Parallel Plate Capacitor Questions in Gujarati

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું મૂળ કેપેસિટન્સ,જ્યાં પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે,તે $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $b$ જાડાઈની ધાતુની પ્લેટ બે પ્લેટોની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $(d - b)$ થાય છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C'$ એ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - b}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $b = d/2$ આપેલ છે,તેથી:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - d/2} = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2\varepsilon_0 A}{d}$.
તેથી,નવા કેપેસિટન્સ અને મૂળ કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{C'}{C} = \frac{2\varepsilon_0 A / d}{\varepsilon_0 A / d} = \frac{2}{1}$ અથવા $2 : 1$ થાય છે.

(B) ધારો કે બેટરીના ધન ટર્મિનલનું સ્થિતિમાન $V$ છે અને ઋણ ટર્મિનલનું સ્થિતિમાન $0$ છે.
પ્લેટ $1, 3$ અને $5$ ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી છે,તેથી તેમનું સ્થિતિમાન $V$ છે.
પ્લેટ $2$ અને $4$ ઋણ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી છે,તેથી તેમનું સ્થિતિમાન $0$ છે.
આ ગોઠવણી પાસપાસેની પ્લેટો વચ્ચે કેપેસિટર બનાવે છે.
કેપેસિટર $C_1$ પ્લેટ $1$ અને $2$ દ્વારા,$C_2$ પ્લેટ $2$ અને $3$ દ્વારા,$C_3$ પ્લેટ $3$ અને $4$ દ્વારા,અને $C_4$ પ્લેટ $4$ અને $5$ દ્વારા બને છે.
દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{{{\varepsilon _0}A}}{d}$ છે.
પ્લેટ $1$ પાસે માત્ર એક સપાટી છે જે પ્લેટ $2$ સાથે કેપેસિટર બનાવે છે. પ્લેટ $1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C \times (V - 0) = \frac{{{\varepsilon _0}AV}}{d}$ છે.
પ્લેટ $4$ પાસે બે સપાટીઓ છે: એક પ્લેટ $3$ સાથે કેપેસિટર બનાવે છે અને બીજી પ્લેટ $5$ સાથે. પ્લેટ $3$ અને $5$ બંને $V$ સ્થિતિમાન પર છે,જ્યારે પ્લેટ $4$ એ $0$ સ્થિતિમાન પર છે.
પ્લેટ $4$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_4 = C \times (0 - V) + C \times (0 - V) = -\frac{{{\varepsilon _0}AV}}{d} - \frac{{{\varepsilon _0}AV}}{d} = -\frac{{2{\varepsilon _0}AV}}{d}$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
વિદ્યુતભાર,કેપેસિટન્સ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $V = \frac{Q}{C}$ છે.
અહીં $Q$ અચળ હોવાથી અને $C$ ઘટતું હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધશે.

(A) અલગ કરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
એક પ્લેટ દ્વારા બીજી પ્લેટના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma = \frac{Q}{A}$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
બીજી પ્લેટના વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે એક પ્લેટ દ્વારા અનુભવાતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = Q \times E$ છે.
$E$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $F = Q \times \frac{Q}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q^2}{2A\varepsilon_0}$ મળે છે.
અહીં $Q$,$A$ અને $\varepsilon_0$ અચળ હોવાથી,બળ $F$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) ધારો કે પ્લેટ $1$ નો સ્થિતિમાન $V_A$ અને પ્લેટ $3$ નો સ્થિતિમાન $V_B$ છે. પ્લેટ $2$ અને $4$ એકબીજા સાથે જોડાયેલ છે,ધારો કે તેમનો સ્થિતિમાન $V_x$ છે. પ્લેટ $5$ અલગ કરેલી છે.
કેપેસિટર પાસપાસેની પ્લેટો વચ્ચે બને છે:
$1$ અને $2$ વચ્ચે $C_1$ જેનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
$2$ અને $3$ વચ્ચે $C_2$ જેનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
$3$ અને $4$ વચ્ચે $C_3$ જેનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
$4$ અને $5$ વચ્ચે $C_4$ જેનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
પ્લેટ $5$ અલગ હોવાથી,તે સર્કિટમાં ભાગ લેતી નથી. સર્કિટમાં $C_1$ એ $C_2$ અને $C_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 \times (C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3} = \frac{C \times (2C)}{C + 2C} = \frac{2}{3}C = \frac{2\varepsilon_0 A}{3d}$.
કોષમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} E = \frac{2\varepsilon_0 AE}{3d}$ છે.

(B) આપેલ ગોઠવણીમાં,પ્લેટો $A, C, E$ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી છે અને પ્લેટો $B, D$ ઋણ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી છે.
આ ગોઠવણી સમાંતરમાં ચાર કેપેસિટર બનાવે છે,જેમાંથી દરેકની કેપેસીટન્સ $C = 2 \mu F$ છે.
કેપેસિટર પ્લેટોની જોડીઓ વચ્ચે બને છે: $(A, B)$,$(B, C)$,$(C, D)$,અને $(D, E)$.
પ્લેટ $C$ એ બે કેપેસિટર માટે સામાન્ય પ્લેટ તરીકે કાર્ય કરે છે: એક પ્લેટ $B$ સાથે અને એક પ્લેટ $D$ સાથે.
પ્લેટો $B$ અને $C$ દ્વારા બનેલા કેપેસિટર માટે,પ્લેટ $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = +CV$ છે.
પ્લેટો $C$ અને $D$ દ્વારા બનેલા કેપેસિટર માટે,પ્લેટ $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = +CV$ છે.
તેથી,પ્લેટ $C$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = q_1 + q_2 = 2CV$ છે.
અહીં $C = 2 \mu F$ અને $V = 10 \ V$ આપેલ છે,તેથી $q = 2 \times 2 \mu F \times 10 \ V = 40 \mu C$ થાય.

(A) એક પ્લેટથી $y$ અંતરે $dy$ જાડાઈની એક નાની પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ પટ્ટી $dC = \frac{K \varepsilon_0 A}{dy}$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
આ સૂક્ષ્મ કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ માટે $\frac{1}{C} = \int_0^d \frac{dy}{K \varepsilon_0 A}$ મળે.
$K = \lambda \sec(\pi y / 2d)$ મૂકતા,$\frac{1}{C} = \frac{1}{\varepsilon_0 A \lambda} \int_0^d \cos(\pi y / 2d) dy$ મળે.
સંકલન કરતા: $\int_0^d \cos(\pi y / 2d) dy = [\frac{2d}{\pi} \sin(\pi y / 2d)]_0^d = \frac{2d}{\pi} \sin(\pi/2) = \frac{2d}{\pi}$.
આમ,$\frac{1}{C} = \frac{1}{\varepsilon_0 A \lambda} \cdot \frac{2d}{\pi} = \frac{2d}{\pi \varepsilon_0 \lambda A}$.
તેથી,$C = \frac{\pi \varepsilon_0 \lambda A}{2d}$.

(B) આ તંત્ર ત્રણ પ્લેટો $A, B$ અને $C$ ધરાવે છે. પરિપથ આકૃતિ મુજબ, પ્લેટો $A$ અને $C$ ને બેટરીના એક છેડા સાથે અને પ્લેટ $B$ ને બીજા છેડા સાથે જોડવામાં આવી છે. આ ગોઠવણી સમાંતરમાં બે કેપેસિટર બનાવે છે, જેમાં દરેક પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.885 \ mm = 0.885 \times 10^{-3} \ m$ છે.
દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.1}{0.885 \times 10^{-3}} = 10^{-9} \ F = 1 \ nF$.
બે કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C = 2 \ nF = 2 \times 10^{-9} \ F$ થાય.
તંત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ છે.
$C_{eq} = 2 \times 10^{-9} \ F$ અને $V = 10 \ V$ મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-9}) \times (10)^2 = 10^{-9} \times 100 = 10^{-7} \ J$.
માઈક્રોજૂલ $(\mu J)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$U = 10^{-7} \ J = 10^{-1} \times 10^{-6} \ J = 10^{-1} \ \mu J$.

(C) આપેલ ગોઠવણીમાં ચાર પ્લેટો છે। ધારો કે પ્લેટોને ઉપરથી નીચે ક્રમમાં $1$, $2$, $3$ અને $4$ નંબર આપીએ.
પ્લેટ $1$ અને $4$ બિંદુ $A$ સાથે જોડાયેલ છે.
પ્લેટ $2$ અને $3$ બિંદુ $B$ સાથે જોડાયેલ છે.
આનાથી બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે ત્રણ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં બને છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, પ્લેટ $1$ અને $2$ વચ્ચેની જગ્યા એક કેપેસિટર બનાવે છે, પ્લેટ $2$ અને $3$ વચ્ચેની જગ્યા એક કેપેસિટર બનાવે છે, અને પ્લેટ $3$ અને $4$ વચ્ચેની જગ્યા એક કેપેસિટર બનાવે છે.
આમ, કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C + C = 3C = \frac{3\varepsilon_0 A}{d}$ થશે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,વિદ્યુતભાર $Q = CV$,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે.
જ્યારે અંતર $d$ ને અડધું કરીને $d' = \frac{d}{2}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d'} = 2C$ થાય છે.
નવો વિદ્યુતભાર $Q' = C'V = 2CV = 2Q$ થાય છે.
નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E' = \frac{V}{d'} = \frac{2V}{d} = 2E$ થાય છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F = \frac{QE}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા,નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F' = \frac{Q' E'}{2} = \frac{(2Q)(2E)}{2} = 4 \left( \frac{QE}{2} \right) = 4F$.
તેથી,આકર્ષણ બળ પ્રારંભિક બળ કરતાં ચાર ગણું થાય છે.

(D) એક પ્લેટ દ્વારા બીજી પ્લેટના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\sigma = \frac{Q}{A}$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું આકર્ષણ બળ $F = Q E = Q \left( \frac{Q}{2 \varepsilon_0 A} \right) = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$ થાય છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ હોવાથી,આપણે $\varepsilon_0 A = C d$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = \frac{Q^2}{2 C d}$.
$Q = CV$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $F = \frac{(CV)^2}{2 C d} = \frac{C^2 V^2}{2 C d} = \frac{1}{2} \frac{C V^2}{d}$.
આમ,$\frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$ અને $\frac{C V^2}{2 d}$ બંને અભિવ્યક્તિઓ સાચી છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ $F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = CV$ અને $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ હોવાથી,આપણને $Q = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$ મળે છે.
બળના સમીકરણમાં $Q$ ની કિંમત મૂકતા: $F = \frac{(\epsilon_0 A V / d)^2}{2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d^2}$.
સંતુલન જાળવવા માટે,આ બળ વધારાના દળ $m$ ના વજન દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ,તેથી $mg = F$.
$m = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d^2g}$.
આપેલ છે: $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$,$A = 100 \, cm^2 = 10^{-2} \, m^2$,$V = 5000 \, V$,$d = 5 \, mm = 5 \times 10^{-3} \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$m = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-2} \times (5000)^2}{2 \times (5 \times 10^{-3})^2 \times 9.8}$.
$m = \frac{8.85 \times 10^{-14} \times 25 \times 10^6}{2 \times 25 \times 10^{-6} \times 9.8} = \frac{8.85 \times 10^{-8}}{19.6 \times 10^{-6}} \approx 0.004515 \, kg$.
$m \approx 4.515 \, g$. નજીકના વિકલ્પ મુજબ,સાચો જવાબ $4.4 \, g$ છે.

(C) ધારો કે પોઝિટિવ ટર્મિનલનો પોટેન્શિયલ $V$ છે અને નેગેટિવ ટર્મિનલનો $0$ છે.
પ્લેટ $1, 3, 5$ પોઝિટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી છે (પોટેન્શિયલ $V$).
પ્લેટ $2, 4$ નેગેટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી છે (પોટેન્શિયલ $0$).
દરેક નજીકની પ્લેટોની જોડી વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ છે.
પ્લેટ $1$ પરનો વિદ્યુતભાર: તેની પાસે માત્ર એક સપાટી (અંદરની) છે જે પ્લેટ $2$ ની સામે છે. વિદ્યુતભાર $q_1 = C_{eff} V = (\epsilon_0 A/d) V$ છે.
પ્લેટ $4$ પરનો વિદ્યુતભાર: તેની પાસે બે સપાટીઓ (બંને બાજુ) છે જે પ્લેટ $3$ અને $5$ ની સામે છે. બંને સપાટીઓ વિદ્યુતભારમાં ફાળો આપે છે.
પ્લેટ $4$ ની ડાબી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર (પ્લેટ $3$ ની સામે) $-(\epsilon_0 A/d) V$ છે.
પ્લેટ $4$ ની જમણી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર (પ્લેટ $5$ ની સામે) $-(\epsilon_0 A/d) V$ છે.
પ્લેટ $4$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q_4 = -(\epsilon_0 A/d) V - (\epsilon_0 A/d) V = -2\epsilon_0 AV/d$ છે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટો અલગ હોવાથી,વીજભાર $Q$ અચળ રહે છે.
ગતિશીલ પ્લેટ પર લાગતું બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિતિ ઉર્જાના ઋણ ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{Q^2}{2C^2} \frac{dC}{dx}$.
ઓવરલેપ લંબાઈ $x$ અને પહોળાઈ $b$ ધરાવતા સમાંતર-પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\epsilon_0 (bx)}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું નિશ્ચિત અંતર છે.
આમ,$\frac{dC}{dx} = \frac{\epsilon_0 b}{d}$.
આને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{Q^2}{2 \left( \frac{\epsilon_0 bx}{d} \right)^2} \left( \frac{\epsilon_0 b}{d} \right) = \frac{Q^2 d}{2 \epsilon_0 b x^2}$.
તેથી,બળ $F$ એ $x^{-2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) હવાની ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ $E_{m} = 3 \times 10^{6} \, V/m$ છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$ હોય ત્યારે લાગુ પાડી શકાય તેવો મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_{m})$:
$V_{m} = E_{m} \cdot d = (3 \times 10^{6} \, V/m) \times (2 \times 10^{-3} \, m) = 6000 \, V$.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = \frac{8.854 \times 10^{-12} \, F/m \times 20 \times 10^{-4} \, m^2}{2 \times 10^{-3} \, m} = 8.854 \times 10^{-12} \, F$.
પ્લેટો પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $q_{m}$:
$q_{m} = C \cdot V_{m} = (8.854 \times 10^{-12} \, F) \times (6000 \, V) = 53.124 \times 10^{-9} \, C \approx 53 \, nC$.
આમ,મહત્તમ emf $6000 \, V$ છે અને વિદ્યુતભાર $53 \, nC$ છે.

(A) ધારો કે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટોને $\Delta x$ જેટલા સૂક્ષ્મ અંતરે અલગ કરવા માટે લાગતું બળ $F$ છે. બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \Delta x$ છે.
આ કાર્ય કેપેસિટરની સ્થિતિઊર્જામાં વધારા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. પ્લેટો વચ્ચેની ઊર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \Delta x$ માં સંગ્રહિત કુલ ઊર્જા $\Delta U = u \times (A \Delta x) = (\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2) A \Delta x$ છે.
થયેલા કાર્યને સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા: $F \Delta x = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 A \Delta x$.
આમ,$F = \frac{1}{2} \epsilon_0 A E^2$.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \epsilon_0}$ હોવાથી,આપણને $\epsilon_0 A = \frac{Q}{E}$ મળે છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = \frac{1}{2} (\frac{Q}{E}) E^2 = \frac{1}{2} QE$.

(B) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો પર $Q_1$ અને $Q_2$ વિદ્યુતભાર હોય,ત્યારે તેની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{Q_1 - Q_2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Q_1 = 2Q$ અને $Q_2 = -Q$ છે.
તેથી,અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{2Q - (-Q)}{2} = \frac{3Q}{2}$ થશે.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{q}{C}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{3Q/2}{C} = \frac{3Q}{2C}$ મળે છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસિટન્સ પ્લેટોના ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને તેમની વચ્ચેના અંતર $(d)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,કેપેસિટરની ક્ષમતા પ્લેટો વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.

(C) આપેલ છે:
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ,$A = 200\,cm^2 = 200 \times 10^{-4}\,m^2 = 2 \times 10^{-2}\,m^2$
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર,$d = 1.5\,cm = 1.5 \times 10^{-2}\,m$
પ્લેટો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ,$F = 25 \times 10^{-6}\,N$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,C^2/Nm^2$
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$
કારણ કે $Q = CV = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$,તેથી $Q$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{(\frac{\epsilon_0 A V}{d})^2}{2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0^2 A^2 V^2}{d^2 \cdot 2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d^2}$
$V^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$V^2 = \frac{2F d^2}{\epsilon_0 A}$
કિંમતો મૂકતા:
$V^2 = \frac{2 \times (25 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^{-2})^2}{(8.85 \times 10^{-12}) \times (200 \times 10^{-4})}$
$V^2 = \frac{50 \times 10^{-6} \times 2.25 \times 10^{-4}}{8.85 \times 10^{-12} \times 2 \times 10^{-2}}$
$V^2 = \frac{112.5 \times 10^{-10}}{17.7 \times 10^{-14}} \approx 6.356 \times 10^4 \approx 63560$
$V = \sqrt{63560} \approx 252.1\,V$
આમ,$V$ નું મૂલ્ય આશરે $250\,V$ છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q}{A \varepsilon_0}$
જ્યાં $q$ એ પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(8.85 \times 10^{-12}\,F/m)$ છે.
$q$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$q = E \cdot A \cdot \varepsilon_0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($E = 100\,N/C$,$A = 1\,m^2$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,F/m$):
$q = 100 \times 1 \times 8.85 \times 10^{-12}$
$q = 8.85 \times 10^{-10}\,C$
તેથી,દરેક પ્લેટ પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $8.85 \times 10^{-10}\,C$ છે.

(B) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની બે પ્લેટોને $q_1$ અને $q_2$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટોની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{inner} = \frac{q_1 - q_2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_1 = +2\,\mu C$ અને $q_2 = +4\,\mu C$ છે.
તેથી,અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{2\,\mu C - 4\,\mu C}{2} = -1\,\mu C$ (મૂલ્યમાં,$1\,\mu C$) છે.
કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{q}{C}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{1\,\mu C}{1\,\mu F} = 1\,V$.

(B) બે પ્લેટો પર $Q_1$ અને $Q_2$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,અંદરની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{Q_1 - Q_2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Q_1 = 2Q$ અને $Q_2 = -Q$ છે.
તેથી,પ્રથમ પ્લેટની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{2Q - (-Q)}{2} = \frac{3Q}{2}$ થશે.
બીજી પ્લેટની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-q = -\frac{3Q}{2}$ થશે.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ $q = CV$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ અંદરની સપાટી પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{3Q}{2} = CV$ મળે છે.
આમ,$V = \frac{3Q}{2C}$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યા $r = 10\, cm = 0.1\, m$ આપેલ છે,તેથી $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi\, m^2$.
પ્રારંભિક અંતર $d_1 = 1\, mm = 10^{-3}\, m$. પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d_1}$.
અંતિમ અંતર $d_2 = 1\, cm = 10^{-2}\, m = 10 d_1$. અંતિમ કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d_2} = \frac{C_1}{10}$.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,વોલ્ટેજ $V = 100\, V$ અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} C_1 V^2$.
અંતિમ ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2} C_2 V^2 = \frac{1}{2} (\frac{C_1}{10}) V^2 = \frac{U_1}{10}$.
ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{1}{2} V^2 (C_2 - C_1) = \frac{1}{2} (100)^2 (\frac{C_1}{10} - C_1) = -0.9 \times \frac{1}{2} C_1 (100)^2$.
$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\, F/m$ નો ઉપયોગ કરતા,$C_1 = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.01\pi}{10^{-3}} \approx 2.78 \times 10^{-10}\, F$.
$\Delta U = -0.45 \times 2.78 \times 10^{-10} \times 10000 \approx -1.25 \times 10^{-6}\, J$.
$1\, J = 10^7\, ergs$ હોવાથી,$\Delta U = -1.25 \times 10^{-6} \times 10^7 = -12.5\, ergs$.
ઋણ નિશાની ઉર્જામાં ઘટાડો સૂચવે છે.

(A) સમાંતર-પ્લેટ કેપેસીટર માટે,સામસામેની સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભારો મૂલ્યમાં સમાન અને ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી,$Q_2 = -Q_3$.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ અંદરની સપાટી પરના વિદ્યુતભારને કેપેસીટરના કેપેસીટન્સ $C$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$V = \frac{Q_2}{C}$
કારણ કે $Q_3 = -Q_2$,આપણે $Q_2 = \frac{Q_2 - Q_3}{2}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{Q_2 - Q_3}{2C}$

(D) જ્યારે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય, ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
બંને કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C$ સમાન હોવાથી, દરેક કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Q/C$ પણ સમાન રહે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = Q^2 / (2C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q$ અને $C$ બંને માટે સમાન હોવાથી, સંગ્રહિત ઉર્જા પણ સમાન રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = V/d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન છે પરંતુ પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર $d$ અલગ હોવાથી, બંને કેપેસિટર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અલગ હશે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
વિદ્યુતભાર,કેપેસિટન્સ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $V = \frac{Q}{C}$ છે.
જેથી $Q$ અચળ છે અને $C$ ઘટે છે,તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધવો જોઈએ.

(B) આપેલ ગોઠવણીમાં,કુલ $6$ ધાતુની પ્લેટો છે.
પ્લેટો $1, 3, 5$ ને બિંદુ $P$ સાથે અને પ્લેટો $2, 4, 6$ ને બિંદુ $Q$ સાથે જોડવામાં આવી છે.
આ ગોઠવણી સમાંતર જોડાણમાં $5$ કેપેસિટર બનાવે છે,જ્યાં દરેક કેપેસિટર બે નજીકની પ્લેટો વચ્ચે રચાય છે.
દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
આવા $5$ કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{eq} = C + C + C + C + C = 5C = \frac{5\varepsilon_0 A}{d}$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોને એકબીજાથી દૂર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ વધે છે.
$C \propto \frac{1}{d}$ હોવાથી,કેપેસીટન્સ $C$ ઘટે છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
સંબંધ $V = \frac{Q}{C}$ નો ઉપયોગ કરતા,$Q$ અચળ હોવાથી અને $C$ ઘટતું હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધશે.

(C) કેપેસિટરની બે પ્લેટો પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $+Q$ અને $-Q$ છે. કુલ વિદ્યુતભાર $Q + (-Q) = 0$ થાય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે બે પ્લેટો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રો (દરેકનું મૂલ્ય $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$) સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. પ્લેટોની વચ્ચેનું ક્ષેત્ર $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ હોય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ગૌસિયન સપાટી $ABCD$ દોરીને,આપણે ગૌસનો નિયમ લાગુ કરી શકીએ છીએ: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$. સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q - Q = 0$ હોવાથી,કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે,જે સૂચવે છે કે પ્લેટોની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(D) ડાબી બાજુથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક નાની પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ અંતર $x$ પર પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d' = d + x\alpha$ છે.
આ નાની પટ્ટીનું કેપેસીટન્સ $dC = \frac{\varepsilon_0 a dx}{d + x\alpha}$ છે.
કુલ કેપેસીટન્સ $C$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = a$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$C = \int_{0}^{a} \frac{\varepsilon_0 a dx}{d + x\alpha} = \frac{\varepsilon_0 a}{\alpha} [\ln(d + x\alpha)]_{0}^{a} = \frac{\varepsilon_0 a}{\alpha} \ln\left(\frac{d + a\alpha}{d}\right) = \frac{\varepsilon_0 a}{\alpha} \ln\left(1 + \frac{a\alpha}{d}\right)$.
નાના $y = \frac{a\alpha}{d}$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $\ln(1 + y) \approx y - \frac{y^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C \approx \frac{\varepsilon_0 a}{\alpha} \left(\frac{a\alpha}{d} - \frac{1}{2} \left(\frac{a\alpha}{d}\right)^2\right) = \frac{\varepsilon_0 a^2}{d} \left(1 - \frac{a\alpha}{2d}\right)$.

(N/A) આપેલ છે:
દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ,$A = 6 \times 10^{-3} \, m^{2}$
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર,$d = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$
સપ્લાય વોલ્ટેજ,$V = 100 \, V$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી,$\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m$
$1$. કેપેસિટન્સ $(C)$ ની ગણતરી:
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}}$
$C = 8.854 \times 10^{-12} \times 2 = 17.708 \times 10^{-12} \, F \approx 17.71 \, pF$.
$2$. વિદ્યુતભાર $(q)$ ની ગણતરી:
દરેક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $q = CV$ દ્વારા મળે છે.
$q = 17.71 \times 10^{-12} \, F \times 100 \, V$
$q = 1.771 \times 10^{-9} \, C$.
આમ,કેપેસિટન્સ $17.71 \, pF$ છે અને દરેક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $1.771 \times 10^{-9} \, C$ છે.

(N/A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\, F$ અને $d = 0.5\, cm = 0.5 \times 10^{-2}\, m$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\, F/m$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $A = \frac{C d}{\epsilon_0}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{(2 \times 10^{-6}) \times (0.5 \times 10^{-2})}{8.854 \times 10^{-12}}$.
$A = \frac{1 \times 10^{-8}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 1129.43\, m^2$.
આમ,પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ આશરે $1130\, m^2$ છે.

(N/A) ધારો કે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટોને $\Delta x$ અંતરથી અલગ કરવા માટે લાગુ પાડવામાં આવતું બળ $F$ છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \Delta x$ છે.
આ કાર્ય કેપેસિટરની સ્થિતિઊર્જામાં વધારો કરે છે,જે ઊર્જા ઘનતામાં ફેરફાર અને કદમાં ફેરફારના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $\Delta U = u A \Delta x$,જ્યાં $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ એ ઊર્જા ઘનતા છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta x$ એ અંતરમાં ફેરફાર છે.
કરવામાં આવેલ કાર્યને સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$F \Delta x = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) A \Delta x$
$F = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 A$
કેમ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A \varepsilon_0}$,તેથી આપણે $\varepsilon_0 A = \frac{Q}{E}$ લખી શકીએ.
આને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{1}{2} (\frac{Q}{E}) E^2 = \frac{1}{2} Q E$.
$\frac{1}{2}$ અવયવ એટલા માટે આવે છે કારણ કે પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ બંને પ્લેટો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે. દરેક પ્લેટ માત્ર બીજી પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રને કારણે બળ અનુભવે છે,જે $\frac{E}{2}$ છે. આમ,$Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી પ્લેટ પરનું બળ $F = Q \times (\frac{E}{2}) = \frac{1}{2} Q E$ થાય છે.

(C) આપેલ છે:
વોલ્ટેજ રેટિંગ,$V = 1\; kV = 1000\; V$
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક,$\varepsilon_{r} = 3$
ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ,$E_{max} = 10^{7}\; V/m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે સુરક્ષા મર્યાદા,$E = 10^{7}$ ના $10\% = 10^{6}\; V/m$
કેપેસીટન્સ,$C = 50\; pF = 50 \times 10^{-12}\; F$
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d = V/E = 1000 / 10^{6} = 10^{-3}\; m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસીટન્સના સૂત્ર $C = \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} A}{d}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ક્ષેત્રફળ $A$ શોધી શકીએ છીએ:
$A = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{r}}$
કિંમતો મૂકતા:
$A = \frac{50 \times 10^{-12} \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12} \times 3}$
$A = \frac{50 \times 10^{-15}}{26.562 \times 10^{-12}} \approx 1.882 \times 10^{-3}\; m^2$
$cm^2$ માં રૂપાંતર કરતા $(1\; m^2 = 10^{4}\; cm^2)$:
$A \approx 1.882 \times 10^{-3} \times 10^{4} = 18.82\; cm^2 \approx 19\; cm^2$.

(N/A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર એ બે મોટી સમાંતર વાહક પ્લેટોનું બનેલું હોય છે જે એકબીજાથી $d$ જેટલા નાના અંતરે રાખેલી હોય છે.
આવા કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચે અવાહક માધ્યમ રાખવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્લેટ $1$ અને પ્લેટ $2$ પરનો વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $+Q$ અને $-Q$ છે,દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
અહીં $d$ એ પ્લેટોના પરિમાણ કરતા ઘણું નાનું હોવાથી $(d^2 << A)$,આપણે અનંત સમતલ પ્લેટ વડે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ,જ્યાં પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{A}$ છે.
પ્લેટોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં,બંને પ્લેટોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર એક જ દિશામાં (ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ) હોય છે:
$E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A\epsilon_0}$.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d = \frac{Qd}{A\epsilon_0}$ થાય.
કેપેસિટન્સ $C$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$C = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{(Qd / A\epsilon_0)} = \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
કેપેસિટન્સ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ $(A)$.
$2$. પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $(d)$.
$3$. પ્લેટો વચ્ચેના માધ્યમની પરમિટિવિટી ($\epsilon_0$ અથવા $\epsilon = k\epsilon_0$).

(N/A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C = 1$ $F$ ના કેપેસિટન્સ માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d = 1$ $cm = 10^{-2}$ $m$ લેતા,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \frac{C d}{\epsilon_0} = \frac{1 \times 10^{-2}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 1.13 \times 10^9$ $m^2$.
જો પ્લેટો ચોરસ હોય,તો તેની બાજુની લંબાઈ $L = \sqrt{A} \approx \sqrt{1.13 \times 10^9} \approx 33.6$ $km$ થાય.
આટલી વિશાળ પ્લેટો ધરાવતું કેપેસિટર બનાવવું વ્યવહારમાં અશક્ય હોવાથી,$1$ $F$ ને વ્યવહારિક હેતુઓ માટે ખૂબ જ મોટો એકમ માનવામાં આવે છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \ m^2$
અંતર $d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 1}{1 \times 10^{-3}}$
$C = 8.85 \times 10^{-12} \times 10^3$
$C = 8.85 \times 10^{-9} \ F$

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર એ વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ઊર્જા સંગ્રહવા માટે વપરાતું એક પાયાનું વિદ્યુત ઘટક છે.
તેમાં $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી બે મોટી સમતલ સમાંતર વાહક પ્લેટો હોય છે,જે એકબીજાથી $d$ જેટલા નાના અંતરે રાખેલી હોય છે.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યા અવાહક પદાર્થ (ડાયઇલેક્ટ્રિક) અથવા શૂન્યાવકાશ દ્વારા ભરેલી હોય છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પર સમાન અને વિરુદ્ધ વીજભાર $+Q$ અને $-Q$ જમા થાય છે,જે તેમની વચ્ચે એક સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,એક પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ છે,જ્યાં $\sigma = \frac{Q}{A}$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
બંને પ્લેટો તેમની વચ્ચે સમાન દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતી હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ બંને પ્લેટોના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
$E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$.
$\sigma = \frac{Q}{A}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{Q}{\epsilon_0 A}$ મળે છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $(C)$ સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસિટન્સ માત્ર કેપેસિટરના ભૌતિક પરિમાણો (ક્ષેત્રફળ અને અંતર) અને પ્લેટો વચ્ચેના ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થના ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે.
તે પ્લેટો પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $(Q)$ અથવા તેમની વચ્ચે લાગુ પાડવામાં આવેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો જવાબ એ છે કે તે વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત પર આધાર રાખતું નથી.

(N/A) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે શૂન્યાવકાશ અથવા હવા હોય ત્યારે તેનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે માધ્યમની પરમિટિવિટી $\epsilon = K \epsilon_0$ થાય છે.
તેથી,નવું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon A}{d} = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા મળે છે.
$C_0$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $C = K C_0$ મળે છે.

(C) આ ગોઠવણી સમાંતરમાં જોડાયેલા ત્રણ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર્સની બનેલી છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $b$,$3b$,અને $5b$ છે.
તેથી,વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સ છે:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{b}$
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{3b}$
$C_3 = \frac{\varepsilon_0 A}{5b}$
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ છે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{b} + \frac{\varepsilon_0 A}{3b} + \frac{\varepsilon_0 A}{5b}$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{b} \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right)$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{b} \left( \frac{15 + 5 + 3}{15} \right) = \frac{23}{15} \frac{\varepsilon_0 A}{b}$
આમ,$x = 23$.

(C) જ્યારે $q_{1}$ અને $q_{2}$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી બે મોટી વાહક પ્લેટોને એકબીજાને સમાંતર મૂકવામાં આવે,ત્યારે અંદરની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર $q_{inner} = \frac{q_{1}-q_{2}}{2}$ થાય છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ આ આંતરિક વિદ્યુતભારોને કારણે હોય છે: $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{q_{inner}}{A\varepsilon_{0}} = \frac{q_{1}-q_{2}}{2A\varepsilon_{0}}$.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A\varepsilon_{0}}{d}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $V = \frac{q_{1}-q_{2}}{2A\varepsilon_{0}} \cdot d = \frac{q_{1}-q_{2}}{2(A\varepsilon_{0}/d)}$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{q_{1}-q_{2}}{2C}$ મળે છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે,તેથી પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{q}{C}$ દ્વારા મળે છે.
$C$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $V = \frac{q d}{\varepsilon_0 A}$ મળે છે.
અહીં $q$,$\varepsilon_0$ અને $A$ અચળ હોવાથી,$V \propto d$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $V$ વિરુદ્ધ $d$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. જો કે,વાસ્તવિક ભૌતિક કેપેસિટરમાં,જ્યારે પ્લેટો સંપર્કમાં હોય $(d=0)$,ત્યારે કેપેસીટન્સ અનંત હોતું નથી અને પ્લેટોના મર્યાદિત કદ અને કિનારીની અસરોને કારણે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોતો નથી. તેથી,આલેખ $d$ ના નાના ધન મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને એક સીધી રેખા છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી.

(D) આપેલ છે કે બંને કેપેસિટર સમાન વિદ્યુતભાર $Q$ અને સ્થિતિમાન $V$ ધરાવે છે,તેથી તેમની કેપેસિટન્સ $C = Q/V$ સમાન હોવી જોઈએ.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
$C_1 = C_2$ હોવાથી,$\frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1} = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d_2}$ થાય.
અહીં $A_1 = 100 \,cm^2$,$A_2 = 500 \,cm^2$,અને $d_1 = 0.5 \,mm = 0.05 \,cm$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{100}{0.05} = \frac{500}{d_2}$.
$d_2 = \frac{500 \times 0.05}{100} = 5 \times 0.05 = 0.25 \,cm$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F = \frac{q^2}{2 A \varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સિસ્ટમમાં,અંદરની પ્લેટો સ્થિર સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળને કારણે તેમની સંબંધિત સ્થિર બહારની પ્લેટો તરફ આકર્ષાય છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx$ એ અંદરની પ્લેટ પર કાર્યરત સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ $F$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,$kx = \frac{q^2}{2 A \varepsilon_0}$.
સ્પ્રિંગમાં થતા વધારા $x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{q^2}{2 A \varepsilon_0 k}$ મળે છે.

(D) ધારો કે પ્લેટોને ઉપરથી નીચે $1, 2, 3, 4, 5$ ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે.
પ્લેટ $1$ અને $4$ એકબીજા સાથે જોડાયેલ છે. પ્લેટ $3$ અને $5$ ટર્મિનલ $Q$ સાથે જોડાયેલ છે. પ્લેટ $2$ ટર્મિનલ $P$ સાથે જોડાયેલ છે.
દરેક પાસપાસેની પ્લેટોની જોડીનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
$5$ પ્લેટો વચ્ચે $4$ કેપેસિટર બને છે: $C_{12}, C_{23}, C_{34}, C_{45}$.
- $C_{12}$ એ પ્લેટ $1$ (જે $4$ સાથે જોડાયેલ છે) અને પ્લેટ $2$ $(P)$ વચ્ચે છે.
- $C_{23}$ એ પ્લેટ $2$ $(P)$ અને પ્લેટ $3$ $(Q)$ વચ્ચે છે.
- $C_{34}$ એ પ્લેટ $3$ $(Q)$ અને પ્લેટ $4$ (જે $1$ સાથે જોડાયેલ છે) વચ્ચે છે.
- $C_{45}$ એ પ્લેટ $4$ (જે $1$ સાથે જોડાયેલ છે) અને પ્લેટ $5$ $(Q)$ વચ્ચે છે.
જોડાણોનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે સમતુલ્ય સર્કિટ શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણનું મિશ્રણ છે. કુલ કેપેસિટન્સ $C_{\text{net}} = \frac{5}{3} C = \frac{5 \varepsilon_0 A}{3d}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ ગોઠવણીમાં,પ્લેટો એવી રીતે જોડાયેલી છે કે તેઓ સમાંતર જોડાણમાં કેપેસીટર બનાવે છે.
અહીં $n = 7$ પ્લેટો છે,જે $n - 1 = 6$ કેપેસીટર બનાવે છે.
દરેક કેપેસીટરનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ છે,તેથી દરેકનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ થાય.
બધા $6$ કેપેસીટર $P$ અને $Q$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ:
$C_{\text{net}} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 + C_5 + C_6 = 6C$
$C_{\text{net}} = \frac{6 \varepsilon_0 A}{d}$

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું અંતર $d' = 2d$ અને નવું ક્ષેત્રફળ $A' = A / 2$ છે.
અંતિમ કેપેસિટન્સ $C'$ એ $C' = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા,આપણને $C' = \frac{\varepsilon_0 (A / 2)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{4d}$ મળે છે.
કારણ કે $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$,આપણે લખી શકીએ કે $C' = \frac{C}{4}$.

(C) આકૃતિ પરથી,કુલ અંતર $d = 5 \, mm$ એ $a + c + b$ થી બનેલું છે,જ્યાં $c = 1 \, mm$ એ બે કેપેસિટર વચ્ચે રહેલી વાહક પ્લેટની જાડાઈ છે.
તેથી,$a + b = d - c = 5 \, mm - 1 \, mm = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$.
આ બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જેનું અસરકારક અંતર $d_{eff} = a + b = 4 \times 10^{-3} \, m$ છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર $C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d_{eff}}$ છે.
અહીં $A = 200 \, cm^2 = 200 \times 10^{-4} \, m^2$ આપેલ છે.
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 \times 200 \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}} = \frac{200 \times 10^{-1}}{4} \varepsilon_0 = 5 \varepsilon_0 \, F$.
આને $x \varepsilon_0 \, F$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.