Self Induction Questions in Gujarati

(N/A) $N$ આંટા ધરાવતા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતા કોઈલ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $N\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
$1$. સંબંધ $L = \frac{N\phi}{I}$ પરથી,જો $I = 1 \text{ A}$ હોય,તો $L = N\phi$. આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વને કોઈલમાંથી વહેતા એકમ વિદ્યુતપ્રવાહ દીઠ કોઈલ સાથે સંકળાયેલા કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$2$. સંબંધ $\varepsilon = -L\frac{dI}{dt}$ પરથી,જો $\frac{dI}{dt} = 1 \text{ A/s}$ હોય,તો $|\varepsilon| = L$. આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વને સર્કિટમાં વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારના એકમ દર દીઠ કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતા આત્મ-પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) ના મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આત્મ-પ્રેરકત્વનો $SI$ એકમ હેનરી $(H)$ છે,જે $Wb/A$ અથવા $Vs/A$ ને સમાન છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2} A^{-2}]$ છે.

(N/A) ધારો કે $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા લાંબા સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ ગણીએ,જેમાં એકમ લંબાઈ દીઠ $n$ આંટા છે.
સોલેનોઇડમાં વહેતા પ્રવાહ $I$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = \mu_{0} n I$ (છેડાની અસરોને અવગણતા).
સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ:
$N \phi_{B} = N B A$
$N = nl$ અને $B = \mu_{0} n I$ મૂકતા:
$N \phi_{B} = (nl)(\mu_{0} n I)(A) = \mu_{0} n^{2} A l I$
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ની વ્યાખ્યા $L = \frac{N \phi_{B}}{I}$ મુજબ:
$L = \mu_{0} n^{2} A l$ ... $(1)$
જો સોલેનોઇડને $\mu_{r}$ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે,તો આત્મ-પ્રેરકત્વ:
$L = \mu_{r} \mu_{0} n^{2} A l$ ... $(2)$
આમ,કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ તેની ભૂમિતિ અને માધ્યમની પરમીએબિલિટી પર આધાર રાખે છે.

(N/A) આત્મ-પ્રેરકત્વનો એકમ હેન્રી $(H)$ છે.
આત્મ-પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ છે.
જો $\frac{dI}{dt} = 1 \text{ A s}^{-1}$ હોય અને પ્રેરિત emf $\varepsilon = 1 \text{ V}$ હોય,તો આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ને $1 \text{ Henry}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$L$ નું મૂલ્ય નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$(1)$ ગૂંચળાનું કદ અને આકાર.
$(2)$ આંટાઓની સંખ્યા $N$.
$(3)$ ગૂંચળાની અંદરના માધ્યમની ચુંબકીય પરમીએબિલિટી (દા.ત.,જો ગૂંચળું નરમ લોખંડના ગર્ભ પર વીંટાળવામાં આવે તો તેનું મૂલ્ય ઘણું વધી જાય છે).

(N/A) જ્યારે કોઈ કોઈલમાંથી વહેતો પ્રવાહ બદલાય છે ત્યારે ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ તેમાં સ્વ-પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થાય છે. લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,આ પ્રેરિત $emf$ ની દિશા હંમેશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. જ્યારે સર્કિટમાં પ્રવાહ વધે છે,ત્યારે સ્વ-પ્રેરિત $emf$ લાગુ કરેલા વોલ્ટેજની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,આમ તે પ્રવાહના વધારાનો વિરોધ કરે છે. તેવી જ રીતે,જ્યારે પ્રવાહ ઘટે છે,ત્યારે તે પ્રવાહના ઘટાડાનો વિરોધ કરે છે. કારણ કે તે સ્ત્રોત $emf$ અથવા પ્રવાહના ફેરફારની વિરુદ્ધમાં કાર્ય કરે છે,તેથી તેને સામાન્ય રીતે બેક $emf$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(N/A) $l$ લંબાઈ,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $N$ આંટા ધરાવતા ખૂબ લાંબા સોલેનોઈડ માટે,સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = N/l$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \mu_0 (N/l) I A$ છે.
કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળ (flux linkage) $N\phi = N \cdot \mu_0 (N/l) I A = (\mu_0 N^2 A / l) I$ થાય છે.
આમ,કુલ ફ્લક્સ સાંકળ $LI$ જેટલી હોવાથી,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે,આપણને $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ મળે છે.

(A) જ્યારે સોલેનોઈડ ચુસ્ત રીતે વીંટાળેલું હોય છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સોલેનોઈડની અંદર કેન્દ્રિત હોય છે,જેના પરિણામે ઉચ્ચ આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ મળે છે.
જ્યારે કોઈલને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે આંટાઓ વચ્ચેની જગ્યા વધે છે,જેના કારણે પ્રતિ આંટા દીઠ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઘટાડો થાય છે,જે સોલેનોઈડના આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ માં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે.
સંબંધ $V = L(di/dt) + iR$ મુજબ,નિશ્ચિત $DC$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત માટે,સ્થાયી-અવસ્થાનો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = V/R$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
જો કે,ખેંચવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન,આત્મ-પ્રેરકત્વમાં થતો ફેરફાર એક ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon = -L(di/dt) - i(dL/dt)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
જેহেতু આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ઘટે છે $(dL/dt < 0)$,તેથી પ્રેરિત emf આ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,જે અસરકારક રીતે બેક-emf ઘટાડે છે. પરિણામે,સર્કિટમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વધે છે.

(B) જ્યારે સોલેનોઈડમાં લોખંડનો ગર્ભ દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે હવાની સાપેક્ષમાં ગર્ભની ચુંબકીય પરમિએબિલિટીમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે।
આનાથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને પરિણામે સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi)$ માં વધારો થાય છે।
લેન્ઝના નિયમ અનુસાર, પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા આ ફેરફારનો વિરોધ કરશે।
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે, સોલેનોઈડ એક બેક $emf$ ઉત્પન્ન કરે છે જે બેટરીના વોલ્ટેજની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે।
પરિણામે, સોલેનોઈડમાંથી વહેતો ચોખ્ખો પ્રવાહ ઘટે છે।

(D) સોલેનોઇડમાં ઉદ્ભવતું બેક $emf$, $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ આત્મપ્રેરકત્વ છે અને $\frac{dI}{dt}$ એ પ્રવાહ-સમયના આલેખનો ઢાળ છે。
$1$. $t = 3\;s$ સમયે ($OA$ વિભાગ): ઢાળ $\frac{1 - 0}{5 - 0} = 0.2\;A/s$ છે। તેથી, $e = -L(0.2) = -0.2L$. આથી, $L = -5e$.
$2$. $t = 7\;s$ સમયે ($AB$ વિભાગ): ઢાળ $\frac{-2 - 1}{10 - 5} = \frac{-3}{5} = -0.6\;A/s$ છે। બેક $emf$, $\varepsilon_1 = -L(-0.6) = 0.6L$ થશે। $L = -5e$ મૂકતા, $\varepsilon_1 = 0.6(-5e) = -3e$ મળે.
$3$. $t = 15\;s$ સમયે ($BC$ વિભાગ): ઢાળ $\frac{0 - (-2)}{30 - 10} = \frac{2}{20} = 0.1\;A/s$ છે। બેક $emf$, $\varepsilon_2 = -L(0.1) = -0.1L$ થશે। $L = -5e$ મૂકતા, $\varepsilon_2 = -0.1(-5e) = 0.5e = \frac{e}{2}$ મળે.
$4$. $t = 40\;s$ સમયે: પ્રવાહ $0\;A$ પર અચળ છે ($t=30\;s$ પછી), તેથી ઢાળ $\frac{dI}{dt} = 0$ છે। આમ, બેક $emf$ $0$ થશે。
બેક $emf$ નું મૂલ્ય ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે ઢાળ $|\frac{dI}{dt}|$ મહત્તમ હોય। ઢાળની સરખામણી કરતા: $|0.2|$, $|-0.6|$, અને $|0.1|$. મહત્તમ ઢાળ $|-0.6|$ છે જે $t = 5\;s$ થી $t = 10\;s$ ની વચ્ચે જોવા મળે છે.

(A) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{2 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ લિંકેજ $\phi = B A N = \frac{\mu_0 N^2 i A}{2 \pi R}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\phi = L i$,તેથી સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{2 \pi R}$ થાય.
આપેલ કિંમતો: $N = 500$,$R = 0.4 \text{ m}$,$A = 10 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (500)^2 \times (10 \times 10^{-4})}{2 \pi \times 0.4}$
$L = \frac{2 \times 10^{-7} \times 250000 \times 10^{-3}}{0.4}$
$L = \frac{2 \times 10^{-7} \times 250}{0.4} = \frac{500 \times 10^{-7}}{0.4} = 1250 \times 10^{-7} \text{ H} = 125 \mu\text{H}$.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \int L I \, dI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L = 2.0 \, H$ અને $I = 2 \sin(t^2) \, A$.
પ્રથમ,સમયગાળો શોધો. જ્યારે $I = 0$,ત્યારે $2 \sin(t^2) = 0 \Rightarrow t = 0$.
જ્યારે $I = 2 \, A$,ત્યારે $2 \sin(t^2) = 2 \Rightarrow \sin(t^2) = 1 \Rightarrow t^2 = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$.
વપરાતી ઉર્જા $E = \int_{0}^{2} L I \, dI = \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} L I \left( \frac{dI}{dt} \right) dt$ છે.
$I = 2 \sin(t^2)$ હોવાથી,$\frac{dI}{dt} = 2 \cos(t^2) \cdot 2t = 4t \cos(t^2)$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$E = \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} 2 \cdot (2 \sin(t^2)) \cdot (4t \cos(t^2)) \, dt$
$E = 16 \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} t \sin(t^2) \cos(t^2) \, dt$
નિત્યસમ $2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2 \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 8 \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} t \sin(2t^2) \, dt$
ધારો કે $u = 2t^2$,તો $du = 4t \, dt$,તેથી $t \, dt = \frac{du}{4}$.
જ્યારે $t = 0, u = 0$. જ્યારે $t = \sqrt{\pi/2}, u = \pi$.
$E = 8 \int_{0}^{\pi} \sin(u) \frac{du}{4} = 2 \int_{0}^{\pi} \sin(u) \, du$
$E = 2 [-\cos(u)]_{0}^{\pi} = 2 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 2 [1 + 1] = 4 \, J$.

(D) સ્વીચ ખોલતા પહેલા કોઈલમાંથી વહેતો સ્થાયી પ્રવાહ $i_0$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ મળે છે: $i_0 = \frac{V}{R} = \frac{20 \; V}{10 \; \Omega} = 2 \; A$.
કોઈલમાં ઉદ્ભવતું સરેરાશ emf $\langle \varepsilon \rangle$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે, જેનું સૂત્ર: $\langle \varepsilon \rangle = L \frac{\Delta i}{\Delta t}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 20 \; mH = 20 \times 10^{-3} \; H$
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta i = i_{\text{અંતિમ}} - i_{\text{પ્રારંભિક}} = 0 - 2 = -2 \; A$
સમયગાળો $\Delta t = 100 \; \mu s = 100 \times 10^{-6} \; s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા (emf નું મૂલ્ય લેતા):
$|\langle \varepsilon \rangle| = L \frac{|\Delta i|}{\Delta t} = \frac{20 \times 10^{-3} \times 2}{100 \times 10^{-6}}$
$|\langle \varepsilon \rangle| = \frac{40 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 40 \times 10^1 = 400 \; V$.

(C) કિસ્સો-$1$: કી $K$ બંધ કર્યાના લાંબા સમય પછી,ઇન્ડક્ટર $L$ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટ એક બ્રિજ નેટવર્ક બને છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R \cdot 4R}{R + 4R} + \frac{3R \cdot 2R}{3R + 2R} = 2R$ થાય છે.
કુલ પ્રવાહ $I = \frac{E}{2R}$. એમીટર શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{ammeter} = I \cdot \frac{4R}{5R} = \frac{4}{5} I = 20 \,mA$,તેથી $I = 25 \,mA$. $EMF$ $E = 50R \,mA$ મળે છે.
કિસ્સો-$2$: કી $K$ બંધ કર્યાના તરત જ પછી,ઇન્ડક્ટર $L$ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ $(R + 3R)$ અને $(4R + 2R)$ બને છે.
એમીટર શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I'_{ammeter} = \frac{E}{R+3R} = \frac{50R}{4R} = 12.5 \,mA$. જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $25 \,mA$ છે.

(D) ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નું સૂત્ર $\phi = LI$ છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે. તેથી,$L = \phi / I$. ચુંબકીય ફ્લક્સનો એકમ $weber$ $(Wb)$ અને વિદ્યુતપ્રવાહનો એકમ $ampere$ $(A)$ છે. તેથી,$1 \ henry = 1 \ Wb/A$. આ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.
$V = -L(dI/dt)$ હોવાથી,$L = V(dt/dI)$ મળે. તેના એકમો $volt \cdot second / ampere$ થાય છે. આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = (1/2)LI^2$ છે,તેથી $L = 2U/I^2$. ઉર્જાનો એકમ $joule$ $(J)$ છે. તેથી,$1 \ henry = 1 \ J/A^2$. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ્પ $D$,$ohm-meter$,એ અવરોધકતાનો એકમ છે,ઇન્ડક્ટન્સનો નહીં. તેથી,હેનરીને $ohm-meter$ તરીકે લખી શકાતો નથી.

(C) સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{l}$ હોવાથી,આપણે $L = \mu_0 n^2 A l$ લખી શકીએ છીએ.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $L \propto n^2$ (અથવા જો લંબાઈ $l$ અચળ હોય તો $L \propto N^2$).
અહીં આંટાની સંખ્યા $N$ બમણી કરવામાં આવે છે $(N' = 2N)$ અને લંબાઈ $l$ અચળ રહે છે,તેથી નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L'$ નીચે મુજબ થશે:
$L' = \mu_0 (2N)^2 \frac{A}{l} = 4 \left( \frac{\mu_0 N^2 A}{l} \right) = 4L$.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણું થાય છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર અને $DC$ સ્ત્રોત ધરાવતા સર્કિટમાં સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $0$ થી તેના સ્થિર મૂલ્ય $I = V/R$ સુધી વધે છે. આ વૃદ્ધિ દરમિયાન,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે,જે બેક $emf$ પ્રેરિત કરે છે.
જો કે,જ્યારે સ્વીચ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ તેના સ્થિર મૂલ્યથી લગભગ ત્વરિત રીતે $0$ થઈ જાય છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,$e = -L(di/dt)$. સ્વીચ ખોલવા માટેનો સમયગાળો $dt$ અત્યંત નાનો હોવાથી,પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $di/dt$ ખૂબ જ વધારે હોય છે.
તેથી,જ્યારે સ્વીચ ખોલવામાં આવે ત્યારે ખૂબ મોટું $emf$ પ્રેરિત થાય છે,જે ઘણીવાર સ્વીચના સંપર્કો પર તણખા ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ખોલવામાં આવે છે (ચાલુ કરવામાં આવે છે),ત્યારે પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ લગભગ તરત જ શૂન્ય થઈ જાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ઇન્ડક્ટર $L$ આ અચાનક થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે અને $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ મુજબ પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ પ્રેરિત $EMF$ બેટરીના વોલ્ટેજની દિશામાં જ કાર્ય કરે છે,જેથી ક્ષણભર માટે પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ જળવાઈ રહે છે.
પરિણામે,બલ્બમાંથી પસાર થતા વિદ્યુતપ્રવાહમાં ક્ષણિક વધારો થાય છે,જેના કારણે બલ્બ બંધ થતા પહેલા અચાનક પ્રકાશિત થાય છે.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ $I = 5 + 16t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને પ્રવાહના ફેરફારનો દર મળે છે: $\frac{dI}{dt} = 16 \,A/s$.
ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon$ નું સૂત્ર $|\varepsilon| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ છે.
અહીં $\varepsilon = 5 \,mV = 5 \times 10^{-3} \,V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $5 \times 10^{-3} = L \times 16$.
$L$ માટે ઉકેલતા: $L = \frac{5 \times 10^{-3}}{16} = 0.3125 \times 10^{-3} \,H$.
આને $\times 10^{-4} \,H$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે લખી શકીએ $L = 3.125 \times 10^{-4} \,H$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બલ્બની તીવ્રતા સમાન રહે છે.
$DC$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર એક સાદા વાયર તરીકે વર્તે છે જેમાં થોડો અવરોધ હોય છે કારણ કે પ્રવાહ સ્થિર છે $(dI/dt = 0)$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL$ એ $DC$ માટે શૂન્ય છે કારણ કે આવૃત્તિ $f = 0$ છે.
તેથી,સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ માત્ર બલ્બ અને કોઈલના અવરોધ દ્વારા નક્કી થાય છે.
નરમ લોખંડનો ગર્ભ દાખલ કરવાથી કોઈલનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ વધે છે,પરંતુ પ્રવાહ સ્થિર $DC$ હોવાથી,ઇન્ડક્ટન્સ સ્થિર-અવસ્થાના પ્રવાહને અસર કરતું નથી.
સ્થિર-અવસ્થાનો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે બદલાતો નથી. આમ,બલ્બની તીવ્રતા સમાન રહે છે.

(A) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ સંબંધ $\phi = L \times I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે અને $I$ એ કોઈલમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 50\,mH = 50 \times 10^{-3}\,H$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 8\,mA = 8 \times 10^{-3}\,A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (50 \times 10^{-3}\,H) \times (8 \times 10^{-3}\,A)$
$\phi = 400 \times 10^{-6}\,Wb$
$\phi = 4 \times 10^{-4}\,Wb$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પરિપથમાં પ્રારંભિક પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{V}{R} = \frac{12\,V}{6\,\Omega} = 2\,A$.
જ્યારે સ્વીચ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $1\,ms = 10^{-3}\,s$ ના સમયગાળામાં $2\,A$ થી ઘટીને $0\,A$ થાય છે.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|\varepsilon| = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $20 = L \times \frac{2 - 0}{10^{-3}}$.
$20 = L \times \frac{2}{10^{-3}}$.
$20 = L \times 2000$.
$L = \frac{20}{2000} = 0.01\,H$.
મિલીહેનરી $(mH)$ માં ફેરવતા: $L = 0.01 \times 1000\,mH = 10\,mH$.

(B) આપેલ છે કે,ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ $I = (3t + 8) \ A$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $\varepsilon$ નું સૂત્ર $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ છે.
ઇન્ડ્યુસ્ડ emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ છે.
આપેલ છે કે $|\varepsilon| = 12 \ mV = 12 \times 10^{-3} \ V$.
પ્રથમ,પ્રવાહના ફેરફારનો દર શોધો: $\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(3t + 8) = 3 \ A/s$.
હવે,કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો: $12 \ mV = L \times 3 \ A/s$.
$L = \frac{12 \ mV}{3 \ A/s} = 4 \ mH$.
તેથી,ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $4 \ mH$ છે.

(A) આત્મ-પ્રેરકત્વને કારણે કોઈલમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$|E| = L \left| \frac{di}{dt} \right|$
આપેલ છે:
પ્રવાહમાં ફેરફાર,$di = (+2 \,A) - (-2 \,A) = 4 \,A$
સમયગાળો,$dt = 0.2 \,s$
પ્રેરિત $emf$,$|E| = 0.1 \,V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.1 = L \times \frac{4}{0.2}$
$L$ માટે ઉકેલતા:
$L = \frac{0.1 \times 0.2}{4}$
$L = \frac{0.02}{4} \,H$
$L = 0.005 \,H$
મિલીહેન્રી $(mH)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$L = 0.005 \times 1000 \,mH = 5 \,mH$

(B) વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$A:$ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ તેની ભૂમિતિ (આંટાની સંખ્યા $N$,ક્ષેત્રફળ $A$,લંબાઈ $l$) પર આધાર રાખે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$B:$ આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu N^2 A / l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \mu_0 \mu_r$. તેથી,તે માધ્યમની પરમીએબિલિટી પર આધાર રાખે છે. આ વિધાન ખોટું છે.
$C:$ લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આત્મ-પ્રેરિત e.m.f. પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$D:$ મિકેનિક્સમાં,દળ એ જડત્વ (વેગમાં ફેરફારનો વિરોધ) દર્શાવે છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમમાં,આત્મ-પ્રેરકત્વ એ વિદ્યુત જડત્વ (પ્રવાહમાં ફેરફારનો વિરોધ) દર્શાવે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$E:$ ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ સ્થાપિત કરવા માટે,બેક e.m.f. ની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે જેથી વિદ્યુત જડત્વને દૂર કરી શકાય. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $A, C, D,$ અને $E$ સાચા છે.

(B) સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\ell$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
$N$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સોલેનોઇડ બનાવવા માટે વપરાતા તારની કુલ લંબાઈ $\ell_1 = N(2 \pi r)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{\ell_1}{2 \pi N}$.
$A = \pi \left(\frac{\ell_1}{2 \pi N}\right)^2 = \frac{\ell_1^2}{4 \pi N^2}$ ને ઇન્ડક્ટન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{\mu_0 N^2}{\ell} \cdot \frac{\ell_1^2}{4 \pi N^2} = \frac{\mu_0 \ell_1^2}{4 \pi \ell}$.
$\ell_1$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\ell_1^2 = \frac{4 \pi L \ell}{\mu_0}$.
તેથી,$\ell_1 = \sqrt{\frac{4 \pi L \ell}{\mu_0}}$.

(C) સોલેનોઇડના આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ માટેનું સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો:
લંબાઈ $\ell = 48 \pi \ cm = 48 \pi \times 10^{-2} \ m$
ક્ષેત્રફળ $A = 12 \ cm^2 = 12 \times 10^{-4} \ m^2$
આંટાની સંખ્યા $N = 1200$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (1200)^2 \times (12 \times 10^{-4})}{48 \pi \times 10^{-2}}$
$L = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1440000 \times 12 \times 10^{-4}}{48 \pi \times 10^{-2}}$
$L = \frac{48 \pi \times 1.44 \times 10^{-5}}{48 \pi \times 10^{-2}}$
$L = 1.44 \times 10^{-3} \ H = 1.44 \ mH$.

(D) ઇન્ડક્ટર $L$ અને અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં ધરાવતા પરિપથના આપેલ ભાગ માટે,બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$V_A - V_B = L \frac{dI}{dt} + IR$
આપેલ કિંમતો $V_A - V_B = 0.5 \ V$,$I = 0.5 \ A$,$R = 0.2 \ \Omega$,અને $\frac{dI}{dt} = 8 \ A/s$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.5 = L(8) + (0.5)(0.2)$
$0.5 = 8L + 0.1$
$8L = 0.5 - 0.1$
$8L = 0.4$
$L = \frac{0.4}{8} = 0.05 \ H$
તેથી,કોઈલનું ઇન્ડક્ટન્સ $0.05 \ H$ છે.

(A) સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B)$ શોધવા માટે, આપણે પરિપથમાં બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$A$ થી શરૂ કરીને, આપણે અવરોધ $(12 \, \Omega)$, ઇન્ડક્ટર $(6 \, H)$, અને બેટરી $(12 \, V)$ માંથી પસાર થઈને $B$ સુધી પહોંચીએ છીએ.
પ્રવાહ $I = 2 \, A$ એ $A$ થી $B$ તરફ વહે છે.
અવરોધ પરનો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_R = I \cdot R = 2 \, A \times 12 \, \Omega = 24 \, V$ છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_L = L \frac{dI}{dt} = 6 \, H \times (-1 \, A/s) = -6 \, V$ છે.
બેટરી પરનો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો $12 \, V$ છે (ધનથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જતાં).
$KVL$ લાગુ પાડતા: $V_A - I \cdot R - L \frac{dI}{dt} - 12 = V_B$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $V_A - V_B = I \cdot R + L \frac{dI}{dt} + 12$.
કિંમતો મૂકતા: $V_A - V_B = (2)(12) + 6(-1) + 12$.
$V_A - V_B = 24 - 6 + 12 = 30 \, V$.

(B) જ્યારે કોઈલ ખુલ્લી હોય,ત્યારે સર્કિટ તૂટેલી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહી શકતો નથી $(i = 0)$.
સર્કિટ ખુલ્લી હોવાથી,માર્ગનો અવરોધ $R$ અનંત $(R = \infty)$ ગણાય છે.
સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ વિશે વાત કરીએ તો,તે કોઈલનો પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરવાનો ગુણધર્મ છે. ગાણિતિક રીતે,$\phi = Li$,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
ખુલ્લી કોઈલ માટે,કોઈ પ્રવાહ હોતો નથી $(i = 0)$,અને પરિણામે,કોઈલ દ્વારા કોઈ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન થતું નથી $(\phi = 0)$.
આમ,$L = \frac{\phi}{i} = \frac{0}{0}$. ખુલ્લી સર્કિટના સંદર્ભમાં,ચુંબકીય ઉર્જા સંગ્રહિત કરવાની કે $EMF$ ઉત્પન્ન કરવાની ક્ષમતા હોતી નથી,તેથી $L = 0$ થાય છે.

(B) $L$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતા ઇન્ડક્ટરમાં $I$ પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આપણે ચુંબકીય ફ્લક્સ સ્થાપિત કરવા માટે થયેલ કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ,તો તે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જાને સમકક્ષ છે.
એકમ પ્રવાહ $(I = 1 \ A)$ માટે,સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L (1)^2 = \frac{L}{2}$ છે.
તેથી,$L = 2U$.
આનો અર્થ એ છે કે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ પરિપથમાં એકમ પ્રવાહ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સ્થાપિત કરવા માટે થયેલ કાર્ય (અથવા સંગ્રહિત ઉર્જા) ના બમણા જેટલું હોય છે.

(A) બલ્બની તેજસ્વિતા પરિપથમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $I = \frac{V}{Z}$. $LR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L = 2\pi f L$. તેજસ્વિતા ઘટવા માટે,પ્રવાહ $I$ ઘટવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધવો જોઈએ.
$1$. જ્યારે ગૂંચળામાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરમીબિલિટી વધવાને કારણે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે. પરિણામે,$X_L$ વધે છે,$Z$ વધે છે,અને પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,જેનાથી તેજસ્વિતામાં ઘટાડો થાય છે.
$2$. જો આવૃત્તિ $f$ ઘટાડવામાં આવે,તો $X_L$ ઘટે છે,$Z$ ઘટે છે,અને પ્રવાહ $I$ વધે છે,જેનાથી તેજસ્વિતા વધે છે.
$3$. જો આંટાની સંખ્યા $N$ ઘટાડવામાં આવે,તો $L$ ઘટે છે (કારણ કે $L \propto N^2$),$X_L$ ઘટે છે,$Z$ ઘટે છે,અને પ્રવાહ $I$ વધે છે,જેનાથી તેજસ્વિતા વધે છે.
$4$. કેપેસિટર ઉમેરવાથી જો પરિપથ રેઝોનન્સમાં આવે તો પ્રવાહ વધે છે,ઘટે નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} LI^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$U = \frac{1}{2} \times 1 \times 1^2 = 0.5 \text{ J}$.
જ્યારે પરિપથ તોડવામાં આવે છે,ત્યારે તણખાને રોકવા માટે આ ઉર્જા કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
બંને ઉર્જાઓને સરખાવતા: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI^2$.
$C$ માટે ઉકેલતા: $C = L \left( \frac{I}{V} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $C = 1 \times \left( \frac{1}{500} \right)^2 = \frac{1}{250000} \text{ F}$.
$C = 4 \times 10^{-6} \text{ F} = 4 \mu \text{ F}$.

(C) કોઈલ (ગૂંચળા) માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -L \frac{di}{dt}$,જ્યાં $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે,$e$ એ પ્રેરિત $EMF$ છે,અને $\frac{di}{dt}$ એ પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
$L$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $L = \frac{e}{di/dt}$.
$EMF$ $(e)$ નો એકમ વોલ્ટ $(V)$ છે,પ્રવાહ $(i)$ નો એકમ એમ્પીયર $(A)$ છે,અને સમય $(t)$ નો એકમ સેકન્ડ $(S)$ છે.
તેથી,સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ નો એકમ $\frac{V}{A/S} = \frac{V \cdot S}{A}$ થાય છે,જેને હેનરી $(H)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(C) $DC$ સર્કિટમાં સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર એક સાદા વાયર તરીકે વર્તે છે.
જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં તોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ભાગોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{R/2} = \frac{4}{R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{4}$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{E}{R/4} = \frac{4 E}{R}$ થાય છે.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} LI^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સર્કિટ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તણખા થતા અટકાવવા માટે આ ઉર્જા કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતરિત થવી જોઈએ.
કેપેસિટર દ્વારા સંગ્રહિત ઉર્જા $W = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ઉર્જાઓને સરખાવતા: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI^2$.
$C$ માટે ઉકેલતા: $C = \frac{LI^2}{V^2} = L\left(\frac{I}{V}\right)^2$.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં ઉત્પન્ન થતું ઇન્ડ્યુસ્ડ e.m.f. $(e)$ સૂત્ર $e = -L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે,જે અચળ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઇન્ડ્યુસ્ડ e.m.f. પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે (લેન્ઝનો નિયમ).
જેમ કે $L$ અચળ છે,તેથી $e$ અને $\frac{dI}{dt}$ વચ્ચેનો સંબંધ $y = mx$ પ્રકારનું રેખીય સમીકરણ છે,જ્યાં $m = -L$ છે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આપેલા ગ્રાફ જોતા,ગ્રાફ $B$ એ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતી અને જેમ $\frac{dI}{dt}$ વધે તેમ ઋણ $e$ વિસ્તારમાં જતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે $e = -L \frac{dI}{dt}$ સંબંધને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(C) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ સૂત્ર $L = \mu_0 n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ કોઈલની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે તમામ રેખીય પરિમાણોમાં $k = 3$ ના ગુણાંકમાં વધારો થાય છે:
$1$. લંબાઈ $l$ એ $l' = kl = 3l$ થાય છે.
$2$. આડછેદ લંબચોરસ હોવાથી,જો તેની બાજુઓ $a$ અને $b$ હોય,તો ક્ષેત્રફળ $A = ab$ થાય. જ્યારે પરિમાણોને $k$ વડે સ્કેલ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (ka)(kb) = k^2 A = 3^2 A = 9A$ થાય છે.
$3$. એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે.
આ કિંમતોને નવા ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L' = \mu_0 n^2 A' l' = \mu_0 n^2 (k^2 A) (kl) = k^3 (\mu_0 n^2 A l) = k^3 L$.
$k = 3$ મૂકતા:
$L' = 3^3 L = 27L$.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $27$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(B) ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ ને $\phi = LI$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સમીકરણ પરથી,સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને $L = \frac{\phi}{I}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ આલેખમાં,$\phi$ ને $y$-અક્ષ પર અને $I$ ને $x$-અક્ષ પર દર્શાવવામાં આવ્યું છે.
તેથી,$\phi-I$ આલેખનો ઢાળ ઇન્ડક્ટરના સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને દર્શાવે છે.
આલેખનો ઢાળ $\tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ રેખા દ્વારા પ્રવાહ અક્ષ ($I$-અક્ષ) સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
જેમ ખૂણો $\theta$ વધે છે,તેમ $\tan(\theta)$ નું મૂલ્ય વધે છે.
આલેખ જોતા,ઇન્ડક્ટર $P$ માટેની રેખા $I$-અક્ષ સાથે સૌથી મોટો ખૂણો બનાવે છે.
આમ,ઇન્ડક્ટર $P$ નો ઢાળ સૌથી વધુ છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ સૌથી વધુ છે.

(D) આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ ને કારણે ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -L \frac{di}{dt}$.
અહીં,વિદ્યુતપ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta i = i_f - i_i = (-5 \ A) - (5 \ A) = -10 \ A$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 0.5 \ s$ છે.
પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = 2 \ V$ છે.
મૂલ્યના સૂત્ર $|e| = L \left| \frac{\Delta i}{\Delta t} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = L \left( \frac{10 \ A}{0.5 \ s} \right)$.
$2 = L \times 20$.
$L = \frac{2}{20} \ H = 0.1 \ H$.
મિલીહેન્રી $(mH)$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.1 \ H = 100 \ mH$.

(C) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = LI$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોઈલનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં $\phi-I$ આલેખનો ઢાળ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ જેટલો હોય છે (એટલે કે,$L = \frac{\phi}{I} = \tan \theta$).
આપેલી આકૃતિ પરથી,$L_1$ માટેની રેખાનો ઢાળ $L_2$ માટેની રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે (કારણ કે ખૂણો $\theta_1 > \theta_2$ છે).
તેથી,સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L_1$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L_2$ કરતા વધારે છે.

(A) ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
આ સમીકરણની સરખામણી સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે કરતા,જ્યાં $y = \phi$ અને $x = I$,આપણને ઢાળ $m = L$ મળે છે.
આલેખનો ઢાળ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ દર્શાવે છે,તેથી જે ઇન્ડક્ટરનો ઢાળ સૌથી ઓછો હશે તેનું આત્મ-પ્રેરકત્વ સૌથી ઓછું હશે.
આલેખ જોતા,રેખા $D$ એ પ્રવાહ અક્ષ ($I$-અક્ષ) સાથે સૌથી નાનો ખૂણો બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $D$ નું આત્મ-પ્રેરકત્વ સૌથી ઓછું છે.

(A) આત્મપ્રેરકત્વ $L$ માટેનું સૂત્ર $L = \frac{N \phi}{i}$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$\phi$ એ દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$N = 400$
$\phi = 3 \times 10^{-3} \ Wb$
$i = 0.5 \ A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{0.5}$
$L = \frac{1200 \times 10^{-3}}{0.5}$
$L = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \ H$
તેથી,સોલેનોઈડનું આત્મપ્રેરકત્વ $2.4 \ H$ છે.

(A) સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $l$ એ કોઈલની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે જ્યારે $A$ અને $l$ અચળ રહે ત્યારે $L \propto N^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે આંટાની સંખ્યા બમણી કરવામાં આવે છે,એટલે કે $N_2 = 2N_1$.
તેથી,નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_2$ નીચે મુજબ થશે:
$L_2 = L_1 \times \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$
$L_2 = L_1 \times (2)^2$
$L_2 = 4 L_1$
આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ મૂળ મૂલ્ય કરતા $4$ ગણું થાય છે.

(A) આપેલ છે: $N = 100$, $A = 1 \,cm^2 = 1 \times 10^{-4} \,m^2$, $L = 1 \,mH = 1 \times 10^{-3} \,H$, અને $I = 2 \,A$.
સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ ગૂંચળાની લંબાઈ છે।
આના પરથી, લંબાઈ $l$ થશે:
$l = \frac{\mu_0 N^2 A}{L} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (100)^2 \times (1 \times 10^{-4})}{1 \times 10^{-3}} = 4 \pi \times 10^{-3} \,m$.
સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય પ્રેરણ $B = \frac{\mu_0 N I}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$l$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 2}{4 \pi \times 10^{-3}} = 10^{-7} \times 200 \times 10^3 = 0.2 \,Wb/m^2$.

(C) સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L = \mu_0 n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
આમ,$L \propto n^2$ હોવાથી,જો એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા $n$ ને ત્રણ ગણી $(n' = 3n)$ કરવામાં આવે,તો નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L'$ નીચે મુજબ થશે:
$L' = \mu_0 (3n)^2 A l = 9 (\mu_0 n^2 A l) = 9L$.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ મૂળ મૂલ્ય કરતા $9$ ગણું થશે.

(A) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
બંને સોલેનોઈડ માટે $N$ સમાન હોવાથી,$L \propto \frac{r^2}{l}$ થાય.
લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 = 1 : 3$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 1 : 3$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right)$
$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \left( \frac{3}{1} \right)$
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{1}{3}$.
તેથી,તેમના આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણોત્તર $1: 3$ છે.

(D) લાંબા સોલેનોઈડના આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નું સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ કોઈલની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે જ્યારે લંબાઈ $l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ રહે,ત્યારે $L \propto N^2$ થાય.
આપેલ છે કે આંટાની સંખ્યા $N$ ને $3$ ગણી $(N' = 3N)$ કરવામાં આવે છે,તેથી નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L'$ નીચે મુજબ થશે:
$L' \propto (N')^2 = (3N)^2 = 9N^2$.
તેથી,$L' = 9L$.
આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ મૂળ મૂલ્ય કરતાં $9$ ગણું થાય છે.

(C) એર-કોર્ડ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l} = 0.1 \ H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $1000$ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $(\mu_r = 1000)$ ધરાવતી સોફ્ટ આયર્ન કોર દાખલ કરવામાં આવે અને આંટાની સંખ્યા $N$ બદલીને $N' = \frac{N}{10}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L' = \frac{\mu_0 \mu_r (N')^2 A}{l}$.
બંનેના ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{L'}{L} = \frac{\mu_r (N')^2}{N^2} = \mu_r \left(\frac{N/10}{N}\right)^2 = 1000 \times \left(\frac{1}{10}\right)^2$.
$\frac{L'}{L} = 1000 \times \frac{1}{100} = 10$.
તેથી,$L' = 10 \times L = 10 \times 0.1 \ H = 1 \ H$.

(D) ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\phi = LI$,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સમીકરણને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \frac{\phi}{I} = L$ મળે છે.
આમ,$\phi-I$ આલેખનો ઢાળ ઇન્ડક્ટરનું ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ દર્શાવે છે.
આપેલ તમામ રેખાઓમાં રેખા $S$ નો ઢાળ સૌથી નાનો હોવાથી,ઇન્ડક્ટર $S$ નું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ લઘુત્તમ છે.