Electric potential and Potential Energy of dipole Questions in Gujarati

(C) ટૂંકા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે બિંદુ $(r, \theta)$ પરનું ઇલેક્ટ્રિક પોટેન્શિયલ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{p \cos \theta}{r^{2}}$
આપેલ કિંમતો:
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 16 \times 10^{-9} \, Cm$
અંતર $r = 0.6 \, m$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
અચળાંક $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \, Nm^{2}/C^{2}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{9 \times 10^{9} \times 16 \times 10^{-9} \times \cos(60^{\circ})}{(0.6)^{2}}$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$:
$V = \frac{9 \times 16 \times 0.5}{0.36}$
$V = \frac{72}{0.36}$
$V = 200 \, V$

(B) અંતરે રહેલા $Q$ અને $Q$ મૂલ્યના બે વિદ્યુતભારોના તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{k Q^2}{d} \quad \dots(i)$
જ્યારે ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q_3 = -Q/2$ ને મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક જોડી વચ્ચેનું નવું અંતર $d/2$ થાય છે.
તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $E^{\prime}$ એ તમામ જોડીઓની સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E^{\prime} = \frac{k Q_1 Q_2}{r_{12}} + \frac{k Q_2 Q_3}{r_{23}} + \frac{k Q_1 Q_3}{r_{13}}$
કિંમતો $Q_1 = Q$,$Q_2 = Q$,$Q_3 = -Q/2$,$r_{12} = d$,$r_{23} = d/2$,અને $r_{13} = d/2$ મૂકતા:
$E^{\prime} = \frac{k Q^2}{d} + \frac{k Q (-Q/2)}{d/2} + \frac{k Q (-Q/2)}{d/2}$
$E^{\prime} = \frac{k Q^2}{d} - \frac{k Q^2}{d} - \frac{k Q^2}{d}$
$E^{\prime} = -\frac{k Q^2}{d}$
સમીકરણ $(i)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $E^{\prime} = -E$ મળે છે.

(B) ટૂંકા વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે તેની અક્ષ પર $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$
આપેલ છે:
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 4 \times 10^{-12} \, C \cdot m$
અંતર $r = 3 \, m$
અચળાંક $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{3^2}$
$V = \frac{36 \times 10^{-3}}{9}$
$V = 4 \times 10^{-3} \, V$
કારણ કે $1 \, V = 1000 \, mV$,તેથી:
$V = 4 \, mV$.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુ $(r, \theta)$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 2 \times 10^{-8} \, C \cdot m$
અંતર $r = 3 \, m$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
અચળાંક $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{(2 \times 10^{-8}) \times \cos(60^{\circ})}{3^2}$
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times 10^{-8} \times 0.5}{9}$
$V = 10^9 \times 10^{-8} = 10 \, V$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $x$ અંતરે રહેલા ત્રણ વિદ્યુતભારો $-q, Q, -q$ માટે,જોડીઓ $(-q, Q)$ અંતર $x$ પર,$(Q, -q)$ અંતર $x$ પર,અને $(-q, -q)$ અંતર $2x$ પર છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા:
$U = \frac{k(-q)(Q)}{x} + \frac{k(Q)(-q)}{x} + \frac{k(-q)(-q)}{2x} = 0$
$-\frac{kqQ}{x} - \frac{kqQ}{x} + \frac{kq^2}{2x} = 0$
$-\frac{2kqQ}{x} + \frac{kq^2}{2x} = 0$
$\frac{kq^2}{2x} = \frac{2kqQ}{x}$
$q^2 = 4qQ$
$q = 4Q$
તેથી,ગુણોત્તર $Q: q = 1: 4$ થાય.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તંત્ર માટે,સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{k(q)(q)}{L} + \frac{k(q)(-2q)}{L} + \frac{k(q)(-2q)}{L}$
$U = \frac{k q^2}{L} - \frac{2k q^2}{L} - \frac{2k q^2}{L} = -\frac{3k q^2}{L}$
જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારોને ખૂબ દૂર (અનંત અંતરે) લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_{\infty} = 0$ થાય છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_{\text{ext}} = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}} = U_{\infty} - U$ દ્વારા મળે છે.
$W_{\text{ext}} = 0 - \left(-\frac{3k q^2}{L}\right) = \frac{3k q^2}{L} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3q^2}{L}$.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
અહીં,આપણી પાસે ત્રણ વિદ્યુતભારો છે:
$q_1 = q$,$x = -a$ પર
$q_2 = -q$,$x = 0$ પર
$q_3 = q$,$x = a$ પર
જોડીઓ $(q_1, q_2)$,$(q_2, q_3)$,અને $(q_1, q_3)$ છે.
તેમની વચ્ચેના અંતર:
$r_{12} = a$
$r_{23} = a$
$r_{13} = 2a$
સ્થિતિઊર્જાની ગણતરી:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(q)}{2a} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{2a} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{2q^2}{a} + \frac{q^2}{2a} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{-4q^2 + q^2}{2a} \right]$
$U = -\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right) \frac{3 q^2}{2 a}$

(A) વિદ્યુતભારોના તંત્રને ગોઠવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ જેટલું હોય છે.
$a$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,$a$ અંતરે (બાજુઓ પર) $4$ જોડી અને $a\sqrt{2}$ અંતરે (વિકર્ણો પર) $2$ જોડી વિદ્યુતભારો છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$
$U = 4 \left( \frac{k q^2}{a} \right) + 2 \left( \frac{k q^2}{a\sqrt{2}} \right)$
$U = \frac{4 k q^2}{a} + \frac{\sqrt{2} k q^2}{a}$
$U = \frac{k q^2}{a} (4 + \sqrt{2})$
આમ,જરૂરી કાર્ય $W = (4+\sqrt{2}) \frac{k q^2}{a}$ છે.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = U_f - U_i$.
ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -pE \cos \theta$ છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી $\theta_i = 0^{\circ}$. આમ,$U_i = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$.
અંતે,ડાયપોલને $180^{\circ}$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,તેથી $\theta_f = 180^{\circ}$. આમ,$U_f = -pE \cos(180^{\circ}) = pE$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = pE - (-pE) = 2pE$ છે.
અહીં $p = 6.0 \times 10^{-6} \, Cm$ અને $E = 1.5 \times 10^3 \, NC^{-1}$ આપેલ છે.
$W = 2 \times (6.0 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^3) = 18 \times 10^{-3} \, J = 18 \, mJ$.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુએ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે,અને $r$ એ ડાયપોલના કેન્દ્રથી અંતર છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્થિતિમાન $V$ એ અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$V \propto \frac{1}{r^2}$.

(B) ડાયપોલને કારણે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ દ્વારા દર્શાવતા બિંદુ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{k \vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક ડાયપોલ માટે,ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_1 = q(4 \hat{j}) \text{ mm} = 4q \hat{j} \text{ mm}$ છે.
બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 100 \hat{i} + 100 \hat{j} \text{ mm}$ છે.
તેથી,$V_0 = \frac{k (4q \hat{j}) \cdot (100 \hat{i} + 100 \hat{j})}{r^3} = \frac{k (400q)}{r^3}$.
નવી ડાયપોલ માટે,વિદ્યુતભારો $(-1, 2)$ અને $(1, -2)$ પર છે. ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}_2$ એ $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે:
$\vec{p}_2 = q [(-1 - 1) \hat{i} + (2 - (-2)) \hat{j}] = q (-2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \text{ mm}$.
નવી ડાયપોલને કારણે $P$ પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{k \vec{p}_2 \cdot \vec{r}}{r^3}$ છે.
$V = \frac{k [q (-2 \hat{i} + 4 \hat{j})] \cdot (100 \hat{i} + 100 \hat{j})}{r^3} = \frac{k q (-200 + 400)}{r^3} = \frac{k (200q)}{r^3}$.
$V$ અને $V_0$ ની સરખામણી કરતા:
$V = \frac{k (200q)}{r^3} = \frac{1}{2} \left( \frac{k (400q)}{r^3} \right) = \frac{V_0}{2}$.

(D) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ જે $r$ અંતરે રહેલા છે,તેમની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$
આપેલ છે:
$q_1 = 7 \ \mu C = 7 \times 10^{-6} \ C$
$q_2 = -4 \ \mu C = -4 \times 10^{-6} \ C$
યામ $(-7 \ cm, 0, 0)$ અને $(7 \ cm, 0, 0)$ છે.
વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$:
$r = \sqrt{(7 - (-7))^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} \ cm = 14 \ cm = 0.14 \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$ લેતા:
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (7 \times 10^{-6}) \times (-4 \times 10^{-6})}{0.14}$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (-28 \times 10^{-12})}{0.14}$
$U = \frac{-252 \times 10^{-3}}{0.14} = \frac{-0.252}{0.14} = -1.8 \ J$

(D) ગોઠવણી $(1)$ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U_1$ એ તમામ વિદ્યુતભારની જોડીઓની આંતરક્રિયા ઉર્જાનો સરવાળો છે. $a$ અંતરે $4$ જોડીઓ અને $a\sqrt{2}$ અંતરે $2$ જોડીઓ છે.
$U_1 = 4 \left( \frac{Kq_0^2}{a} \right) + 2 \left( \frac{Kq_0^2}{a\sqrt{2}} \right) = \frac{Kq_0^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.
ગોઠવણી $(2)$ માટે,વિદ્યુતભારો મધ્યબિંદુઓ પર છે. જોડીઓ વચ્ચેના અંતર છે: $a/\sqrt{2}$ અંતરે $4$ જોડીઓ (પાસેની બાજુઓ),અને $a$ અંતરે $2$ જોડીઓ (સામેની બાજુઓ).
$U_2 = 4 \left( \frac{Kq_0^2}{a/\sqrt{2}} \right) + 2 \left( \frac{Kq_0^2}{a} \right) = \frac{Kq_0^2}{a} (4\sqrt{2} + 2)$.
તફાવત $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{Kq_0^2}{a} (4\sqrt{2} + 2 - 4 - \sqrt{2}) = \frac{Kq_0^2}{a} (3\sqrt{2} - 2)$.

(B) આપેલ છે: ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 6 \times 10^{-6} \ Cm$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10^6 \ V/m$.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = U_f - U_i = -pE \cos \theta_f - (-pE \cos \theta_i) = pE(\cos \theta_i - \cos \theta_f)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_i = 0^\circ$.
અંતે,ડાયપોલ ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી $\theta_f = 180^\circ$.
કિંમતો મૂકતા: $W = pE(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ) = pE(1 - (-1)) = 2pE$.
$W = 2 \times (6 \times 10^{-6}) \times 10^6 = 12 \ J$.

(B) ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વીજભાર હોય છે. જ્યારે એક ઇલેક્ટ્રોન બીજા ઇલેક્ટ્રોન તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે સમાન વીજભારને કારણે તેમની વચ્ચે અપાકર્ષણ બળ ઉદભવે છે.
તેમને નજીક લાવવા માટે,આ અપાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આ કાર્ય તંત્રમાં સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
આમ,તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા વધે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,બે ઇલેક્ટ્રોનના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(-e)(-e)}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r}$
જેમ અંતર $r$ ઘટે છે,તેમ સ્થિતિઊર્જા $U$ વધે છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$180^{\circ}$ જેટલું ફેરવતા $\theta_2 = 180^{\circ}$ થાય છે.
$w = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$.
તેથી,$pE = \frac{w}{2}$.
બીજા કિસ્સામાં,$60^{\circ}$ જેટલું ફેરવતા $\theta_2 = 60^{\circ}$ થાય છે.
$W' = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = pE(1 - \frac{1}{2}) = pE(\frac{1}{2})$.
$pE = \frac{w}{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$W' = (\frac{w}{2}) \times (\frac{1}{2}) = \frac{w}{4}$.

(A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{E} = -pE \cos \theta$ છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_1 = -pE \cos 0^{\circ} = -pE(1) = -pE$.
અંતે,ડાયપોલને $90^{\circ}$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,તેથી $\theta_2 = 90^{\circ}$.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_2 - U_1$.
$W = 0 - (-pE) = pE$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ડાયપોલ માટે,બિંદુ $P$ નું $-q$ વિદ્યુતભારથી અંતર $(x+a)$ છે અને $+q$ વિદ્યુતભારથી અંતર $(x-a)$ છે.
$-q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{-q} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(-q)}{(x+a)}$ છે.
$+q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{+q} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(+q)}{(x-a)}$ છે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V_P$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V_P = V_{-q} + V_{+q} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a} \right]$.
$V_P = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{(x+a) - (x-a)}{(x-a)(x+a)} \right] = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{2a}{x^2-a^2} \right]$.
$V_P = \frac{2aq}{4 \pi \epsilon_0(x^2-a^2)} = \frac{aq}{2 \pi \epsilon_0(x^2-a^2)}$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \sum \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવેલા ત્રણ સમાન વિદ્યુતભારો $q$ માટે,કુલ સ્થિતિઊર્જા $U = 3 \times \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{r} \right)$ થાય.
આપેલ છે: $q = 3 \mu C = 3 \times 10^{-6} \ C$,$r = 6 \ cm = 0.06 \ m$,અને $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = 3 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{(3 \times 10^{-6})^2}{0.06} \right)$
$U = 3 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{9 \times 10^{-12}}{0.06} \right)$
$U = 3 \times \left( \frac{81 \times 10^{-3}}{0.06} \right)$
$U = 3 \times 1.35 = 4.05 \ J$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $4.1 \ J$ મળે છે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તંત્ર માટે,વિદ્યુતભારો $q_1 = Q$,$q_2 = -2q$,અને $q_3 = -2q$ છે. તેમની વચ્ચેના અંતર $r_{12} = l$,$r_{13} = l$,અને $r_{23} = \sqrt{l^2 + l^2} = l\sqrt{2}$ છે.
કુલ સ્થિતિ ઉર્જા:
$U = \frac{k Q(-2q)}{l} + \frac{k Q(-2q)}{l} + \frac{k (-2q)(-2q)}{l\sqrt{2}} = 0$
$k$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$-\frac{2Qq}{l} - \frac{2Qq}{l} + \frac{4q^2}{l\sqrt{2}} = 0$
$-\frac{4Qq}{l} + \frac{4q^2}{l\sqrt{2}} = 0$
$\frac{4Qq}{l} = \frac{4q^2}{l\sqrt{2}}$
$Q = \frac{q}{\sqrt{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$.
'$a$' બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે જેના શિરોબિંદુઓ પર '$q$','$q$',અને '$Q$' વિદ્યુતભારો છે,કુલ સ્થિતિઊર્જા:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q \cdot q}{a} + \frac{q \cdot Q}{a} + \frac{Q \cdot q}{a} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (q^2 + qQ + Qq) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (q^2 + 2qQ)$
તંત્રની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય હોવા માટે,આપણે $U = 0$ લઈએ છીએ:
$q^2 + 2qQ = 0$
$q(q + 2Q) = 0$
અહીં $q \neq 0$ હોવાથી,$q + 2Q = 0$ મળે,જેનું સાદુરૂપ આપતા $Q = -\frac{q}{2}$ મળે છે.

(B) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક અંતર $r_i = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{k q_1 q_2}{r_i}$.
જ્યારે $q_2$ ને $q_1$ તરફ $2 \ cm$ ખસેડવામાં આવે,ત્યારે નવું અંતર $r_f = 10 \ cm - 2 \ cm = 8 \ cm = 0.08 \ m$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{k q_1 q_2}{r_f}$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = 6 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 4 \times 10^{-6} \ C$.
$\Delta U = (9 \times 10^9) \times (6 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.08} - \frac{1}{0.1} \right)$.
$\Delta U = 216 \times 10^{-3} \times \left( 12.5 - 10 \right)$.
$\Delta U = 0.216 \times 2.5 = 0.54 \ J$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
$r$ બાજુ લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે, તંત્રની સ્થિતિઊર્જા:
$U = \frac{k(q)(2q)}{r} + \frac{k(q)(Q)}{r} + \frac{k(2q)(Q)}{r} = 0$
$\frac{k}{r}$ વડે ભાગતા:
$2q^2 + qQ + 2qQ = 0$
$2q^2 + 3qQ = 0$
$3qQ = -2q^2$
$Q = -\frac{2q}{3}$

(D) $n$ બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{\text{બધી જોડીઓ}} \frac{q_j q_k}{r_{jk}}$
અહીં ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1 = q$,$q_2 = -2q$,અને $q_3 = q$ અનુક્રમે $x = 0$,$x = r$,અને $x = 2r$ પર મૂકેલા છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \right]$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(q)(-2q)}{r} + \frac{(-2q)(q)}{r} + \frac{(q)(q)}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{2q^2}{r} - \frac{2q^2}{r} + \frac{q^2}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{4q^2}{r} + \frac{q^2}{2r} \right] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{-8q^2 + q^2}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( -\frac{7q^2}{2r} \right) = -\frac{7q^2}{8 \pi \varepsilon_0 r}$

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
આપેલ ગોઠવણી માટે,વિદ્યુતભારો $+Q$,$+2q$ અને $+q$ છે. તેમની વચ્ચેના અંતર $a$,$a$ અને $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q(2q)}{a} + \frac{Q(q)}{a} + \frac{(2q)(q)}{a\sqrt{2}} \right) = 0$
અહીં $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \neq 0$ હોવાથી:
$\frac{2Qq}{a} + \frac{Qq}{a} + \frac{2q^2}{a\sqrt{2}} = 0$
$\frac{3Qq}{a} + \frac{\sqrt{2}q^2}{a} = 0$
$3Qq + \sqrt{2}q^2 = 0$
$3Q = -\sqrt{2}q$
$Q = -\frac{\sqrt{2}}{3} q$

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ અલગ-અલગ વિદ્યુતભારની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે,જોડીઓ $(Q, +q)$,$(+q, +q)$ અને $(Q, +q)$ છે,જેમના અંતર અનુક્રમે $l$,$l$ અને $\sqrt{2}l$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{kQq}{l} + \frac{kq^2}{l} + \frac{kQq}{\sqrt{2}l} = 0$
$k/l$ વડે ભાગતા ($k \neq 0$ અને $l \neq 0$ ધારીને):
$Qq + q^2 + \frac{Qq}{\sqrt{2}} = 0$
$Qq(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Qq(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Q = -q^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{q(\sqrt{2}+1)}$
$Q = -\frac{\sqrt{2}q}{\sqrt{2}+1}$

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોની સિસ્ટમની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
અહીં $-q, Q, -q$ વિદ્યુતભારો $x$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે,તેથી જોડીઓ આ મુજબ છે: $(-q, Q)$ અંતર $x$ પર,$(Q, -q)$ અંતર $x$ પર,અને $(-q, -q)$ અંતર $2x$ પર.
કુલ સ્થિતિઊર્જા:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(-q)(Q)}{x} + \frac{(Q)(-q)}{x} + \frac{(-q)(-q)}{2x} \right) = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 x}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$):
$-qQ - qQ + \frac{q^2}{2} = 0$
$-2qQ + \frac{q^2}{2} = 0$
$2qQ = \frac{q^2}{2}$
બંને બાજુ $2q$ વડે ભાગતા (ધારો કે $q \neq 0$):
$Q = \frac{q}{4}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{Q}{q} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ અલગ-અલગ જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{i} q_{j}}{r_{ij}}$.
$10 \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$ ના ત્રણ સમાન વિદ્યુતભારો અને $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,ત્રણ સમાન જોડીઓ બને છે.
$U_{\text{system}} = 3 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{r} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$U_{\text{system}} = 3 \times (9 \times 10^{9}) \times \frac{(10 \times 10^{-6})^{2}}{0.1}$.
$U_{\text{system}} = 27 \times 10^{9} \times \frac{100 \times 10^{-12}}{0.1}$.
$U_{\text{system}} = 27 \times 10^{9} \times 1000 \times 10^{-12}$.
$U_{\text{system}} = 27 \times 10^{12} \times 10^{-12} = 27 \ J$.

(C) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ છે.
અહીં,વિદ્યુતભારો $q_1 = +q$ અને $q_2 = -q$ છે. તેથી,સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{k(q)(-q)}{r} = -\frac{k q^2}{r}$ થાય.
જેમ જેમ ધન વિદ્યુતભાર ઋણ વિદ્યુતભારની નજીક આવે છે,તેમ તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ ઘટે છે.
અહીં $r$ છેદમાં છે અને સ્થિતિઊર્જા ઋણ છે,તેથી જેમ $r$ ઘટે છે તેમ ઋણ મૂલ્યનું માન વધે છે,જેનો અર્થ છે કે $U$ નું મૂલ્ય વધુ ઋણ બને છે.
આમ,તંત્રની સ્થિતિઊર્જા ઘટશે.

(B) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે $r$ અંતરે રહેલા તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે.
પ્રોટોન $(+e)$ અને ઇલેક્ટ્રોન $(-e)$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{k(e)(-e)}{r} = -\frac{k e^2}{r}$ થાય છે.
જેમ પ્રોટોન ઇલેક્ટ્રોનથી દૂર જાય છે,તેમ તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ વધે છે.
અહીં $r$ છેદમાં છે અને સ્થિતિ ઊર્જા ઋણ છે,તેથી જેમ $r$ વધે છે તેમ $-\frac{k e^2}{r}$ ની કિંમત ઓછી ઋણ બને છે (એટલે કે તે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે).
તેથી,તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$.
આપેલ છે:
$q_1 = q_2 = -2 \mu C = -2 \times 10^{-6} \text{ C}$
$r = 1 \text{ m}$
$k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{(9 \times 10^9) \times (-2 \times 10^{-6}) \times (-2 \times 10^{-6})}{1}$
$U = 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}$
$U = 36 \times 10^{-3} \text{ J}$
$U = 3.6 \times 10^{-2} \text{ J}$.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: જો વિદ્યુતભારો સમાન પ્રકારના હોય (બંને ધન અથવા બંને ઋણ),તો $q_1 q_2 > 0$ થાય. જેમ અંતર $r$ વધે છે,તેમ $U$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
કિસ્સો $2$: જો વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ પ્રકારના હોય (એક ધન અને એક ઋણ),તો $q_1 q_2 < 0$ થાય. જેમ અંતર $r$ વધે છે,તેમ $|U|$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,પરંતુ $U$ ઋણ હોવાથી,$U$ નું મૂલ્ય વધે છે (તે શૂન્યની નજીક જાય છે).
તેથી,વિદ્યુતભારોના પ્રકારના આધારે સ્થિતિઊર્જા વધી શકે અથવા ઘટી શકે છે.

(A) ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3$ ધરાવતા તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U$,જે $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ અંતરે રહેલા છે,તેનું સૂત્ર $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_1q_2}{r_{12}} + \frac{q_2q_3}{r_{23}} + \frac{q_3q_1}{r_{31}}]$ છે.
અહીં,વિદ્યુતભારો $q_1 = +q$,$q_2 = +q$ અને $q_3 = Q$ છે. દરેક જોડી વચ્ચેનું અંતર $a$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{K}{a} [q \cdot q + q \cdot Q + Q \cdot q] = 0$
અહીં $K/a \neq 0$ હોવાથી,કૌંસની અંદરની પદાવલિ શૂન્ય થવી જોઈએ:
$q^2 + 2qQ = 0$
$2qQ = -q^2$
$Q = -\frac{q^2}{2q} = -\frac{q}{2}$

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$
અહીં $q_1 = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_2 = 6 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_3 = 9 \times 10^{-9} \text{ C}$ અને $r = 0.1 \text{ m}$ છે.
$U = \frac{9 \times 10^9}{0.1} \left( (3 \times 6) + (6 \times 9) + (9 \times 3) \right) \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 9 \times 10^{11} \times (18 + 54 + 27) \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 9 \times 10^{11} \times 99 \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 891 \times 10^{-7} \text{ J} = 8.91 \times 10^{-6} \text{ J}$

(B) બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આકૃતિ પરથી,$A$ પરની ડાયપોલ $+x$-દિશામાં $(\theta_A = 0^{\circ})$ અને $B$ પરની ડાયપોલ $+y$-દિશામાં $(\theta_B = 90^{\circ})$ ગોઠવાયેલી છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા: $U_i = (-pE \cos 0^{\circ}) + (-pE \cos 90^{\circ}) = -pE + 0 = -pE$.
બંને ડાયપોલને ઘડિયાળની દિશામાં $90^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી:
$A$ પરની ડાયપોલ (શરૂઆતમાં $0^{\circ}$ પર) $-90^{\circ}$ (અથવા $270^{\circ}$) પર ફરે છે.
$B$ પરની ડાયપોલ (શરૂઆતમાં $90^{\circ}$ પર) $0^{\circ}$ પર ફરે છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા: $U_f = (-pE \cos(-90^{\circ})) + (-pE \cos 0^{\circ}) = 0 - pE = -pE$.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_f - U_i = (-pE) - (-pE) = 0$.

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 4 \times 10^{-8} \text{ C}$,અંતર $2a = 2 \times 10^{-2} \text{ cm} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}$.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times 2a = (4 \times 10^{-8} \text{ C}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}) = 8 \times 10^{-12} \text{ Cm}$.
મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ હોય $(\theta = 90^{\circ})$:
$\tau_{\max} = pE \sin 90^{\circ} = pE = (8 \times 10^{-12} \text{ Cm}) \times (4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}) = 32 \times 10^{-4} \text{ Nm}$.
ડાયપોલને $\theta_1 = 0^{\circ}$ થી $\theta_2 = 180^{\circ}$ સુધી ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$:
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2) = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$.
$W = 2 \times (8 \times 10^{-12} \text{ Cm}) \times (4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}) = 64 \times 10^{-4} \text{ J}$.
આમ,મહત્તમ ટોર્ક $32 \times 10^{-4} \text{ Nm}$ અને કાર્ય $64 \times 10^{-4} \text{ J}$ છે.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(-q)}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{3q^2}{2a}] = -\frac{3q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યના $+q$ વિદ્યુતભારને એક $-q$ વિદ્યુતભાર સાથે બદલ્યા પછી,નવી ગોઠવણી $-q, -q, +q$ થાય છે,જેમાં પાસપાસેના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $a$ અને બહારના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $2a$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(-q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{q^2}{2a}] = -\frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}$ છે.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a} - (-\frac{3q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}) = \frac{2q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$ છે.

(B) આપેલ છે:
$q_1 = 5 \text{ nC} = 5 \times 10^{-9} \text{ C}$
$q_2 = -2 \text{ nC} = -2 \times 10^{-9} \text{ C}$
વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r = (23 - 5) \text{ cm} = 18 \text{ cm} = 18 \times 10^{-2} \text{ m}$ છે.
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{k q_1 q_2}{r}$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{(9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2) \times (5 \times 10^{-9} \text{ C}) \times (-2 \times 10^{-9} \text{ C})}{18 \times 10^{-2} \text{ m}}$
$U = \frac{9 \times 5 \times (-2) \times 10^{9-9-9}}{18 \times 10^{-2}} \text{ J}$
$U = \frac{-90 \times 10^{-9}}{18 \times 10^{-2}} \text{ J}$
$U = -5 \times 10^{-7} \text{ J}$

(C) આપેલ છે:
સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = 1.8 \mu \text{ J} = 1.8 \times 10^{-6} \text{ J}$
અંતર $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
વિદ્યુતભાર $Q_1 = 4 \text{ nC} = 4 \times 10^{-9} \text{ C}$
કુલંબનો અચળાંક $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
બે વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર:
$U = \frac{k Q_1 Q}{r}$
કિંમતો મૂકતા:
$1.8 \times 10^{-6} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-9} \times Q}{0.1}$
$1.8 \times 10^{-6} = \frac{36 \times Q}{0.1}$
$1.8 \times 10^{-6} = 360 \times Q$
$Q = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{360}$
$Q = 0.005 \times 10^{-6} \text{ C}$
$Q = 5 \times 10^{-9} \text{ C} = 5 \text{ nC}$

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ $U = k \sum \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1 = 1 \text{ m}$ બાજુવાળા ત્રિકોણ માટે પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i$:
$U_i = k \left[ \frac{1 \times 2}{1} + \frac{2 \times 3}{1} + \frac{3 \times 1}{1} \right] = k [2 + 6 + 3] = 11k$.
$r_2 = 0.5 \text{ m}$ બાજુવાળા ત્રિકોણ માટે અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f$:
$U_f = k \left[ \frac{1 \times 2}{0.5} + \frac{2 \times 3}{0.5} + \frac{3 \times 1}{0.5} \right] = k [4 + 12 + 6] = 22k$.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$W = U_f - U_i = 22k - 11k = 11k$.
અહીં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ લેતા,
$W = 11 \times 9 \times 10^9 = 99 \times 10^9 \text{ J}$.

(A) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ જેટલું હોય છે.
$W = U_f - U_i = k q_1 q_2 (\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i})$
આપેલ છે: $q_1 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 12 \times 10^{-6} \ C$,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$.
પ્રારંભિક અંતર $r_i = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
અંતિમ અંતર $r_f = 10 \ cm - 6 \ cm = 4 \ cm = 0.04 \ m$.
$W = (9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-6}) \times (12 \times 10^{-6}) \times (\frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.1})$
$W = 1.08 \times (25 - 10) = 1.08 \times 15 = 16.2 \ J$.
નોંધ: ગણતરી કરેલ પરિણામ $16.2 \ J$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિ ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
આપેલ તંત્ર માટે,જેમાં $-q$,$+q$,અને $Q$ વિદ્યુતભારો કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર છે,જેની બાજુઓ $x, x$ અને કર્ણ $\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x$ છે,કુલ સ્થિતિ ઊર્જા:
$U = k \left[ \frac{(-q)(q)}{x} + \frac{(q)(Q)}{x} + \frac{(-q)(Q)}{\sqrt{2}x} \right]$
તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય કરવા માટે,$U = 0$ લેતા:
$0 = k \left[ -\frac{q^2}{x} + \frac{qQ}{x} - \frac{qQ}{\sqrt{2}x} \right]$
$\frac{kq}{x}$ વડે ભાગતા:
$0 = -q + Q - \frac{Q}{\sqrt{2}}$
$q = Q \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$Q = \frac{\sqrt{2} q}{\sqrt{2} - 1}$
વિકલ્પ $C$ ને તપાસતા: $\frac{2q}{2-\sqrt{2}} = \frac{2q(2+\sqrt{2})}{4-2} = (2+\sqrt{2})q$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = 4 \mu C$ (બિંદુ $A$ પર),$q_2 = 3 \mu C$ (બિંદુ $B$ પર),અને $q_3 = 5 \mu C$ (બિંદુ $C$ પર) છે.
શરૂઆતના કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,બાજુઓ $AB = 4 \text{ cm}$ અને $BC = 3 \text{ cm}$ છે.
કર્ણ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ cm} = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$.
શરૂઆતની સ્થિતિઊર્જા $U_i$ નીચે મુજબ છે:
$U_i = k \left( \frac{q_1 q_2}{AB} + \frac{q_2 q_3}{BC} + \frac{q_1 q_3}{AC} \right)$
$U_i = 9 \times 10^9 \left( \frac{4 \times 3 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-2}} + \frac{3 \times 5 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-2}} + \frac{4 \times 5 \times 10^{-12}}{5 \times 10^{-2}} \right)$
$U_i = 9 \times 10^9 \times 10^{-10} (3 + 5 + 4) = 9 \times 10^{-1} \times 12 = 10.8 \text{ J}$.
અંતિમ સ્થિતિમાં,વિદ્યુતભારો $a = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f$ છે:
$U_f = \frac{k}{a} (q_1 q_2 + q_2 q_3 + q_1 q_3)$
$U_f = \frac{9 \times 10^9}{3 \times 10^{-2}} (4 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 5) \times 10^{-12}$
$U_f = 3 \times 10^{11} \times (12 + 15 + 20) \times 10^{-12} = 3 \times 10^{-1} \times 47 = 14.1 \text{ J}$.
થયેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = 14.1 \text{ J} - 10.8 \text{ J} = 3.3 \text{ J}$.

(C) $r = 0.5 \ m$ અને $q = 2 \times 10^{-3} \ C$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર રહેલા ત્રણ વિદ્યુતભારોના તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા:
$U = 3 \times \frac{k q^2}{r} = 3 \times \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-3})^2}{0.5} = 3 \times \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{0.5} = 216 \times 10^3 \ J$
જ્યારે એક વિદ્યુતભારને બાકીના બે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે નવા અંતરો આ મુજબ છે: બે વિદ્યુતભારો ખસેડાયેલા વિદ્યુતભારથી $0.25 \ m$ અંતરે છે,અને બે સ્થિર વિદ્યુતભારો એકબીજાથી $0.5 \ m$ અંતરે છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U'$:
$U' = \frac{k q^2}{0.25} + \frac{k q^2}{0.25} + \frac{k q^2}{0.5} = k q^2 \left( 4 + 4 + 2 \right) = 10 k q^2 = 10 \times 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6} = 360 \times 10^3 \ J$
થયેલું કાર્ય (જરૂરી ઉર્જા) $\Delta U = U' - U = (360 - 216) \times 10^3 = 144 \times 10^3 \ J$
આપેલ પાવર $P = 2 \ kW = 2000 \ W$ માટે,લાગતો સમય $t$:
$t = \frac{\Delta U}{P} = \frac{144 \times 10^3}{2 \times 10^3} = 72 \ s$

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તંત્ર માટે,વિદ્યુતભારો $Q, +q, +q$ છે અને તેમની વચ્ચેના અંતર $a, a$ અને $\sqrt{2}a$ છે.
કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{Q \cdot q}{a} + \frac{Q \cdot q}{a} + \frac{q \cdot q}{\sqrt{2}a} \right]$ છે.
આપેલ છે કે કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $U = 0$ છે,તેથી:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{2Qq}{a} + \frac{q^2}{\sqrt{2}a} \right] = 0$.
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0 a}$ વડે ભાગતા,આપણને $2Qq + \frac{q^2}{\sqrt{2}} = 0$ મળે છે.
$2Qq = -\frac{q^2}{\sqrt{2}}$.
$Q = -\frac{q}{2\sqrt{2}}$.

(D) વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુ $(r, \theta)$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(a, 0, 0)$ એ ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર આવેલું છે (જે $z$-અક્ષ પર છે),તેથી ખૂણો $\theta_A = 90^{\circ}$ છે. આમ,$A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{p \cos 90^{\circ}}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} = 0$ થાય.
બિંદુ $B(0, 0, a)$ એ ડાયપોલની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ખૂણો $\theta_B = 0^{\circ}$ છે. આમ,$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{p \cos 0^{\circ}}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$ થાય.
$A$ થી $B$ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = q \left( \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} - 0 \right) = \frac{p q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$ મળે છે.