Mix Examples-Electromagnetic Induction Questions in Gujarati

(D) પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -N A \frac{dB}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલનો અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A_w}$ છે,જ્યાં $\ell = N(2\pi r)$ એ તારની કુલ લંબાઈ છે અને $A_w = \pi r_w^2$ એ તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
વ્યય થતો પાવર $P = \frac{\varepsilon^2}{R} = \frac{(N A \frac{dB}{dt})^2}{\rho \frac{N(2\pi r)}{\pi r_w^2}} = \frac{N^2 A^2 (dB/dt)^2 \cdot r_w^2}{2 \rho N r} = \frac{N A^2 (dB/dt)^2 r_w^2}{2 \rho r}$ થાય.
આપેલ છે: $N' = N/2$ અને $r_w' = 2r_w$.
$P' = \frac{(N/2) A^2 (dB/dt)^2 (2r_w)^2}{2 \rho r} = \frac{(N/2) A^2 (dB/dt)^2 (4r_w^2)}{2 \rho r} = 2 \times \frac{N A^2 (dB/dt)^2 r_w^2}{2 \rho r} = 2P$.
આમ,વ્યય થતો પાવર બમણો થશે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,જ્યારે કી $K$ લાંબા સમય સુધી $ON$ રહે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર્સ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (આદર્શ ઇન્ડક્ટર્સનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે).
બધા અવરોધો સમાન હોવાથી અને વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,દરેક અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ જેટલો હોય છે.
આમ,સૌથી જમણી બાજુના અવરોધમાંથી પ્રવાહ $I$ (નીચેની તરફ),વચ્ચેના અવરોધમાંથી $I$ (નીચેની તરફ) અને સૌથી ડાબી બાજુના અવરોધમાંથી $I$ (નીચેની તરફ) વહે છે.
પ્રથમ ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I + I = 2I$ (જમણી તરફ) છે અને બીજા ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ (જમણી તરફ) છે.
જ્યારે કી $K$ ને $OFF$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ તરત બદલાતો નથી.
પ્રથમ ઇન્ડક્ટરમાંથી $2I$ પ્રવાહ ડાબી બાજુના અવરોધ સાથેના લૂપમાં વહે છે,જેનાથી ડાબી બાજુના અવરોધમાં પ્રવાહ $2I$ ઉપરની તરફ વહે છે.
બીજા ઇન્ડક્ટરમાંથી $I$ પ્રવાહ વચ્ચેના અવરોધ સાથેના લૂપમાં વહે છે,જેનાથી વચ્ચેના અવરોધમાં પ્રવાહ $I$ નીચેની તરફ વહે છે.
જમણી બાજુના અવરોધમાં પ્રવાહ $I$ નીચેની તરફ વહેવાનું ચાલુ રાખે છે કારણ કે તે બીજા ઇન્ડક્ટર સાથેના લૂપનો ભાગ છે.
તેથી,ડાબેથી જમણે ત્રણ અવરોધોમાંથી વહેતો પ્રવાહ $2I$ ઉપરની તરફ,$I$ નીચેની તરફ અને $I$ નીચેની તરફ છે.

(A) જ્યારે ગજિયો ચુંબક સોલેનોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પ્રેરિત પ્રવાહ વહેવડાવે છે,જેના પરિણામે કોણાવર્તન $\theta$ જોવા મળે છે.
જ્યારે ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ સોલેનોઇડની નજીક આવે છે,ત્યારે ફ્લક્સ વધે છે,જે એક દિશામાં પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે (ધારો કે,ધન કોણાવર્તન).
જેમ જેમ ચુંબક સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેમ ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો દર શૂન્ય થાય છે,તેથી કોણાવર્તન શૂન્ય થઈ જાય છે.
જેમ જેમ ચુંબક સોલેનોઇડની બહાર નીકળે છે,તેમ ફ્લક્સ ઘટે છે,જે વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે (ઋણ કોણાવર્તન).
આ પ્રક્રિયાને કારણે એક દિશામાં કોણાવર્તનનો પલ્સ અને ત્યારબાદ વિરુદ્ધ દિશામાં કોણાવર્તનનો પલ્સ મળે છે,જે આલેખ $A$ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 500$
ક્ષેત્રફળ $A = 50 \,cm^2 = 50 \times 10^{-4} \,m^2 = 5 \times 10^{-3} \,m^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.14 \,Wb/m^2$
કોણીય ઝડપ $\omega = 150 \,rad/s$
આંતરિક અવરોધ $r = 5 \,\Omega$
બાહ્ય અવરોધ $R = 10 \,\Omega$
મહત્તમ પ્રેરિત $e.m.f.$ નું સૂત્ર $\varepsilon_{\max} = N B A \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = 500 \times 0.14 \times (5 \times 10^{-3}) \times 150$
$\varepsilon_{\max} = 500 \times 0.14 \times 0.005 \times 150 = 52.5 \,V$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r = 10 \,\Omega + 5 \,\Omega = 15 \,\Omega$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{\max}$ નું સૂત્ર $I_{\max} = \frac{\varepsilon_{\max}}{R_{total}}$ છે.
$I_{\max} = \frac{52.5}{15} = 3.5 \,A$.

(C) $t=0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે અને કેપેસિટર $C$ શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે. પરિપથ બેટરી $E$,અવરોધ $R$ અને કેપેસિટર શાખાના અવરોધ $R$ ના શ્રેણી જોડાણ જેવો બને છે. કુલ અવરોધ $R+R=2R$ થાય છે. તેથી,પ્રવાહ $I_0 = \frac{E}{2R}$ મળે છે.
$t \rightarrow \infty$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે અને કેપેસિટર $C$ ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે વર્તે છે. પરિપથ બેટરી $E$,અવરોધ $R$ અને ઇન્ડક્ટર શાખાના અવરોધ $R$ ના શ્રેણી જોડાણ જેવો બને છે. કુલ અવરોધ $R+R=2R$ થાય છે. તેથી,પ્રવાહ $I_{\infty} = \frac{E}{2R}$ મળે છે.
આમ,$t=0$ અને $t=\infty$ સમયે પ્રવાહનો ગુણોત્તર $\frac{I_0}{I_{\infty}} = \frac{E/2R}{E/2R} = 1: 1$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: $\frac{ dI }{ dt } = -1 \text{ A/s}$,$I = 2 \text{ A}$,$R = 12 \, \Omega$,$L = 6 \text{ H}$,$E = 12 \text{ V}$.
પ્રવાહની દિશામાં બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - IR - L \frac{ dI }{ dt } - E = V_B$
$V_A - V_B = IR + L \frac{ dI }{ dt } + E$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{AB} = (2 \times 12) + (6 \times -1) + 12$
$V_{AB} = 24 - 6 + 12$
$V_{AB} = 30 \text{ V}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ સ્થાન $x$ સાથે $\frac{dB}{dx} = -10^{-3} \text{ T/cm} = -0.1 \text{ T/m}$ મુજબ બદલાય છે.
સંકલન કરતા,$B(x) = B_0 - 0.1x$.
લૂપ $v = 5 \text{ cm/s} = 0.05 \text{ m/s}$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
સ્થાનિક ઢાળને કારણે ઉદ્ભવતું ગતિકીય emf $\varepsilon_{\text{mot}} = v \cdot \ell \cdot \Delta B$ છે.
અહીં $\ell = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ અને $\Delta x = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$.
$\Delta B = |\frac{dB}{dx}| \cdot \Delta x = 10^{-3} \text{ T/cm} \cdot 12 \text{ cm} = 1.2 \times 10^{-2} \text{ T}$.
$\varepsilon_{\text{mot}} = 0.05 \text{ m/s} \cdot 0.05 \text{ m} \cdot 1.2 \times 10^{-2} \text{ T} = 300 \times 10^{-7} \text{ V}$.
સમય સાથે બદલાતા ક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવતું emf $\varepsilon_{\text{ind}} = -A \frac{dB}{dt} = 60 \times 10^{-7} \text{ V}$.
કુલ emf $\varepsilon_{\text{net}} = \varepsilon_{\text{mot}} + \varepsilon_{\text{ind}} = 360 \times 10^{-7} \text{ V}$.
પાવર $P = \frac{\varepsilon_{\text{net}}^2}{R} = \frac{(360 \times 10^{-7})^2}{6 \times 10^{-3}} = 216 \times 10^{-9} \text{ W}$.

$(A)$ જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને તાર સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે તે $R$ અવરોધ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે, જેનાથી ઉષ્મીય ઊર્જા $(q)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
$(B)$ ગતિકીય $EMF$ $e = Blv$ પ્રેરિત થાય છે. આનાથી છેડાઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(r)$ અને વિદ્યુતભારનું અલગીકરણ $(s)$ થાય છે. તાર પરિપથમાં હોવાથી, પ્રવાહ વહે છે અને ઉષ્મીય ઊર્જા $(q)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
$(C)$ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં, વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = El$ ઉદભવે છે $(r)$ અને છેડાઓ પર વિદ્યુતભારો દેખાય છે $(s)$।
$(D)$ બેટરી અચળ $EMF$ પૂરું પાડે છે, જેના પરિણામે તારમાં અચળ પ્રવાહ $(p)$, ઉષ્મીય ઊર્જા $(q)$ અને અચળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(r)$ જોવા મળે છે.

(A) વિધાન-$1$ સાચું છે: જ્યારે ગૂંચળામાંથી એસી $(AC)$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે. ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર વાહક રિંગમાં ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.
વિધાન-$2$ સાચું છે: ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સંપૂર્ણપણે ઉભી હોતી નથી; જ્યારે તે લોખંડના સળિયામાંથી બહાર આવે છે ત્યારે તેનો ત્રિજ્યાવર્તી (radial) ઘટક હોય છે. રિંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ક્ષેત્રના આ ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક સાથે આંતરક્રિયા કરે છે. લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ $(F = I(L \times B))$ મુજબ,આ આંતરક્રિયા રિંગ પર ઉપરની તરફ બળ ઉત્પન્ન કરે છે. ગૂંચળામાં પ્રવાહ એસી $(AC)$ હોવાથી,રિંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહ પણ બદલાતો રહે છે,પરંતુ સરેરાશ બળ ઉપરની દિશામાં જ રહે છે,જે રિંગને એવી સ્થિર સ્થિતિમાં તરતી રાખે છે જ્યાં આ ઉપરનું ચુંબકીય બળ નીચે તરફના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે અનંત લંબાઈના તારમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે. તારથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ છે.
તારથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ પટ્ટીની લંબાઈ $2x$ છે (કારણ કે ત્રિકોણ $10 \ cm = 0.1 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતો કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે).
આ પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi x}\right) (2x \ dx) = \frac{\mu_0 I}{\pi} dx$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \int_0^{0.1} \frac{\mu_0 I}{\pi} dx = \frac{\mu_0 I}{\pi} [x]_0^{0.1} = \frac{0.1 \mu_0 I}{\pi} = \frac{\mu_0 I}{10 \pi}$ છે.
આમ,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0}{10 \pi}$ છે.
તારમાં પ્રેરિત emf $\varepsilon = M \frac{dI}{dt} = \left(\frac{\mu_0}{10 \pi}\right) \times 10 = \frac{\mu_0}{\pi} \ V$ છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,તારમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. લૂપમાં પ્રવાહ વધતો હોવાથી,ફ્લક્સ વધે છે. તારમાં પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે લૂપના ક્ષેત્રનો વિરોધ કરતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે,જેના પરિણામે અપાકર્ષી બળ લાગે છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(B) $t=0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર્સ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે તેઓ પ્રવાહના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. તેથી,પ્રવાહ ફક્ત $12 \text{ } \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે.
$I_{\min} = \frac{V}{R} = \frac{5}{12} \text{ A}$.
$t \rightarrow \infty$ સમયે,ઇન્ડક્ટર્સ આદર્શ વાહક તાર (શોર્ટ સર્કિટ) તરીકે વર્તે છે કારણ કે પ્રવાહ સ્થિર થઈ જાય છે. હવે સર્કિટમાં ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં છે: $3 \text{ } \Omega$,$4 \text{ } \Omega$,અને $12 \text{ } \Omega$.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eff}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{\text{eff}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{4+3+1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \text{ } \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{\text{eff}} = 1.5 \text{ } \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{\max} = \frac{V}{R_{\text{eff}}} = \frac{5}{1.5} = \frac{10}{3} \text{ A}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{10/3}{5/12} = \frac{10}{3} \times \frac{12}{5} = 2 \times 4 = 8$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: $m = 20 \times 10^{-3} \text{ kg}$,$\ell = 0.25 \text{ m}$,$R = 10 \text{ }\Omega$,$B = 4 \text{ T}$,$g = 10 \text{ m s}^{-2}$.
ગતિનું સમીકરણ $mg - Bi\ell = m \frac{dv}{dt}$ છે. $i = \frac{B\ell v}{R}$ હોવાથી,$mg - \frac{B^2\ell^2 v}{R} = m \frac{dv}{dt}$ મળે.
પુનઃગોઠવણ કરતા $\frac{dv}{dt} = \frac{B^2\ell^2}{mR} (v_T - v)$ મળે,જ્યાં $v_T = \frac{mgR}{B^2\ell^2}$ એ ટર્મિનલ વેગ છે.
$v_T = \frac{20 \times 10^{-3} \times 10 \times 10}{4^2 \times (0.25)^2} = \frac{2}{16 \times 0.0625} = 2 \text{ m s}^{-1}$.
સમય અચળાંક $\tau = \frac{mR}{B^2\ell^2} = \frac{20 \times 10^{-3} \times 10}{1} = 0.2 \text{ s}$.
$t$ સમયે વેગ $v(t) = v_T(1 - e^{-t/\tau}) = 2(1 - e^{-t/0.2})$ છે.
$t = 0.2 \text{ s}$ સમયે,$v = 2(1 - e^{-1}) = 2(1 - 0.4) = 1.2 \text{ m s}^{-1}$.
$(P)$ પ્રેરિત emf $E = Bv\ell = 4 \times 1.2 \times 0.25 = 1.2 \text{ V}$. ($3$ સાથે સુસંગત)
$(Q)$ ચુંબકીય બળ $F_m = Bi\ell = \frac{B^2\ell^2 v}{R} = \frac{16 \times 0.0625 \times 1.2}{10} = 0.12 \text{ N}$. ($4$ સાથે સુસંગત)
$(R)$ પાવર $P = \frac{E^2}{R} = \frac{(1.2)^2}{10} = 0.144 \text{ W}$. ($2$ સાથે સુસંગત)
$(S)$ ટર્મિનલ વેગ $v_T = 2.00 \text{ m s}^{-1}$. ($5$ સાથે સુસંગત)
આમ,$P \rightarrow 3, Q \rightarrow 4, R \rightarrow 2, S \rightarrow 5$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) બંને લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વિરુદ્ધ દિશામાં છે કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં વીંટળાયેલા છે. ધારો કે નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને મોટા લૂપનું ક્ષેત્રફળ $2A$ છે.
$t$ સમયે તંત્રમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B(2A - A) \cos \omega t = BA \cos \omega t$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(BA \cos \omega t) = BA \omega \sin \omega t$ છે.
$1$. ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર $\frac{d\phi}{dt} = -BA \omega \sin \omega t$ છે. આ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin \omega t = \pm 1$,એટલે કે $\omega t = \pi/2, 3\pi/2, \dots$ હોય. આ સમયે,લૂપનું સમતલ કાગળના સમતલને લંબ હોય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. કુલ emf $\varepsilon = BA \omega \sin \omega t$ છે,જે $\sin \omega t$ ના પ્રમાણમાં છે,$\cos \omega t$ ના નહીં. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$3$. emf એ ક્ષેત્રફળના તફાવત $(2A - A) = A$ ના પ્રમાણમાં છે,સરવાળા $(2A + A) = 3A$ ના નહીં. તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$4$. કુલ પ્રેરિત emf નો કંપવિસ્તાર $BA \omega$ છે. માત્ર નાના લૂપમાં પ્રેરિત emf $\varepsilon_1 = -\frac{d}{dt}(BA \cos \omega t) = BA \omega \sin \omega t$ છે,જેનો કંપવિસ્તાર $BA \omega$ છે. આમ,કંપવિસ્તાર સમાન છે. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $A$ અને $D$ છે.

(A) ધારો કે અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ છે,અને ઇન્ડક્ટર્સ $L_1$ અને $L_2$ માંથી વહેતા પ્રવાહ અનુક્રમે $i_1$ અને $i_2$ છે.
$t=0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર્સ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે પ્રવાહમાં ત્વરિત ફેરફાર થઈ શકતો નથી. તેથી,અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $0$ છે.
$t > 0$ માટે,$L_1$ અને $L_2$ ના સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ સમાન હોય છે. તેથી,$V_{L1} = V_{L2} \implies L_1 \frac{di_1}{dt} = L_2 \frac{di_2}{dt}$.
સમયની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $L_1 i_1 = L_2 i_2$ મળે છે (ધારીએ કે શરૂઆતનો પ્રવાહ શૂન્ય છે). આ સૂચવે છે કે $\frac{i_1}{i_2} = \frac{L_2}{L_1}$,તેથી પ્રવાહનો ગુણોત્તર દરેક સમયે નિશ્ચિત રહે છે.
લાંબા સમય પછી,ઇન્ડક્ટર્સ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (આદર્શ ઇન્ડક્ટર્સ). કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R}$.
કારણ કે $i_1 + i_2 = i = \frac{V}{R}$ અને $L_1 i_1 = L_2 i_2$,તેથી $i_2 = \frac{L_1}{L_2} i_1$.
આને પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા: $i_1 + \frac{L_1}{L_2} i_1 = \frac{V}{R} \implies i_1 \left( \frac{L_1+L_2}{L_2} \right) = \frac{V}{R} \implies i_1 = \frac{V}{R} \frac{L_2}{L_1+L_2}$.
તે જ રીતે,$i_2 = \frac{V}{R} \frac{L_1}{L_1+L_2}$.
આમ,વિકલ્પો $A, B,$ અને $C$ સાચા છે.

(B) જ્યારે સોલેનોઇડમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,જેનાથી પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ ઉત્પન્ન થાય છે.
રીંગમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ છે,જ્યાં $R = \rho \frac{L}{A_{cs}}$ એ રીંગનો અવરોધ છે ($L$ એ પરિઘ છે,$A_{cs}$ એ વાયરનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે).
રીંગ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = i L B_r$ છે,જ્યાં $B_r$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક છે. કારણ કે $i \propto \frac{1}{\rho}$,તેથી ઈમ્પલ્સ $J = \int F dt = \int i L B_r dt \propto \frac{1}{\rho} \int \frac{d\phi}{dt} dt = \frac{\Delta \phi}{\rho}$.
ઈમ્પલ્સ-મોમેન્ટમ પ્રમેય મુજબ,$J = m v$,તેથી $v = \frac{J}{m} \propto \frac{1}{\rho m}$.
પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $h = \frac{v^2}{2g} \propto \frac{1}{\rho^2 m^2}$ છે.
આપેલ છે કે $h_A > h_B$,તેથી $\frac{1}{\rho_A^2 m_A^2} > \frac{1}{\rho_B^2 m_B^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\rho_A m_A < \rho_B m_B$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ જો $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A = m_B$,તો $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (ખોટું).
$(B)$ જો $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A = m_B$,તો $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (સાચું).
$(C)$ જો $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A > m_B$,તો $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (ખોટું).
$(D)$ જો $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A < m_B$,તો $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (સાચું).
આમ,શક્ય સંબંધો $(B)$ અને $(D)$ છે.

(A,C) લૂપનો અવરોધ શૂન્ય હોવાથી,તેમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહેવું જોઈએ. શરૂઆતમાં,ફ્લક્સ શૂન્ય છે,તેથી તે શૂન્ય જ રહેવું જોઈએ.
$(1)$ ડાયપોલને કારણે લૂપ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{m}{r^3}$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 m}{2 \pi r^3} \cdot \pi a^2$ છે.
કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય રાખવા માટે,લૂપ એક પ્રવાહ $i$ પ્રેરિત કરે છે જેથી $L i + \phi = 0$,જ્યાં $L$ એ લૂપનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
તેથી,$i = -\frac{\phi}{L} = -\frac{\mu_0 m a^2}{2 L r^3}$.
આમ,$i \propto \frac{m}{r^3}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$(2)$ લૂપની પ્રેરિત ચુંબકીય મોમેન્ટ $m' = i \cdot A = i \cdot \pi a^2 \propto \frac{m}{r^3}$ છે.
ડાયપોલ $m$ અને લૂપ (જે ડાયપોલ $m'$ તરીકે કાર્ય કરે છે) વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k m m'}{r^4} \propto \frac{m (m/r^3)}{r^4} = \frac{m^2}{r^7}$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int_{\infty}^{r} F \cdot dr = \int_{\infty}^{r} \frac{C m^2}{r^7} dr$ (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).
$W \propto m^2 \int_{\infty}^{r} r^{-7} dr = m^2 [\frac{r^{-6}}{-6}]_{\infty}^{r} \propto \frac{m^2}{r^6}$.
સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) સોલેનોઈડનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \mu_0 m I \hat{n}$ છે. લૂપ $xy$-સમતલમાં છે,તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A} = A\hat{k}$ છે.
$(I)$ $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \omega t \hat{j} + \cos \omega t \hat{k})$. ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = \frac{\mu_0 m I A}{\sqrt{2}} \cos \omega t$. પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = \frac{\mu_0 m I A \omega}{\sqrt{2}} \sin \omega t$. પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R}$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = i A \hat{k} = \frac{\mu_0 m I A^2 \omega}{\sqrt{2} R} \sin \omega t \hat{k}$. ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B} = \frac{\mu_0^2 m^2 I^2 A^2 \omega}{2R} \sin^2 \omega t (\hat{k} \times \hat{j}) = \alpha \sin^2 \omega t (-\hat{i})$. $t = \frac{\pi}{6\omega}$ સમયે,$\sin^2(\pi/6) = 1/4$,તેથી $\vec{\tau} = -\frac{\alpha}{4} \hat{i}$ $(Q)$.
$(II)$ $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \omega t \hat{i} + \cos \omega t \hat{j})$. અહીં $\vec{B} \cdot \hat{k} = 0$,તેથી $\phi = 0$,$\varepsilon = 0$,$i = 0$,$\vec{\tau} = 0$ $(P)$.
$(III)$ $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \omega t \hat{i} + \cos \omega t \hat{k})$. ફ્લક્સ $\phi = \frac{\mu_0 m I A}{\sqrt{2}} \cos \omega t$. $(I)$ ની જેમ જ,$i = \frac{\mu_0 m I A \omega}{\sqrt{2} R} \sin \omega t$. $\vec{M} = i A \hat{k}$. $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B} = \alpha \sin^2 \omega t (\hat{k} \times \hat{i}) = \alpha \sin^2 \omega t \hat{j}$. $t = \frac{\pi}{6\omega}$ સમયે,$\vec{\tau} = \frac{\alpha}{4} \hat{j}$ $(S)$.
$(IV)$ $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \omega t \hat{j} + \sin \omega t \hat{k})$. ફ્લક્સ $\phi = \frac{\mu_0 m I A}{\sqrt{2}} \sin \omega t$. $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{\mu_0 m I A \omega}{\sqrt{2}} \cos \omega t$. $i = -\frac{\mu_0 m I A \omega}{\sqrt{2} R} \cos \omega t$. $\vec{M} = i A \hat{k}$. $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B} = \alpha \cos^2 \omega t (-\hat{k} \times \hat{j}) = \alpha \cos^2 \omega t \hat{i}$. $t = \frac{\pi}{6\omega}$ સમયે,$\cos^2(\pi/6) = 3/4$,તેથી $\vec{\tau} = \frac{3\alpha}{4} \hat{i}$ $(R)$.

(A) $(P)$ જ્યારે $t = 0$ સમયે $K_1$ બંધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઇન્ડક્ટર $L$ પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. તેથી, સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_1 = 0 \text{ A}$ છે. આમ, $P \rightarrow 1$.
$(Q)$ લાંબા સમય પછી, ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (આદર્શ વાયર) તરીકે વર્તે છે. સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_2$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I_2 = \frac{V}{R_0} = \frac{20}{5} = 4 \text{ A}$. આમ, $Q \rightarrow 3$.
$(R)$ જ્યારે $K_2$ બંધ કરવામાં આવે છે અને $K_1$ ખોલવામાં આવે છે, ત્યારે ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર $LC$ ઓસિલેટર સર્કિટ બનાવે છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC_0}}$ છે.
આપેલ છે $L = 25 \text{ mH} = 25 \times 10^{-3} \text{ H}$ અને $C_0 = 10 \text{ } \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$.
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{25 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{250 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{2.5 \times 10^{-7}}} = \frac{1}{0.5 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^3 \text{ rad/s} = 2 \text{ કિલો-રેડિયન/સેકન્ડ}$. આમ, $R \rightarrow 2$.
$(S)$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2} L I_2^2 = \frac{1}{2} C_0 V_0^2$.
$25 \times 10^{-3} \times (4)^2 = 10 \times 10^{-6} \times V_0^2$.
$25 \times 10^{-3} \times 16 = 10^{-5} \times V_0^2$.
$400 \times 10^{-3} = 10^{-5} \times V_0^2$.
$V_0^2 = 400 \times 10^2 = 40000$.
$V_0 = 200 \text{ V}$. આમ, $S \rightarrow 5$.

(D) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1 \text{ H}$, અવરોધ $R = 2 \Omega$, $EMF$ $E = 5 \text{ V}$, પ્રવાહ $i = 2 \text{ A}$, અને પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = 1 \text{ A/s}$.
બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$V_{A} - L\frac{di}{dt} - E - iR = V_{B}$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{A} - V_{B}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$V_{A} - V_{B} = L\frac{di}{dt} + E + iR$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V_{A} - V_{B} = (1 \text{ H} \times 1 \text{ A/s}) + 5 \text{ V} + (2 \text{ A} \times 2 \Omega)$
$V_{A} - V_{B} = 1 \text{ V} + 5 \text{ V} + 4 \text{ V}$
$V_{A} - V_{B} = 10 \text{ V}$

(D) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$0 \leq t \leq \frac{\pi}{\omega}$ માટે,લૂપ $y \geq 0$ વિસ્તારમાં છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $Z$-અક્ષ સાથે $\theta = \omega t$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\phi = B_0(\cos \omega t) A \sin(\omega t) = \frac{B_0 A}{2} \sin(2\omega t)$.
પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} \left( \frac{B_0 A}{2} \sin(2\omega t) \right) = -B_0 A \omega \cos(2\omega t)$,જ્યારે $0 \leq t \leq \frac{\pi}{\omega}$.
$\frac{\pi}{\omega} \leq t \leq \frac{2\pi}{\omega}$ માટે,લૂપ $y \leq 0$ વિસ્તારમાં છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે,તેથી $\phi = 0$ અને $\varepsilon = 0$.
આ ભાત પુનરાવર્તિત થાય છે,જે વિકલ્પ $D$ ના આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B_0 L x$ બદલાય છે,જ્યાં $x$ એ લૂપ દ્વારા કાપેલું અંતર છે. પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{d\phi}{dt} = B_0 L v$ છે. પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B_0 L v}{R}$ છે.
અગ્રણી ધાર પરનું ચુંબકીય બળ $F = i L B_0 = \frac{B_0^2 L^2 v}{R}$ છે. આ બળ ગતિનો વિરોધ કરતું હોવાથી,$M a = -\frac{B_0^2 L^2 v}{R}$.
$K = \frac{B_0^2 L^2}{RM}$ આપેલ હોવાથી,$a = -K v$,અથવા $\frac{dv}{dt} = -K v$.
આનું સંકલન કરતા,$v(t) = v_0 e^{-Kt}$ મળે છે.
કાપેલું અંતર $x(t) = \int_0^t v(t) dt = \frac{v_0}{K}(1 - e^{-Kt})$.
લૂપ સંપૂર્ણપણે અંદર પ્રવેશવા માટે,$x$ એ $L$ સુધી પહોંચવું જોઈએ. તેથી $L = \frac{v_0}{K}(1 - e^{-Kt_{entry}})$.
$(A)$ જો $v_0 = 1.5 KL$ હોય,તો $L = \frac{1.5 KL}{K}(1 - e^{-Kt}) \Rightarrow 1 = 1.5(1 - e^{-Kt}) \Rightarrow e^{-Kt} = 1 - \frac{1}{1.5} = \frac{1}{3}$. $e^{-Kt} > 0$ હોવાથી,લૂપ સંપૂર્ણપણે પ્રવેશે છે. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે અંદર હોય,ત્યારે ફ્લક્સ $\phi = B_0 L^2$ અચળ રહે છે,તેથી $\frac{d\phi}{dt} = 0$,$\varepsilon = 0$,$i = 0$,અને $F = 0$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ લૂપ માત્ર $t \to \infty$ સમયે સ્થિર થાય છે. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
$(D)$ $v_0 = 3 KL$ માટે,$L = \frac{3 KL}{K}(1 - e^{-Kt}) \Rightarrow \frac{1}{3} = 1 - e^{-Kt} \Rightarrow e^{-Kt} = \frac{2}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{K} \ln(\frac{3}{2})$. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(B)$ અને $(D)$ છે.

(C) $DC$ મોટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે વિદ્યુત ઊર્જાનું યાંત્રિક ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે. તે પ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતા ચુંબકીય બળના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જે ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
$DC$ જનરેટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે યાંત્રિક ઊર્જાનું $DC$ સ્વરૂપમાં વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે. તે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,અને પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.

(D) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,તારમાં વહેતા પ્રવાહ $I$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારની ઉપરના ભાગ માટે (જ્યાં રીંગ $P$ આવેલી છે) બહારની તરફ અને તારની નીચેના ભાગ માટે (જ્યાં રીંગ $Q$ આવેલી છે) અંદરની તરફ હોય છે.
જેમ કે પ્રવાહ $I$ સતત વધી રહ્યો છે,બંને રીંગોમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધી રહ્યું છે.
રીંગ $P$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બહારની તરફ છે અને વધી રહ્યું છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. તેથી,રીંગ $P$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) હોવો જોઈએ.
રીંગ $Q$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે અને વધી રહ્યું છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે બહારની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. તેથી,રીંગ $Q$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આકૃતિ $D$ પ્રેરિત પ્રવાહની સાચી દિશાઓ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે: પ્રવાહ $i = 5 \, A$, અવરોધ $R = 1 \, \Omega$, ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \, mH = 5 \times 10^{-3} \, H$, વિદ્યુતચાલક બળ $E = 15 \, V$.
પ્રવાહ ઘટી રહ્યો છે, તેથી $\frac{di}{dt} = -10^3 \, A/s$.
બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - iR + E - L\left(\frac{di}{dt}\right) = V_B$
$V_A - V_B = iR + L\left(\frac{di}{dt}\right) - E$
કિંમતો મૂકતા:
$V_A - V_B = (5 \, A \times 1 \, \Omega) + (5 \times 10^{-3} \, H \times -10^3 \, A/s) - 15 \, V$
$V_A - V_B = 5 - 5 - 15 = -15 \, V$
તેથી, $V_B - V_A = 15 \, V$.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$N$ આંટા ધરાવતી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ સમયમાં ફ્લક્સ $\phi_1$ થી $\phi_2$ માં થતા ફેરફાર માટે,સરેરાશ પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|e| = N \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t}$ થાય.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ એ કોઈલ અને ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધનો સરવાળો છે: $R_{total} = R + 6R = 7R$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{N|\phi_2 - \phi_1|}{7Rt}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: ચોરસ લૂપની બાજુ $L = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$, ઝડપ $v = 2 \,cm \,s^{-1} = 2 \times 10^{-2} \,m \,s^{-1}$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5 \,T$.
$(i)$ જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે $(0 < t < 1 \,s)$: આગળની ધાર ક્ષેત્રની અંદર છે અને ફ્લક્સ વધે છે. પ્રેરિત emf $\varepsilon = -B L v = -(0.5)(2 \times 10^{-2})(2 \times 10^{-2}) = -2 \times 10^{-4} \,V$ છે. ઘડિયાળના કાંટાની દિશા ધન હોવાથી, પ્રેરિત emf ઋણ છે.
(ii) જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર હોય $(1 < t < 5 \,s)$: લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ છે, તેથી $\frac{d\phi}{dt} = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\varepsilon = 0$.
(iii) જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે $(5 < t < 6 \,s)$: ફ્લક્સ ઘટે છે. પ્રેરિત emf $\varepsilon = +B L v = +(0.5)(2 \times 10^{-2})(2 \times 10^{-2}) = +2 \times 10^{-4} \,V$ છે.
આમ, આલેખ $t=0$ થી $t=1 \,s$ સુધી ઋણ પલ્સ અને $t=5$ થી $t=6 \,s$ સુધી ધન પલ્સ દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(A) જેમ ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે,તેમ તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ લૂપમાંથી પસાર થાય છે,જેનાથી ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન લૂપની નજીક આવે છે,તેમ લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિને કારણે ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા (ઋણ વિદ્યુતભાર માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને) એવા ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરે છે જે આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે પ્રવાહને પ્રેરિત કરે છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન લૂપની આગળ નીકળી જાય છે,તેમ લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. ત્યારબાદ પ્રેરિત પ્રવાહ આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે તેની દિશા બદલે છે.
તેથી,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા અચળ નથી; તે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ સાથે બદલાય છે,તેથી તે ચલિત (variable) છે.

(A) જ્યારે સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતી બે વર્તુળાકાર કોઈલ્સને એકબીજાથી દૂર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે એક કોઈલ દ્વારા બીજી કોઈલના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટે છે.
આના પરિણામે દરેક કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઘટાડો થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,આ સિસ્ટમ ફ્લક્સમાં થતા આ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે અને એક પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન કરે છે જે કોઈલ્સમાં વિદ્યુતપ્રવાહને વધારવાનું કાર્ય કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ જાળવી રાખવા માટે બંને કોઈલ્સમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વધશે.

(D) આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ અને અન્યોન્ય-પ્રેરકત્વ $(M)$ બંનેનો એકમ સમાન હોય છે.
બંનેને એકમ પ્રવાહ $(I)$ દીઠ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$M = L = \frac{\phi}{I}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ નો એકમ વેબર $(\text{wb})$ છે અને પ્રવાહ $(I)$ નો એકમ એમ્પીયર $(\text{A})$ છે.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ અને અન્યોન્ય-પ્રેરકત્વ બંનેનો એકમ $\text{wb A}^{-1}$ (જેને હેનરી $(\text{H})$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) થાય છે.
આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(A) આપેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ નીચે મુજબ છે,
આપેલ છે,$I = 10 \ A$
$\therefore \quad \frac{dI}{dt} = 10^2 \ A \ s^{-1}$
ઇન્ડક્ટર કોઈલ પર પ્રેરિત emf,
$e = L \frac{dI}{dt} = 5 \times 10^{-3} \times 10^2 = 0.5 \ V$
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા,
$V_{AB} + 2 \times 10 - 12 - 0.5 = 0$
$V_{AB} + 20 - 12.5 = 0$
$V_{AB} + 7.5 = 0$
$V_{AB} = -7.5 \ V$

(D) $AC$ જનરેટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. તે ટર્બાઇન અથવા એન્જિન દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી યાંત્રિક ઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલને ફેરવે છે. આ પરિભ્રમણ કોઈલ સાથે સંકળાયેલા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરે છે,જેનાથી વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે અને વિદ્યુત પ્રવાહ મળે છે. તેથી,તે યાંત્રિક ઊર્જાનું વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.

(D) મુક્ત અવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0$ નો $SI$ એકમ હેન્રી પ્રતિ મીટર $(H \cdot m^{-1})$ છે.
સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ ના સૂત્ર પરથી,$\mu_0$ નો એકમ $\frac{H \cdot m}{m^2} = H \cdot m^{-1}$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $A$ એકમ છે.
$L = \frac{\phi}{I}$ હોવાથી,$L$ નો એકમ $Wb \cdot A^{-1}$ છે. આને $\mu_0$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,$\frac{Wb \cdot A^{-1} \cdot m}{m^2} = Wb \cdot A^{-1} \cdot m^{-1}$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $B$ એકમ છે.
$L = \frac{e}{dI/dt}$ હોવાથી,$L$ નો એકમ $\frac{V}{A \cdot s^{-1}} = V \cdot s \cdot A^{-1} = \Omega \cdot s$ છે. આને $\mu_0$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,$\frac{\Omega \cdot s \cdot m}{m^2} = \Omega \cdot s \cdot m^{-1}$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $C$ એકમ છે.
વિકલ્પ $D$ (વોલ્ટ $\cdot$ સેકન્ડ $\cdot$ મીટર$^{-1}$) એ $V \cdot s \cdot m^{-1}$ ને સમાન છે. તારવેલા એકમો સાથે સરખાવતા,તેમાં પરમિયેબિલિટી માટે જરૂરી $A^{-1}$ અવયવનો અભાવ છે. તેથી,તે પરમિયેબિલિટીનો એકમ નથી.

(C) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 2t^2 + 3t - 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$e = -\frac{d}{dt}(2t^2 + 3t - 2) = -(4t + 3)$.
પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $|e| = 4t + 3$ છે.
$t = 3 \ s$ સમયે,પ્રેરિત $EMF$ $|e| = 4(3) + 3 = 12 + 3 = 15 \ V$ થાય.
કોઈલમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R} = \frac{15 \ V}{7.5 \ \Omega} = 2 \ A$ છે.
કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતો પાવર $(P)$ $P = I^2 R = (2)^2 \times 7.5 = 4 \times 7.5 = 30 \ W$ છે.

(A) જ્યારે ગજિયો ચુંબક વાહક રીંગમાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,રીંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે જે ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
જેમ જેમ ચુંબક રીંગની નજીક આવે છે,તેમ પ્રેરિત પ્રવાહ એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે ચુંબકને અપાકર્ષે છે,જેના કારણે તેનો પ્રવેગ $g$ (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ) કરતા ઓછો થાય છે.
જેમ જેમ ચુંબક રીંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેમ રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટવાનું શરૂ થાય છે. પ્રેરિત પ્રવાહ હવે એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે ચુંબકને આકર્ષે છે,જે ફરીથી તેની નીચેની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન,ચુંબક પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = mg - F_{mag}$ છે,જ્યાં $F_{mag}$ એ ચુંબકીય બળ છે. ચુંબકની ઝડપ સતત વધે છે,પરંતુ જ્યારે તે રીંગની નજીક હોય ત્યારે વિરોધી ચુંબકીય બળને કારણે તેનો પ્રવેગ ઘટે છે. વિકલ્પ $A$ માંનો આલેખ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ (પ્રવેગ) ઘટે છે જ્યારે ચુંબક રીંગમાંથી પસાર થાય છે અને પછી ફરીથી વધે છે.

(B, D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, જ્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta)$ માં ફેરફાર થાય ત્યારે લૂપમાં emf પ્રેરિત થાય છે.
$1$. જો લૂપને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પોતાની સમાંતર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો ફ્લક્સ અચળ રહે છે, તેથી કોઈ emf પ્રેરિત થતું નથી.
$2$. જો લૂપને તેના કોઈ એક વ્યાસની આસપાસ ફેરવવામાં આવે, તો ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ બદલાય છે, જેનાથી ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે અને emf પ્રેરિત થાય છે.
$3$. જો લૂપને તેની પોતાની ધરી (જે ક્ષેત્રને સમાંતર છે) પર ફેરવવામાં આવે, તો ખૂણો $\theta$ અચળ રહે છે, તેથી કોઈ emf પ્રેરિત થતું નથી.
$4$. જો લૂપને વિકૃત કરવામાં આવે, તો ક્ષેત્રફળ $A$ બદલાય છે, જે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરે છે અને emf પ્રેરિત કરે છે.
આમ, વિકલ્પ $B$ અને $D$ બંનેમાં emf પ્રેરિત થાય છે.

(A, B, D) $M$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા ગજિયા ચુંબકને કારણે $x$ અંતરે અક્ષીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{x^3}$ છે.
$x >> a$ હોવાથી,$A = \pi a^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{x^3} \cdot \pi a^2$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{\mu_0}{4\pi} 2M \pi a^2 \frac{d}{dt}(x^{-3}) = -\frac{\mu_0}{4\pi} 2M \pi a^2 (-3x^{-4}) \frac{dx}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dx}{dt} = -v$ હોવાથી (કારણ કે $x$ ઘટે છે),$\epsilon = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{6M \pi a^2 v}{x^4}$. આમ,$\epsilon \propto \frac{1}{x^4}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\epsilon}{R} \propto \frac{1}{x^4}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_{coil} = i \cdot A = i \cdot \pi a^2 \propto \frac{1}{x^4} \cdot a^2$.
ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર $P = i^2 R \propto (x^{-4})^2 = \frac{1}{x^8}$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = 20 \times 10^{-2} \times 2 \sin(50 \pi t) = 0.4 \sin(50 \pi t) \,Wb$ છે।
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ છે।
લૂપમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = \int_{0}^{t} I \,dt = -\frac{1}{R} \int_{\phi_1}^{\phi_2} d\phi = -\frac{\phi_2 - \phi_1}{R}$ છે।
$t = 0$ સમયે, $\phi_1 = 0.4 \sin(0) = 0 \,Wb$.
$t = 20 \,ms = 0.02 \,s$ સમયે, $\phi_2 = 0.4 \sin(50 \pi \times 0.02) = 0.4 \sin(\pi) = 0 \,Wb$.
તેથી, કુલ વિદ્યુતભાર $\Delta q = -\frac{0 - 0}{20} = 0 \,C$.

(D) $1$. ચુંબકીય પ્રેરણ $(B)$: $F = qvB$ નો ઉપયોગ કરતા, $[B] = [F] / ([q][v]) = [MLT^{-2}] / ([AT][LT^{-1}]) = [MT^{-2}A^{-1}]$. જે $III$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$: $\phi = B \cdot A$. તેથી, $[\phi] = [MT^{-2}A^{-1}] \cdot [L^2] = [ML^2T^{-2}A^{-1}]$. જે $IV$ સાથે મેળ ખાય છે.
$3$. ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $(\mu)$: $B = \mu_0 H$ અથવા $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi r}$ નો ઉપયોગ કરતા, $[\mu] = [MLT^{-2}A^{-2}]$. જે $I$ સાથે મેળ ખાય છે.
$4$. આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$: $U = \frac{1}{2}LI^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $[L] = [U] / [I^2] = [ML^2T^{-2}] / [A^2] = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$. જે $II$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી, સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(A) ગૂંચળામાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{\mathcal{E}^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત emf $\mathcal{E} = -N A \frac{dB}{dt}$,તેથી $\mathcal{E} \propto N A$.
અવરોધ $R = \rho \frac{l}{a} = \rho \frac{N (2\pi r_{coil})}{\pi r^2} \propto \frac{N r_{coil}}{r^2}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r_{coil}^2$ હોવાથી,$r_{coil} \propto \sqrt{A}$.
આમ,$P \propto \frac{(N A)^2}{N \sqrt{A} / r^2} = N A^{3/2} r^2$.
બીજા ગૂંચળા માટે,$N_2 = 2N, A_2 = 2A, r_2 = 3r$.
$\alpha = \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right) \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^{3/2} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
$\alpha = (2) \times (2)^{3/2} \times (3)^2 = 2 \times 2\sqrt{2} \times 9 = 36\sqrt{2}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે $A$ ને મુખ્ય ચલ તરીકે લઈએ અને ગૂંચળાની ત્રિજ્યા $r_{coil}$ ને અચળ ગણીએ,તો $\alpha = 36$ મળે છે.