Parallel Plate Capacitor Questions in Gujarati

(A) આ ગોઠવણીને સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ત્રણ કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $\frac{A}{3}$ છે પરંતુ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અલગ-અલગ છે.
પ્રથમ કેપેસિટર માટે,અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d}$ છે.
બીજા કેપેસિટર માટે,અંતર $2d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{6d}$ છે.
ત્રીજા કેપેસિટર માટે,અંતર $3d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$ થાય.
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} + \frac{\varepsilon_0 A}{6d} + \frac{\varepsilon_0 A}{9d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \right)$.
$3, 6, 9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ $18$ લેતા:
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{6 + 3 + 2}{18} \right) = \frac{11 \varepsilon_0 A}{18 d}$.

(A) આપેલ છે કે કેપેસિટર બેટરી સાથે જોડાયેલું છે,તેથી પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
$(i)$ કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$. જેમ પ્લેટો નજીક આવે છે,તેમ અંતર $d$ ઘટે છે,તેથી કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે. આમ,વિધાન $C$ સાચું છે.
$(ii)$ વિદ્યુતભાર $Q = CV$. કારણ કે $C$ વધે છે અને $V$ અચળ છે,તેથી વિદ્યુતભાર $Q$ વધે છે. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
$(iii)$ સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$. કારણ કે $C$ વધે છે અને $V$ અચળ છે,તેથી ઉર્જા $U$ વધે છે. આમ,વિધાન $B$ ખોટું છે.
$(iv)$ વિદ્યુતભાર અને પોટેન્શિયલનો ગુણોત્તર $\frac{Q}{V} = C$ છે. કારણ કે $C$ વધે છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{Q}{V}$ બદલાય છે. આમ,વિધાન $D$ ખોટું છે.
$(v)$ વિદ્યુતભાર અને વોલ્ટેજનો ગુણાકાર $QV = CV^2$ છે. કારણ કે $C$ વધે છે અને $V$ અચળ છે,તેથી ગુણાકાર $QV$ વધે છે. આમ,વિધાન $E$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $A, C$ અને $E$ સાચા છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = l \times b$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_i = \frac{\epsilon_0 (3 \ cm \times 1 \ cm)}{3 \ \mu m} = \epsilon_0 \times 10^4 \ cm^2/m$.
આપણે નવું કેપેસીટન્સ $C_f = 10 C_i$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $C_A = \frac{\epsilon_0 (30 \times 1)}{1} = 30 C_i$ (ખોટું).
વિકલ્પ $B$ માટે: $C_B = \frac{\epsilon_0 (3 \times 1)}{30} = 0.1 C_i$ (ખોટું).
વિકલ્પ $C$ માટે: $C_C = \frac{\epsilon_0 (6 \times 5)}{3} = 10 C_i$ (સાચું).
વિકલ્પ $D$ માટે: $C_D = \frac{\epsilon_0 (1 \times 1)}{10} = 0.033 C_i$ (ખોટું).
વિકલ્પ $E$ માટે: $C_E = \frac{\epsilon_0 (5 \times 2)}{1} = 10 C_i$ (સાચું).
આમ,વિકલ્પો $C$ અને $E$ કેપેસીટન્સમાં $10$ ના ગુણાંકમાં વધારો કરે છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે $V = \frac{Q}{C}$,તેથી $V = \frac{Q d}{\epsilon_0 A}$ થાય.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{Q d}{\epsilon_0 A} \right) = \frac{d}{\epsilon_0 A} \frac{dQ}{dt}$.
કારણ કે $\frac{dQ}{dt} = I$,તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = \frac{I d}{\epsilon_0 A}$ છે.
$d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$d = \frac{\epsilon_0 A (dV/dt)}{I} = \frac{\epsilon_0 (\pi r^2) (dV/dt)}{I}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = 0.1 \ m$,$I = 0.15 \ A$,$\frac{dV}{dt} = 7 \times 10^8 \ V/s$,$\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \ F/m$,અને $\pi = 22/7$.
$d = \frac{(9 \times 10^{-12}) \times (22/7) \times (0.1)^2 \times (7 \times 10^8)}{0.15} \ m$.
$d = \frac{9 \times 10^{-12} \times 22 \times 0.01 \times 10^8}{0.15} \ m = \frac{9 \times 22 \times 10^{-6}}{0.15} \ m = \frac{198 \times 10^{-6}}{0.15} \ m = 1320 \times 10^{-6} \ m$.
કારણ કે $1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$,તેથી અંતર $d = 1320 \ \mu m$ છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે લાગતું આકર્ષણ બળ $F = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અને કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે,તેથી આપણે $\varepsilon_0 A = Cd$ લખી શકીએ.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{(CV)^2}{2(Cd)} = \frac{C^2 V^2}{2 Cd} = \frac{CV^2}{2 d}$.

(B) વિદ્યુતભાર $(Q)$,વોલ્ટેજ $(V)$ અને કેપેસિટન્સ $(C)$ વચ્ચેનો સંબંધ $Q = CV$ છે,જેને $V = Q/C$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ આલેખમાં,વોલ્ટેજ $(V)$ $y$-અક્ષ પર અને વિદ્યુતભાર $(Q)$ $x$-અક્ષ પર દર્શાવેલ છે.
આ આલેખનો ઢાળ $V/Q = 1/C$ થાય છે.
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે,નિશ્ચિત વિદ્યુતભાર $Q$ માટે,વોલ્ટેજ $V_B > V_A$ છે.
ઢાળ એ કેપેસિટન્સ $(C)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જેનો ઢાળ વધારે હોય તેની કેપેસિટન્સ ઓછી હોય.
તેથી,રેખા $B$ નો ઢાળ રેખા $A$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે,જેનો અર્થ એ છે કે $A$ ની કેપેસિટન્સ $B$ ની કેપેસિટન્સ કરતા વધારે છે $(C_A > C_B)$.

(C) જ્યારે $q_1$ અને $q_2$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી બે પ્લેટોને નજીક લાવીને સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટોની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{inner} = \frac{q_1 - q_2}{2}$ થાય છે.
આનું કારણ એ છે કે પ્લેટોની વચ્ચે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવા માટે અંદરની સપાટીઓ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર સમાન અને વિરુદ્ધ હોવો જોઈએ.
કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ સૂત્ર $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ કેપેસિટરની પ્લેટોની અંદરની સપાટી પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે.
$Q = \frac{q_1 - q_2}{2}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{q_1 - q_2}{2C}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પ્રથમ કેપેસિટર માટે,કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A_1}{d} = \frac{\varepsilon_0 \pi r^2}{d}$ છે.
બીજા કેપેસિટર માટે,નવી ત્રિજ્યા $r' = \sqrt{2}r$ અને નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (r')^2 = \pi (\sqrt{2}r)^2 = 2\pi r^2$ થશે.
નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d'} = \frac{\varepsilon_0 (2\pi r^2)}{d/2} = \frac{4\varepsilon_0 \pi r^2}{d} = 4C_1$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{4C_1} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે બંને સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર સમાન વિદ્યુતભાર $q$ અને સમાન સ્થિતિમાન $V$ ધરાવે છે, તેથી તેમની કેપેસિટન્સ સમાન હશે કારણ કે $C = q/V$.
તેથી, $C_1 = C_2$.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
બંને કેપેસિટન્સને સરખાવતા: $\frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1} = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d_2}$.
આના પરથી $d_2 = \frac{A_2}{A_1} d_1$ મળે છે.
અહીં $A_1 = 100 \,cm^2$, $A_2 = 500 \,cm^2$, અને $d_1 = 0.5 \,mm = 0.05 \,cm$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $d_2 = \frac{500}{100} \times 0.05 \,cm = 5 \times 0.05 \,cm = 0.25 \,cm$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે, $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે, $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે。
શરૂઆતમાં, કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ છે。
જ્યારે પ્લેટોને નજીક લાવવામાં આવે છે જેથી નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ થાય, ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે:
$C_2 = \frac{k A \varepsilon_0}{d'} = \frac{k A \varepsilon_0}{d/2} = 2 \left( \frac{k A \varepsilon_0}{d} \right)$.
આ સમીકરણમાં $C_1$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $C_2 = 2C_1$ મળે છે。

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$
જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 10 \mu F$ છે.
જો અંતર બમણું કરવામાં આવે,તો નવું અંતર $d' = 2d$ થાય.
નવું કેપેસીટન્સ $C'$ નીચે મુજબ થશે:
$C' = \frac{\varepsilon_{0} A}{d'} = \frac{\varepsilon_{0} A}{2d}$
પ્રારંભિક કેપેસીટન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$C' = \frac{C}{2}$
$C' = \frac{10 \mu F}{2} = 5 \mu F$
તેથી,નવું કેપેસીટન્સ $5 \mu F$ થશે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{k \varepsilon_{0} A}{d}$
જ્યાં $k$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે,$\varepsilon_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $C \propto A$.
તેથી,જો પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ વધારવામાં આવે તો કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ વધે છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C$ એ સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસીટન્સ $C$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(C \propto \frac{1}{d})$.
તેથી,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ ઘટાડીને,કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C$ વધારી શકાય છે.

(B) જ્યારે કેપેસિટરને ચાર્જ કરવામાં આવે છે અને પછી બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે ચાર્જ વહેવા માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોને એકબીજાથી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર $d$ વધે છે,જેના કારણે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
ચાર્જ $Q$ અચળ હોવાથી અને $Q = CV$ હોવાથી,વોલ્ટેજ $V = \frac{Q}{C}$ વધવો જોઈએ કારણ કે $C$ ઘટે છે.
તેથી,કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ વધે છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A \varepsilon_0}$ --- $(i)$
$A$ ક્ષેત્રફળ અને $t$ અંતર ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ છે:
$C = \frac{A \varepsilon_0}{t}$
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $A \varepsilon_0 = Ct$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $A \varepsilon_0$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$E = \frac{Q}{Ct}$
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $\frac{Q}{Ct}$ છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર કુલ ક્ષેત્રના અડધા જેટલું હોય છે,તેથી એક પ્લેટને કારણે ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{E}{2} = \frac{V}{2 d}$ થાય.
પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C V$ છે.
એક પ્લેટ દ્વારા બીજી પ્લેટ પર લાગતું બળ $F = Q \times E_1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $F = (C V) \times \left( \frac{V}{2 d} \right) = \frac{C V^2}{2 d}$ મળે છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર '$E$' એ દરેક પ્લેટ દ્વારા વ્યક્તિગત રીતે ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
પ્લેટો સમાન હોવાથી,દરેક પ્લેટ $\frac{E}{2}$ મૂલ્યનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
એક પ્લેટ પર લાગતું બળ '$F$' એ બીજી પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે હોય છે.
તેથી,$F = Q \times (\text{બીજી પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ક્ષેત્ર}) = Q \times \frac{E}{2} = \frac{QE}{2}$.

(D) અંતરે રહેલી બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું બળ $F = qE = \frac{qV}{d}$ છે.
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m}$ થાય.
$F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $a = \frac{qV}{md}$ મળે છે.

(B) આદર્શ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે પ્લેટો અનંત વિસ્તારની છે,જેના પરિણામે તેમની વચ્ચે સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર હોય છે.
જો કે,સીમિત પ્લેટ પરિમાણો ધરાવતા વાસ્તવિક કેપેસિટર માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ કિનારીઓ પાસે સંપૂર્ણપણે સમાંતર રહેતી નથી.
તેના બદલે,તે પ્લેટોની કિનારીઓ પર બહારની તરફ ફૂલે છે અથવા વળે છે.
આ ઘટનાને ફ્રિન્જિંગ ઓફ ધ ફિલ્ડ (Fringing of the field) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) આપેલ છે કે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને ચાર્જ કરીને પછી અલગ કરવામાં આવે છે. તેથી,ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $C \propto \frac{1}{d}$.
જો પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે,તો કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
સંબંધ $Q = CV$ પરથી,આપણી પાસે $V = \frac{Q}{C}$ છે. કારણ કે $Q$ અચળ છે અને $C$ ઘટે છે,તેથી પોટેન્શિયલ $V$ વધવું જોઈએ.
આમ,પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર વધારતા,ચાર્જ અચળ રહે છે,પોટેન્શિયલ વધે છે અને કેપેસિટન્સ ઘટે છે.

(C) આ તંત્ર પ્લેટ '$Q$' સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટરનું બનેલું છે.
એક કેપેસિટર પ્લેટ '$P$' અને '$Q$' વચ્ચે $d$ અંતરે બને છે,અને બીજું પ્લેટ '$Q$' અને '$R$' વચ્ચે $2d$ અંતરે બને છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે '$P$' અને '$Q$' વચ્ચેનું કેપેસિટન્સ $C_1$ છે: $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
ધારો કે '$Q$' અને '$R$' વચ્ચેનું કેપેસિટન્સ $C_2$ છે: $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C_1}{2}$.
પ્લેટ '$P$' અને '$R$' બંને ગ્રાઉન્ડ કરેલ હોવાથી,બંનેનું સ્થિતિમાન $0 \,V$ છે. તેથી,પ્લેટ '$Q$' ના સંદર્ભમાં કેપેસિટર સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = C_1 + \frac{C_1}{2} = \frac{3}{2} C_1$ છે.
કિંમતો મુકતા: $C_1 = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 2}{2 \times 10^{-3}} = 8.85 \times 10^{-9} \,F$.
$C_{eq} = \frac{3}{2} \times 8.85 \times 10^{-9} = 1.3275 \times 10^{-8} \,F$.
પ્લેટ '$Q$' નું સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{C_{eq}} = \frac{8.85 \times 10^{-8}}{1.3275 \times 10^{-8}} = \frac{8.85}{1.3275} = \frac{20}{3} \,V$ થાય.

(D) સંતુલનમાં,કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ સ્પ્રિંગના બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 A} = \frac{C^2 V^2}{2 \varepsilon_0 A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેમ કે $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d'}$,જ્યાં $d'$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું નવું અંતર છે,તેથી $F = \frac{(\varepsilon_0 A / d')^2 V^2}{2 \varepsilon_0 A} = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2 d'^2}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક અંતર $d$ છે અને અંતિમ અંતર $d' = 0.75 d = \frac{3}{4} d$ છે,તેથી સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x = d - d' = d - \frac{3}{4} d = \frac{1}{4} d$ છે.
સ્પ્રિંગનું બળ $F_s = kx = k \left( \frac{1}{4} d \right)$ છે.
બળોને સરખાવતા: $\frac{\varepsilon_0 A V^2}{2 (\frac{3}{4} d)^2} = k \left( \frac{1}{4} d \right)$.
$\frac{\varepsilon_0 A V^2}{2 (\frac{9}{16} d^2)} = k \left( \frac{d}{4} \right)$.
$\frac{\varepsilon_0 A V^2}{\frac{9}{8} d^2} = k \left( \frac{d}{4} \right)$.
$\frac{8 \varepsilon_0 A V^2}{9 d^2} = k \left( \frac{d}{4} \right)$.
$k = \frac{32 \varepsilon_0 A V^2}{9 d^3}$.

(D) ધારો કે દરેક પ્લેટોની જોડીનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
આકૃતિ મુજબ,આ તંત્રને શ્રેણીમાં રહેલા બે કેપેસીટર ($C_1$ અને $C_2$) તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જે ત્રીજા કેપેસીટર $(C_3)$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
અહીં,$C_1 = C_2 = C_3 = C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
$C_1$ અને $C_2$ ના શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$ થાય.
હવે,$C_{12}$ અને $C_3$ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,કુલ કેપેસીટન્સ $C_T$ નીચે મુજબ મળે:
$C_T = C_{12} + C_3 = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$.
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે:
$C_T = \frac{3 \varepsilon_0 A}{2 d}$.

(B) પ્લેટો વચ્ચે સ્થાનાંતરિત થયેલા વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $Q = N \cdot e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $N = 10^{12}$ ઇલેક્ટ્રોન અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ આપેલ છે।
તેથી,$Q = 10^{12} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-7} \,C$.
ઉદભવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 10 \,V$ છે।
કેપેસિટન્સ $C$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $C = \frac{Q}{V}$.
કિંમતો મૂકતા,$C = \frac{1.6 \times 10^{-7}}{10} = 1.6 \times 10^{-8} \,F$.

(D) આ ગોઠવણીને સમાંતરમાં જોડાયેલા ત્રણ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $\frac{A}{3}$ છે.
ધારો કે સપાટ પ્લેટ અને પ્રથમ,બીજી અને ત્રીજી સીડી વચ્ચેનું અંતર અનુક્રમે $d$,$2d$ અને $3d$ છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d}$.
બીજા ભાગ માટે,$C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{6d}$.
ત્રીજા ભાગ માટે,$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$.
આ કેપેસિટરો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો છે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} + \frac{\varepsilon_0 A}{6d} + \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$
છેદમાં $18d$ સામાન્ય લેતા:
$C_{eq} = \frac{6\varepsilon_0 A + 3\varepsilon_0 A + 2\varepsilon_0 A}{18d} = \frac{11\varepsilon_0 A}{18d}$

(B) ધારો કે ચાર પ્લેટોને ઉપરથી નીચે $1, 2, 3, 4$ ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે. બહારની પ્લેટો $1$ અને $4$ ને એકસાથે જોડવામાં આવી છે. બિંદુઓ $A$ અને $B$ અનુક્રમે પ્લેટ $2$ અને $3$ સાથે જોડાયેલા છે.
પ્લેટ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે, એક કેપેસીટર $C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ છે.
પ્લેટ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે, એક કેપેસીટર $C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ છે.
પ્લેટ $3$ અને $4$ ની વચ્ચે, એક કેપેસીટર $C_3 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ છે.
પ્લેટ $1$ અને $4$ જોડાયેલી હોવાથી, તે સમાન પોટેન્શિયલ પર છે. ધારો કે આ પોટેન્શિયલ $V_0$ છે. પ્લેટ $2$ એ $V_A$ પોટેન્શિયલ પર છે અને પ્લેટ $3$ એ $V_B$ પોટેન્શિયલ પર છે.
કેપેસીટર $C_1$ એ $V_A$ અને $V_0$ ની વચ્ચે જોડાયેલું છે. કેપેસીટર $C_3$ એ $V_B$ અને $V_0$ ની વચ્ચે જોડાયેલું છે. કેપેસીટર $C_2$ એ $V_A$ અને $V_B$ ની વચ્ચે જોડાયેલું છે.
આ ગોઠવણી $C_1$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણ જેવી છે, જે $C_2$ સાથે સમાંતર છે.
$C_1 = C_2 = C_3 = C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{eq} = C_2 + (C_1 \text{ અને } C_3 \text{ નું શ્રેણી જોડાણ})$
$C_{eq} = C + \frac{C \times C}{C + C} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$
$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ મૂકતા, આપણને મળે છે:
$C_{eq} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

(A) અલગ કરેલા ચાર્જ થયેલ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{q}{A \varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે અચળ છે કારણ કે $q$,$A$ અને $\varepsilon_{0}$ અચળ છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ $F = qE = \frac{q^2}{2A \varepsilon_{0}}$ છે.
બળ અચળ હોવાથી,પ્લેટોનો પ્રવેગ $a$ અચળ છે $(a = F/m)$.
સમય $t$ પર પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d(t) = d_{0} - \frac{1}{2} a t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d_{0}$ એ પ્રારંભિક અંતર છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d(t) = E (d_{0} - \frac{1}{2} a t^2)$ છે.
આ સમીકરણ $V(t) = E d_{0} - (\frac{E a}{2}) t^2$ એ નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે,જે આલેખ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ ગોઠવણીમાં ચાર પ્લેટોનો સમાવેશ થાય છે. ધારો કે $P$ સાથે જોડાયેલી પ્લેટો ધન પ્લેટો છે અને $Q$ સાથે જોડાયેલી પ્લેટો ઋણ પ્લેટો છે.
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે પ્લેટો વચ્ચે બે કેપેસિટર બને છે.
દરેક કેપેસિટર $d$ અંતરે રહેલી અને $a$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી બે નજીકની પ્લેટો દ્વારા બને છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_{0} a}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો થશે.
$C_{eq} = C_{1} + C_{2} = \frac{\varepsilon_{0} a}{d} + \frac{\varepsilon_{0} a}{d} = \frac{2 \varepsilon_{0} a}{d}$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન (uniform) હોય છે.
બળનું સૂત્ર $F = eE$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $E$ એ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,તેથી પ્લેટોની વચ્ચે કોઈપણ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા અનુભવાતું બળ અચળ રહે છે.
આમ,બિંદુ $P$ અને $Q$ બંને પર ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતા બળો સમાન છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.