Electric Dipole and Electric Field Questions in Hindi

(B) एक विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय स्थिति में स्थित किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विद्युत विभव $V$,दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$V \propto \frac{1}{r^2}$ या $V \propto r^{-2}$।

(D) हवा में द्विध्रुव की अक्ष पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{axis}} = \frac{2kP}{r^3}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $E_{\text{axis}} = 4 \text{ NC}^{-1}$,इसलिए $4 = \frac{2kP}{r^3}$,जिसका अर्थ है $\frac{kP}{r^3} = 2$ (समीकरण $i$)।
$K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{eq}} = \frac{1}{K} \frac{kP}{r_1^3}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$r_1 = 2r$ और $K = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $E_{\text{eq}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{kP}{(2r)^3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{kP}{8r^3} = \frac{1}{32} \cdot \frac{kP}{r^3}$।
समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए,$\frac{kP}{r^3} = 2$,इसलिए $E_{\text{eq}} = \frac{1}{32} \times 2 = \frac{1}{16} \text{ NC}^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times d = (1 \times 10^{-6} \ C) \times (1 \ m) = 10^{-6} \ Cm$ है।
केंद्र के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = m(d/2)^2 + m(d/2)^2 = m(d^2/2) = 1 \times (1^2/2) = 0.5 \ kg \ m^2$ है।
छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए, प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -pE \sin \theta \approx -pE \theta$ है।
चूंकि $\tau = I \alpha$, हमारे पास $I \alpha = -pE \theta$ है, जो $\alpha = -(pE/I) \theta$ देता है।
यह कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{pE/I}$ के साथ सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
मान रखने पर: $\omega = \sqrt{(10^{-6} \times 2 \times 10^4) / 0.5} = \sqrt{2 \times 10^{-2} / 0.5} = \sqrt{0.04} = 0.2 \ rad/s$।
चरम स्थिति से माध्य स्थिति में वापस आने में लगा समय $t = T/4 = (2 \pi / \omega) / 4 = \pi / (2 \omega)$ है।
$t = \pi / (2 \times 0.2) = \pi / 0.4 = 2.5 \pi \ s$।

(A) एक छोटे द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र इस प्रकार दिया जाता है:
$E_{axial} = \frac{2kp}{r^3}$
एक छोटे द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर $2r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र इस प्रकार दिया जाता है:
$E_{equatorial} = \frac{kp}{(2r)^3} = \frac{kp}{8r^3}$
प्रश्न के अनुसार,$E_{axial} = x \cdot E_{equatorial}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2kp}{r^3} = x \cdot \frac{kp}{8r^3}$
दोनों पक्षों से $kp/r^3$ को काटने पर:
$2 = \frac{x}{8}$
$x = 16$

(A) जब छड़ को मुक्त किया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र में स्थित यह द्विध्रुव व्यवस्था सरल आवर्त गति $(SHM)$ करेगी। इस $SHM$ का आवर्तकाल $T$ निम्न द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{pE}}$
जहाँ $I$ द्विध्रुव का जड़त्व आघूर्ण है,$p$ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है और $E$ विद्युत क्षेत्र है।
छड़ के केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m(l/2)^2 + m(l/2)^2 = 2m(l/2)^2 = \frac{ml^2}{2}$ होता है।
दिया गया है: $m = 9.8 \times 10^{-3} \text{ kg}$,$l = 0.5 \text{ m}$,$q = 20 \times 10^{-6} \text{ C}$,$E = 12.1 \text{ N/C}$.
$I = \frac{9.8 \times 10^{-3} \times (0.5)^2}{2} = 4.9 \times 10^{-3} \times 0.25 = 1.225 \times 10^{-3} \text{ kg m}^2$.
$p = q \times l = 20 \times 10^{-6} \times 0.5 = 10^{-5} \text{ C m}$.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.225 \times 10^{-3}}{10^{-5} \times 12.1}} = 2\pi \sqrt{\frac{1.225 \times 100}{12.1}} = 2\pi \sqrt{\frac{122.5}{12.1}} \approx 2\pi \sqrt{10.12} \approx 2\pi \times 3.18 \approx 20 \text{ s}$.
छड़ को प्रारंभिक छोटे कोण से समानांतर स्थिति (साम्यावस्था) तक पहुँचने में लगा समय $T/4$ होता है।
आवश्यक समय $= \frac{20}{4} = 5 \text{ s}$.

(D) आवेश $q_1 = 10 \mu C$ और $q_2 = -10 \mu C$ हैं। उनके बीच की दूरी $2a = 10 \ cm$ है,इसलिए $a = 5 \ cm = 0.05 \ m$ है।
बिंदु $P$ लंब समद्विभाजक पर मध्य बिंदु से $r = 12 \ cm = 0.12 \ m$ की दूरी पर है।
प्रत्येक आवेश से बिंदु $P$ तक की दूरी $d = \sqrt{r^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \ cm = 0.13 \ m$ है।
प्रत्येक आवेश के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{k|q|}{d^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6}}{(0.13)^2} = \frac{9 \times 10^4}{0.0169} \approx 5.325 \times 10^6 \ N \ C^{-1}$ है।
$AB$ रेखा के लंबवत विद्युत क्षेत्र के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि $AB$ के समानांतर घटक जुड़ जाते हैं।
कुल विद्युत क्षेत्र $E_{\text{net}} = 2E \cos(\theta)$ है,जहाँ $\cos(\theta) = \frac{a}{d} = \frac{5}{13}$ है।
$E_{\text{net}} = 2 \times \left( \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6}}{(0.13)^2} \right) \times \frac{5}{13} = 2 \times \frac{9 \times 10^4}{0.0169} \times \frac{5}{13} \approx 4.1 \times 10^6 \ N \ C^{-1}$।

(B) $+q$ और $-q$ आवेशों को जोड़ने वाली रेखा एक विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) बनाती है।
द्विध्रुव के लंब समद्विभाजक (निरक्षीय रेखा) पर स्थित कोई भी बिंदु दोनों आवेशों से समान दूरी पर होता है।
माना लंब समद्विभाजक पर स्थित बिंदु $P$ की $+q$ से दूरी $r_1$ और $-q$ से दूरी $r_2$ है। चूँकि $P$ लंब समद्विभाजक पर है, इसलिए $r_1 = r_2 = r$ होगा।
बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{r} + \frac{-q}{r}) = 0$ होता है।
हालाँकि, बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E$, $+q$ और $-q$ के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है। चूँकि दोनों क्षेत्र शून्य नहीं हैं और उनकी दिशा ऐसी है कि वे एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं (परिणामी क्षेत्र द्विध्रुव अक्ष के समानांतर होता है), इसलिए विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य नहीं होती है।
अतः, विद्युत विभव शून्य है, लेकिन विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य नहीं है।

(C) शीर्ष $B$ पर स्थित $2q$ आवेश को दो $+q$ आवेशों में विभाजित किया जा सकता है। एक $+q$ आवेश शीर्ष $A$ पर स्थित $-q$ आवेश के साथ द्विध्रुव बनाता है,और दूसरा $+q$ आवेश शीर्ष $C$ पर स्थित $-q$ आवेश के साथ द्विध्रुव बनाता है।
माना $AB = d_1$ और $BC = d_2$ है।
त्रिभुज से,$d_1 = 10 \cos 30^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$ और $d_2 = 10 \sin 30^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ cm}$ है।
द्विध्रुव आघूर्ण $p_1$ ($BA$ की दिशा में) $q \times d_1 = 5\sqrt{3}q \text{ C-cm}$ है।
द्विध्रुव आघूर्ण $p_2$ ($BC$ की दिशा में) $q \times d_2 = 5q \text{ C-cm}$ है।
चूंकि ये दोनों द्विध्रुव एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $P$ होगा:
$P = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{(5\sqrt{3}q)^2 + (5q)^2} = \sqrt{75q^2 + 25q^2} = \sqrt{100q^2} = 10q \text{ C-cm}$.

(C) तीसरा कथन गलत है। बाहरी विद्युत क्षेत्र में स्थित विद्युत द्विध्रुव पर एक टॉर्क कार्य करता है जो द्विध्रुव आघूर्ण $p$ को बाहरी विद्युत क्षेत्र $E$ की दिशा में संरेखित करने का प्रयास करता है। यह संरेखण न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $(U = -p \cdot E)$ और अधिकतम स्थिरता की स्थिति के अनुरूप है। इसलिए, द्विध्रुव विपरीत दिशा में उन्मुख नहीं होता है।

(B) दो समान और विपरीत आवेशों ($+q$ और $-q$) को जोड़ने वाली रेखा के लंब समद्विभाजक को विद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा (equatorial line) कहा जाता है।
निरक्षीय रेखा पर द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु पर, विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का योग होता है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{r_1} + \frac{-q}{r_2} \right)$
चूंकि लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु दोनों आवेशों से समान दूरी पर होता है, इसलिए $r_1 = r_2$, जिसका अर्थ है कि $V = 0$ है।
हालाँकि, इस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ शून्य नहीं होती है। यह द्विध्रुव अक्ष के समानांतर ($+q$ से $-q$ की ओर) निर्देशित होती है और इसका मान $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^3}$ ($r \gg a$ के लिए) द्वारा दिया जाता है।

(B) एक अनंत आवेशित बेलन के कारण उसकी अक्ष से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E \propto \frac{1}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $+Q$ आवेश बेलन के करीब है,इसलिए $+Q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $(E_1)$,$-Q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $(E_2)$ से अधिक है,अर्थात $E_1 > E_2$ है।
$+Q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_1 = Q E_1$ है (बेलन से दूर,अर्थात दाईं ओर)।
$-Q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_2 = Q E_2$ है (बेलन की ओर,अर्थात बाईं ओर)।
चूंकि $E_1 > E_2$ है,इसलिए नेट बल $F_{\text{net}} = F_1 - F_2$ दाईं ओर कार्य करता है।
टॉर्क के संबंध में,बल $F_1$ छड़ के केंद्र से अधिक दूरी पर कार्य करता है और यह बड़ा है,जबकि $F_2$ कम दूरी पर कार्य करता है। इन बलों का संयोजन छड़ के केंद्र के परितः एक दक्षिणावर्त टॉर्क उत्पन्न करता है।

(B, C) एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में,$+q$ आवेश पर बल $\vec{F}_+ = q\vec{E}$ है और $-q$ आवेश पर बल $\vec{F}_- = -q\vec{E}$ है।
द्विध्रुव पर कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_+ + \vec{F}_- = q\vec{E} - q\vec{E} = 0$ है। अतः,द्विध्रुव पर कुल बल हमेशा शून्य होता है।
द्विध्रुव पर बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि बल आघूर्ण को द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है,यह एक भौतिक राशि है और निर्देशांक प्रणाली के चयन से स्वतंत्र है।
इसलिए,कथन $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(A) तीन आवेशों के कारण $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{q}{(x-a)^2} - \frac{2q}{x^2} + \frac{q}{(x+a)^2} \right]$
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{(x+a)^2 - 2(x^2-a^2) + (x-a)^2}{x^2(x^2-a^2)} \right]$
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{x^2 + 2ax + a^2 - 2x^2 + 2a^2 + x^2 - 2ax + a^2}{x^2(x^2-a^2)} \right]$
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{4a^2}{x^2(x^2-a^2)} \right]$
चूंकि $x \gg a$,हम $x^2 - a^2 \approx x^2$ मान सकते हैं:
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{4a^2}{x^2(x^2)} \right] = \frac{4Q}{4 \pi \epsilon_0 x^4}$
$qa^2 = Q$ दिया गया है,अतः $E = \frac{4Q}{4 \pi \epsilon_0 x^4}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $E = \frac{\alpha Q}{4 \pi \epsilon_0 x^\beta}$ से करने पर,हमें $\alpha = 4$ और $\beta = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = \beta$।

(D) द्विध्रुव आघूर्ण $P_1 = q_1 \times l_1 = 2 \times 10^{-6} \text{ C} \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \times 10^{-8} \text{ Cm}$ और $P_2 = q_2 \times l_2 = 4 \times 10^{-6} \text{ C} \times 10^{-2} \text{ m} = 4 \times 10^{-8} \text{ Cm}$ हैं।
बिंदु $P$ प्रत्येक द्विध्रुव के केंद्र से $r = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$ की दूरी पर है।
द्विध्रुव $A$ के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्षीय रेखा पर है। विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1 = \frac{2KP_1}{r^3} \hat{i} = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-8})}{(0.4)^3} \hat{i} = 5625 \hat{i} \text{ N/C}$ है।
द्विध्रुव $B$ के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर है। विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_2 = -\frac{KP_2}{r^3} \hat{j} = -\frac{(9 \times 10^9) \times (4 \times 10^{-8})}{(0.4)^3} \hat{j} = -5625 \hat{j} \text{ N/C}$ है।
कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 5625(\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/C}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{E}_{net}| = 5625 \sqrt{2} \text{ N/C}$ है।
चूंकि $5625 = \frac{9 \times 10^4}{16}$,इसलिए परिमाण $\frac{9}{16} \sqrt{2} \times 10^4 \text{ N/C}$ प्राप्त होता है।

(C) आवेशों के निकाय का द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p} = \sum q_i \vec{r}_i$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए आवेश $q_1 = +2q$ स्थिति $\vec{r}_1 = (0, -3a) = -3a\hat{j}$ पर,$q_2 = +3q$ स्थिति $\vec{r}_2 = (2a, 0) = 2a\hat{i}$ पर,और $q_3 = -4q$ स्थिति $\vec{r}_3 = (-2a, 0) = -2a\hat{i}$ पर हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\vec{p} = (2q)(-3a\hat{j}) + (3q)(2a\hat{i}) + (-4q)(-2a\hat{i})$
$\vec{p} = -6qa\hat{j} + 6qa\hat{i} + 8qa\hat{i}$
$\vec{p} = (6qa + 8qa)\hat{i} - 6qa\hat{j}$
$\vec{p} = 14qa\hat{i} - 6qa\hat{j}$
$\vec{p} = 2qa(7\hat{i} - 3\hat{j})$

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = PE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^\circ$ है।
अंत में,द्विध्रुव को $90^\circ$ के कोण पर घुमाया जाता है,इसलिए अंतिम कोण $\theta_2 = 90^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = PE(\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$
चूंकि $\cos 0^\circ = 1$ और $\cos 90^\circ = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$W = PE(1 - 0) = PE$.

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में द्विध्रुव के दोलन की आवृत्ति $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{pE}{I}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
प्रारंभ में,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1 = E_0\hat{i}$ है,इसलिए इसका परिमाण $E_1 = E_0$ है।
आवृत्ति $\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{pE_0}{I}}$ है।
जब दूसरा क्षेत्र $\vec{E}_2 = 2E_0\hat{j} + 2E_0\hat{k}$ जोड़ा जाता है,तो परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{res} = E_0\hat{i} + 2E_0\hat{j} + 2E_0\hat{k}$ होता है।
परिणामी क्षेत्र का परिमाण $E_{res} = \sqrt{E_0^2 + (2E_0)^2 + (2E_0)^2} = \sqrt{E_0^2 + 4E_0^2 + 4E_0^2} = \sqrt{9E_0^2} = 3E_0$ है।
नई आवृत्ति $\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{p(3E_0)}{I}} = \sqrt{3} \nu_1$ है।
आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\nu_2 - \nu_1}{\nu_1} \times 100 = (\sqrt{3} - 1) \times 100 \approx (1.732 - 1) \times 100 = 73.2\%$ है।
अतः,लगभग प्रतिशत परिवर्तन $73\%$ है।

(B) एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के लिए,द्विध्रुव अक्ष से $r$ दूरी और $\theta$ कोण पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_r \hat{r} + E_\theta \hat{\theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_r = \frac{2kp\cos\theta}{r^3}$ और $E_\theta = \frac{kp\sin\theta}{r^3}$ है।
द्विध्रुव $A$ के लिए,बिंदु $x$ उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ है। $A$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_A = \frac{2kp_1}{r^3}$ रेखा $Ox$ की दिशा में है।
द्विध्रुव $B$ के लिए,बिंदु $x$ उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ है। $B$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_B = \frac{kp_2}{r^3}$ रेखा $Ox$ के लंबवत है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र रेखा $Ox$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। इसलिए,$\tan 60^{\circ} = \frac{E_B}{E_A}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\sqrt{3} = \frac{kp_2/r^3}{2kp_1/r^3} = \frac{p_2}{2p_1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{p_2}{p_1} = 2\sqrt{3}$ है।