$ बिंदु पर चुंबकीय विभव $V = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M \cos \theta}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
निरक्षीय रेखा (लंब समद्विभाजक) पर,स्थिति सदिश और द्विध्रुव अक्ष के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए निरक्षीय रेखा के सभी बिंदुओं पर चुंबकीय विभव $V$ शून्य होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = m B \sin \theta$।
दिया गया है:
टॉर्क $\tau = 4.5 \times 10^{-2} \ J$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.5 \ T$
कोण $\theta = 30^{\circ}$
सूत्र में मान रखने पर:
$4.5 \times 10^{-2} = m \times 0.5 \times \sin 30^{\circ}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$ है:
$4.5 \times 10^{-2} = m \times 0.5 \times 0.5$
$4.5 \times 10^{-2} = m \times 0.25$
$m = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25}$
$m = 18 \times 10^{-2} \ J \ T^{-1}$।

(A) एक छोटे छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{m}{r^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $m = 0.75 \ A \ m^2$
दूरी $r = 75 \ cm = 0.75 \ m$
स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \ T \ m/A$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{0.75}{(0.75)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{1}{(0.75)^2}$
$B = 10^{-7} \times \frac{1}{0.5625}$
$B \approx 1.78 \times 10^{-7} \ T$

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बल आघूर्ण $\tau = mB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
अधिकतम बल आघूर्ण की स्थिति (जहाँ $\sin \theta = 1$) मानते हुए,हमारे पास $\tau = mB$ है।
दिया गया है $\tau = 0.64 \ J$ और $B = 0.32 \ T$।
मान रखने पर: $0.64 = m \times 0.32$।
अतः,$m = \frac{0.64}{0.32} = 2 \ Am^2$।
इस प्रकार,चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $2 \ Am^2$ है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
एक छड़ चुंबक के लिए,केंद्र से $Z$ दूरी पर उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:
$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\overrightarrow{M}}{Z^3}$
जहाँ $\overrightarrow{M}$ चुंबक का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र का व्यंजक चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\overrightarrow{M}$ के सीधे समानुपाती होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ की दिशा चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{M}$ की दिशा के समान ही होती है।

(B) जब $\vec{M}$ चुंबकीय आघूर्ण वाले एक चुंबकीय द्विध्रुव को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखा जाता है,तो यह एक बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ का अनुभव करता है।
बल आघूर्ण को चुंबकीय आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से,बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बल आघूर्ण $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = m B \sin \theta$,जहाँ $m$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\theta$ चुंबक की अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
दिए गए मान हैं: $\tau = 4.5 \times 10^{-2} \ J$,$B = 0.25 \ T$,और $\theta = 30^{\circ}$।
$m$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $m = \frac{\tau}{B \sin \theta}$।
मान रखने पर: $m = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times \sin 30^{\circ}}$।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए: $m = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times 0.5} = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.125}$।
परिणाम की गणना करने पर: $m = 36 \times 10^{-2} = 0.36 \ J \ T^{-1}$।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे गए $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ का सूत्र $\tau = M B \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
टॉर्क को शून्य होने के लिए,हमें $\tau = 0$ रखना होगा।
सूत्र में मान रखने पर,हमें $M B \sin \theta = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $M$ और $B$ शून्य नहीं हैं,इसलिए $\sin \theta = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 180^{\circ}$।
दिए गए विकल्पों में से,सही कोण $0^{\circ}$ है।

(C) चुंबकीय आघूर्ण $M$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ वाला एक चुंबकीय द्विध्रुव जब एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखा जाता है, तो उस पर एक प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -MB \sin \theta$ कार्य करता है।
छोटे दोलनों के लिए, $\sin \theta \approx \theta$, इसलिए $\tau = -MB \theta$ होता है।
इसकी तुलना कोणीय $SHM$ के समीकरण $\tau = -C \theta$ से करने पर, जहाँ $C = MB$ है।
कोणीय $SHM$ का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{C}}$ द्वारा दिया जाता है।
$C = MB$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $ M = 6 \times 10^{-2} \text{ A m}^2 $, जड़त्व आघूर्ण $ I = 12 \times 10^{-6} \text{ kg m}^2 $, चुंबकीय क्षेत्र $ B = 2 \times 10^{-2} \text{ T} $.
चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले चुंबकीय द्विध्रुव का आवर्तकाल $ t = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} $ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $ t = 2 \pi \sqrt{\frac{12 \times 10^{-6}}{(6 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^{-2})}} $.
$ t = 2 \pi \sqrt{\frac{12 \times 10^{-6}}{12 \times 10^{-4}}} = 2 \pi \sqrt{10^{-2}} = 2 \pi \times 10^{-1} \text{ s} $.
$ \pi \simeq 3 $ लेने पर, $ t = 2 \times 3 \times 0.1 = 0.6 \text{ s} $.
$ 20 $ दोलन पूरे करने में लिया गया समय $ T = 20 \times t = 20 \times 0.6 = 12 \text{ s} $ है।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = M B \sin \theta$,जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
दिए गए मान हैं: $\tau = 0.36 \sqrt{2} \ Nm$,$B = 2 \ T$,और $\theta = 45^{\circ}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $0.36 \sqrt{2} = M \times 2 \times \sin(45^{\circ})$।
चूँकि $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए: $0.36 \sqrt{2} = M \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$।
समीकरण को सरल करने पर: $0.36 \sqrt{2} = M \times \sqrt{2}$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $M = 0.36 \ J \ T^{-1}$।

(A) $\text{चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य } W \text{ सूत्र द्वारा दिया जाता है: } W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
यहाँ,$\text{चुंबकीय आघूर्ण } M = 10^4 \,J \,T^{-1}$,$\text{चुंबकीय क्षेत्र } B = 4 \times 10^{-5} \,T$,$\text{प्रारंभिक कोण } \theta_1 = 0^{\circ} \text{ और अंतिम कोण } \theta_2 = 60^{\circ} \text{ है।}$
$\text{सूत्र में मान रखने पर:}$
$W = (10^4) \times (4 \times 10^{-5}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 0.4 \times (1 - 0.5)$
$W = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \,J$.
$\text{अतः,किया गया कार्य } 0.2 \,J \text{ है।}$

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखे चुंबकीय द्विध्रुव $\vec{M}$ पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $M$ है। सुई की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}}{2}$ है। अतः,$\vec{M} = \frac{M}{2}(\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j})$.
दिया गया है $\vec{B}_1 = B\hat{i}$,टॉर्क $\vec{\tau}_1 = \frac{M}{2}(\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}) \times B\hat{i} = \frac{MB}{2}(\sqrt{3}(\hat{i} \times \hat{i}) + (\hat{j} \times \hat{i})) = \frac{MB}{2}(0 - \hat{k}) = -\frac{MB}{2}\hat{k}$.
दिया गया है $|\vec{\tau}_1| = 0.06 \ N-m$,इसलिए $\frac{MB}{2} = 0.06$,यानी $MB = 0.12 \ N-m$.
दूसरे मामले में,सुई $(\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j})$ दिशा में है,इसलिए $\vec{M}_2 = \frac{M}{2}(\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j})$। चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_2 = 2B\hat{j}$ है।
टॉर्क $\vec{\tau}_2 = \vec{M}_2 \times \vec{B}_2 = \frac{M}{2}(\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j}) \times 2B\hat{j} = MB(\hat{i} \times \hat{j} + \sqrt{3}(\hat{j} \times \hat{j})) = MB(\hat{k} + 0) = MB\hat{k}$.
अतः,टॉर्क का परिमाण $|\vec{\tau}_2| = MB = 0.12 \ N-m$ है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाली चुंबकीय सुई पर कार्य करने वाला बलाघूर्ण $\tau = M B \sin \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta$ चुंबकीय आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
यह दिया गया है कि सुई चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रहती है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए बलाघूर्ण $\tau = M B$ हो जाता है।
$B_1$ और $B_2$ चुंबकीय क्षेत्रों वाले दो अलग-अलग स्थानों के लिए,बलाघूर्ण $\tau_1 = M B_1$ और $\tau_2 = M B_2$ हैं।
दोनों बलाघूर्णों का अनुपात लेने पर: $\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{M B_1}{M B_2} = \frac{B_1}{B_2}$।
अतः,$B_1 : B_2$ का अनुपात $\tau_1 : \tau_2$ के बराबर है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,चुंबक क्षेत्र की दिशा में है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ है।
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 45^{\circ}) = MB(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = MB(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}})$.
अतः,$MB = \frac{W\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$.
अब,इसे और $15^{\circ}$ घुमाने के लिए किया जाने वाला अतिरिक्त कार्य $W'$ का अर्थ है $\theta_1 = 45^{\circ}$ से $\theta_2 = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ तक घुमाना।
$W' = MB(\cos 45^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) = MB(\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}})$.
$MB$ का मान रखने पर:
$W' = (\frac{W\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}) \times (\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}) = \frac{W}{2}$.

(C) दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण,$m = 0.4 \,Am^2$
दूरी,$r = 50 \,cm = 0.5 \,m$
एक छोटे छड़ चुंबक के अक्षीय चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण का सूत्र है:
$B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{2m}{r^3} \right)$
मान रखने पर:
$B_{\text{axial}} = (10^{-7}) \times \frac{2 \times 0.4}{(0.5)^3}$
$B_{\text{axial}} = 10^{-7} \times \frac{0.8}{0.125}$
$B_{\text{axial}} = 10^{-7} \times 6.4 = 6.4 \times 10^{-7} \,T$

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में एक चुंबकीय सुई को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने के लिए किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\theta_2 = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$.
अतः,$MB = 2W$.
सुई को $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\tau = MB \sin 60^{\circ} = (2W) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$.

(A) दिया गया है,छड़ चुंबक की लंबाई,$l = 10 \text{ cm} = 10^{-1} \text{ m}$.
ध्रुव प्रबलता,$m = 10^{-3} \text{ A-m}$.
चुंबकीय प्रेरण,$B = 4 \pi \times 10^{-3} \text{ T}$.
कोण,$\theta = 30^{\circ}$.
सबसे पहले,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ की गणना करें:
$M = m \times l = 10^{-3} \text{ A-m} \times 10^{-1} \text{ m} = 10^{-4} \text{ A-m}^2$.
चुंबक पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = M B \sin \theta$.
मान रखने पर:
$\tau = (10^{-4}) \times (4 \pi \times 10^{-3}) \times \sin 30^{\circ}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$:
$\tau = 4 \pi \times 10^{-7} \times \frac{1}{2} = 2 \pi \times 10^{-7} \text{ N-m}$.

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में एक छड़ चुंबक द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ चुंबक और क्षेत्र के बीच का कोण है।
मान लीजिए प्रारंभिक कोण $\theta_1$ है। तो प्रारंभिक टॉर्क $\tau_1 = MB \sin \theta_1$ $(i)$ है।
यदि कोण को दोगुना कर दिया जाए,तो नया कोण $\theta_2 = 2\theta_1$ होगा। नया टॉर्क $\tau_2 = MB \sin \theta_2 = MB \sin 2\theta_1$ (ii) होगा।
यह दिया गया है कि टॉर्क $41.4 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $\tau_2 = \tau_1 + 0.414 \tau_1 = 1.414 \tau_1$ है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,हम लिख सकते हैं कि $\tau_2 = \sqrt{2} \tau_1$ है।
$(i)$ और (ii) से $\tau_1$ और $\tau_2$ के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$MB \sin 2\theta_1 = \sqrt{2} MB \sin \theta_1$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \theta_1 \cos \theta_1 = \sqrt{2} \sin \theta_1$
मान लीजिए $\sin \theta_1 \neq 0$,दोनों पक्षों को $\sin \theta_1$ से विभाजित करने पर:
$2 \cos \theta_1 = \sqrt{2}$
$\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
इसलिए,$\theta_1 = 45^{\circ}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में, द्विध्रुव पूर्व-पश्चिम दिशा में है $(\theta_1 = 90^{\circ})$, इसलिए $U_i = -MB \cos 90^{\circ} = 0$।
अंत में, द्विध्रुव उत्तर-दक्षिण स्थिति में है $(\theta_2 = 0^{\circ})$, इसलिए $U_f = -MB \cos 0^{\circ} = -MB$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$KE = U_i - U_f = 0 - (-MB) = MB$।
यहाँ $M = 2.5 \text{ A m}^2$ और $B_H = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$ दिया गया है।
$KE = 2.5 \times 3 \times 10^{-5} = 7.5 \times 10^{-5} \text{ J}$।
माइक्रोजूल में बदलने पर: $7.5 \times 10^{-5} \text{ J} = 75 \times 10^{-6} \text{ J} = 75 \mu\text{J}$।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में लटके हुए चुंबक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
चूँकि $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,इसलिए $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ होगा।
दिया गया है कि चुंबकीय आघूर्ण $19 \%$ कम हो जाता है,तो नया चुंबकीय आघूर्ण $M_2 = M_1 - 0.19 M_1 = 0.81 M_1$ होगा।
इस मान को अनुपात में रखने पर,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{0.81 M_1}} = \sqrt{\frac{1}{0.81}} = \frac{1}{0.9} \approx 1.111$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_2 \approx 1.11 T_1$।
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (1.11 - 1) \times 100 = 11 \%$ है।
इसलिए,आवर्तकाल लगभग $11 \%$ बढ़ जाता है।

(D) दिया गया है: पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र $B_e = 4 \times 10^{-5} \ T$,दूरी $r = 40 \ cm = 0.4 \ m$ है।
एक छोटे छड़ चुंबक के कारण उसकी निरक्षीय रेखा पर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r^3}$ होता है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। चूंकि चुंबक की अक्ष पृथ्वी के क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए $B$ और $B_e$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी क्षेत्र का $B_e$ के साथ कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,अतः $\tan 45^{\circ} = \frac{B}{B_e} = 1$,जिससे $B = B_e$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $4 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.4)^3}$.
$M = \frac{4 \times 10^{-5} \times 0.064}{10^{-7}} = 25.6 \ Am^2$.

(B) दिया गया है, $\text{चुंबकीय आघूर्ण}$, $M = 2 \,J \,T^{-1}$।
$\text{चुंबकीय क्षेत्र}$, $B = 0.1 \,T$।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित है, इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
जब चुंबक क्षेत्र के लंबवत होता है, तो अंतिम कोण $\theta_2 = 90^{\circ}$ होता है।
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबक को घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
मान रखने पर:
$W = 2 \times 0.1 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
$W = 0.2 \times (1 - 0)$
$W = 0.2 \,J$।
अतः, किया गया कुल कार्य $0.2 \,J$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को प्रारंभिक कोण $\theta_1$ से अंतिम कोण $\theta_2$ तक घुमाने में किया गया कार्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
इस प्रश्न में,चुंबक को $360^{\circ}$ घुमाया जाता है,जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ और अंतिम कोण $\theta_2 = 360^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 360^{\circ})$
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\cos 360^{\circ} = 1$ होता है:
$W = MB(1 - 1) = 0$
अतः,किया गया कुल कार्य $0$ है।

(C) मूल बिंदु पहले चुंबक $(M_1)$ की अक्षीय रेखा पर और दूसरे चुंबक $(M_2)$ की निरक्षीय रेखा पर स्थित है。
दिया गया है: $M = 9 \text{ Am}^2$, $r = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$.
मूल बिंदु पर $M_1$ (अक्षीय बिंदु) के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{2M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{2 \times 9}{(3 \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{18}{27 \times 10^{-6}} = \frac{2}{3} \times 10^{-1} \text{ T}$.
यह क्षेत्र धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में है。
मूल बिंदु पर $M_2$ (निरक्षीय बिंदु) के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{9}{(3 \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{9}{27 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3} \times 10^{-1} \text{ T}$.
चूंकि $M_2$ का चुंबकीय आघूर्ण ऋणात्मक $X$-दिशा में है, इसलिए मूल बिंदु पर निरक्षीय क्षेत्र धनात्मक $X$-दिशा में इंगित करता है。
चूंकि $B_1$ और $B_2$ दोनों एक ही दिशा में हैं, इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र है:
$B = B_1 + B_2 = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) \times 10^{-1} \text{ T} = 1 \times 10^{-1} \text{ T} = 0.1 \text{ T}$.

(D) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबक की अक्ष पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के लंबवत है,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण तब बनाता है जब अक्षीय क्षेत्र का परिमाण पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक के परिमाण के बराबर होता है।
अतः,$B_{axial} = B_H$.
मान रखने पर: $\frac{10^{-7} \times 2 \times 0.21}{r^3} = 4.2 \times 10^{-5}$.
$r^3 = \frac{2 \times 0.21 \times 10^{-7}}{4.2 \times 10^{-5}} = \frac{0.42 \times 10^{-7}}{4.2 \times 10^{-5}} = 0.1 \times 10^{-2} = 10^{-3} \ m^3$.
$r = 0.1 \ m = 10 \ cm$.

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = MB \sin \theta$।
दिया गया है:
टॉर्क $\tau = 3.6 \times 10^{-5} \,J$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 28.3 \times 10^{-3} \,T$
कोण $\theta = 45^{\circ}$
चुंबकीय आघूर्ण $M$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$M = \frac{\tau}{B \sin \theta}$
मान रखने पर:
$M = \frac{3.6 \times 10^{-5}}{28.3 \times 10^{-3} \times \sin 45^{\circ}}$
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ है:
$M = \frac{3.6 \times 10^{-5}}{28.3 \times 10^{-3} \times 0.707} \approx \frac{3.6 \times 10^{-5}}{20.008 \times 10^{-3}} \approx 0.1799 \times 10^{-2} \approx 1.8 \times 10^{-3} \,J \,T^{-1}$।

(C) एक छोटे छड़ चुंबक के लिए उसकी अक्ष पर $(B_{\text{axis}})$ और निरक्षीय रेखा पर $(B_{\text{equator}})$ केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3}$
$B_{\text{equator}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r^3}$
अतः,समान दूरी $r$ के लिए $B_{\text{axis}} = 2 \times B_{\text{equator}}$ होता है।
दिया गया है:
$B_{\text{equator}} = 6.4 \times 10^{-5} \,T$,जहाँ $r_2 = 20 \,cm = 0.2 \,m$
हमें $r_1 = 40 \,cm = 0.4 \,m$ की दूरी पर $B_{\text{axis}}$ ज्ञात करना है।
सामान्य सूत्र $B \propto \frac{1}{r^3}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{B_{\text{axis}}(r_1)}{B_{\text{equator}}(r_2)} = \frac{\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r_1^3}}{\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r_2^3}} = 2 \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
$B_{\text{axis}} = 2 \times B_{\text{equator}} \times \left(\frac{20}{40}\right)^3$
$B_{\text{axis}} = 2 \times (6.4 \times 10^{-5}) \times \left(\frac{1}{2}\right)^3$
$B_{\text{axis}} = 2 \times (6.4 \times 10^{-5}) \times \frac{1}{8}$
$B_{\text{axis}} = \frac{6.4 \times 10^{-5}}{4} = 1.6 \times 10^{-5} \,T$

(C) दिया गया है: द्विध्रुव आघूर्ण $M = 1.25 \ A-m^2$ और दूरी $r = 0.5 \ m$।
एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{2 M}{r^3}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1.25}{(0.5)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{2.5}{0.125}$
$B = 10^{-7} \times 20 = 2.0 \times 10^{-6} \ T$
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $2.0 \times 10^{-6} \ T$ है।

(D) माना कि कमजोर चुम्बक का चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = M$ है और मजबूत चुम्बक का $M_2 = \sqrt{3} M$ है।
चूंकि वे क्रॉस (+) आकार में जुड़े हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
माना कि कमजोर चुम्बक पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
तो मजबूत चुम्बक $B_H$ के साथ $(90^{\circ} - \theta)$ कोण बनाएगा।
संतुलन में,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के कारण निकाय पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
$\tau_1 + \tau_2 = 0$
$M_1 B_H \sin(\theta) = M_2 B_H \sin(90^{\circ} - \theta)$
$M \sin(\theta) = \sqrt{3} M \cos(\theta)$
$\tan(\theta) = \sqrt{3}$
$\theta = 60^{\circ}$.

(C) एक छोटे छड़ चुम्बक के कारण उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर चुम्बकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,केंद्रों के बीच की दूरी $20 \text{ cm}$ है,इसलिए प्रत्येक चुम्बक से मध्य बिंदु की दूरी $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है।
चूंकि उत्तरी ध्रुव भौगोलिक दक्षिण की ओर हैं,इसलिए मध्य बिंदु पर दोनों चुम्बकों द्वारा उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र पृथ्वी के क्षैतिज चुम्बकीय क्षेत्र $(B_H)$ की दिशा में ही होंगे।
अतः,परिणामी चुम्बकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 + B_H$.
$B_1 = \frac{10^{-7} \times 1.2}{(0.1)^3} = 1.2 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$B_2 = \frac{10^{-7} \times 1.0}{(0.1)^3} = 1.0 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$B_H = 3.6 \times 10^{-5} = 0.36 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$B_{net} = (1.2 + 1.0 + 0.36) \times 10^{-4} \text{ T} = 2.56 \times 10^{-4} \text{ T}$.

(A) जब चुंबक को बहुत छोटे कोण $\theta$ से विस्थापित किया जाता है,तो चुंबक पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -M B_H \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
ऋणात्मक चिह्न बल आघूर्ण की प्रत्यानयन प्रकृति को दर्शाता है।
चूंकि $\tau = I \alpha$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है,इसलिए $I \alpha = -M B_H \sin \theta$ होता है।
छोटे कोणीय विस्थापन के लिए,$\sin \theta \approx \theta$ होता है।
अतः,$I \alpha = -M B_H \theta$।
कोणीय त्वरण का परिमाण $\alpha = \frac{M B_H \theta}{I}$ है।