Mix Examples-Electromagnetic Induction Questions in Gujarati

(C) હેનરી $(H)$ એ ઇન્ડક્ટન્સનો $SI$ એકમ છે.
ઇન્ડક્ટન્સ એ પરિપથનો એવો ગુણધર્મ છે જે તેમાંથી વહેતા પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ અને અન્યોન્ય-પ્રેરકત્વ $(M)$ બંને આ ગુણધર્મના માપદંડ છે અને તે બંનેને સમાન એકમ,હેનરી $(H)$ માં દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) જ્યારે ચુંબક તાંબાની કોઈલની અંદર અને બહાર ગતિ કરે છે,ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે. ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,કોઈલમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે. કોઈલ શોર્ટ-સર્કિટ હોવાથી,તેમાં પ્રેરિત પ્રવાહ વહે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ પ્રેરિત પ્રવાહ એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરે છે. આ વિરોધી બળ અવમંદન બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે લોલકના દોલનો સમય જતાં અવમંદિત થાય છે.

(B) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 500$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.1\,m^2$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.2\,T$,અવરોધ $R = 50\,\Omega$,સમય $\Delta t = 0.1\,s$.
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^o$ (કારણ કે કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ ક્ષેત્રને સમાંતર છે).
અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 180^o$ (ભ્રમણ પછી).
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = BA(\cos \theta_2 - \cos \theta_1)$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $\Delta Q = \frac{|\Delta \phi|}{R} = \frac{NBA}{R} |\cos \theta_2 - \cos \theta_1|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = \frac{500 \times 0.2 \times 0.1}{50} |\cos 180^o - \cos 0^o|$.
$\Delta Q = \frac{10}{50} |-1 - 1| = 0.2 \times 2 = 0.4\,C$.

(D) જ્યારે ચુંબક કોઈલની અંદર અને બહાર દોલન કરે છે,ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સતત બદલાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ફ્લક્સમાં થતો આ ફેરફાર કોઈલમાં $e.m.f.$ પ્રેરિત કરે છે,જેના કારણે ગેલ્વેનોમીટર $G$ માંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે.
જ્યારે ચુંબક કોઈલની અંદર જાય છે,ત્યારે ફ્લક્સ વધે છે,અને જ્યારે તે બહાર આવે છે,ત્યારે ફ્લક્સ ઘટે છે. ફ્લક્સના ફેરફારની દિશામાં થતા આ ફેરફારને કારણે પ્રેરિત પ્રવાહ તેની દિશા બદલે છે,જેના પરિણામે ગેલ્વેનોમીટરમાં ડાબી અને જમણી બંને બાજુ વિચલન જોવા મળે છે.
ડેમ્પિંગ અસર (હવાનો અવરોધ અને કોઈલમાં પ્રેરિત એડી કરંટ) ને કારણે,સમય જતાં ચુંબકના દોલનનો કંપનવિસ્તાર ઘટે છે.
પરિણામે,પ્રેરિત $e.m.f.$ નું મૂલ્ય અને ગેલ્વેનોમીટરમાં થતું વિચલન પણ સતત ઘટતું જાય છે.

(C) જ્યારે કોઈલ $A$ માંથી અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(ac)$ પસાર થાય છે,ત્યારે તે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનને કારણે કોઈલ $B$ માં અલ્ટરનેટિંગ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ પ્રેરિત કરે છે.
પરિણામે,ગેલ્વેનોમીટર $G$ માંથી અલ્ટરનેટિંગ કરંટ પસાર થાય છે.
$50 \, Hz$ ની પ્રમાણભૂત આવૃત્તિ પર,ગેલ્વેનોમીટરની સોય તેની જડતાને કારણે ઝડપી ફેરફારોને અનુસરી શકતી નથી,અને તેમાં કોઈ દ્રશ્યમાન વિચલન અથવા માત્ર થોડો કંપન જોવા મળશે.
જો કે,જો ઇનપુટ $ac$ વોલ્ટેજની આવૃત્તિ ખૂબ ઓછી હોય,જેમ કે $1$ થી $2 \, Hz$,તો ગેલ્વેનોમીટરની સોય પાસે બદલાતા પ્રવાહને પ્રતિસાદ આપવા માટે પૂરતો સમય હશે,અને સોયના દ્રશ્યમાન દોલનો જોવા મળશે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બંધ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય ત્યારે જ પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ કિસ્સામાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને નળાકાર તેને સમાંતર રાખવામાં આવ્યો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન અને અચળ હોવાથી,નળાકારના કોઈપણ આડછેદમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો ન હોવાથી $(\frac{d\Phi}{dt} = 0)$,કોઈ પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન થતું નથી.
પરિણામે,પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(A) જ્યારે $DC$ સ્ત્રોતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથમાં પ્રવાહ સ્થિર હોય છે। શરૂઆતમાં, કોઈલનું ચોક્કસ આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ હોય છે। જ્યારે કોઈલમાં નરમ લોખંડનો ગર્ભ દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ગર્ભની ચુંબકીય પરમીએબિલિટી વધે છે, જેનાથી કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે। જોકે, સ્થિર $DC$ પ્રવાહ માટે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે $DC$ ની આવૃત્તિ $f$ એ $0$ છે। તેથી, પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ ફક્ત કોઈલ અને બલ્બના અવરોધ દ્વારા નક્કી થાય છે। કોઈલ અને બલ્બનો અવરોધ બદલાતો ન હોવાથી, પ્રવાહ સમાન રહે છે અને બલ્બની તીવ્રતા સમાન રહે છે।

(B) વિકલ્પ $A$ સાચો છે: વાહકને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરાવવાથી તેના છેડાઓ વચ્ચે emf પ્રેરિત થાય છે (ગતિશીલ emf).
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે: સ્વ-પ્રેરિત emf (બેક emf) પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. જો પ્રવાહ વધતો હોય,તો તે વધારાનો વિરોધ કરે છે; જો પ્રવાહ ઘટતો હોય,તો તે ઘટાડાનો વિરોધ કરે છે (પ્રવાહ જાળવી રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે). તેથી,તે હંમેશા પ્રવાહને ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરતું નથી.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે: કોઈલનું સ્વ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\mu N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. લોખંડનું ગર્ભ દાખલ કરવાથી પરમિયેબિલિટી $\mu$ વધે છે,જેનાથી $L$ વધે છે.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે: આ લેન્ઝના નિયમની પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યા છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે. ઇલેક્ટ્રિક જનરેટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે યાંત્રિક ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે. તે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જેમાં જ્યારે કોઈલને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ફેરાડેના નિયમ અને લેન્ઝના નિયમ મુજબ કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાને કારણે તેમાં ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e.m.f.)$ પ્રેરિત થાય છે.

(B) ડાયનેમો એ એક વિદ્યુત જનરેટર છે જે કોમ્યુટેટરનો ઉપયોગ કરીને ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ ઉત્પન્ન કરે છે. તે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જેમાં યાંત્રિક ઊર્જા (આર્મેચરનું પરિભ્રમણ) નું વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.

(D) $ac$ ડાયનેમો (અલ્ટરનેટર) બાહ્ય સર્કિટ સાથે સતત જોડાણ જાળવી રાખવા માટે સ્લિપ રિંગ્સનો ઉપયોગ કરે છે,જે પ્રવાહને દિશા બદલવાની મંજૂરી આપે છે. તેનાથી વિપરીત,$dc$ ડાયનેમો સ્પ્લિટ-રિંગ કોમ્યુટેટરનો ઉપયોગ કરે છે જેથી ખાતરી કરી શકાય કે આઉટપુટ પ્રવાહ ફક્ત એક જ દિશામાં વહે છે. તેથી,એ વિધાન કે બંનેમાં સ્લિપ રિંગ્સ હોય છે તે ખોટું છે.

(D) $1$. જેમ ઇલેક્ટ્રોન $A$ થી $B$ તરફ ગતિ કરે છે,તે $B$ થી $A$ ની દિશામાં વિદ્યુત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે (ઇલેક્ટ્રોનની ગતિની વિરુદ્ધ).
$2$. રાઈટ-હેન્ડ થમ્બ રૂલ મુજબ,આ પ્રવાહ દ્વારા લૂપના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ હોય છે.
$3$. જેમ ઇલેક્ટ્રોન લૂપની નજીક આવે છે,લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ (પાનાની અંદરની તરફ) વધે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
$4$. જેમ ઇલેક્ટ્રોન લૂપથી દૂર જાય છે,લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ (પાનાની અંદરની તરફ) ઘટે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે.
$5$. તેથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોન લૂપ પાસેથી પસાર થાય છે,તેમ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા બદલાય છે.

(D) આપેલ છે: $L_1 = 8 \, mH$,$L_2 = 2 \, mH$,અને $\frac{di_1}{dt} = \frac{di_2}{dt} = k$ (અચળ).
$1$. પ્રેરિત વોલ્ટેજ: $V = L \frac{di}{dt}$. કારણ કે $\frac{di}{dt}$ બંને માટે સમાન છે,તેથી $\frac{V_2}{V_1} = \frac{L_2}{L_1} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
$2$. પાવર: $P = V \cdot i$. આપેલ છે કે $P_1 = P_2$,તેથી $V_1 i_1 = V_2 i_2$. તેથી,$\frac{i_1}{i_2} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{4}$. આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
$3$. સંગ્રહિત ઉર્જા: $W = \frac{1}{2} L i^2$. ગુણોત્તર $\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right) \left( \frac{i_2}{i_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right) \left( 4 \right)^2 = \frac{1}{4} \times 16 = 4$. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
તેથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(D) ધારો કે $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ અચળાંકો છે.
$RL$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_1(t) = k_1(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળાની અક્ષ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(t)$ એ પ્રવાહ $I_1(t)$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $B(t) = k_2 I_1(t) = k_2 k_1(1 - e^{-t/\tau})$.
રીંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_2(t)$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં છે,જે $dB(t)/dt$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,$I_2(t) = k_3 \frac{dB(t)}{dt} = k_4 e^{-t/\tau}$.
તેથી,ગુણાકાર $I_2(t) B(t) = k_5 (1 - e^{-t/\tau}) e^{-t/\tau} = k_5 (e^{-t/\tau} - e^{-2t/\tau})$.
$t = 0$ સમયે,$I_2(t) B(t) = 0$ થાય છે. જેમ $t \to \infty$,તેમ $I_2(t) B(t) \to 0$ થાય છે. કારણ કે $t > 0$ માટે આ ગુણાકાર ધન છે,તેથી તે ચોક્કસપણે મહત્તમ મૂલ્યમાંથી પસાર થશે.

(D) જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે લૂપ $P$ માં પ્રવાહ $I_P$ શૂન્યથી વધીને સ્થિર મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. આ લૂપ $Q$ માં ડાબેથી જમણી તરફ ( $P$ થી દૂર) વધતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,$Q$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{Q_1}$ એ આ ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે વિરુદ્ધ દિશામાં (જમણેથી ડાબે) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવો જોઈએ. $E$ અવલોકનકાર માટે,જે $Q$ ને જુએ છે,જમણેથી ડાબે જતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ સૂચવે છે. તેથી,$I_{Q_1}$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે $P$ માં પ્રવાહ $I_P$ ઘટીને શૂન્ય થાય છે. આ લૂપ $Q$ માં ડાબેથી જમણી તરફ જતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટાડે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,$Q$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{Q_2}$ એ આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે સમાન દિશામાં (ડાબેથી જમણે) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવો જોઈએ. $E$ અવલોકનકાર માટે,ડાબેથી જમણે જતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પ્રવાહ સૂચવે છે. તેથી,$I_{Q_2}$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે.

(B) પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -NA \frac{dB}{dt}$.
અહીં $A = \pi r_c^2$ (જ્યાં $r_c$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે),તેથી $e \propto N$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A_w} = \rho \frac{N(2\pi r_c)}{\pi r^2}$ છે,જ્યાં $r$ એ તારની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$R \propto \frac{N}{r^2}$.
વ્યય થતો પાવર $P = \frac{e^2}{R} \propto \frac{N^2}{N/r^2} = N r^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે $N_2 = 4N_1$ અને $r_2 = r_1/2$,તેથી નવો પાવર $P_2$:
$P_2 \propto (4N_1) \times (r_1/2)^2 = 4N_1 \times (r_1^2/4) = N_1 r_1^2 = P_1$.
તેથી,વ્યય થતો વિદ્યુત પાવર સમાન રહેશે.

(D) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (B_0 e^{-t})(\pi r^2)$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$e = -\frac{d}{dt}(B_0 \pi r^2 e^{-t}) = B_0 \pi r^2 e^{-t}$.
અવરોધ $R$ માં ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુત પાવર $P = \frac{e^2}{R}$ છે.
$P = \frac{(B_0 \pi r^2 e^{-t})^2}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4 e^{-2t}}{R}$.
સ્વીચ બંધ કર્યા પછી તરત જ,સમય $t = 0$ લેતા.
પાવરના સમીકરણમાં $t = 0$ મૂકતા,આપણને $P = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4 e^0}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{R}$ મળે છે.

(A) પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = -A \frac{dB}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટી રહ્યું હોવાથી, $dB/dt = -0.1 \text{ mT/s} = -10^{-4} \text{ T/s}$.
$a = 0.1 \text{ m}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આંતરિક લૂપ માટે:
અવરોધ $R_1 = (50 \times 10^{-3} \Omega/\text{m}) \times (2\pi a) = 50 \times 10^{-3} \times 2\pi \times 0.1 = 0.01\pi \Omega$.
ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi a^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi \text{ m}^2$.
પ્રેરિત પ્રવાહનું મૂલ્ય $i_1 = \frac{|\varepsilon_1|}{R_1} = \frac{A_1 |dB/dt|}{R_1} = \frac{0.01\pi \times 10^{-4}}{0.01\pi} = 10^{-4} \text{ A}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટી રહ્યું હોવાથી, પ્રેરિત પ્રવાહ આ ફેરફારનો વિરોધ કરશે અને સમાન દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે, જે ક્લોકવાઇઝ દિશા છે.
$b = 0.2 \text{ m}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બાહ્ય લૂપ માટે:
અવરોધ $R_2 = (50 \times 10^{-3} \Omega/\text{m}) \times (2\pi b) = 50 \times 10^{-3} \times 2\pi \times 0.2 = 0.02\pi \Omega$.
ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi b^2 = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi \text{ m}^2$.
પ્રેરિત પ્રવાહનું મૂલ્ય $i_2 = \frac{|\varepsilon_2|}{R_2} = \frac{A_2 |dB/dt|}{R_2} = \frac{0.04\pi \times 10^{-4}}{0.02\pi} = 2 \times 10^{-4} \text{ A}$.
તે જ રીતે, દિશા ક્લોકવાઇઝ છે.

(D) $t = 0$ સમયે (સ્વીચ બંધ કર્યા પછી તરત જ),ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિપથ $(1)$: $i_1 = 0$.
પરિપથ $(2)$: ઇન્ડક્ટર શાખા ઓપન છે,તેથી પ્રવાહ બેટરી સાથે સમાંતરમાં રહેલા અવરોધમાંથી વહે છે. $i_2 = E/R$.
પરિપથ $(3)$: ઇન્ડક્ટર શાખા ઓપન છે,તેથી પ્રવાહ બેટરી સાથે સમાંતરમાં રહેલા અવરોધમાંથી વહે છે. $i_3 = E/R$.
આમ,$i_2 = i_3 > i_1$ (જ્યાં $i_1 = 0$).
$t = \infty$ સમયે (લાંબા સમય પછી),ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિપથ $(1)$: $i_1 = E/(2R)$.
પરિપથ $(2)$: ઇન્ડક્ટર શાખા શોર્ટ સર્કિટ છે,જે તેની સાથે સમાંતરમાં રહેલા અવરોધને બાયપાસ કરે છે. કુલ અવરોધ $R$ છે. $i_2 = E/R$.
પરિપથ $(3)$: ઇન્ડક્ટર શાખા શોર્ટ સર્કિટ છે,જે તેની સાથે સમાંતરમાં રહેલા અવરોધને બાયપાસ કરે છે. કુલ અવરોધ $R$ છે. $i_3 = E/R$.
આમ,$t = \infty$ સમયે,$i_2 = i_3 > i_1$.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $(E)$ નું મૂલ્ય $E = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ ગૂંચળાની નજીક આવે છે,ત્યારે ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે,જેના પરિણામે ચોક્કસ ધ્રુવીયતા (ધારો કે ઋણ) ધરાવતું પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થાય છે.
જેમ જેમ ચુંબક ગૂંચળાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેમ ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય બને છે,અને ત્યારબાદ જેમ તે દૂર જાય છે,તેમ ફ્લક્સ ઘટે છે,જેના કારણે પ્રેરિત emf ની ધ્રુવીયતા બદલાય છે (ધન બને છે).
આમ,જેમ ચુંબક ગૂંચળામાંથી પસાર થાય છે,તેમ પ્રેરિત emf $(E)$ વિરુદ્ધ સમય $(t)$ નો આલેખ પહેલા ઋણ પીક અને ત્યારબાદ ધન પીક દર્શાવે છે.

(B) જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ વધે છે. ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $E = -\frac{d\phi}{dt}$ છે. ફ્લક્સ વધતું હોવાથી,લૂપ પ્રવેશતી વખતે પ્રેરિત emf ઋણ અને અચળ હોય છે.
જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર હોય છે,ત્યારે તેમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે,તેથી $\frac{d\phi}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે પ્રેરિત emf $E = 0$ થાય છે.
જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપ બહાર નીકળતી વખતે પ્રેરિત emf ધન અને અચળ હશે.
તેથી,$E$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ પ્રવેશ દરમિયાન ઋણ અચળ મૂલ્ય,સંપૂર્ણ અંદર હોય ત્યારે શૂન્ય મૂલ્ય અને બહાર નીકળતી વખતે ધન અચળ મૂલ્ય દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ સૂત્ર $E = -L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયગાળાના પ્રથમ અર્ધભાગમાં,પ્રવાહ $I$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt}$ એ ધન અચળાંક છે. પરિણામે,પ્રેરિત $emf$ $E = -L \frac{dI}{dt}$ એ ઋણ અચળાંક છે.
સમયગાળાના બીજા અર્ધભાગમાં,પ્રવાહ $I$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,તેથી પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt}$ એ ઋણ અચળાંક છે. પરિણામે,પ્રેરિત $emf$ $E = -L \frac{dI}{dt}$ એ ધન અચળાંક છે.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ પ્રથમ ઋણ અચળ મૂલ્ય અને ત્યારબાદ ધન અચળ મૂલ્ય દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $D$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(C) કોઈલમાં પ્રેરિત emf $E$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = -L \frac{di}{dt}$.
$1$. અંતરાલ $a$ દરમિયાન: પ્રવાહ $i$ અચળ છે,તેથી $\frac{di}{dt} = 0$. આમ,$E = 0$.
$2$. અંતરાલ $b$ દરમિયાન: પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,તેથી $\frac{di}{dt}$ એ ઋણ અચળાંક છે. કારણ કે $E = -L \frac{di}{dt}$,તેથી $E$ એ ધન અચળાંક હશે.
$3$. અંતરાલ $c$ દરમિયાન: પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી $\frac{di}{dt}$ એ ધન અચળાંક છે. આમ,$E = -L \frac{di}{dt}$ એ ઋણ અચળાંક હશે.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે ગ્રાફ શૂન્ય emf,ત્યારબાદ અચળ ધન emf અને ત્યારબાદ અચળ ઋણ emf દર્શાવે છે તે સાચો જવાબ છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}Li^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંગ્રહિત થવાનો દર $P = \frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}Li^2) = Li(\frac{di}{dt})$ છે.
$L-R$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $i$ એ $i = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ મુજબ વધે છે,જ્યાં $i_0 = \frac{E}{R}$.
પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = \frac{E}{L}e^{-Rt/L}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,પાવર $P = L \cdot [i_0(1 - e^{-Rt/L})] \cdot [\frac{E}{L}e^{-Rt/L}] = Ei_0(e^{-Rt/L} - e^{-2Rt/L})$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$i = 0$,તેથી $P = 0$.
જેમ $t \to \infty$,$\frac{di}{dt} \to 0$,તેથી $P \to 0$.
આમ,$t = 0$ અને $t = \infty$ બંને સમયે દર શૂન્ય હોવાથી અને વચ્ચેના સમયમાં તે ધન હોવાથી,આલેખમાં એક શિખર (peak) હોવું જોઈએ. તેથી,આકૃતિ $144-$a15 માં દર્શાવેલ વક્ર સાચો છે.

(C) જ્યારે સ્વીચ $S$ ને $t = 0$ સમયે બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $RL$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $i$ એ $0$ થી શરૂ થાય છે અને સમીકરણ $i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ મુજબ વધે છે.
ઇન્ડક્ટર $L$ માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $e$ એ $e = L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહના સમીકરણનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{di}{dt} = \frac{E}{L} e^{-Rt/L}$ મળે છે.
તેથી,$e = L \left( \frac{E}{L} e^{-Rt/L} \right) = E e^{-Rt/L}$.
$t = 0$ સમયે,$e = E$ (મહત્તમ મૂલ્ય) અને $i = 0$ થાય છે.
જેમ $t \to \infty$,તેમ $e \to 0$ અને $i \to \frac{E}{R}$ થાય છે.
આમ,$e$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ એ $t = 0$ સમયે $E$ થી શરૂ થતો અને સમય વધતા $0$ તરફ જતો ઘાતાંકીય ક્ષયનો વક્ર છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $e = Bvl$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$v$ એ વેગ અને $l$ એ ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતી બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $B = 0.6 \, T$,$v = 1 \, cm/s = 0.01 \, m/s$,$l = 5 \, cm = 0.05 \, m$.
$1$. $t = 0$ થી $t = 5 \, s$ સુધી,લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે. પ્રેરિત $emf$ $e = Bvl = 0.6 \times 0.01 \times 0.05 = 3 \times 10^{-4} \, V$ છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,જેના પરિણામે $emf$ નું મૂલ્ય ઋણ મળે છે.
$2$. $t = 5 \, s$ થી $t = 15 \, s$ સુધી,લૂપ સંપૂર્ણપણે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર છે. લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ હોવાથી,પ્રેરિત $emf$ $e = 0$ છે.
$3$. $t = 15 \, s$ થી $t = 20 \, s$ સુધી,લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે. ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર પ્રવેશના તબક્કાની વિરુદ્ધ છે,જેના પરિણામે $e = +3 \times 10^{-4} \, V$ જેટલું પ્રેરિત $emf$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખ $D$ પ્રવેશ દરમિયાન ઋણ $emf$,અંદર હોય ત્યારે શૂન્ય $emf$ અને બહાર નીકળતી વખતે ધન $emf$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ કોઈલની નજીક આવે છે,ત્યારે કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે,જેનાથી એક ધ્રુવીયતા (દા.ત.,ધન) વાળું $e.m.f.$ પ્રેરિત થાય છે અને ગતિનો વિરોધ કરવા માટે પ્રવાહ એન્ટિક્લોકવાઇઝ દિશામાં વહે છે.
જેમ જેમ ચુંબક કોઈલના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેમ ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર ક્ષણિક રીતે શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી પ્રેરિત $e.m.f.$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
જેમ જેમ ચુંબક દૂર જાય છે,તેમ ફ્લક્સ ઘટે છે,જેનાથી વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા (દા.ત.,ઋણ) વાળું $e.m.f.$ પ્રેરિત થાય છે અને પ્રવાહ ક્લોકવાઇઝ દિશામાં વહે છે.
જ્યારે ચુંબક તેના દોલનના અંતિમ છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે,તેથી $e.m.f.$ શૂન્ય હોય છે.
જેમ તે પાછું ફરે છે,આ પ્રક્રિયા ઉલટી રીતે પુનરાવર્તિત થાય છે,જે દોલનના એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન $e.m.f.$ માં સપ્રમાણ ફેરફાર બનાવે છે. આના પરિણામે એક વેવફોર્મ મળે છે જે ધન અને ઋણ બંને શિખરો દર્શાવે છે,જે પ્રથમ વિકલ્પમાં દર્શાવેલ છે.

(A) રેડિયો ફ્રીક્વન્સી $(RF)$ ચોકને એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે કે તે ઉચ્ચ-આવૃત્તિના સિગ્નલોને ઉચ્ચ અવરોધ (impedance) આપે,જ્યારે ઓછી આવૃત્તિ અથવા $DC$ સિગ્નલોને પસાર થવા દે.
જો લોખંડના કોરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે,તો ઉચ્ચ આવૃત્તિ પર એડી કરંટ લોસ (eddy current losses) અને હિસ્ટરેસિસ લોસ (hysteresis losses) નોંધપાત્ર રીતે વધી જાય છે.
વધુમાં,લોખંડનો કોર ઇન્ડક્ટન્સમાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે,જે ઉચ્ચ-આવૃત્તિની એપ્લિકેશન્સ માટે ઇચ્છનીય નથી,જ્યાં ચોક્કસ અવરોધ લાક્ષણિકતાઓ જાળવવા માટે ઓછા ઇન્ડક્ટન્સની જરૂર હોય છે.
તેથી,નુકસાન ઘટાડવા અને ઉચ્ચ આવૃત્તિઓ પર સ્થિર કામગીરી જાળવવા માટે $RF$ ચોકમાં હવાના કોર (air core) નો ઉપયોગ થાય છે.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં પ્રેરિત વોલ્ટેજ $V$ સૂત્ર $V = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1)$ સમયગાળા $0 < t < T/2$ માટે,પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી $i = kt$ (જ્યાં $k$ એ ધન અચળ ઢાળ છે). તેથી,$\frac{di}{dt} = k$. પ્રેરિત વોલ્ટેજ $V_1 = -L(k) = -Lk$ છે,જે એક ઋણ અચળ મૂલ્ય છે.
$(2)$ સમયગાળા $T/2 < t < T$ માટે,પ્રવાહ $i$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,તેથી $i = -kt + C$ (જ્યાં ઢાળ $-k$ છે). તેથી,$\frac{di}{dt} = -k$. પ્રેરિત વોલ્ટેજ $V_2 = -L(-k) = Lk$ છે,જે એક ધન અચળ મૂલ્ય છે.
આમ,વોલ્ટેજનો આલેખ પ્રથમ અડધા ભાગ માટે ઋણ અચળ મૂલ્ય અને બીજા અડધા ભાગ માટે ધન અચળ મૂલ્ય દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) કોઇલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારના દર સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $e = B \cdot \frac{dA}{dt}$.
વળી,પ્રેરિત emf અને સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $e = L \cdot \frac{di}{dt}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $B \cdot \frac{dA}{dt} = L \cdot \frac{di}{dt}$.
આપેલ કિંમતો: $B = 1 \, T$,$\frac{dA}{dt} = \frac{5 \, m^2}{10^{-3} \, s} = 5000 \, m^2/s$,$\Delta i = (2 - 1) \, A = 1 \, A$,અને $\Delta t = 2 \times 10^{-3} \, s$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $1 \times 5000 = L \times \frac{1}{2 \times 10^{-3}}$.
$5000 = L \times 500$.
$L = \frac{5000}{500} = 10 \, H$.

(C) જ્યારે કળ (સ્વિચ) ખુલ્લી કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથમાં પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે. ઇન્ડક્ટરની હાજરીને કારણે,પ્રવાહમાં થતા ઝડપી ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે મોટું બેક $EMF$ $(e = -L \frac{di}{dt})$ ઉત્પન્ન થાય છે. આ પ્રેરિત $EMF$ લેમ્પમાંથી પસાર થતા પ્રવાહમાં ક્ષણિક વધારો કરે છે,જેના કારણે લેમ્પ બંધ થતા પહેલા એક ક્ષણ માટે તેજસ્વી રીતે પ્રકાશિત થાય છે.

(B) બાહ્ય પરિપથ એ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચે બ્રિજનો અવરોધ $R_{ext} = 3 \, \Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = R_{loop} + R_{ext} = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $i = \frac{e}{R} = \frac{Bvl}{R}$.
આપેલ છે કે $i = 1 \, mA = 10^{-3} \, A$, $B = 2 \, Wb/m^2$, $l = 0.1 \, m$, અને $R = 4 \, \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-3} = \frac{2 \times v \times 0.1}{4}$.
$10^{-3} = \frac{0.2 \times v}{4} = 0.05 \times v$.
$v = \frac{10^{-3}}{0.05} = 0.02 \, m/sec = 2 \, cm/sec$.

(D) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A = (B_0 e^{-t})(\pi r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = -\frac{d\Phi}{dt}$ છે.
$e = -\frac{d}{dt}(B_0 \pi r^2 e^{-t}) = B_0 \pi r^2 e^{-t}$.
અવરોધ $R$ માં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{e^2}{R}$ છે.
$e$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $P = \frac{(B_0 \pi r^2 e^{-t})^2}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4 e^{-2t}}{R}$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,વ્યય થતો પાવર $P = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4 e^0}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{R}$ થાય.

(C) ધારો કે સોલેનોઈડમાં $N$ આંટા છે,દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તારની કુલ લંબાઈ $l$ છે.
સોલેનોઈડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{{{\mu _0}{N^2}A}}{{{l_0}}} = \frac{{{\mu _0}{N^2}\pi {r^2}}}{{{l_0}}}$ .... $(i)$
તારની કુલ લંબાઈ $l$ એ એક આંટાનો પરિઘ ગુણ્યા આંટાની સંખ્યા છે:
$l = N \times 2\pi r \Rightarrow N^2 r^2 = \frac{{{l^2}}}{{4{\pi ^2}}}$ .... $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$L = \frac{{{\mu _0} \pi}}{{{l_0}}} \times \frac{{{l^2}}}{{4{\pi ^2}}} = \frac{{{\mu _0}{l^2}}}{{4\pi {l_0}}}$
$l$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$l^2 = \frac{{4\pi L{l_0}}}{{{\mu _0}}}$
$l = \sqrt {\frac{{4\pi L{l_0}}}{{{\mu _0}}}} $

(A) કોઈલ (ગૂંચળા) માં પ્રેરિત $emf$,$e = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $0 \leq t \leq \frac{T}{4}$ માટે,$i-t$ આલેખ ધન અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે. તેથી,$\frac{di}{dt} = \text{અચળ} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $e = -L \frac{di}{dt} = \text{ઋણ અચળ}$.
$2$. $\frac{T}{4} \leq t \leq \frac{T}{2}$ માટે,પ્રવાહ $i$ અચળ છે. તેથી,$\frac{di}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $e = 0$.
$3$. $\frac{T}{2} \leq t \leq \frac{3T}{4}$ માટે,$i-t$ આલેખ ઋણ અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે. તેથી,$\frac{di}{dt} = \text{અચળ} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $e = -L \frac{di}{dt} = \text{ધન અચળ}$.
$4$. $\frac{3T}{4} \leq t \leq T$ માટે,પ્રવાહ $i$ શૂન્ય છે. તેથી,$\frac{di}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $e = 0$.
આ વિશ્લેષણના આધારે,પ્રેરિત $emf$ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ પ્રથમ અંતરાલ માટે ઋણ અચળ મૂલ્ય,બીજા માટે શૂન્ય,ત્રીજા માટે ધન અચળ મૂલ્ય અને છેલ્લા અંતરાલ માટે શૂન્ય દર્શાવે છે.

(A) કોઈલમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ $i-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$q = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$q = \frac{1}{2} \times 0.1 \, s \times 4 \, A = 0.2 \, C$
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભાર $q$,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi$ અને અવરોધ $R$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$q = \frac{\Delta \phi}{R}$
તેથી,ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય:
$\Delta \phi = q \times R$
$\Delta \phi = 0.2 \, C \times 10 \, \Omega = 2 \, Wb$

(D) ઇન્ડક્ટર પરનો ઇન્ડ્યુસ્ડ વોલ્ટેજ $(V)$ સૂત્ર $V = -L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $I-t$ આલેખ પરથી, પ્રવાહ $t = 0$ થી $t = T/2$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે. આ અંતરાલ દરમિયાન, ઢાળ $\frac{dI}{dt}$ ધન અને અચળ છે. તેથી, $V = -L \times (\text{positive constant}) = \text{negative constant}$.
$t = T/2$ થી $t = T$ સુધી, પ્રવાહ રેખીય રીતે ઘટે છે. આ અંતરાલ દરમિયાન, ઢાળ $\frac{dI}{dt}$ ઋણ અને અચળ છે. તેથી, $V = -L \times (\text{negative constant}) = \text{positive constant}$.
આમ, વોલ્ટેજ $V$ પ્રથમ અડધા ભાગ માટે ઋણ અચળ અને બીજા અડધા ભાગ માટે ધન અચળ છે. આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચું નિરૂપણ એ સ્ક્વેર વેવ છે જ્યાં વોલ્ટેજ $0 < t < T/2$ માટે ઋણ અને $T/2 < t < T$ માટે ધન છે, જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(B) સમય $t = 0$ પર,એટલે કે સ્વિચ બંધ કર્યા પછી તરત જ,ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે પ્રવાહમાં થતા અચાનક ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે શરૂઆતમાં ચાર્જ થયેલું હોતું નથી.
આપેલ સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. ઇન્ડક્ટર ધરાવતી શાખાઓ ઓપન સર્કિટ બની જાય છે.
$2$. માત્ર મધ્યમાં રહેલો અવરોધ $R$ અને અન્ય એક અવરોધ સમાંતરમાં કાર્યરત રહે છે.
$3$. બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R_{eq}}$.
$4$. અહીં $R_{eq} = R/2 = 4.5 \,\Omega$ લેતા,$i = \frac{18}{4.5} = 4.0 \,A$ મળે છે.

(A) ચુંબકની ઝડપ,$v_1 = \frac{2\, m}{1\, s} = 2\, m/s$.
ગૂંચળાની ઝડપ,$v_2 = \frac{1\, m}{0.5\, s} = 2\, m/s$.
ગૂંચળું અને ચુંબક બંને એક જ દિશામાં સમાન વેગથી ગતિ કરતા હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય ત્યારે જ પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થાય છે.
સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોવાથી,ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,ગૂંચળામાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત emf $0\, V$ છે.

(D) $z$-દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વર્તુળાકાર હોય છે અને તે $x-y$ સમતલમાં રહેલી હોય છે.
ચોરસ ગૂંચળું $ABCD$ પણ $x-y$ સમતલમાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દરેક બિંદુએ ગૂંચળાની સપાટીને સ્પર્શક હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોવાથી,ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B$ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B$ હંમેશા શૂન્ય હોવાથી,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = 0$ થાય છે,અને પરિણામે ગૂંચળામાં પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે.

(A) જ્યારે ચુંબક ધાતુની રિંગમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બદલાતા ચુંબકીય ફ્લક્સને કારણે રિંગમાં પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે પ્રેરિત પ્રવાહ પેદા કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ પ્રેરિત પ્રવાહ એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે પડતા ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
આ વિરોધી બળ ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ છે,જે ચુંબકના ચોખ્ખા નીચે તરફના પ્રવેગને $a < g$ જેટલો ઘટાડે છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ચુંબક રિંગ વગર મુક્ત પતન કરતું હોત,તો $t = 1 \, s$ માં કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1)^2 \approx 4.9 \, m$ ($g = 10 \, m/s^2$ નો ઉપયોગ કરતા $5 \, m$) હોત.
ચુંબકનો પ્રવેગ $a$ એ $g$ કરતા ઓછો હોવાથી,કાપેલું અંતર $5 \, m$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $4 \, m$ એ $5 \, m$ કરતા ઓછું છે.

(A) જેમ જેમ વાહક લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઘટાડો થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે આ ઘટાડાનો વિરોધ કરે,જેનો અર્થ છે કે તે સમાન દિશામાં (અંદરની તરફ,$X$ દ્વારા દર્શાવેલ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવશે.
જમણા હાથના નિયમ દ્વારા,આ માટે લૂપમાં ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) પ્રેરિત પ્રવાહની જરૂર પડે છે.
જેহেতু પ્રવાહ લૂપ દ્વારા પ્લેટ $B$ થી પ્લેટ $A$ તરફ વહે છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટ $B$ પર એકઠા થશે અને પ્લેટ $A$ થી દૂર જશે.
તેથી,પ્લેટ $A$ ધન વીજભારિત બને છે અને પ્લેટ $B$ ઋણ વીજભારિત બને છે.

(B) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રેરિત પ્રવાહ હંમેશા તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
$(a)$ જો $I' = 0$ હોય અને $P$ એ $Q$ તરફ ગતિ કરે,તો $Q$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,$Q$ એવો પ્રવાહ પ્રેરિત કરશે જે $P$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો વિરોધ કરે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
$(b)$ જો $I = 0$ હોય અને $Q$ એ $P$ તરફ ગતિ કરે,તો $P$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,$P$ એવો પ્રવાહ પ્રેરિત કરશે જે $Q$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો વિરોધ કરે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ પ્રેરિત પ્રવાહ $I'$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
$(c)$ જ્યારે બે કોઈલમાં સમાન દિશામાં પ્રવાહ વહેતો હોય,ત્યારે તેઓ સમાન દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા બે સમાંતર તાર જેવું વર્તે છે,જે એકબીજાને આકર્ષે છે. તેથી,તેઓ નજીક આવવાનું વલણ ધરાવે છે,દૂર જવાનું નહીં.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = 20 \, mT/sec = 20 \times 10^{-3} \, T/sec$ છે.
ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = (1 \, cm)^2 = (10^{-2} \, m)^2 = 10^{-4} \, m^2$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ લૂપમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$: $e = A \frac{dB}{dt} = 10^{-4} \times 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-6} \, V$ છે.
ચોરસ લૂપનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 4 \times 4 \, \Omega = 16 \, \Omega$ છે.
લૂપમાં વહેતો પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R_{total}} = \frac{2 \times 10^{-6}}{16} = 0.125 \times 10^{-6} \, A = 1.25 \times 10^{-7} \, A$ છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પેજની અંદરની તરફ જતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધતું હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ આ ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે પેજની બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. તેથી,પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેશે.

(B) ગતિ કરતો ઇલેક્ટ્રોન પ્રવાહ $i = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2\pi}$ બનાવે છે.
આ પ્રવાહને કારણે કક્ષાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2R} = \frac{\mu_0 e \omega}{4\pi R}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 e \omega}{4\pi R} \right) (\pi r^2) = \frac{\mu_0 e r^2 \omega}{4R}$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત $e.m.f.$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{\mu_0 e r^2}{4R} \frac{d\omega}{dt}$ છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ હોવાથી,પ્રેરિત $e.m.f.$ નું મૂલ્ય $\varepsilon = \frac{\mu_0 e r^2 \alpha}{4R}$ થાય છે.

(D) ફેરાડેના ઇન્ડક્શનના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d \Phi}{d t} = -A \frac{d B}{d t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
$1$. $0 < t < t_{1}$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી $\frac{d B}{d t} > 0$. આમ,$\varepsilon = -A \frac{d B}{d t}$ એ ઋણ અચળાંક છે.
$2$. $t_{1} < t < t_{2}$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અચળ છે,તેથી $\frac{d B}{d t} = 0$. આમ,$\varepsilon = 0$.
$3$. $t > t_{2}$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,તેથી $\frac{d B}{d t} < 0$. આમ,$\varepsilon = -A \frac{d B}{d t}$ એ ધન અચળાંક છે.
આ પરિણામોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ ઋણ અચળ $emf$,ત્યારબાદ શૂન્ય $emf$,અને પછી ધન અચળ $emf$ દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $D$ છે.

(A) તારથી $x$ અંતરે લૂપમાં $dx$ પહોળાઈની એક પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$ છે.
આ પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi$ છે:
$d\phi = B \cdot dA = \frac{\mu_0 I}{2\pi x} (b \cdot dx) = \frac{\mu_0 I b}{2\pi x} dx$
લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi$ મેળવવા માટે $x = d$ થી $x = d+a$ સુધી સંકલન કરતા:
$\phi = \int_{d}^{d+a} \frac{\mu_0 I b}{2\pi x} dx = \frac{\mu_0 I b}{2\pi} [\ln x]_{d}^{d+a} = \frac{\mu_0 I b}{2\pi} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right)$
આપેલ છે કે $I = I_0 e^{-t/\tau}$,તેથી ફ્લક્સ $\phi(t) = \frac{\mu_0 b I_0}{2\pi} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right) e^{-t/\tau}$ થાય.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત $emf$,$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$:
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_0 b I_0}{2\pi} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right) e^{-t/\tau} \right]$
$\varepsilon = -\frac{\mu_0 b I_0}{2\pi} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right) \left( -\frac{1}{\tau} \right) e^{-t/\tau}$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 b I_0 e^{-t/\tau}}{2\pi \tau} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right) = \frac{\mu_0 b I}{2\pi \tau} \ln \left( \frac{d+a}{d} \right)$

(C) $z$-અક્ષ પર વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ $x-y$ સમતલમાં વર્તુળાકાર લૂપ્સ બનાવે છે,જેનું કેન્દ્ર તાર પર હોય છે.
ચોરસ ગૂંચળું $ABCD$ એ $x-y$ સમતલમાં મૂકવામાં આવ્યું હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સંપૂર્ણપણે ગૂંચળાના સમતલમાં જ રહે છે.
તેથી,ગૂંચળા પરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B}$ એ ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે તે ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ (જે $z$-અક્ષની દિશામાં છે) ને લંબ છે.
ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \int \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{A} = \int B dA \cos 90^{\circ} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ દરેક સમયે શૂન્ય હોવાથી,ગૂંચળામાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ અને પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય હોય છે.

(A) જ્યારે સમાન દિશામાં $i$ પ્રવાહ ધરાવતી બે સમાન કોએક્સિયલ વર્તુળાકાર લૂપ્સ એકબીજાની નજીક આવે છે,ત્યારે દરેક લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,દરેક લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાન દિશામાં હોવાથી,ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ મૂળ પ્રવાહ $i$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેશે.
તેથી,દરેક લૂપમાં ચોખ્ખો પ્રવાહ ઘટશે.

(C) લૂપમાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $B = 2 \, Wb \cdot m^{-2}$,$l = 10 \, cm = 0.1 \, m$,અને $v$ એ વેગ છે.
તેથી,$\varepsilon = 2 \times 0.1 \times v = 0.2 v \, V$.
$3 \, \Omega$ ના પાંચ અવરોધોનું નેટવર્ક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે. બધા અવરોધો સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે અને મધ્યના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. બ્રિજનો અસરકારક અવરોધ $R_{bridge} = \frac{(3+3) \times (3+3)}{(3+3) + (3+3)} = 3 \, \Omega$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{loop} + R_{bridge} = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ છે.
આપેલ સ્થાયી પ્રવાહ $I = 1 \, mA = 10^{-3} \, A$ માટે,ઓહ્મના નિયમ મુજબ: $I = \frac{\varepsilon}{R_{total}}$.
$10^{-3} = \frac{0.2 v}{4}$.
$0.2 v = 4 \times 10^{-3}$.
$v = \frac{4 \times 10^{-3}}{0.2} = 20 \times 10^{-3} \, m \cdot s^{-1} = 0.02 \, m \cdot s^{-1} = 2 \, cm \cdot s^{-1}$.