Mix Examples-Electromagnetic Induction Questions in Gujarati

(D) જ્યારે વાહક તાર $HE$ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $V$ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તાર $HE$ પર પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે $E = B V L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
આ સર્કિટને કેપેસિટર $C$ અને અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ $E$ જેટલા $EMF$ ધરાવતી બેટરી તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
વેગ $V$ અચળ હોવાથી અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,પ્રેરિત $EMF$ $E = B V L$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
અચળ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $E$ સાથે જોડાયેલ કેપેસિટર માટે,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C E$ છે,જે અચળ છે.
કેપેસિટરની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_C = \frac{d Q}{d t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q$ અચળ હોવાથી,$\frac{d Q}{d t} = 0$ થાય છે.
તેથી,કેપેસિટર ધરાવતી શાખા $HKDE$ માં પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2)^2 = \sqrt{3} \, m^2$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = A \frac{dB}{dt} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \, V$ છે.
ત્રિકોણ સંમિત હોવાથી,દરેક બાજુમાં પ્રેરિત emf $\varepsilon_{side} = \frac{\varepsilon}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, V$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 1 + 2 + 2 = 5 \, \Omega$ છે.
લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{3}{5} = 0.6 \, A$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = \varepsilon_{AB} - I \times R_{AB}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\varepsilon_{AB} = 1 \, V$ એ બાજુ $AB$ માં પ્રેરિત emf છે અને $R_{AB} = 1 \, \Omega$ છે.
$V_A - V_B = 1 - (0.6 \times 1) = 0.4 \, V$.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $0.4 \, V$ છે.

(A) $L-R$ સર્કિટ માટે,કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ નીચે મુજબ છે:
$E = e + iR$
જ્યાં $E$ એ બેટરીનું અચળ $e.m.f.$ છે,$e$ એ ઇન્ડક્ટર પરના પ્રેરિત $e.m.f.$ નું મૂલ્ય છે,અને $i$ એ તત્કાલિન પ્રવાહ છે.
સમીકરણને $e$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$e = -Ri + E$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
અહીં,ઢાળ $m = -R$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $c = E$ છે.
જેમ જેમ પ્રવાહ $i$ એ $0$ થી $E/R$ સુધી વધે છે,તેમ પ્રેરિત $e.m.f.$ $e$ એ $E$ થી $0$ સુધી રેખીય રીતે ઘટે છે.
તેથી,$e$ વિરુદ્ધ $i$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે આલેખ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ છે: $E = 4 \, V$,$R = 1 \, \Omega$,$L = 1 \, H$,$C = 3 \, \mu F$,$\frac{dI}{dt} = 4 \, A/s$,અને $I = 2 \, A$.
લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$E - IR - L\frac{dI}{dt} - \frac{q}{C} = 0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$4 - (2 \times 1) - (1 \times 4) - \frac{q}{3 \times 10^{-6}} = 0$
$4 - 2 - 4 - \frac{q}{3 \times 10^{-6}} = 0$
$-2 - \frac{q}{3 \times 10^{-6}} = 0$
$\frac{q}{3 \times 10^{-6}} = -2$
$q = -6 \times 10^{-6} \, C = -6 \, \mu C$.
વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય માંગેલ હોવાથી,જવાબ $6 \, \mu C$ છે.

(B) જ્યારે આપણે બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ તરફ પ્રવાહ $I$ ની દિશામાં જઈએ છીએ ત્યારે આપણે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ છે. જેમ આપણે અવરોધ $R = 1 \ \Omega$ માંથી પસાર થઈએ છીએ,તેમ સ્થિતિમાનમાં $I \times R$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.
ત્યારબાદ,આપણે $15 \ V$ ની બેટરીમાંથી ઋણથી ધન ટર્મિનલ તરફ જઈએ છીએ,તેથી સ્થિતિમાનમાં $15 \ V$ નો વધારો થાય છે.
છેલ્લે,આપણે ઇન્ડક્ટર $L = 5 \ mH = 5 \times 10^{-3} \ H$ માંથી પસાર થઈએ છીએ. ઇન્ડક્ટર પર પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ ઘટી રહ્યો હોવાથી,$\frac{dI}{dt} = -10^3 \ A \ s^{-1}$ છે.
બિંદુ $B$ પરના સ્થિતિમાન માટેનું સમીકરણ:
$V_A - I \times R + 15 - L \frac{dI}{dt} = V_B$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($I = 5 \ A$,$R = 1 \ \Omega$,$L = 5 \times 10^{-3} \ H$,$\frac{dI}{dt} = -10^3 \ A \ s^{-1}$):
$V_A - (5 \times 1) + 15 - (5 \times 10^{-3}) \times (-10^3) = V_B$
$V_A - 5 + 15 + 5 = V_B$
$V_A + 15 = V_B$
$V_B - V_A = 15 \ V$.

(A) એક તાર માટે એમ્પીયરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ મેળવતા:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$
$B(2\pi r) = \mu_0 I \implies B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
એક તારને કારણે બે તાર વચ્ચેના $l$ લંબાઈના લંબચોરસ વિસ્તારમાંથી ($r=a$ થી $r=d-a$ સુધી) પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi_1 = \int_a^{d-a} B \cdot l \cdot dr = \int_a^{d-a} \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right) l \cdot dr = \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \ln \left( \frac{d-a}{a} \right)$
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,બંને તાર દ્વારા તેમની વચ્ચેના વિસ્તારમાં ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હોય છે. તેથી,કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}}$ એ એક તારને કારણે મળતા ફ્લક્સ કરતા બમણું થશે:
$\phi_{\text{total}} = 2 \phi_1 = \frac{\mu_0 I l}{\pi} \ln \left( \frac{d-a}{a} \right)$
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $L = \frac{\phi_{\text{total}}}{I}$:
$L = \frac{\mu_0 l}{\pi} \ln \left( \frac{d-a}{a} \right)$

(C) ધારો કે $I_1$ એ ઇન્ડક્ટર $L$ માંથી વહેતો પ્રવાહ છે અને $I_2$ એ વચ્ચેની શાખામાં રહેલા અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ છે. પ્રવાહ $I$ એ $2V$ બેટરી ધરાવતી ઉપરની શાખામાંથી વહે છે.
લૂપ $CDE$ (ઉપરની લૂપ) માટે કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$-2V + V + I_2 R = 0 \implies I_2 = \frac{V}{R} \dots(1)$
બાહ્ય લૂપ $ABCDE$ માટે કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$3V - I_1 R - L \frac{dI_1}{dt} - 2V = 0$
$L \frac{dI_1}{dt} + I_1 R = V$
આ એક પ્રમાણિત $LR$ સર્કિટ સમીકરણ છે. $I_1$ માટેનો ઉકેલ છે:
$I_1(t) = \frac{V}{R} (1 - e^{-Rt/L}) \dots(2)$
નોડ $C$ પર કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$I_1 = I + I_2$
$I = I_1 - I_2 = \frac{V}{R} (1 - e^{-Rt/L}) - \frac{V}{R}$
$I = -\frac{V}{R} e^{-Rt/L}$

(C) બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - I R - E - L \frac{dI}{dt} = V_B$
આપેલ છે:
$I = 5 \ A$
$R = 1 \ \Omega$
$E = 15 \ V$
$L = 5 \ mH = 5 \times 10^{-3} \ H$
પ્રવાહ ઘટી રહ્યો હોવાથી,$\frac{dI}{dt} = -10^3 \ A \ s^{-1}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_A - (5 \times 1) - 15 - (5 \times 10^{-3}) \times (-10^3) = V_B$
$V_A - 5 - 15 + 5 = V_B$
$V_A - 15 = V_B$
$V_B - V_A = -15 \ V$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ પ્રવાહ $I$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $L$ સાથે $\phi = L I$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ એ $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{\epsilon}{R}$ છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે.
$\epsilon$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$I dt = \frac{d\phi}{R}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\frac{\phi}{R}$ નો ગુણોત્તર $\int I dt$ ના પરિમાણ ધરાવે છે,જે વિદ્યુતભાર $(q = I \times t)$ નું પરિમાણ છે.
તેથી,$\frac{\phi}{R}$ નું પરિમાણ વિદ્યુતભારના પરિમાણ જેટલું છે.

(B) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = B \cdot A$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને સતત દરે ઘટી રહ્યું હોવાથી,ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર $\frac{d\phi}{dt} = A \frac{dB}{dt}$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{A}{R} \left| \frac{dB}{dt} \right|$ છે,જ્યાં $R$ એ વાયર ફ્રેમનો અવરોધ છે.
કિસ્સા $I$ માં,લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_1 = L^2 + l^2$ છે. વાયરની કુલ લંબાઈ $P_1 = 4L + 4l$ છે,તેથી અવરોધ $R_1 = \rho \frac{P_1}{a} = \rho \frac{4(L+l)}{a}$ છે (જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે અને $a$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે).
કિસ્સા $II$ માં,લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_2 = L^2 - l^2$ છે. વાયરની કુલ લંબાઈ $P_2 = 4L + 4l$ છે,તેથી અવરોધ $R_2 = \rho \frac{4(L+l)}{a} = R_1$ છે.
જેમ કે $A_1 > A_2$ અને $R_1 = R_2$,તેથી $I_1 = \frac{A_1}{R_1} |\frac{dB}{dt}| > I_2 = \frac{A_2}{R_2} |\frac{dB}{dt}|$ મળે છે.
તેથી,$I_1 > I_2$.

(D) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે.
અંદરની તરફનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટી રહ્યું હોવાથી,લૂપ્સમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટી રહ્યું છે.
આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર મૂળ ક્ષેત્રની દિશામાં (અંદરની તરફ) હોવું જોઈએ.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,અંદરની તરફનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,બહારના લૂપ ($P$ ધરાવતું) અને અંદરના લૂપ ($Q$ ધરાવતું) બંનેમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે.
$R$ બિંદુ પર,જે બે લૂપ્સ વચ્ચેના રેડિયલ કનેક્ટર પર આવેલું છે,પ્રવાહ બંધ માર્ગમાં વહે છે,અને પ્રેરિત વિદ્યુત ક્ષેત્રની સમપ્રમાણતા સુનિશ્ચિત કરે છે કે ચોખ્ખો પ્રવાહ પ્રવાહ લૂપ્સમાં ઘડિયાળના કાંટાની દિશા સાથે સુસંગત છે. આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળની અંદરની તરફ છે અને સમય સાથે વધી રહ્યું છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે જે આ વધારાનો વિરોધ કરે,એટલે કે પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળની બહારની તરફ હોવું જોઈએ. આ માટે બંને લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં હોવો જરૂરી છે.
ડાબી લૂપ માટે,વિષમઘડી દિશાનો અર્થ છે કે પ્રવાહ $B$ થી $A$ તરફ વહે છે.
જમણી લૂપ માટે,વિષમઘડી દિશાનો અર્થ છે કે પ્રવાહ $D$ થી $C$ તરફ વહે છે.
જમણી લૂપનું ક્ષેત્રફળ ડાબી લૂપ કરતા મોટું હોવાથી,તેમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \cdot \frac{dB}{dt}$ વધુ હશે. પરિણામે,સમગ્ર ફ્રેમમાં ચોખ્ખો પ્રવાહ મોટી લૂપ દ્વારા નક્કી થયેલી દિશામાં વહેશે,જે તાર $AB$ માં $B$ થી $A$ અને તાર $CD$ માં $D$ થી $C$ છે.

(D) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: જો $I_2 = 0$ હોય અને $P$ એ $Q$ તરફ ગતિ કરે,તો $Q$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,$Q$ એવો પ્રવાહ પ્રેરિત કરશે જે ફેરફારનો વિરોધ કરતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$Q$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_1$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: જો $I_1 = 0$ હોય અને $Q$ એ $P$ તરફ ગતિ કરે,તો $P$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,$P$ એવો પ્રવાહ પ્રેરિત કરશે જે ફેરફારનો વિરોધ કરતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે. $P$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_2$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર પ્રવાહ-ધારિત લૂપ્સ એકબીજાને અપાકર્ષે છે. તેથી,તેઓ એકબીજાથી દૂર જવાનું વલણ ધરાવે છે.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિસ્સામાં,રીંગ $xy$ સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $x$-અક્ષ પર છે અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $z$-અક્ષ પર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે. તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(90^\circ) = 0$ થાય.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ એ $E = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
જો રીંગ $x$,$y$ અથવા $z$ અક્ષ પર ગતિ કરે,તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન રહે છે અને ક્ષેત્રની સાપેક્ષમાં રીંગનું અભિવિનય બદલાતું નથી. આમ,ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય રહે છે અને $\frac{d\phi}{dt} = 0$ થાય છે.
પરિણામે,રીંગ $x$,$y$ કે $z$ અક્ષ પર ગતિ કરે તો પણ તેમાં કોઈ $emf$ પ્રેરિત થતું નથી. તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(D) જ્યારે એક વાહક રીંગ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં તેની પરિઘ પરના બિંદુ $O$ ની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે રીંગનો દરેક નાનો ઘટક ગતિશીલ $EMF$ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. એક છેડાની આસપાસ ફરતા $l$ લંબાઈના સળિયામાં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ધરી $O$ થી ત્રિજ્યા સદિશ $\vec{r}$ ને લંબ હોય છે. ઘટક $dl$ માં પ્રેરિત $EMF$ $d\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને રીંગ એક બંધ વાહક લૂપ હોવાથી,સમગ્ર બંધ લૂપની આસપાસનું કુલ $EMF$ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}$ છે.
રીંગ તેની પરિઘ પરના બિંદુની આસપાસ ફરે છે તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રીંગનું ક્ષેત્રફળ અચળ રહેતું હોવાથી,રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ બદલાતું નથી.
તેથી,$\frac{d\Phi}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે બંધ લૂપમાં કુલ પ્રેરિત $EMF$ શૂન્ય છે.
પરિણામે,રીંગમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.

(D) આકૃતિ $(a)$ માટે,$t = 0$ સમયે,કેપેસિટર વિદ્યુતભારિત હોતું નથી,તેથી વિદ્યુતભાર $0$ છે. $t = 0$ ની તરત જ પછી,કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી પ્રવાહ $I = E/R$ છે.
$t = 0$ ના લાંબા સમય પછી $(t \to \infty)$,કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે વિદ્યુતભારિત થઈ જાય છે અને ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના $EMF$ $E$ જેટલો હોય છે. તેથી,વિદ્યુતભાર $q = EC$ થાય છે.
આકૃતિ $(b)$ માટે,$t = 0$ ના લાંબા સમય પછી $(t \to \infty)$,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (શૂન્ય અવરોધ ધરાવતું આદર્શ ઇન્ડક્ટર). સર્કિટમાં પ્રવાહ અવરોધ $R$ દ્વારા નક્કી થાય છે. તેથી,$I = E/R$ થાય છે.
આમ,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(C) જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ હોય છે,ત્યારે પરિપથમાં પ્રવાહ વહે છે અને ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં ઉર્જા સંગ્રહિત થાય છે. ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથમાં પ્રવાહ લગભગ ત્વરિત શૂન્ય થઈ જાય છે. ઇન્ડક્ટર તેમાંથી વહેતા પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરતું હોવાથી,તે $\varepsilon = -L(dI/dt)$ મુજબ મોટું બેક emf ઉત્પન્ન કરે છે.
કારણ કે પ્રવાહને શૂન્ય થવા માટેનો સમયગાળો $dt$ અત્યંત નાનો હોય છે,તેથી પ્રવાહના ફેરફારનો દર $(dI/dt)$ ખૂબ જ મોટો હોય છે,જે ખૂબ જ ઉચ્ચ પ્રેરિત emf તરફ દોરી જાય છે.
આ ઉચ્ચ પ્રેરિત emf ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઝડપી ફેરફારનું કારણ બને છે,જે સ્વિચના સંપર્કો વચ્ચેની હવાને આયનાઇઝ કરે છે,પરિણામે તણખો (spark) ઉત્પન્ન થાય છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$\varepsilon = iR$,જ્યાં $i$ એ પ્રેરિત પ્રવાહ છે અને $R$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $iR = \frac{d\phi}{dt}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d\phi = R \cdot i \cdot dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો કુલ ફેરફાર $\Delta\phi = R \int i \, dt$ દ્વારા મળે છે.
સંકલન $\int i \, dt$ એ પ્રવાહ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ક્ષેત્રફળ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $= 0.5 \, s$ અને ઊંચાઈ $= 10 \, A$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10 = 2.5 \, C$.
તેથી,ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $\Delta\phi = R \times \text{ક્ષેત્રફળ} = 100 \, \Omega \times 2.5 \, C = 250 \, Wb$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર્સ આદર્શ વાયર (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે કાર્ય કરે છે. સર્કિટમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$ છે.
ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતર હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં દરેક પરનો વોલ્ટેજ $0\,V$ હોય છે. કુલ પ્રવાહ $I = 1\,A$ ઇન્ડક્ટર્સમાંથી વહે છે. પ્રવાહ ઇન્ડક્ટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વહેંચાય છે: $I_1 = I \times \frac{L_2}{L_1+L_2} = 1 \times \frac{6}{3+6} = \frac{2}{3}\,A$ અને $I_2 = I \times \frac{L_1}{L_1+L_2} = 1 \times \frac{3}{3+6} = \frac{1}{3}\,A$.
સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{2} \times 6 \times (\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\,J$.
અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2 R t = (1)^2 \times 10 \times 10 = 100\,J$.
ગુણોત્તર = $\frac{U}{H} = \frac{1}{100}$.

(C) ઇન્ડક્શન કોઈલમાં પ્રેરિત $emf$ $(e)$ સૂત્ર $e = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
$1$. $0 < t < t_1$ માટે,પ્રવાહ $i$ અચળ છે,તેથી $\frac{di}{dt} = 0$. આમ,$e = 0$.
$2$. $t_1 < t < t_2$ માટે,પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે. તેથી,$\frac{di}{dt}$ એ ઋણ અચળાંક છે. કારણ કે $e = -L \frac{di}{dt}$,તેથી પ્રેરિત $emf$ $e$ એ ધન અચળાંક હશે.
$3$. $t_2 < t < t_3$ માટે,પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે. તેથી,$\frac{di}{dt}$ એ ધન અચળાંક છે. કારણ કે $e = -L \frac{di}{dt}$,તેથી પ્રેરિત $emf$ $e$ એ ઋણ અચળાંક હશે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ શરૂઆતમાં શૂન્ય $emf$,ત્યારબાદ અચળ ધન $emf$ અને પછી અચળ ઋણ $emf$ દર્શાવે છે તે સાચો આલેખ છે.

(A) ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ છે. કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્રના ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt}$ તમામ સર્કિટ માટે સમાન છે,તેથી પ્રેરિત $EMF$ માત્ર સર્કિટ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધાર રાખે છે.
સર્કિટ $C_1$ માં,લૂપ સમગ્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિસ્તારને ઘેરે છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A$ મહત્તમ છે. પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon$ બંને બલ્બ $R_1$ અને $R_2$ માં શ્રેણીમાં પ્રવાહ વહેવડાવે છે. $R_1$ પરનો વોલ્ટેજ $V_1 = I R_1 = \frac{\varepsilon}{R_1 + R_2} R_1$ છે.
સર્કિટ $C_2$ માં,શોર્ટિંગ વાયર બલ્બ $R_2$ ને બાયપાસ કરે છે,જે એક નાનો લૂપ બનાવે છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો માત્ર એક ભાગ ઘેરે છે. ક્ષેત્રફળ $A$ નાનું હોવાથી,$\varepsilon$ નાનું છે. જોકે,પ્રવાહ હવે માત્ર $R_1$ માંથી વહે છે,તેથી $V_1 = \varepsilon$.
સર્કિટ $C_3$ માં,શોર્ટિંગ વાયર $R_1$ ને બાયપાસ કરે છે,એટલે કે પ્રવાહ $R_1$ ને બદલે શોર્ટિંગ વાયર દ્વારા વહે છે. આમ,$R_1$ પરનો વોલ્ટેજ શૂન્ય છે,જે તેને સૌથી ઓછો તેજસ્વી બનાવે છે.
$R_1$ પરના વોલ્ટેજની સરખામણી કરતા,$C_1$ સૌથી મોટું $EMF$ પ્રદાન કરે છે અને તેને વિતરિત કરે છે,જ્યારે $C_2$ નાનું $EMF$ પ્રદાન કરે છે પરંતુ તેને સંપૂર્ણપણે $R_1$ પર લાગુ કરે છે. સાચો ક્રમ $C_1 > C_2 > C_3$ છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પો મુજબ $C_1 > C_3 > C_2$ પસંદ કરવામાં આવે છે.

(C) આપેલ છે: $\frac{dI_1}{dt} = \frac{dI_2}{dt} = k$ (અચળ દર).
પાવર $P = eI = (L \frac{dI}{dt})I$.
આપેલ છે $P_1 = 4P_2$,તેથી $L_1 \frac{dI_1}{dt} I_1 = 4 L_2 \frac{dI_2}{dt} I_2$.
કારણ કે $\frac{dI_1}{dt} = \frac{dI_2}{dt}$,તેથી $L_1 I_1 = 4 L_2 I_2$.
$L_1 = 4 \ mH$ અને $L_2 = 2 \ mH$ મૂકતા: $4 I_1 = 4(2) I_2 \implies I_1 = 2 I_2 \implies \frac{I_1}{I_2} = 2$.
પોટેન્શિયલ તફાવત $e = L \frac{dI}{dt}$,તેથી $\frac{e_1}{e_2} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{2} = 2$.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$,તેથી $\frac{U_1}{U_2} = \frac{L_1 I_1^2}{L_2 I_2^2} = \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \left( \frac{I_1}{I_2} \right)^2 = (2) (2)^2 = 8$.
વિકલ્પો તપાસતા: વિકલ્પ $C$ માટે,$\frac{U_1}{U_2} = 8$,$2 \left( \frac{I_1}{I_2} \right) = 2(2) = 4$,અને $\left( \frac{e_1}{e_2} \right)^3 = 2^3 = 8$.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $emf = L \frac{di}{dt}$,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $\frac{di}{dt}$ એ પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો દર છે.
આપેલા પ્રવાહ $i$ વિરુદ્ધ સમય $t$ ના આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રથમ સમયગાળા માટે પ્રવાહ અચળ ધન ઢાળ સાથે રેખીય રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ બીજા સમયગાળા માટે અચળ ઋણ ઢાળ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
જેহেতু $L$ અચળ છે,તેથી $emf$ એ ઢાળ $\frac{di}{dt}$ ના પ્રમાણમાં હશે.
$1$. પ્રથમ અંતરાલ માટે,ઢાળ ધન અને અચળ છે,તેથી $emf$ એ અચળ ધન મૂલ્ય છે.
$2$. બીજા અંતરાલ માટે,ઢાળ ઋણ અને અચળ છે,તેથી $emf$ એ અચળ ઋણ મૂલ્ય છે.
તેથી,વોલ્ટેજ $V$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ અચળ ધન મૂલ્ય અને ત્યારબાદ અચળ ઋણ મૂલ્ય દર્શાવશે. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) ધાતુની રીંગમાં એક નાનો કાપ છે,જે રીંગની વિદ્યુત સાતત્યતા તોડે છે.
આ કાપને કારણે,કોઈ પણ પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ રીંગમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવડાવી શકતું નથી.
કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,પડતા ચુંબક સાથે આંતરક્રિયા કરવા માટે રીંગ દ્વારા કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થતું નથી.
તેથી,ચુંબક પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
પરિણામે,ચુંબકનો પ્રવેગ તેની ગતિ દરમિયાન હંમેશા ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ જેટલો જ રહે છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} LI^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંગ્રહિત થવાનો દર એ પાવર $P = \frac{dU}{dt} = LI \left( \frac{dI}{dt} \right)$ છે.
$LR$ સર્કિટ માટે,$t$ સમયે પ્રવાહ $I(t) = I_0 (1 - e^{-Rt/L})$ છે,જ્યાં $I_0 = \frac{E}{R}$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે.
પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = \frac{I_0 R}{L} e^{-Rt/L}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = L \left[ I_0 (1 - e^{-Rt/L}) \right] \left[ \frac{I_0 R}{L} e^{-Rt/L} \right] = I_0^2 R (e^{-Rt/L} - e^{-2Rt/L})$.
$t = 0$ સમયે,$I = 0$,તેથી $P = 0$.
જેમ $t \to \infty$,$\frac{dI}{dt} \to 0$,તેથી $P \to 0$.
આમ,દર $t = 0$ અને $t = \infty$ બંને સમયે શૂન્ય હોવાથી અને વચ્ચે ધન હોવાથી,વક્ર શૂન્યથી શરૂ થઈને મહત્તમ સુધી પહોંચીને પાછો શૂન્ય પર આવશે.

(C) આપેલ છે: પ્રવાહ $i = 5 \, A$,પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = -10^3 \, A/s$ (કારણ કે તે ઘટી રહ્યો છે),અવરોધ $R = 1 \, \Omega$,બેટરી $E = 15 \, V$,અને ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \, mH = 5 \times 10^{-3} \, H$.
ઇન્ડક્ટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_L = L \frac{di}{dt} = (5 \times 10^{-3} \, H) \times (-10^3 \, A/s) = -5 \, V$ છે.
બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - iR - E - V_L = V_B$
$V_A - (5 \, A \times 1 \, \Omega) - 15 \, V - (-5 \, V) = V_B$
$V_A - 5 - 15 + 5 = V_B$
$V_A - 15 = V_B$
$V_A - V_B = 15 \, V$.

(D) કોઈલમાં પ્રેરિત $emf$ $(e)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $e = -L \frac{di}{dt}$, જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે અને $\frac{di}{dt}$ એ પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
$1$. આલેખના પ્રથમ ભાગ માટે ($t=0$ થી અમુક સમય $t_1$ સુધી), પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે। તેથી, ઢાળ $\frac{di}{dt}$ ઋણ અને અચળ છે. પરિણામે, $e = -L \times (\text{ઋણ અચળાંક}) = \text{ધન અચળાંક}$.
$2$. આલેખના બીજા ભાગ માટે ($t_1$ થી $t_2$ સુધી), પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે। તેથી, ઢાળ $\frac{di}{dt}$ ધન અને અચળ છે. પરિણામે, $e = -L \times (\text{ધન અચળાંક}) = \text{ઋણ અચળાંક}$.
$3$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા, જે આલેખ પહેલા ધન અચળ $emf$ અને ત્યારબાદ ઋણ અચળ $emf$ દર્શાવે છે તે આલેખ $D$ છે.

(C) $1$. જ્યારે સ્વિચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મુખ્ય સર્કિટમાં પ્રવાહ $0$ થી વધીને સ્થિર મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. આ ચોરસ લૂપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો કરે છે જે પાનાની અંદરની દિશામાં હોય છે.
$2$. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,ચોરસ લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ આ ફ્લક્સના વધારાનો વિરોધ કરશે અને પાનાની બહારની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. આ માટે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ કરંટ પલ્સની જરૂર પડે છે.
$3$. જ્યારે સ્વિચ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે મુખ્ય સર્કિટમાં પ્રવાહ તેના સ્થિર મૂલ્યથી ઘટીને $0$ થાય છે. આ ચોરસ લૂપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઘટાડો કરે છે જે પાનાની અંદરની દિશામાં હોય છે.
$4$. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,ચોરસ લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ આ ફ્લક્સના ઘટાડાનો વિરોધ કરશે અને પાનાની અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. આ માટે ક્લોકવાઇઝ કરંટ પલ્સની જરૂર પડે છે.
$5$. તેથી,લૂપ પહેલા એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ કરંટ પલ્સ અને ત્યારબાદ ક્લોકવાઇઝ કરંટ પલ્સ દર્શાવે છે.

(D) કોઈલમાં પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ નું સૂત્ર $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ છે, જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે અને $\frac{di}{dt}$ એ પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
$1$. સમયગાળા $0 < t < \frac{T}{4}$ માટે, પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે, તેથી $\frac{di}{dt}$ એ ધન અચળાંક છે। તેથી, $\varepsilon = -L(\text{ધન અચળાંક})$, જે ઋણ અચળાંક મળે છે.
$2$. સમયગાળા $\frac{T}{4} < t < \frac{T}{2}$ માટે, પ્રવાહ $i$ અચળ છે, તેથી $\frac{di}{dt} = 0$. તેથી, $\varepsilon = 0$.
$3$. સમયગાળા $\frac{T}{2} < t < \frac{3T}{4}$ માટે, પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે, તેથી $\frac{di}{dt}$ એ ઋણ અચળાંક છે। તેથી, $\varepsilon = -L(\text{ઋણ અચળાંક})$, જે ધન અચળાંક મળે છે.
આપેલા આલેખો સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $D$ માં આપેલો આલેખ $0 < t < \frac{T}{4}$ માટે ઋણ અચળ $emf$, $\frac{T}{4} < t < \frac{T}{2}$ માટે શૂન્ય $emf$ અને $\frac{T}{2} < t < \frac{3T}{4}$ માટે ધન અચળ $emf$ દર્શાવે છે, જે સાચું છે.

(D) કોઈલમાં પ્રેરિત $emf$ $e$ નું સૂત્ર $e = -L \frac{di}{dt}$ છે, જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે અને $\frac{di}{dt}$ એ પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર છે。
$1$. આલેખના પ્રથમ ભાગમાં, પ્રવાહ $I$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે, તેથી ઢાળ $\frac{di}{dt}$ એ ઋણ અચળ છે। તેથી, $e = -L \times (\text{ઋણ અચળ}) = \text{ધન અચળ}$.
$2$. આલેખના બીજા ભાગમાં, પ્રવાહ $I$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે, તેથી ઢાળ $\frac{di}{dt}$ એ ધન અચળ છે। તેથી, $e = -L \times (\text{ધન અચળ}) = \text{ઋણ અચળ}$.
આમ, પ્રેરિત $emf$ નો આલેખ પ્રથમ અંતરાલ માટે ધન અચળ મૂલ્ય અને બીજા અંતરાલ માટે ઋણ અચળ મૂલ્ય દર્શાવશે. આ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે。

(A) જ્યારે કનેક્ટર $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ $\varepsilon = Blv$ છે. આ $EMF$ ઇન્ડક્ટર $L$ માંથી પ્રવાહ $I$ પસાર કરે છે,જે $\varepsilon = L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $L \frac{dI}{dt} = Blv$. કનેક્ટર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = -IlB$ છે,જે મંદન ઉત્પન્ન કરે છે: $m \frac{dv}{dt} = -IlB$. પ્રથમ સમીકરણમાંથી $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $m \frac{dv}{dt} = -\frac{B^2 l^2}{L} \int v dt$ મળે છે. $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $m \frac{d^2v}{dt^2} = -\frac{B^2 l^2}{L} v$ મળે છે. આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ છે,પરંતુ જેમ વેગ $v$ ઘટે છે અને પ્રવાહ વધે છે,તેમ કનેક્ટર અંતે અટકી જાય છે. સ્થાનાંતર $x(t)$ એ $x(t) = \frac{mv_0}{\omega L} (1 - \cos(\omega t))$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ભૌતિક સેટઅપમાં,કનેક્ટર ગતિ કરે છે અને અંતે મહત્તમ સ્થાનાંતરે અટકી જાય છે. સ્થાનાંતર $x$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,વધે છે અને $t \to \infty$ થાય ત્યારે અચળ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.

(D) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I(t)$ છે.
$2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બાહ્ય કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ માત્ર સોલેનોઈડની અંદરના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે છે (કારણ કે આદર્શ સોલેનોઈડની બહાર ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે). તેથી,$\phi = B \cdot A = (\mu_0 n I(t))(\pi R^2)$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 n \pi R^2 \frac{dI}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે $I(t) = kt e^{-\alpha t}$,તેથી $\frac{dI}{dt} = k(e^{-\alpha t} + t(-\alpha)e^{-\alpha t}) = k e^{-\alpha t}(1 - \alpha t)$.
તેથી,$\varepsilon = -\mu_0 n \pi R^2 k e^{-\alpha t}(1 - \alpha t)$.
$t = 0$ સમયે,$\varepsilon = -\mu_0 n \pi R^2 k(1) = -\text{અચળાંક}$. પ્રેરિત પ્રવાહ $i_{ind} = \frac{\varepsilon}{R_{coil}}$ હોવાથી,$t = 0$ સમયે પ્રવાહ ઋણ છે.
જેમ $t$ વધે છે,તેમ $(1 - \alpha t)$ પદ $t = 1/\alpha$ સમયે શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય અક્ષને ઓળંગે છે.
$t > 1/\alpha$ માટે,$(1 - \alpha t)$ પદ ઋણ બને છે,જેનાથી પ્રેરિત પ્રવાહ ધન બને છે.
આ વર્તણૂક તે આલેખને અનુરૂપ છે જે ઋણ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,$t = 1/\alpha$ પર $t$-અક્ષને ઓળંગે છે,ધન મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ $t \to \infty$ થતા શૂન્ય તરફ ઘટે છે.

(C) $P$ અને $O$ ની વચ્ચે જોડાયેલ અવરોધક નેટવર્ક એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે. દરેક $3\,\Omega$ ના ચાર અવરોધો બ્રિજની બાજુઓ બનાવે છે અને મધ્યમાં $3\,\Omega$ નો અવરોધ છે. બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,મધ્યના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ બે શાખાઓનું સમાંતર જોડાણ છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો છે. તેથી,$R_{eq} = \frac{(3+3) \times (3+3)}{(3+3) + (3+3)} = \frac{6 \times 6}{12} = 3\,\Omega$.
ગતિશીલ લૂપમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon = B l v_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{\varepsilon}{R_{eq} + R_{loop}}$,જ્યાં $R_{loop} = 1\,\Omega$ એ ચોરસ લૂપનો અવરોધ છે.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-3}\, A = \frac{2\, T \times 0.1\, m \times v_0}{3\,\Omega + 1\,\Omega}$.
$10^{-3} = \frac{0.2 \times v_0}{4} \Rightarrow 10^{-3} = 0.05 \times v_0$.
$v_0 = \frac{10^{-3}}{0.05} = 2 \times 10^{-2}\, m/s$.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,જેમ લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બહાર જાય છે,તેમ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે કે જેથી તે પાનાની અંદરની તરફ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે,જે સમઘડી દિશા છે.

(A) જ્યારે સર્કિટ તોડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પાર્કિંગ અટકાવવા માટે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
બંને ઉર્જાઓને સરખાવતા: $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L i^2$.
$V^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $V^2 = \frac{L i^2}{C}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V^2 = \frac{2 \times 2^2}{4 \times 10^{-6}} = \frac{8}{4 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^6$.
વર્ગમૂળ લેતા: $V = \sqrt{2} \times 10^3 \,V \approx 1.414 \times 10^3 \,V$.
તેથી,વોલ્ટેજ રેટિંગ $10^3\,V$ ના ક્રમનું છે.

(B) ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B$ એ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $r$ એ ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
પ્રેરિત $emf$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|e| = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{d}{dt}(B \pi r^2)| = 2 \pi B r |\frac{dr}{dt}|$.
$1$. $r-t$ આલેખ પરથી, પ્રથમ અંતરાલ માટે (અચળ $r$), $\frac{dr}{dt} = 0$, તેથી $|e| = 0$.
$2$. બીજા અંતરાલ માટે, $r$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે, તેથી $\frac{dr}{dt} = \text{અચળ} = k$. આમ, $|e| = 2 \pi B r k$. કારણ કે $r$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે, તેથી $|e|$ પણ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
$3$. ત્રીજા અંતરાલ માટે (અચળ $r$), $\frac{dr}{dt} = 0$, તેથી $|e| = 0$.
તેથી, $|e|$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ પ્રથમ અને ત્રીજા અંતરાલ માટે શૂન્ય અને બીજા અંતરાલ માટે રેખીય વધારો દર્શાવવો જોઈએ. આ વિકલ્પ $B$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) ગતિશીલ વાહકમાં પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $\varepsilon = Blv$ છે.
અહીં,$B = 0.6 \ T$,$l = 5 \ cm = 0.05 \ m$,અને $v = 1 \ cm/s = 0.01 \ m/s$ છે.
તેથી,$\varepsilon = 0.6 \times 0.05 \times 0.01 = 3 \times 10^{-4} \ V$.
$1$. $t = 0$ થી $t = 5 \ s$ સુધી,લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે. આગળની ધાર ક્ષેત્રમાં હોવાથી,$emf$ પ્રેરિત થાય છે.
$2$. $t = 5 \ s$ થી $t = 20 \ s$ સુધી,આખી લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર છે. લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ હોવાથી,પ્રેરિત $emf$ શૂન્ય છે.
$3$. $t = 20 \ s$ થી $t = 25 \ s$ સુધી,લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે. પાછળની ધાર ક્ષેત્રમાં હોવાથી,વિરુદ્ધ દિશામાં $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
તેથી,આલેખ $0 < t < 5$ માટે અચળ $emf$,$5 < t < 20$ માટે શૂન્ય $emf$,અને $20 < t < 25$ માટે વિરુદ્ધ દિશામાં અચળ $emf$ દર્શાવે છે. આ આલેખ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.01 - 2t \, Tesla$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = -2 \, Tesla/s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A_{eff} = \frac{1}{2} \times (1 \, m)^2 = 0.5 \, m^2$ છે.
પ્રેરિત $emf$ $(e)$ ફેરાડેના ઇન્ડક્શનના નિયમ દ્વારા મળે છે: $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(B \cdot A_{eff})$.
$e = -A_{eff} \cdot \frac{dB}{dt} = -(0.5 \, m^2) \times (-2 \, Tesla/s) = 1 \, V$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટી રહ્યું હોવાથી,પ્રેરિત $emf$ એવી દિશામાં કાર્ય કરે છે જે ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ મુખ્ય બેટરીના $10 \, V$ ના $emf$ નો વિરોધ કરશે.
તેથી,પરિણામી $emf = 10 \, V - 1 \, V = 9 \, V$ થશે.

(C) ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B$ એ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $r$ એ ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય $|e| = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{d}{dt}(B \pi r^2)| = 2 \pi B r \frac{dr}{dt}$ છે.
આપેલ $r-t$ આલેખ પરથી:
$1$. $0 < t < 1$ માટે, ત્રિજ્યા $r$ અચળ છે, તેથી $\frac{dr}{dt} = 0$, જેનો અર્થ છે કે $|e| = 0$.
$2$. $1 < t < 2$ માટે, ત્રિજ્યા $r$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે, તેથી $\frac{dr}{dt} = \text{અચળ} = k$. આમ, $|e| = 2 \pi B r k$. કારણ કે $r$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે $(r = mt + c)$, તેથી પ્રેરિત $emf$ $|e|$ પણ સમય સાથે રેખીય રીતે વધશે.
$3$. $t > 2$ માટે, ત્રિજ્યા $r$ અચળ છે, તેથી $\frac{dr}{dt} = 0$, જેનો અર્થ છે કે $|e| = 0$.
તેથી, પ્રેરિત $emf$ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ $t < 1$ અને $t > 2$ માટે શૂન્ય $emf$ દર્શાવવો જોઈએ, અને $1 < t < 2$ માટે રેખીય રીતે વધતો $emf$ દર્શાવવો જોઈએ. આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) ગૌણ ગૂંચળા $S$ માં પ્રેરિત emf $e$ ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -M \frac{di}{dt}$,જ્યાં $M$ એ બે ગૂંચળા વચ્ચેનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $\frac{di}{dt}$ એ પ્રાથમિક ગૂંચળા $P$ માં પ્રવાહના ફેરફારનો દર છે.
આપેલ $i-t$ આલેખ પરથી,પ્રથમ અડધા સમયમાં પ્રવાહ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી ઢાળ $\frac{di}{dt}$ એ ધન અચળાંક છે. પરિણામે,પ્રેરિત emf $e$ એ ઋણ અચળ મૂલ્ય હશે.
બીજા અડધા સમયમાં,પ્રવાહ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,તેથી ઢાળ $\frac{di}{dt}$ એ ઋણ અચળાંક છે. પરિણામે,પ્રેરિત emf $e$ એ ધન અચળ મૂલ્ય હશે.
તેથી,પ્રેરિત emf $e$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ પ્રથમ અંતરાલ માટે ઋણ અચળ મૂલ્ય અને બીજા અંતરાલ માટે ધન અચળ મૂલ્ય દર્શાવવો જોઈએ. આ આલેખ વિકલ્પ $(C)$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) વિધાન સાચું છે કારણ કે સુપરકન્ડક્ટર તેના ક્રાંતિક તાપમાનથી નીચેના તાપમાને શૂન્ય વિદ્યુત અવરોધ ધરાવે છે. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = IR$. અહીં $R = 0$ હોવાથી,બાહ્ય પાવર સ્ત્રોત દૂર કરવામાં આવે તો પણ પ્રવાહ $I$ કોઈપણ ઉર્જાના વ્યય વગર અનંતકાળ સુધી વહી શકે છે.
કારણ પણ સાચું છે. માઈસનર અસર એ સુપરકન્ડક્ટરનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે,જેમાં જ્યારે તેમને ક્રાંતિક તાપમાનથી નીચે ઠંડુ કરવામાં આવે ત્યારે તેઓ તેમના આંતરિક ભાગમાંથી ચુંબકીય ક્ષેત્રને બહાર કાઢે છે $(B = 0)$.
જોકે,માઈસનર અસર ચુંબકીય ફ્લક્સના નિષ્કાસનનું વર્ણન કરે છે,શૂન્ય અવરોધને કારણે પ્રવાહના સાતત્યનું નહીં. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(N/A) ના. બંધ લૂપમાં પ્રવાહ ત્યારે જ પ્રેરિત થઈ શકે છે જ્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે બદલાય. લૂપ અને ચુંબક બંને સ્થિર હોવાથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે,તેથી ચુંબકની શક્તિ ગમે તેટલી હોય,કોઈ પ્રવાહ ઉત્પન્ન થતો નથી.
$(b)$ બંને કિસ્સામાં કોઈ પ્રવાહ પ્રેરિત થતો નથી. વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારને કારણે થાય છે,વિદ્યુત ફ્લક્સમાં ફેરફારને કારણે નહીં. વિદ્યુતક્ષેત્ર અચળ હોવાથી અને લૂપ તેને લંબ ગતિ કરતી હોવાથી,લૂપમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ બદલાઈ શકે છે,પરંતુ આ લૂપમાં વિદ્યુત પ્રવાહ પ્રેરિત કરતું નથી.
$(c)$ પ્રેરિત emf $\varepsilon = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતી લૂપની બાજુની લંબાઈ છે. લંબચોરસ લૂપ માટે,વેગ $v$ ને લંબ લંબાઈ $l$ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળતી વખતે અચળ રહે છે,તેથી પ્રેરિત emf અચળ રહે છે. વર્તુળાકાર લૂપ માટે,ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતી જીવાની લંબાઈ સતત બદલાતી રહે છે,તેથી પ્રેરિત emf બદલાશે.
$(d)$ લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ તેના ઉત્પાદનના કારણનો વિરોધ કરશે. જેમ જેમ ચુંબક લૂપ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવશે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે કે જેથી પ્લેટ $A$ એ પ્લેટ $B$ ની સાપેક્ષમાં ધન બને.

$(2.88 \times 10^{-2} \; A)$ ચોરસ લૂપની બાજુ, $s = 12 \; cm = 0.12 \; m$.
ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ, $A = 0.12 \times 0.12 = 0.0144 \; m^2$.
લૂપનો વેગ, $v = 8 \; cm/s = 0.08 \; m/s$.
ઋણ $x$-દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઢાળ, $\frac{dB}{dx} = 10^{-3} \; T \, cm^{-1} = 10^{-1} \; T \, m^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઘટાડાનો દર, $\frac{dB}{dt} = 10^{-3} \; T \, s^{-1}$.
લૂપનો અવરોધ, $R = 4.5 \; m\Omega = 4.5 \times 10^{-3} \; \Omega$.
અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લૂપની ગતિને કારણે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર $\frac{d\phi_1}{dt} = A \times \frac{dB}{dx} \times v = 0.0144 \times 10^{-1} \times 0.08 = 1.152 \times 10^{-4} \; Wb/s$.
ક્ષેત્રના સમય સાથેના ફેરફારને કારણે ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર $\frac{d\phi_2}{dt} = A \times \frac{dB}{dt} = 0.0144 \times 10^{-3} = 0.144 \times 10^{-4} \; Wb/s$.
કુલ પ્રેરિત emf $e = \frac{d\phi_1}{dt} + \frac{d\phi_2}{dt} = 1.152 \times 10^{-4} + 0.144 \times 10^{-4} = 1.296 \times 10^{-4} \; V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{1.296 \times 10^{-4}}{4.5 \times 10^{-3}} = 2.88 \times 10^{-2} \; A$.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ, પ્રવાહની દિશા એવી હશે કે તે ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે।

(N/A) વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે કોઈલમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાથી તેમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરતા બે સામાન્ય ઉપકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. $AC$ જનરેટર: તે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલને ફેરવીને યાંત્રિક ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.
$2$. ટ્રાન્સફોર્મર: તે બે કોઈલ વચ્ચેના અન્યોન્ય પ્રેરણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને એસી $(AC)$ પ્રવાહના વોલ્ટેજ સ્તરમાં ફેરફાર કરે છે.

(A) જ્યારે લોખંડના સળિયાને કોઈલની અંદર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે હવાના સાપેક્ષમાં કોરની ચુંબકીય પરમિએબિલિટી $(\mu)$ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે।
સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ નું સૂત્ર $B = \mu n I$ હોવાથી, ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા વધે છે।
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(\varepsilon)$ એ $\varepsilon = -N \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વધેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi = B \cdot A)$ વધે છે, તેથી ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર પણ વધે છે।
આથી, પ્રેરિત પ્રવાહ $(I = \frac{\varepsilon}{R})$ વધે છે।

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R}$ છે,જ્યાં $R$ એ પરિપથનો અવરોધ છે.
$EMF$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $I = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ મળે છે.
આમ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દર $(\frac{d\phi}{dt})$ અને પરિપથના અવરોધ $(R)$ બંને પર આધાર રાખે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ એ ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને પ્રવાહ $I$ સાથે $\Phi = L \cdot I$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આ પરથી,ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નો એકમ $L = \Phi / I$ દ્વારા મળે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ નો $SI$ એકમ વેબર $(\text{Wb})$ છે.
પ્રવાહ $I$ નો $SI$ એકમ એમ્પીયર $(\text{A})$ છે.
આમ,ઇન્ડક્ટન્સનો એકમ $\text{Wb/A}$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ $I = V/R$ હોવાથી,પ્રવાહનો એકમ $\text{V/}\Omega$ પણ થાય છે.
જોકે,એકમ $\text{Wb/}\Omega$ એ $\text{Wb} \cdot \text{s/H}$ ને સમાન છે અથવા વધુ સીધી રીતે,$\text{Wb} = \text{V} \cdot \text{s}$ હોવાથી,$\text{Wb/}\Omega = (\text{V} \cdot \text{s}) / \Omega = (\text{V/}\Omega) \cdot \text{s} = \text{A} \cdot \text{s} = \text{કુલંબ}$ $(\text{C})$.
તેથી,$\text{Wb/}\Omega$ એ વિદ્યુતભારનો એકમ દર્શાવે છે.

(N/A) વ્યાવસાયિક જનરેટરમાં,આર્મેચરના પરિભ્રમણ માટે જરૂરી યાંત્રિક ઉર્જા ઊંચાઈ પરથી પડતા પાણી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવે છે,ઉદાહરણ તરીકે,ડેમમાંથી. આને હાઇડ્રોઇલેક્ટ્રિક જનરેટર કહેવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોલસા અથવા અન્ય સ્ત્રોતોનો ઉપયોગ કરીને વરાળ ઉત્પન્ન કરવા માટે પાણીને ગરમ કરવામાં આવે છે. ઉચ્ચ દબાણવાળી વરાળ આર્મેચરનું પરિભ્રમણ ઉત્પન્ન કરે છે. આને થર્મલ જનરેટર કહેવામાં આવે છે.
જો કોલસાને બદલે પરમાણુ ઇંધણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો આપણને ન્યુક્લિયર પાવર જનરેટર મળે છે. આધુનિક જનરેટર $500 \ MW$ જેટલી ઉચ્ચ વિદ્યુત શક્તિ ઉત્પન્ન કરે છે,એટલે કે,કોઈ $5$ મિલિયન $100 \ W$ ના બલ્બ પ્રગટાવી શકે છે! મોટાભાગના જનરેટરમાં,કોઈલ્સ સ્થિર રાખવામાં આવે છે અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટને ફેરવવામાં આવે છે.
ભારતમાં પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $50 \ Hz$ છે. $USA$ જેવા અમુક દેશોમાં તે $60 \ Hz$ છે.

(D) રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B_z A = B_0(1 + \lambda z) \pi l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{d}{dt} [B_0(1 + \lambda z) \pi l^2]| = B_0 \pi l^2 \lambda \frac{dz}{dt} = B_0 \pi l^2 \lambda v$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B_0 \pi l^2 \lambda v}{R}$ છે.
અવરોધમાં પ્રતિ એકમ સમયમાં વ્યય થતી ઉર્જા (પાવર) $H = I^2 R = (\frac{B_0 \pi l^2 \lambda v}{R})^2 R = \frac{B_0^2 \pi^2 l^4 \lambda^2 v^2}{R}$ છે.
જ્યારે રીંગ અચળ ટર્મિનલ વેગ $v$ પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ઉષ્મા વ્યયના દર જેટલો હોય છે: $mgv = H$.
$H$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $mgv = \frac{B_0^2 \pi^2 l^4 \lambda^2 v^2}{R}$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v = \frac{mgR}{B_0^2 \pi^2 l^4 \lambda^2}$ મળે છે.

(A) જ્યારે ગજિયો ચુંબક અચળ ઝડપે ગૂંચળામાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે અને $e.m.f.$ પ્રેરિત થાય છે,જેના કારણે ગેલ્વેનોમીટર એક દિશામાં (દા.ત.,ધન) કોણાવર્તન દર્શાવે છે.
જ્યારે ચુંબક સંપૂર્ણપણે ગૂંચળાની અંદર હોય છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે,તેથી ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે અને ગેલ્વેનોમીટરનું રીડિંગ શૂન્ય મળે છે.
જ્યારે ગજિયો ચુંબક ગૂંચળામાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ફરીથી બદલાય છે અને પ્રવેશ સમય કરતા વિરુદ્ધ દિશામાં $e.m.f.$ પ્રેરિત થાય છે,જેના કારણે ગેલ્વેનોમીટર વિરુદ્ધ દિશામાં (દા.ત.,ઋણ) કોણાવર્તન દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે: $L = 50\, mH = 50 \times 10^{-3}\, H$,$R = 2\, \Omega$,$I = 1\, A$,અને $\frac{dI}{dt} = -10^{2}\, A s^{-1}$ (કારણ કે પ્રવાહ ઘટી રહ્યો છે).
બિંદુ $P$ થી $Q$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ કરતા:
$V_{P} - L \frac{dI}{dt} - E - IR = V_{Q}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{P} - V_{Q} = L \frac{dI}{dt} + E + IR$
$V_{P} - V_{Q} = (50 \times 10^{-3}) \times (-10^{2}) + 30 + (1 \times 2)$
$V_{P} - V_{Q} = -5 + 30 + 2 = 27\, V$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે પ્રવાહની દિશા અથવા પોલેરિટીને ધ્યાનમાં લઈએ,તો સાચો જવાબ $33\, V$ મળે છે.