Self Induction Questions in Gujarati

(A) આત્મ-પ્રેરકત્વને કારણે કોઈલમાં ઉદ્ભવતા પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નું સૂત્ર $e = -L \frac{di}{dt}$ છે.
અહીં,પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $di = i_f - i_i = 0.2 \, A - 1 \, A = -0.8 \, A$ છે.
સમયગાળો $dt = 10 \, s$ છે.
પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = 0.4 \, V$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.4 = -L \left( \frac{-0.8}{10} \right)$
$0.4 = L \times 0.08$
$L = \frac{0.4}{0.08} = 5 \, H$.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $5 \, H$ છે.

(C) કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|e| = L \frac{di}{dt}$
આપેલ છે:
પ્રવાહમાં ફેરફાર $(di)$ = $6 \ A - 0 \ A = 6 \ A$
સમયગાળો $(dt)$ = $0.3 \ s$
પ્રેરિત $e.m.f.$ $(|e|)$ = $30 \ V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$30 = L \times \frac{6}{0.3}$
$30 = L \times 20$
$L = \frac{30}{20} = 1.5 \ H$
તેથી,કોઈલનું ઇન્ડક્ટન્સ $1.5 \ H$ છે.

(D) ગૂંચળામાં કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળ (flux linkage) નું સૂત્ર $N\phi = LI$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$\phi$ એ પ્રતિ આંટા દીઠ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે,$L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ કિંમતો $N = 100$,$I = 5 \, A$ અને $\phi = 10^{-5} \, Wb$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $100 \times 10^{-5} = L \times 5$.
$10^{-3} = 5L$.
$L = \frac{10^{-3}}{5} = 0.2 \times 10^{-3} \, H$.
$1 \, H = 1000 \, mH$ હોવાથી,$L = 0.2 \, mH$ મળે છે.

(C) જ્યારે સ્વીચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરી ધરાવતો પરિપથ તૂટી જાય છે.
બલ્બ $B_1$ અને અવરોધ $R$ ધરાવતી શાખા માટે,પ્રવાહ જાળવી રાખવા માટે કોઈ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ નો સ્ત્રોત નથી,તેથી $B_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ લગભગ તરત જ શૂન્ય થઈ જાય છે.
જોકે,બલ્બ $B_2$ સાથેની શાખામાં રહેલ ઇન્ડક્ટર $L$ સ્વ-પ્રેરણને કારણે પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. જ્યારે સ્વીચ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર એક પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન કરે છે જે ઇન્ડક્ટર $L$ અને બલ્બ $B_2$ દ્વારા રચાયેલા લૂપમાં પ્રવાહ જાળવી રાખે છે.
પરિણામે,$B_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $L-R$ પરિપથના ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ મુજબ ધીમે ધીમે ઘટે છે,જેના કારણે $B_2$ ઓલવાઈ જતા પહેલા ધીમે ધીમે ઝાંખો પડે છે.
તેથી,$B_1$ તરત જ ઓલવાઈ જાય છે,જ્યારે $B_2$ થોડા વિલંબ સાથે ઓલવાય છે.

(C) કોઈલમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ નું સૂત્ર $|e| = L \left| \frac{di}{dt} \right|$ છે.
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.5\, H$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $di = 10\, A - 0\, A = 10\, A$
સમયગાળો $dt = 2\, s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|e| = 0.5 \times \frac{10}{2}$
$|e| = 0.5 \times 5$
$|e| = 2.5\, V$
તેથી,ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ $2.5\, V$ છે.

(B) ઇન્ડક્શન કોઈલમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$.
જ્યારે સ્વીચ બંધ (ઓપન) કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $i$ ખૂબ જ ઝડપથી શૂન્ય થઈ જાય છે. આના પરિણામે પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt}$ ખૂબ જ ઊંચો હોય છે.
કોઈલમાં અવરોધ હોવાથી,પ્રવાહનો ઘટાડો સમય અચળાંક $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
જ્યારે સ્વીચ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પન્ન થતો બેક $emf$ પ્રવાહના ફેરફારના દરના પ્રમાણમાં હોય છે. ઉચ્ચ અવરોધને કારણે,પ્રવાહ અત્યંત ઝડપથી ઘટે છે,જે $\frac{di}{dt}$ નું ખૂબ મોટું મૂલ્ય આપે છે,જેનાથી મહત્તમ પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થાય છે.

(C) ધારો કે સોલેનોઇડમાં $N$ આંટા છે,દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તારની કુલ લંબાઈ $l$ છે.
સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ (self-inductance) $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l_0} = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{l_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે .... $(i)$
તારની કુલ લંબાઈ $l = N \times 2\pi r$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$l^2 = N^2 \times 4\pi^2 r^2$,જેનો અર્થ થાય છે $N^2 r^2 = \frac{l^2}{4\pi^2}$ .... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $N^2 r^2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$L = \frac{\mu_0 \pi}{l_0} \times \frac{l^2}{4\pi^2} = \frac{\mu_0 l^2}{4\pi l_0}$
$l$ માટે ગોઠવતા,આપણને $l^2 = \frac{4\pi L l_0}{\mu_0}$ મળે છે,તેથી $l = \sqrt{\frac{4\pi L l_0}{\mu_0}}$.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $e$ સૂત્ર $e = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,સમયગાળા $t = 5\, ms$ થી $t = 6\, ms$ માટે,પ્રવાહ $5\, A$ થી ઘટીને $0\, A$ થાય છે.
પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt}$ એ રેખાખંડ $BC$ નો ઢાળ છે.
$\frac{di}{dt} = \frac{i_f - i_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 5}{6 \times 10^{-3} - 5 \times 10^{-3}} = \frac{-5}{1 \times 10^{-3}} = -5 \times 10^3\, A/s$.
emf ના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = - (4.6\, H) \times (-5 \times 10^3\, A/s) = 23 \times 10^3\, V$.

(B) ચોક કોઈલ એ મૂળભૂત રીતે ઉચ્ચ ઇન્ડક્ટન્સ અને ઓછો અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર છે.
તે $Self-Induction$ (આત્મ-પ્રેરણ) ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
જ્યારે કોઈલમાંથી અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ વહે છે,ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાને કારણે તેમાં ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ ગુણધર્મને લીધે,ચોક કોઈલ $AC$ સર્કિટમાં પાવરનો વ્યય કર્યા વિના પ્રવાહને મર્યાદિત કરી શકે છે,કારણ કે આદર્શ ઇન્ડક્ટર દ્વારા વપરાતો સરેરાશ પાવર શૂન્ય હોય છે (વોટલેસ કરંટ).

(B) $t = 0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,તેથી તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
પરિપથ $(i)$ માટે: બેટરીમાંથી મળતો કુલ પ્રવાહ $i_1 = 0$ છે કારણ કે ઇન્ડક્ટર બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે.
પરિપથ $(ii)$ માટે: ઇન્ડક્ટર એક અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે,અને આ શાખા બીજા અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે. $t = 0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર ધરાવતી શાખા ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. આમ,પ્રવાહ ફક્ત સમાંતર અવરોધ $R$ માંથી વહે છે. બેટરીમાંથી મળતો કુલ પ્રવાહ $i_2 = E/R$ છે.
પરિપથ $(iii)$ માટે: ઇન્ડક્ટર એક અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે. $t = 0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર ધરાવતી શાખા ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. પ્રવાહ સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં રહેલા અવરોધ $R$ માંથી વહે છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R + R = 2R$ છે. આમ,બેટરીમાંથી મળતો કુલ પ્રવાહ $i_3 = E/(2R)$ છે.
પ્રવાહની સરખામણી કરતા: $i_2 = E/R$,$i_3 = E/(2R)$,અને $i_1 = 0$. તેથી,$i_2 > i_3 > i_1$. પરિપથ $(ii)$ માં પ્રવાહ મહત્તમ છે.

(C) જ્યારે સ્વિચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધ $R$ અને બલ્બ $B_1$ ધરાવતો પરિપથ તરત જ તૂટી જાય છે,તેથી $B_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ તરત જ શૂન્ય થઈ જાય છે અને તે બંધ થઈ જાય છે.
જોકે,ઇન્ડક્ટર $L$ પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. સ્વ-પ્રેરણને કારણે,તે ઇન્ડક્ટર $L$ અને બલ્બ $B_2$ ધરાવતા લૂપમાં પ્રવાહને થોડા સમય માટે જાળવી રાખે છે કારણ કે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઊર્જા ક્ષીણ થાય છે. આમ,$B_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ ધીમે ધીમે ઘટે છે,જેના કારણે તે થોડા સમય પછી બંધ થાય છે.

(A) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સંબંધ $\Phi_{total} = L \cdot I$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\Phi_{total}$ એ સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_{total} = N \cdot \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે અને $\phi$ એ દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 500$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \, A$
દરેક આંટા દીઠ ફ્લક્સ $\phi = 4 \times 10^{-3} \, Wb$
કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{total} = 500 \times 4 \times 10^{-3} \, Wb = 2 \, Wb$.
સૂત્ર $L = \frac{\Phi_{total}}{I}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{2 \, Wb}{2 \, A} = 1 \, H$.
તેથી,સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $1 \, H$ છે.

(C) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 1000$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4\, A$,દરેક આંટા દીઠ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{0} = 4 \times 10^{-3}\, Wb$.
સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = N \phi_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\phi = 1000 \times 4 \times 10^{-3}\, Wb = 4\, Wb$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ફ્લક્સ અને આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = L I$ છે.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\phi}{I} = \frac{4\, Wb}{4\, A} = 1\, H$.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L \propto N^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે અને $r$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે.
શરૂઆતમાં,$N_1 = 1$ અને $r_1 = r$,તેથી $L_1 = L$.
અંતમાં,વાયરને $N_2 = 2$ આંટામાં વાળવામાં આવે છે,જેમાં દરેકની ત્રિજ્યા $r_2 = r/2$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{L}{L_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times \left( \frac{r}{r/2} \right) = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$L_2 = 2L$.

(D) કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ બે રીતે દર્શાવી શકાય છે:
$1$. ક્ષેત્રફળ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારને કારણે: $e = B \cdot \frac{dA}{dt}$
$2$. આત્મ-પ્રેરકત્વને કારણે: $e = L \cdot \frac{di}{dt}$
આ બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $B \cdot \frac{dA}{dt} = L \cdot \frac{di}{dt}$
આપેલ છે:
$B = 1 \, T$
$\frac{dA}{dt} = 5 \, m^2/ms = 5 \times 10^3 \, m^2/s$
$\frac{di}{dt} = \frac{2 - 1}{2 \times 10^{-3}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \, A/s$
કિંમતો મૂકતા:
$1 \times (5 \times 10^3) = L \times 500$
$5000 = L \times 500$
$L = \frac{5000}{500} = 10 \, H$

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સ્વ-પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $e = -L \frac{di}{dt}$ છે.
બંને ઇન્ડક્ટર્સ સમાન હોવાથી,તેમનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ સમાન છે.
પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય $|e| = L \left| \frac{di}{dt} \right|$ છે,જ્યાં $\left| \frac{di}{dt} \right|$ એ પ્રવાહ-સમયના આલેખના ઢાળનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આકૃતિ પરથી,રેખા $1$ નો ઢાળ રેખા $2$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે,જેનો અર્થ છે કે $\left| \frac{di}{dt} \right|_1 > \left| \frac{di}{dt} \right|_2$.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $1$ માટે પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય વધારે છે,એટલે કે $|e_1| > |e_2|$.

(A) સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = N B A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આત્મ-પ્રેરકત્વની વ્યાખ્યા મુજબ,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = L i$ દ્વારા પણ દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$N B A = L i$
વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ માટે ઉકેલતા:
$i = \frac{N B A}{L}$

(C) ઇન્ડક્ટન્સ $L$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $L = \frac{\phi}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
કારણ કે $\phi = B \cdot A$,ફ્લક્સના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2} A^{-1}]$ છે.
$Q = I \cdot T$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A = Q T^{-1}$ મળે છે.
આ કિંમતોને ઇન્ડક્ટન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$[L] = \frac{[M L^2 T^{-2} (Q T^{-1})^{-1}]}{[Q T^{-1}]} = \frac{[M L^2 T^{-2} Q^{-1} T]}{[Q T^{-1}]} = \frac{[M L^2 T^{-1} Q^{-1}]}{[Q T^{-1}]} = M L^2 Q^{-2}$.
આમ,$\frac{M L^2}{Q^2}$ પરિમાણ એ ઇન્ડક્ટન્સના એકમ $Henry$ $(H)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નું પરિમાણ $L = \frac{\phi}{I}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-1} Q^{-1}]$ છે.
પ્રવાહ $I$ નું પરિમાણ $[Q T^{-1}]$ છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સનું પરિમાણ $[L] = \frac{[M L^2 T^{-1} Q^{-1}]}{[Q T^{-1}]} = [M L^2 Q^{-2}]$ થાય છે.
ઇન્ડક્ટન્સનો એકમ $Henry$ $(H)$ છે.
આમ,$\frac{M L^2}{Q^2}$ પરિમાણ $Henry$ $(H)$ એકમ સાથે સુસંગત છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું $emf$ $e = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $i = 10 + 20t$,તેથી $\frac{di}{dt} = 20 \, A/s$.
$emf$ નું મૂલ્ય $|e| = L \left| \frac{di}{dt} \right| = 4 \, V$ છે.
આમ,$L \times 20 = 4$,જે આપણને $L = 0.2 \, H$ આપે છે.
ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ $\Phi = L \cdot i$ છે.
$t = 2 \, s$ સમયે,પ્રવાહ $i = 10 + 20(2) = 50 \, A$ થાય છે.
તેથી,કુલ ફ્લક્સ $\Phi = 0.2 \times 50 = 10 \, Wb$ થાય.

(A, C) એમ્પીયરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષથી $r$ અંતરે $(a < r < b)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{1}{2\mu_0} \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right)^2 = \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 r^2}$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_l$ મેળવવા માટે,$l=1$ લંબાઈ અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા નળાકાર કવચના કદ પર ઉર્જા ઘનતાનું સંકલન કરતા:
$U_l = \int_a^b u_B (2\pi r dr) = \int_a^b \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 r^2} (2\pi r dr) = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi} \int_a^b \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_l$ માટે $U_l = \frac{1}{2} L_l I^2$ થાય.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{1}{2} L_l I^2 = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$,જે પરથી $L_l = \frac{\mu_0}{2\pi} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(B) પોલો નળાકાર એક $L-R$ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે જ્યાં પ્રવાહ તેના પોતાના અવરોધ અને ઇન્ડક્ટન્સને કારણે ઘટે છે.
સ્પર્શકીય પ્રવાહ માર્ગ માટે નળાકારનો અવરોધ $R = \rho \frac{\text{માર્ગની લંબાઈ}}{\text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ}} = \rho \frac{2\pi r}{l d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાંબા સોલેનોઇડનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ (જે આ નળાકારનું અંદાજિત સ્વરૂપ છે) $L = \mu_0 n^2 A l$ છે,જ્યાં $n = \frac{N}{l}$. એક આંટા માટે $(N=1)$,$L = \mu_0 \frac{1}{l^2} (\pi r^2) l = \frac{\mu_0 \pi r^2}{l}$.
$L-R$ સર્કિટ માટે ટાઇમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = \frac{\mu_0 \pi r^2 / l}{\rho (2\pi r) / (l d)} = \frac{\mu_0 \pi r^2}{l} \cdot \frac{l d}{2\pi r \rho} = \frac{\mu_0 r d}{2\rho}$.
પ્રવાહનો ઘટાડો $I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$I(t) = I_0 e^{-\frac{2\rho}{\mu_0 r d} t}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સમીકરણ $I = I_0 e^{-\frac{2\rho}{\mu_0 r d} t}$ છે.

(C) સોલેનોઈડમાં ઉદ્ભવતું $emf$ $e = L \left( \frac{dI}{dt} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu_0 n^2 A \ell$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: તારનો વ્યાસ $d_w = 0.10\,cm = 10^{-3}\,m$. એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{1}{d_w} = \frac{1}{10^{-3}} = 10^3\,m^{-1}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{\pi}\,cm^2 = \frac{1}{\pi} \times 10^{-4}\,m^2$.
લંબાઈ $\ell = 40\,cm = 0.4\,m$.
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = \frac{10 - 0}{0.10} = 100\,A/s$.
$L = (4\pi \times 10^{-7}) \times (10^3)^2 \times (\frac{1}{\pi} \times 10^{-4}) \times 0.4$.
$L = 4 \times 10^{-7} \times 10^6 \times 10^{-4} \times 0.4 = 1.6 \times 10^{-4}\,H$.
$e = L \times \frac{dI}{dt} = (1.6 \times 10^{-4}) \times 100 = 1.6 \times 10^{-2}\,V = 16\,mV$.

(D) ધારો કે સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા $r$ છે અને આંટાની સંખ્યા $N$ છે.
તારની લંબાઈ $l_w = N(2\pi r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેથી $N = \frac{l_w}{2\pi r}$.
$\ell$ લંબાઈના સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell} = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{\ell}$ છે.
$N = \frac{l_w}{2\pi r}$ ને $L$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{\mu_0 (l_w / 2\pi r)^2 \pi r^2}{\ell} = \frac{\mu_0 l_w^2 \pi r^2}{4\pi^2 r^2 \ell} = \frac{\mu_0 l_w^2}{4\pi \ell}$.
સોલેનોઇડની લંબાઈ $\ell$ માટે ઉકેલતા:
$\ell = \frac{\mu_0 l_w^2}{4\pi L}$.

(A) $1$. આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$: આત્મ-પ્રેરકત્વનું સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ છે. ભૌમિતિક રચના $(A, l)$ અને આંટાની સંખ્યા $(N)$ સમાન હોવાથી,બંને સોલેનોઇડ માટે $L$ સમાન રહેશે.
$2$. જૂલ ઉષ્માનો દર $(P = I^2 R)$: તારની જાડાઈ અલગ હોવાથી તેમનો અવરોધ $(R)$ અલગ હશે. જો સમાન પ્રવાહ $(I)$ વહેતો હોય,તો જૂલ ઉષ્માનો દર $(I^2 R)$ અલગ હશે.
$3$. ચુંબકીય સ્થિતિ ઊર્જા $(U = \frac{1}{2} L I^2)$: $L$ અને $I$ સમાન હોવાથી,ચુંબકીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ બંને માટે સમાન રહેશે.
$4$. ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $(\tau = \frac{L}{R})$: $L$ સમાન છે પરંતુ $R$ અલગ હોવાથી,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ બંને માટે અલગ હશે.
તેથી,$(b)$ અને $(d)$ રાશિઓ અલગ છે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત $emf$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = L \left| \frac{di}{dt} \right|$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક પ્રવાહ,$i_1 = 5\,A$
અંતિમ પ્રવાહ,$i_2 = 2\,A$
સમયનો ફેરફાર,$dt = 0.1\,s$
પ્રેરિત $emf$,$e = 50\,V$
પ્રવાહમાં ફેરફાર,$di = |i_2 - i_1| = |2 - 5| = 3\,A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$50 = L \times \frac{3}{0.1}$
$50 = L \times 30$
$L = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \approx 1.67\,H$
તેથી,કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $1.67\,H$ છે.

(B) આદર્શ અનંત સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_{ideal} = \frac{\mu_0 N^2 A}{L} = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સીમિત લંબાઈના વાસ્તવિક સોલેનોઈડમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમગ્ર આંતરિક ભાગમાં સમાન હોતું નથી; તે કેન્દ્રમાં મહત્તમ હોય છે અને છેડા તરફ ઘટતું જાય છે.
સીમિત સોલેનોઈડમાં ચુંબકીય ફ્લક્સ લિંકેજ અનંત સોલેનોઈડની તુલનામાં ઓછું હોવાથી,વાસ્તવિક આત્મ-પ્રેરકત્વ આદર્શ સૂત્ર $\frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{L}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ મૂલ્ય કરતા ઓછું હોય છે.
વિધાન $1$ સાચું છે કારણ કે તે સીમિત લંબાઈની અસરને ધ્યાનમાં લે છે.
વિધાન $2$ સાચું છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ માત્ર અનંત સોલેનોઈડ માટે અથવા લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં જ માન્ય છે,અને તે છેડા તરફ ઘટતું જાય છે.
છેડા પર ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઘટાડો એ વિધાન $2$ માં વર્ણવેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસમાનતાને કારણે સીધો થાય છે,તેથી વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) સ્વ-પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $\varepsilon = L \frac{di}{dt}$ છે.
અહીં $\varepsilon = 25\,V$,$\Delta i = 25\,A - 10\,A = 15\,A$,અને $\Delta t = 1\,s$ આપેલ છે.
તેથી,$L = \frac{\varepsilon \Delta t}{\Delta i} = \frac{25 \times 1}{15} = \frac{5}{3}\,H$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{1}{2} L (i_f^2 - i_i^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} \times (25^2 - 10^2)$.
$\Delta U = \frac{5}{6} \times (625 - 100) = \frac{5}{6} \times 525$.
$\Delta U = 437.5\,J$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a$ છે. ફ્રેમની પરિમિતિ $P = 3a$ છે. ધારો કે $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે. કુલ આંટાની સંખ્યા $N = n \times P = n(3a)$ દ્વારા મળે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
સોલેનોઇડ જેવી રચનાનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu_0 n^2 A l_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_{eff}$ એ કોઈલની અસરકારક લંબાઈ છે. અહીં,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L \propto N \cdot A$ છે.
$N = n(3a) \propto a$ અને $A \propto a^2$ હોવાથી,$L \propto a \cdot a^2 = a^3$ થાય.
જો $a$ ને $3$ ના ગુણાંકમાં વધારવામાં આવે $(a' = 3a)$,તો $L' \propto (a')^3 = (3a)^3 = 27a^3$ થાય.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $27$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(A) સોલેનોઇડનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L_{ind}$ એ સૂત્ર $L_{ind} = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે કુલ આંટાની સંખ્યા $N$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ નિશ્ચિત (અચળ) છે,તેથી સમીકરણ $L_{ind} \propto \frac{1}{l}$ બને છે.
તેથી,સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ તેની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) સોલેનોઈડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ એ સૂત્ર $L = \mu_0 n^2 A \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની ઘનતા (એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા),$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $\ell$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે આંટાની ઘનતા $n$ અચળ રહે છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે. જો ત્રિજ્યા $r$ બમણી કરવામાં આવે $(r' = 2r)$,તો નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A$ થાય.
લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી $\ell' = \ell / 2$ થાય.
આ કિંમતોને નવા ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L' = \mu_0 n^2 A' \ell' = \mu_0 n^2 (4A) (\ell / 2) = 2 (\mu_0 n^2 A \ell) = 2L$.
ઇન્ડક્ટન્સમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{L' - L}{L} \times 100\% = \frac{2L - L}{L} \times 100\% = 100\%$ છે.

(A) જ્યારે સોલેનોઇડમાં લોખંડનો સળિયો (ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ) દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના કોરની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
$(a)$ સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 \mu_r n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $\mu_r$ વધતું હોવાથી,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વધે છે.
$(b)$ સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = B \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $B$ વધતું હોવાથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ પણ વધે છે.
$(c)$ સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu_0 \mu_r n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $\mu_r$ વધતું હોવાથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે.
$(d)$ જૂલ ઉષ્માનો દર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ $I$ અચળ હોવાથી અને સોલેનોઇડના તારનો અવરોધ $R$ બદલાતો ન હોવાથી,જૂલ ઉષ્માનો દર અચળ રહે છે.
તેથી,રાશિઓ $(a), (b),$ અને $(c)$ વધશે.

(D) કોઈલમાં પ્રેરિત $emf$ $(e)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $e = -L \frac{di}{dt}$, જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે અને $\frac{di}{dt}$ એ પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર છે。
$1$. આલેખના પ્રથમ ભાગમાં, પ્રવાહ $i$ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે। તેથી, ઢાળ $\frac{di}{dt}$ અચળ અને ઋણ છે। કારણ કે $e = -L \times (\text{ઋણ ઢાળ})$, પ્રેરિત $emf$ $e$ નું મૂલ્ય ધન અચળ રહેશે。
$2$. આલેખના બીજા ભાગમાં, પ્રવાહ $i$ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે। તેથી, ઢાળ $\frac{di}{dt}$ અચળ અને ધન છે। કારણ કે $e = -L \times (\text{ધન ઢાળ})$, પ્રેરિત $emf$ $e$ નું મૂલ્ય ઋણ અચળ રહેશે。
$3$. આ બંનેને જોડતા, $e$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ પ્રથમ અંતરાલ માટે ધન અચળ મૂલ્ય અને બીજા અંતરાલ માટે ઋણ અચળ મૂલ્ય દર્શાવશે। આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે।

(C) કોઈલ માટે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $e = L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલને આપવામાં આવતો પાવર $P = e \cdot I$ છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
$e$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $P = L \cdot I \cdot \frac{di}{dt}$.
આપેલ છે કે પાવર $P$ અને વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt}$ બંને કોઈલ માટે સમાન છે,તેથી:
$P = L_1 I_1 \left( \frac{di}{dt} \right) = L_2 I_2 \left( \frac{di}{dt} \right)$.
અહીં $\frac{di}{dt}$ સમાન હોવાથી,$L_1 I_1 = L_2 I_2$ થાય.
તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{L_2}{L_1}$ મળે.
આપેલ કિંમતો $L_1 = 4 \, mH$ અને $L_2 = 1 \, mH$ મૂકતા:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{1 \, mH}{4 \, mH} = \frac{1}{4}$.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e.m.f. = L \frac{dI}{dt}$.
અહીં,$L = 40\; mH = 40 \times 10^{-3}\; H$.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $dI = 11\; A - 1\; A = 10\; A$ છે.
સમયગાળો $dt = 4\; ms = 4 \times 10^{-3}\; s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e.m.f. = (40 \times 10^{-3}) \times \frac{10}{4 \times 10^{-3}}$.
$e.m.f. = 40 \times \frac{10}{4} = 10 \times 10 = 100\; V$.

(B) પ્રારંભિક પ્રવાહ,$I_{1} = 5.0 \, A$.
અંતિમ પ્રવાહ,$I_{2} = 0 \, A$.
પ્રવાહમાં ફેરફાર,$di = I_{1} - I_{2} = 5.0 \, A$.
ફેરફાર માટે લાગતો સમય,$dt = 0.1 \, s$.
સરેરાશ $emf$,$e = 200 \, V$.
સર્કિટના આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ માટે,સરેરાશ $emf$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = L \frac{di}{dt}$
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$L = e \cdot \frac{dt}{di}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = 200 \cdot \frac{0.1}{5.0} = 200 \cdot 0.02 = 4 \, H$.
આમ,સર્કિટનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $4 \, H$ છે.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $\ell = 20 \, cm = 0.2 \, m$,ક્ષેત્રફળ $A = 20 \, cm^2 = 20 \times 10^{-4} \, m^2$,આંટાની સંખ્યા $N = 400$,પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = 2 \, A$,અંતિમ પ્રવાહ $I_2 = 0 \, A$,સમયગાળો $dt = 10^{-3} \, s$.
સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{\ell}$ છે.
સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A N = \frac{\mu_0 N^2 I A}{\ell}$ છે.
પ્રેરિત બેક $emf$ $\varepsilon = \frac{d\phi}{dt} = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell} \cdot \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (400)^2 \times 20 \times 10^{-4} \times (2 - 0)}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$\varepsilon = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 160000 \times 20 \times 10^{-4} \times 2}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$\varepsilon = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^5 \times 20 \times 10^{-4} \times 2}{2 \times 10^{-4}} = 4.02 \, V \approx 4 \, V$.

(B) જ્યારે સોલેનોઇડમાં લોખંડનો ગર્ભ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગર્ભની પરમિયેબિલિટી વધે છે,જે સોલેનોઇડના આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ માં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર બેક $emf$ $(e = -L \frac{di}{dt})$ ઉત્પન્ન કરે છે જે પ્રવાહના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જેમ જેમ લોખંડનો ગર્ભ દાખલ કરવામાં આવે છે,તેમ ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે,જેના કારણે પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થાય છે જે બેટરીના પ્રવાહનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,દાખલ કરવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન સોલેનોઇડમાં પ્રવાહ ઘટે છે જ્યાં સુધી તે નવી સ્થિર સ્થિતિ પ્રાપ્ત ન કરે.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = 5\, A$
અંતિમ પ્રવાહ $I_2 = 0\, A$
સમયગાળો $\Delta t = 0.2\, s$
પ્રેરિત $emf$ $|\varepsilon| = 150\, V$
પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = \frac{I_2 - I_1}{\Delta t} = \frac{0 - 5}{0.2} = -25\, A/s$ છે.
આત્મ-પ્રેરકત્વ માટેનું સૂત્ર $|\varepsilon| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$150 = L \times 25$
$L = \frac{150}{25} = 6\, H$.
તેથી,કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $6\, H$ છે.

(D) પરિપથમાં શરૂઆતનો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ મળે છે: $I = \frac{V}{R} = \frac{10\, V}{5\,\Omega} = 2\, A$.
જ્યારે સ્વીચ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $2\, A$ થી ઘટીને $0\, A$ થાય છે,જે માટે લાગતો સમય $\Delta t = 2\, ms = 2 \times 10^{-3}\, s$ છે.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{0 - 2}{2 \times 10^{-3}} = -10^3\, A/s$ છે.
કોઈલ પર ઉદ્ભવતું સરેરાશ $emf$ $(\varepsilon)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\varepsilon = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = -10\, H \times (-10^3\, A/s) = 10^4\, V$.

(C) આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ને સંબંધ $\phi = LI$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આમ,$L$ નો એકમ $Weber / Ampere$ $(Wb/A)$ છે,જેને હેનરી $(H)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા પરથી,$U = \frac{1}{2} LI^2$,આપણને $L = \frac{2U}{I^2}$ મળે છે.
આના પરથી એકમ $Joule / Ampere^2$ અથવા $Joule - Ampere^{-2}$ મળે છે.
$V = L \frac{dI}{dt}$ હોવાથી,$L = V \frac{dt}{dI}$ થાય. એકમ $Volt - Second / Ampere$ છે. $Volt / Ampere = Ohm$ હોવાથી,એકમ $Ohm - Second$ થાય છે.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$Weber / Ampere$,$Ohm - Second$,અને $Joule - Ampere^{-2}$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વના માન્ય એકમો છે.
તેથી,$Joule - Ampere$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વનો એકમ નથી.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં પ્રેરિત $emf$ માટેનું સૂત્ર $e = -L \frac{dI}{dt}$ છે.
મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે $|e| = L \frac{|\Delta I|}{\Delta t}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = 5.0\, A$
અંતિમ પ્રવાહ $I_2 = 0\, A$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = I_2 - I_1 = 0 - 5.0 = -5.0\, A$
સમયગાળો $\Delta t = 0.1\, s$
પ્રેરિત $emf$ $|e| = 200\, V$
કિંમતો મૂકતા:
$200 = L \times \frac{5.0}{0.1}$
$200 = L \times 50$
$L = \frac{200}{50} = 4\, H$.
આમ,સર્કિટનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $4\, H$ છે.

(D) કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ને $L = \frac{N \phi}{i}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$\phi$ એ દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i = \frac{\mu_0 N i}{l}$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા $(n = N/l)$ છે અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
$B$ ની કિંમત ફ્લક્સના સમીકરણમાં મૂકતા: $\phi = \left( \frac{\mu_0 N i}{l} \right) A$.
હવે,$L$ ના સમીકરણમાં $\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $L = \frac{N}{i} \left( \frac{\mu_0 N i A}{l} \right) = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$.
આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ $N^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ સર્કિટમાં વહેતા પ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $\phi = LI$,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
પ્રથમ,આપણે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ શોધીએ:
$L = \frac{\phi_1}{I_1} = \frac{0.8\,Wb}{2.0\,A} = 0.4\,H$.
હવે,જ્યારે પ્રવાહ $I_2 = 1.5\,A$ હોય ત્યારે ફ્લક્સ $\phi_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\phi_2 = L \times I_2 = 0.4\,H \times 1.5\,A = 0.6\,Wb$.
ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2 = 0.8\,Wb - 0.6\,Wb = 0.2\,Wb$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ ઉદ્ભવતું $emf$ $|e| = \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t}$ છે.
$|e| = \frac{0.2\,Wb}{0.1\,s} = 2.0\,V$.

(C) આપેલ છે: સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L = 2 \, mH$ અને પ્રવાહ $i = t^2 e^{-t}$.
ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું $emf$ $(E)$ સૂત્ર $E = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સમયની સાપેક્ષમાં પ્રવાહનું વિકલન કરતા:
$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} (t^2 e^{-t}) = (2t) e^{-t} + t^2 (-e^{-t}) = e^{-t} (2t - t^2)$.
હવે,આ કિંમત $emf$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = -L [e^{-t} (2t - t^2)]$.
$emf$ શૂન્ય $(E = 0)$ થવા માટે,કૌંસની અંદરની કિંમત શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$e^{-t} (2t - t^2) = 0$.
કારણ કે $e^{-t}$ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી,તેથી:
$2t - t^2 = 0$
$t(2 - t) = 0$.
આથી $t = 0 \, s$ અથવા $t = 2 \, s$ મળે છે. શરૂઆતની સ્થિતિ $t = 0$ ને બાદ કરતા,$emf$ એ $t = 2 \, s$ સમયે શૂન્ય થાય છે.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત $EMF$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = L \left| \frac{di}{dt} \right|$.
અહીં,પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta i = 0.25 \; A - 0 \; A = 0.25 \; A$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 0.025 \; ms = 0.025 \times 10^{-3} \; s$ છે.
પ્રેરિત વોલ્ટેજ $V = 100 \; V$ છે.
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $L = \frac{V}{|\Delta i / \Delta t|} = \frac{V \cdot \Delta t}{\Delta i}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{100 \times 0.025 \times 10^{-3}}{0.25}$.
$L = \frac{100 \times 0.025}{0.25} \times 10^{-3} = 100 \times 0.1 \times 10^{-3} = 10 \times 10^{-3} \; H$.
કારણ કે $1 \; H = 1000 \; mH$,તેથી $L = 10 \; mH$ મળે છે.

(C) પ્રારંભિક પ્રવાહ,$I_{1} = 5.0 \, A$.
અંતિમ પ્રવાહ,$I_{2} = 0.0 \, A$.
પ્રવાહમાં ફેરફાર,$dI = I_{1} - I_{2} = 5.0 \, A$.
ફેરફાર માટે લાગતો સમય,$dt = 0.1 \, s$.
સરેરાશ પ્રેરિત $emf$,$e = 200 \, V$.
સર્કિટના આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ માટે,આપણે સરેરાશ $emf$ ના સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$e = L \frac{dI}{dt}$
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$L = \frac{e}{(dI/dt)}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{200}{(5.0 / 0.1)} = \frac{200}{50} = 4 \, H$.
આમ,સર્કિટનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $4 \, H$ છે.

(B) સોલેનોઇડની લંબાઈ,$l = 30 \; cm = 0.3 \; m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 25 \; cm^{2} = 25 \times 10^{-4} \; m^{2}$
સોલેનોઇડ પરના આંટાની સંખ્યા,$N = 500$
સોલેનોઇડમાં વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 2.5 \; A$
સમયગાળો,$\Delta t = 10^{-3} \; s$
સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} \frac{N I}{l}$ છે.
દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A = \frac{\mu_{0} N I A}{l}$ છે.
કુલ ફ્લક્સ સાંકળ $N \phi = \frac{\mu_{0} N^{2} I A}{l}$ છે.
સરેરાશ પ્રેરિત બેક $emf$ $e = \frac{\Delta(N \phi)}{\Delta t} = \frac{\mu_{0} N^{2} I A}{l \Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (500)^{2} \times 2.5 \times 25 \times 10^{-4}}{0.3 \times 10^{-3}}$
ગણતરી કરતા,$e \approx 6.5 \; V$ મળે છે.
આમ,સોલેનોઇડમાં પ્રેરિત સરેરાશ બેક $emf$ $6.5 \; V$ છે.

(N/A) ઇન્ડક્ટન્સ એ કોઈલનો એવો ગુણધર્મ છે જેના દ્વારા તે તેમાંથી વહેતા પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે। તેને $N \Phi_{B} = L I$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે。
ઇન્ડક્ટન્સનો $SI$ એકમ હેનરી $(H)$ છે。
ઇન્ડક્ટન્સ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$(1)$ કોઈલમાં આંટાની સંખ્યા $(N)$。
$(2)$ કોઈલનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$。
$(3)$ કોઈલની લંબાઈ $(l)$。
$(4)$ કોર મટીરીયલની પરમીએબિલિટી $(\mu)$।

(N/A) આત્મ-પ્રેરણ એ એવી ઘટના છે જેમાં કોઈલમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહમાં ફેરફાર કરવાને કારણે તે જ કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે,જેના પરિણામે કોઈલમાં $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
આ કિસ્સામાં,$N$ આંટા ધરાવતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ,તેમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$N \phi_{B} \propto I$
$N \phi_{B} = LI \quad \dots (1)$
અહીં,સમપ્રમાણતાનો અચળાંક $L$ ને કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ (self-inductance) કહેવામાં આવે છે,જેને આત્મ-પ્રેરણનો ગુણાંક પણ કહેવાય છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે:
$\varepsilon = -\frac{d(N \phi_{B})}{dt}$
આ સમીકરણમાં સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\varepsilon = -\frac{d(LI)}{dt}$
કોઈલ માટે $L$ અચળ હોવાથી:
$\varepsilon = -L \frac{dI}{dt} \quad \dots (2)$
આમ,આત્મ-પ્રેરિત $emf$ હંમેશા કોઈલમાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહમાં થતા ફેરફાર (વધારો કે ઘટાડો) નો વિરોધ કરે છે.