Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Gujarati

(B) આપેલ પરિપથ એ કેન્દ્રિય નોડ ધરાવતું ષટ્કોણીય નેટવર્ક છે. આપણે આને સંમિતિ (symmetry) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકીએ છીએ.
અક્ષ $AB$ ની આસપાસ સંમિતિનું અવલોકન કરતા,અક્ષની ઉપર અને નીચેના નોડ્સ પરનું સ્થિતિમાન સમાન છે.
આ આપણને અક્ષ $AB$ પર પરિપથને વાળીને તેને સરળ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે.
વાળ્યા પછી,ઉપરના અડધા ભાગમાં અને નીચેના અડધા ભાગમાં રહેલા અવરોધો સમાંતરમાં જોડાય છે.
ઉપરની શાખા અસરકારક રીતે $R$ ના બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો બની જાય છે,જે $2R$ આપે છે. નીચેની શાખા પણ $2R$ બની જાય છે.
કેન્દ્રિય આડો અવરોધ $R$ રહે છે.
હવે,$A$ અને $B$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે: એક $2R$ અવરોધ સાથે,એક $R$ સાથે,અને એક $2R$ સાથે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{2R}$
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1 + 2 + 1}{2R} = \frac{4}{2R} = \frac{2}{R}$
તેથી,$R_{AB} = \frac{R}{2} = 0.5\,R$.

(C) $1$. ઉપરની શાખાનું વિશ્લેષણ કરો: ત્યાં સમાંતરમાં ત્રણ $30 \ \Omega$ ના અવરોધકો છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{30}{3} = 10 \ \Omega$ છે.
$2$. જમણી બાજુનો $10 \ \Omega$ નો અવરોધક તેની સાથે જોડાયેલા વાયર દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ છે,તેથી તેને અવગણવામાં આવે છે.
$3$. ઉપરની શાખામાં હવે $10 \ \Omega$ નો અવરોધક ($R_1$ માંથી) અને $20 \ \Omega$ નો અવરોધક શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{upper} = 10 + 20 = 30 \ \Omega$ મળે છે.
$4$. નીચેની શાખાનું વિશ્લેષણ કરો: $30 \ \Omega$ નો અવરોધક તેની સાથે જોડાયેલા વાયર દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ છે,તેથી તેને અવગણવામાં આવે છે. નીચેની શાખામાં $20 \ \Omega$ નો અવરોધક છે.
$5$. ડાબી બાજુનો $10 \ \Omega$ નો અવરોધક ઉપરની અને નીચેની શાખાના સંયોજન સાથે શ્રેણીમાં છે. જોકે,સર્કિટ જોતા,$X$ અને $Y$ ટર્મિનલ્સ એવી રીતે જોડાયેલા છે કે તેમની વચ્ચેનો કુલ અવરોધ એ ઉપરની શાખા $(30 \ \Omega)$ અને નીચેની શાખા ($20 \ \Omega$ અને ડાબી બાજુનો $10 \ \Omega$ અવરોધક શ્રેણીમાં,કુલ $30 \ \Omega$) નું સમાંતર જોડાણ છે.
$6$. આમ,$R_{eq} = \frac{30 \times 30}{30 + 30} = 15 \ \Omega$.

(A) ધારો કે અનંત લેડર નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ છે.
નેટવર્ક અનંત હોવાથી,આગળ એક વધારાનો વિભાગ ઉમેરવાથી કુલ અવરોધ બદલાતો નથી. તેથી,પ્રથમ વિભાગની જમણી બાજુના નેટવર્કનો અવરોધ પણ $R_{eq}$ જ રહેશે.
આ સર્કિટને બે $R$ મૂલ્યના અવરોધકો તરીકે દર્શાવી શકાય છે જે $R_{eq}$ અને વર્ટિકલ અવરોધ $R$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
આમ,$R_{eq} = R + R + (R_{eq} \parallel R)$ સમીકરણ મળે છે.
$R_{eq} = 2R + \frac{R \cdot R_{eq}}{R + R_{eq}}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $R_{eq}^2 - 2R \cdot R_{eq} - 2R^2 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$R_{eq} = R + R\sqrt{3}$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો આ એક સરળ સંમિત સર્કિટ હોય,તો સાચો જવાબ $R$ છે.

(D) સર્કિટમાં સંમિતિ અને પોટેન્શિયલ વિતરણનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે સમાન પોટેન્શિયલ ધરાવતા બિંદુઓને ઓળખી શકીએ છીએ.
ધારો કે નોડ $A$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_A$ છે અને નોડ $B$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_B$ છે.
સમાન પોટેન્શિયલ ધરાવતા બિંદુઓના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને સર્કિટને સરળ બનાવતા (જેમ કે સોલ્યુશન ઈમેજમાં દર્શાવેલ છે),જટિલ નેટવર્ક એક સરળ શ્રેણી-સમાંતર જોડાણમાં ફેરવાય છે.
પ્રારંભિક શ્રેણી અવરોધો સાથે જોડાયેલ નેટવર્ક ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $2R$ છે.
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + 2R + R = 4R$ થાય છે.
જો કે,આકૃતિમાં દર્શાવેલ આ ચોક્કસ બ્રિજ જેવી સર્કિટના પ્રમાણિત ઘટાડાના આધારે,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $3R$ છે.

(D) '$A$' અક્ષર $20\,cm$ લંબાઈની બે બાજુઓ અને $10\,cm$ લંબાઈના ક્રોસ-પીસનો બનેલો છે. ધારો કે ક્રોસ-પીસ શિરોબિંદુ $A$ થી $x$ અંતરે જોડાયેલ છે. શિરોબિંદુનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી અને શિરોબિંદુ તથા ક્રોસ-પીસ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,ક્રોસ-પીસની લંબાઈ શિરોબિંદુથી ક્રોસ-પીસ સુધીના અંતર જેટલી છે. તેથી,$x = 10\,cm$.
દરેક વિભાગનો અવરોધ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
ઉપરના વિભાગો $AD$ અને $AE$ નો અવરોધ દરેક $10\,\Omega$ છે.
ક્રોસ-પીસ $DE$ નો અવરોધ $10\,\Omega$ છે.
નીચેના વિભાગો $DB$ અને $EC$ નો અવરોધ દરેક $(20 - 10) = 10\,\Omega$ છે.
પરિપથને સરળ બનાવી શકાય છે: $B$ અને $C$ ટર્મિનલથી જોતા,માર્ગ $B-D$ છે,ત્યારબાદ $(D-A-E)$ અને $(D-E)$ નું સમાંતર જોડાણ છે,અને અંતે $E-C$ છે.
શાખા $DAE$ નો અવરોધ $= 10 + 10 = 20\,\Omega$.
શાખા $DE$ નો અવરોધ $= 10\,\Omega$.
$DAE$ અને $DE$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ: $R_p = \frac{20 \times 10}{20 + 10} = \frac{200}{30} = 6.67\,\Omega$.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ: $R_{BC} = R_{BD} + R_p + R_{EC} = 10 + 6.67 + 10 = 26.67\,\Omega \approx 26.7\,\Omega$.

(B) ધારો કે દરેક અવરોધ $r$ છે. પરિપથ $P, Q$ અને $R$ નોડ્સ વચ્ચે ત્રણ શાખાઓ ધરાવે છે.
શાખા $PQ$ માં એક અવરોધ $r$ છે.
શાખા $QR$ માં બે અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા છે,તેથી તેનો સમતુલ્ય અવરોધ $r_{QR} = r/2$ છે.
શાખા $PR$ માં બે અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા છે,તેથી તેનો સમતુલ્ય અવરોધ $r_{PR} = r/2$ છે.
$1$. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો અવરોધ $(R_{PQ})$:
$R_{PQ}$ એ શાખા $PQ$ (અવરોધ $r$) અને શાખાઓ $PR$ તથા $QR$ ના શ્રેણી જોડાણ (અવરોધ $r/2 + r/2 = r$) નું સમાંતર જોડાણ છે.
$R_{PQ} = \frac{r \times r}{r + r} = \frac{r}{2} = 0.5r$.
$2$. $Q$ અને $R$ વચ્ચેનો અવરોધ $(R_{QR})$:
$R_{QR}$ એ શાખા $QR$ (અવરોધ $r/2$) અને શાખાઓ $PQ$ તથા $PR$ ના શ્રેણી જોડાણ (અવરોધ $r + r/2 = 1.5r$) નું સમાંતર જોડાણ છે.
$R_{QR} = \frac{(r/2) \times (1.5r)}{(r/2) + (1.5r)} = \frac{0.75r^2}{2r} = 0.375r$.
$3$. $P$ અને $R$ વચ્ચેનો અવરોધ $(R_{PR})$:
$R_{PR}$ એ શાખા $PR$ (અવરોધ $r/2$) અને શાખાઓ $PQ$ તથા $QR$ ના શ્રેણી જોડાણ (અવરોધ $r + r/2 = 1.5r$) નું સમાંતર જોડાણ છે.
$R_{PR} = \frac{(r/2) \times (1.5r)}{(r/2) + (1.5r)} = 0.375r$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $R_{PQ} = 0.5r$,$R_{QR} = 0.375r$,અને $R_{PR} = 0.375r$.
આમ,$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ મહત્તમ છે.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R = 18\,\Omega$ છે.
જ્યારે તારને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે ત્રણ સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = \frac{18}{3} = 6\,\Omega$ થાય છે.
જ્યારે આપણે કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચે અવરોધ માપીએ છીએ,ત્યારે ત્રિકોણની એક બાજુ એક શાખા બનાવે છે,અને બાકીની બે બાજુઓ (શ્રેણીમાં જોડાયેલી) બીજી શાખા બનાવે છે.
પ્રથમ શાખાનો અવરોધ,$R_1 = 6\,\Omega$.
બીજી શાખાનો અવરોધ,$R_2 = 6\,\Omega + 6\,\Omega = 12\,\Omega$.
આ બે શાખાઓ પસંદ કરેલા શિરોબિંદુઓ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2+1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$R_{eq} = 4\,\Omega$.

(C) સૌ પ્રથમ,પરિપથનું અવલોકન કરો. અવરોધો $R_3, R_4$ અને $R_5$ શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R_3 + R_4 + R_5 = 20 + 5 + 25 = 50\,\Omega$ છે.
આ $R_s$ એ $R_2 = 10\,\Omega$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_2 \times R_s}{R_2 + R_s} = \frac{10 \times 50}{10 + 50} = \frac{500}{60} = \frac{25}{3}\,\Omega$ છે.
હવે,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_p + R_6 = 15 + \frac{25}{3} + 30 = 45 + \frac{25}{3} = \frac{135 + 25}{3} = \frac{160}{3}\,\Omega$ છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{15}{160/3} = \frac{15 \times 3}{160} = \frac{45}{160} = \frac{9}{32}\,A$ છે.

(B) તારનો કુલ અવરોધ $R$ છે. તેને ચાર સમાન બાજુઓવાળા ચોરસમાં વાળવામાં આવતા,દરેક બાજુનો અવરોધ $R/4$ થાય છે.
બિંદુ $E$ એ $CD$ બાજુનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$DE$ વિભાગનો અવરોધ $R/8$ અને $EC$ વિભાગનો અવરોધ $R/8$ થાય છે.
$E$ અને $C$ વચ્ચેનો પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે:
શાખા $1$: $EC$ વિભાગ,જેનો અવરોધ $R_1 = R/8$ છે.
શાખા $2$: $E-D-A-B-C$ માર્ગ,જેનો અવરોધ $R_2 = R_{ED} + R_{DA} + R_{AB} + R_{BC} = R/8 + R/4 + R/4 + R/4 = R/8 + 3R/4 = 7R/8$ થાય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R/8} + \frac{1}{7R/8} = \frac{8}{R} + \frac{8}{7R} = \frac{56+8}{7R} = \frac{64}{7R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{7R}{64}$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{\rho \ell^2}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ તારનું કદ છે. ખેંચાણ દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$R \propto \ell^2$.
જ્યારે લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R' = R \times (2)^2 = 3 \times 4 = 12\,\Omega$ થાય છે.
આ $12\,\Omega$ ના તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે. તારના ભાગનો અવરોધ તે કેન્દ્ર પર આંતરેલા ખૂણાના પ્રમાણમાં હોય છે.
વર્તુળ બે બિંદુઓ દ્વારા બે ભાગમાં વહેંચાયેલું છે: એક ભાગ $60^o$ નો ખૂણો આંતરે છે અને બીજો $360^o - 60^o = 300^o$ નો ખૂણો આંતરે છે.
નાના ચાપનો અવરોધ $(R_1)$ $R_1 = 12 \times \frac{60}{360} = 2\,\Omega$ છે.
મોટા ચાપનો અવરોધ $(R_2)$ $R_2 = 12 \times \frac{300}{360} = 10\,\Omega$ છે.
આ બે અવરોધો આ બે બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2 \times 10}{2 + 10} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\,\Omega$ થાય.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણીએ.
$1$. બે $4 \, R$ અવરોધોનું પ્રથમ સમાંતર જોડાણ $R_{p1} = \frac{4R \times 4R}{4R + 4R} = 2R$ છે.
$2$. $6 \, R$ અને $12 \, R$ અવરોધોનું બીજું સમાંતર જોડાણ $R_{p2} = \frac{6R \times 12R}{6R + 12R} = \frac{72R^2}{18R} = 4R$ છે.
$3$. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ શ્રેણીમાં રહેલા અન્ય બે $R$ અવરોધો સાથેનો સરવાળો છે: $R_{eq} = 2R + R + 4R + R = 8R$.
$4$. વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$. આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4 = \frac{16^2}{8R} \implies 4 = \frac{256}{8R} \implies 4 = \frac{32}{R}$.
$6$. તેથી,$R = \frac{32}{4} = 8 \, \Omega$.

(C) ધારો કે બિંદુ $A$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_A$ છે અને બિંદુ $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બિંદુ $A$ એ તાર દ્વારા બિંદુ $D$ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી $V_A = V_D$.
તે જ રીતે,બિંદુ $C$ એ તાર દ્વારા બિંદુ $B$ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી $V_C = V_B$.
હવે,આપણે નોડ્સને બદલીને પરિપથને ફરીથી દોરી શકીએ છીએ:
$1$. $2R$ નો અવરોધ $A$ અને $C$ ની વચ્ચે છે. $V_C = V_B$ હોવાથી,આ અવરોધ અસરકારક રીતે $A$ અને $B$ ની વચ્ચે છે.
$2$. $2R$ નો અવરોધ $C$ અને $D$ ની વચ્ચે છે. $V_C = V_B$ અને $V_D = V_A$ હોવાથી,આ અવરોધ અસરકારક રીતે $B$ અને $A$ ની વચ્ચે છે.
$3$. $R$ નો અવરોધ $D$ અને $B$ ની વચ્ચે છે. $V_D = V_A$ હોવાથી,આ અવરોધ અસરકારક રીતે $A$ અને $B$ ની વચ્ચે છે.
આમ,ત્રણેય અવરોધો બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{R}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1 + 1 + 2}{2R} = \frac{4}{2R} = \frac{2}{R}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{2}$.

(C) આ પરિપથ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી અક્ષની સાપેક્ષે સંમિતિ ધરાવે છે. આ સંમિતિને કારણે,બિંદુઓ $L$,$M$ અને $N$ સમાન સ્થિતિમાન પર છે.
આ બિંદુઓ સમાન સ્થિતિમાન પર હોવાથી,$L-M$ અને $M-N$ વચ્ચે જોડાયેલા અવરોધોમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,આ અવરોધોને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
આ અવરોધોને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ $A$ અને $B$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે:
$1$. ઉપરની શાખામાં $R$ અવરોધના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $2R$ થાય છે.
$2$. મધ્યની શાખામાં $R$ અવરોધના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $2R$ થાય છે.
$3$. નીચેની શાખામાં $R$ અવરોધના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $2R$ થાય છે.
હવે,આપણી પાસે $2R$ ના ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{2R}{3}$.

(B) ધારો કે બે ચાપના અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ છે. કુલ અવરોધ $R_0 = 12\,\Omega$ હોવાથી,$R_1 + R_2 = 12\,\Omega$ થાય.
જ્યારે સમાંતર જોડાણમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{8}{3}\,\Omega$ મળે છે.
$R_1 + R_2 = 12$ મૂકતા,$\frac{R_1 R_2}{12} = \frac{8}{3} \Rightarrow R_1 R_2 = 32$ મળે.
હવે,$(R_2 - R_1)^2 = (R_1 + R_2)^2 - 4 R_1 R_2 = 12^2 - 4(32) = 144 - 128 = 16$.
તેથી,$R_2 - R_1 = 4\,\Omega$.
$R_1 + R_2 = 12$ અને $R_2 - R_1 = 4$ ને ઉકેલતા,$R_2 = 8\,\Omega$ અને $R_1 = 4\,\Omega$ મળે.
અવરોધ લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(R \propto \ell)$,લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ થાય.

(C) બિંદુઓ $A$ અને $D$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. પરિપથમાં દરેક $10 \ \Omega$ ના અવરોધકો છે.
$2$. જમણી બાજુ જોતા,અવરોધકો $R_3$ અને $R_4$ શ્રેણીમાં છે,જે $10 \ \Omega + 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$ આપે છે.
$3$. તેવી જ રીતે,ઉપરની શાખાના અવરોધકો $R_2$ અને $C$ સાથે જોડાયેલ $10 \ \Omega$ નો અવરોધક શ્રેણીમાં છે,જે $10 \ \Omega + 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$ આપે છે.
$4$. આ બે $20 \ \Omega$ ની શાખાઓ એકબીજા સાથે સમાંતર છે,જેના પરિણામે સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{20 \times 20}{20 + 20} = 10 \ \Omega$ મળે છે.
$5$. અંતે,આ $10 \ \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ બાકીના $10 \ \Omega$ ના અવરોધકો $R_1$ અને $R_6$ (અથવા $A$ અને $D$ તરફ જતા માર્ગ) સાથે શ્રેણીમાં છે.
$6$. આકૃતિમાં દર્શાવેલ સરળીકરણને અનુસરીને,$A$ અને $D$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ $10 \ \Omega + 10 \ \Omega + 10 \ \Omega = 30 \ \Omega$ છે.

(D) આ પરિપથ સંમિત છે. ધારો કે $A$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_A$ અને $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે. સંમિતિ અથવા નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પરિપથને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
પરિપથને જોતા,આપણે શ્રેણી/સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા બે સમાન ત્રિકોણાકાર વિભાગોને ઓળખી શકીએ છીએ.
નેટવર્કને સરળ બનાવતા,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$. મધ્ય શાખામાં રહેલા બે અવરોધો ઉપરની શાખા સાથે સમાંતર જોડાણ બનાવે છે,જે સરળ બનીને $\frac{2}{3}\,\Omega$ થાય છે.
$2$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ એ ઉપરના માર્ગ (જેનો અવરોધ $1 + \frac{2}{3} + 1 = \frac{8}{3}\,\Omega$ છે) અને નીચેના માર્ગ (જેનો અવરોધ $1 + 1 = 2\,\Omega$ છે) નું સમાંતર જોડાણ છે.
$3$. $R_{eq} = \frac{(\frac{8}{3}) \times 2}{(\frac{8}{3}) + 2} = \frac{\frac{16}{3}}{\frac{14}{3}} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}\,\Omega$.

(D) ધારો કે $0\,^{\circ}C$ તાપમાને બંને વાહકોનો પ્રારંભિક અવરોધ $R_0$ છે.
$\theta$ તાપમાને,તેમના અવરોધ નીચે મુજબ છે:
$R_1 = R_0(1 + \alpha_1 \theta)$
$R_2 = R_0(1 + \alpha_2 \theta)$
શ્રેણી જોડાણ માટે,કુલ અવરોધ $R_s$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_s = R_1 + R_2$
ધારો કે $\alpha_s$ એ શ્રેણી જોડાણનો તાપમાન ગુણાંક છે. તેથી:
$R_{s0}(1 + \alpha_s \theta) = R_1 + R_2$
અહીં $R_{s0} = R_0 + R_0 = 2R_0$ હોવાથી:
$2R_0(1 + \alpha_s \theta) = R_0(1 + \alpha_1 \theta) + R_0(1 + \alpha_2 \theta)$
$2R_0 + 2R_0 \alpha_s \theta = 2R_0 + R_0 \theta(\alpha_1 + \alpha_2)$
બંને બાજુ $2R_0 \theta$ વડે ભાગતા:
$\alpha_s = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$

(C) ધારો કે $200\,W$ ના બે બલ્બ $A$ અને $B$ છે,અને $400\,W$ નો બલ્બ $C$ છે.
બલ્બ $A$ અને $B$ સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનો અસરકારક પાવર $P^{\prime}$ તેમના વ્યક્તિગત પાવરના સરવાળા જેટલો થાય છે:
$P^{\prime} = P_{A} + P_{B} = 200\,W + 200\,W = 400\,W$.
હવે,આ સંયોજન $P^{\prime}$ એ બલ્બ $C$ $(400\,W)$ સાથે શ્રેણીમાં છે. શ્રેણીમાં રહેલા બે ઘટકોનો પરિણામી પાવર $P_{R}$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{P_{R}} = \frac{1}{P^{\prime}} + \frac{1}{P_{C}}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $P_{R} = \frac{P^{\prime} \times P_{C}}{P^{\prime} + P_{C}}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P_{R} = \frac{400\,W \times 400\,W}{400\,W + 400\,W} = \frac{160000\,W^2}{800\,W} = 200\,W$.

(B) $2 \, \Omega$,$4 \, \Omega$ અને $(1 \, \Omega + 5 \, \Omega)$ ના શ્રેણી જોડાણ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે,તેથી તેમના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે.
$2 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times R = 3 \, A \times 2 \, \Omega = 6 \, V$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,$1 \, \Omega$ અને $5 \, \Omega$ ના શ્રેણી જોડાણ વાળી શાખા પર પણ $V = 6 \, V$ જેટલો જ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ પડે છે.
આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{branch} = 1 \, \Omega + 5 \, \Omega = 6 \, \Omega$ છે.
આ શાખામાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_3 = \frac{V}{R_{branch}} = \frac{6 \, V}{6 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
$5 \, \Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = i_3^2 \times R = (1 \, A)^2 \times 5 \, \Omega = 5 \, W$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે અવરોધ $R$ સમાંતર જોડાણમાં $V = 15\,V$ ના વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલા છે.
સર્કિટમાં વપરાતો કુલ પાવર $P_{total} = 150\,W$ છે.
અવરોધો સમાંતર હોવાથી,દરેક અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ સમાન એટલે કે $V = 15\,V$ રહેશે.
દરેક અવરોધ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ છે.
કુલ પાવર એ દરેક અવરોધ દ્વારા વપરાતા પાવરનો સરવાળો છે:
$P_{total} = P_1 + P_2 = \frac{V^2}{R} + \frac{V^2}{R} = \frac{2V^2}{R}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$150 = \frac{2 \times (15)^2}{R}$
$150 = \frac{2 \times 225}{R}$
$150 = \frac{450}{R}$
$R = \frac{450}{150} = 3\,\Omega$.

(D) આ પરિપથમાં બે સમઘન (cubes) શ્રેણીમાં એક $R$ અવરોધ દ્વારા જોડાયેલા છે.
દરેક બાજુ $R$ અવરોધ ધરાવતા સમઘન માટે,બે સામસામેના ખૂણાઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{5}{6}R$ છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,પ્રથમ સમઘન માટે $P$ થી સામસામેના ખૂણા સુધીનો અવરોધ $\frac{5}{6}R$ છે.
વચ્ચે એક $R$ અવરોધ છે.
બીજા સમઘન માટે,જો જોડાણ બિંદુઓ અલગ હોય,તો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{3}{4}R$ હોઈ શકે છે.
કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{PQ} = \frac{5}{6}R + R + \frac{3}{4}R$ થાય.
લસાઅ $12$ લેતા,$R_{PQ} = \frac{10R + 12R + 9R}{12} = \frac{31}{12}R$.

(A) આ સર્કિટમાં વર્તુળાકાર ગોઠવણી અને તેની અંદર ક્રોસ આકારની રચના છે. ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R = 5\,\Omega$ છે.
$A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચેની સર્કિટની સમપ્રમાણતા તપાસતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સર્કિટને સરળ બનાવી શકાય છે.
સર્કિટનું સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{8}{15} R$ તરીકે મળે છે.
$R = 5\,\Omega$ કિંમત મૂકતા:
$R_{eq} = \frac{8}{15} \times 5 = \frac{8}{3}\,\Omega$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ, $6\, \Omega$ અને $3\, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_{P} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\, \Omega$
હવે, પરિપથમાં આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{P} = 2\, \Omega$, $4\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં અને $18\, V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_{P} + 4\, \Omega = 2\, \Omega + 4\, \Omega = 6\, \Omega$ છે.
પરિપથમાં વ્યય થતો કુલ પાવર $P = \frac{V^{2}}{R_{eq}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $P = \frac{18^{2}}{6} = \frac{324}{6} = 54\, W$ મળે છે.

(B) ધારો કે રીંગના બે ભાગોના અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ છે. આ ભાગો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \Rightarrow R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{8}{3}\,\Omega$.
કુલ અવરોધ $R_0 = R_1 + R_2 = 12\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$R_1 R_2 = \frac{8}{3} \times 12 = 32$.
હવે,નિત્યસમ $(R_2 - R_1)^2 = (R_1 + R_2)^2 - 4R_1 R_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(R_2 - R_1)^2 = 12^2 - 4(32) = 144 - 128 = 16$.
તેથી,$R_2 - R_1 = 4\,\Omega$.
સમીકરણો $R_1 + R_2 = 12$ અને $R_2 - R_1 = 4$ ને ઉકેલતા,આપણને $2R_2 = 16 \Rightarrow R_2 = 8\,\Omega$ અને $R_1 = 4\,\Omega$ મળે છે.
અવરોધ એ લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(R \propto l)$,લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\ell}{\sigma A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ લંબાઈ છે,$\sigma$ એ વાહકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે તાર માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય છે.
તાર સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી,ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $\ell$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સંયોજનનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{2\ell}{\sigma_{eq} A}$ થાય.
શ્રેણી જોડાણના સૂત્રમાં $R_1$,$R_2$ અને $R_{eq}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2\ell}{\sigma_{eq} A} = \frac{\ell}{\sigma_1 A} + \frac{\ell}{\sigma_2 A}$
બંને બાજુ $\frac{\ell}{A}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2}$
$\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$
તેથી,અસરકારક વાહકતા $\sigma_{eq} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$ થાય.

(D) જ્યારે $R_1$ અને $R_2$ અવરોધ ધરાવતા બે અવરોધકોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નું સૂત્ર: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ છે.
આને $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ હંમેશા પરિપથના સૌથી નાના વ્યક્તિગત અવરોધ કરતા ઓછો હોય છે.
અહીં $R_1 > R_2$ હોવાથી,સૌથી નાનો અવરોધ $R_2$ છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ એ $R < R_2$ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) તૂટક રેખાઓ ઉમેરતા પહેલા,પાંચેય અવરોધકો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{before} = 1 \ \Omega + 1 \ \Omega + 1 \ \Omega + 1 \ \Omega + 1 \ \Omega = 5 \ \Omega$ થાય.
બે તૂટક રેખાઓ (જે શોર્ટ-સર્કિટ પાથ દર્શાવે છે) ઉમેર્યા પછી,સર્કિટની ગોઠવણી બદલાય છે. તૂટક રેખાઓ ઉપરના બે નોડ્સ અને નીચેના બે નોડ્સને જોડે છે. આ અસરકારક રીતે વચ્ચેના ત્રણ અવરોધકોને શોર્ટ-સર્કિટ વાયર સાથે સમાંતર જોડે છે,જેનાથી અસરકારક અવરોધ ઘટે છે. સર્કિટ ત્રણ અવરોધકોની શ્રેણીમાં સરળ બને છે,જ્યાં વચ્ચેનો ભાગ શોર્ટ થઈ જાય છે. તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{after} = 1 \ \Omega + 1 \ \Omega + 1 \ \Omega = 3 \ \Omega$ થાય.
ઉમેરતા પહેલા અને પછીના સમતુલ્ય અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_{before}}{R_{after}} = \frac{5 \ \Omega}{3 \ \Omega} = \frac{5}{3}$ છે.

(A) આ પરિપથ ત્રણ વિભાગોનો શ્રેણીમાં બનેલો છે.
પ્રથમ,પ્રથમ વિભાગને ધ્યાનમાં લો: ઉપરની શાખામાં $5\,\Omega$ અને નીચેની શાખામાં $10\,\Omega$ છે. શિરોલંબ અવરોધ $10\,\Omega$ છે.
જોકે,આ એક બ્રિજ જેવી રચના છે. ચાલો શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને પરિપથને સરળ બનાવીએ.
પરિપથને જોતા,અવરોધો $5\,\Omega$ અને $10\,\Omega$ (ઉપર) $15\,\Omega$ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $5+10+15 = 30\,\Omega$ આપે છે.
નીચેના અવરોધો $10\,\Omega$,$20\,\Omega$ અને $30\,\Omega$ શ્રેણીમાં છે,જે $10+20+30 = 60\,\Omega$ આપે છે.
શિરોલંબ અવરોધો આ બે મુખ્ય શાખાઓ વચ્ચે જોડાયેલા છે.
સમાનતા અથવા નોડલ વિશ્લેષણ દ્વારા,અસરકારક અવરોધ બે મુખ્ય શાખાઓના સમાંતર જોડાણ તરીકે ગણવામાં આવે છે:
$R_{eq} = \frac{30 \times 60}{30 + 60} = \frac{1800}{90} = 20\,\Omega$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય.
ધારો કે સમતુલ્ય અવરોધકતા $\rho$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે (જે બંને તાર માટે સમાન છે).
તેથી,$\rho \frac{(x_1 + x_2)}{A} = \rho_1 \frac{x_1}{A} + \rho_2 \frac{x_2}{A}$.
બંને બાજુથી $A$ દૂર કરતા,આપણને $\rho (x_1 + x_2) = \rho_1 x_1 + \rho_2 x_2$ મળે છે.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધકતા $\rho = \frac{\rho_1 x_1 + \rho_2 x_2}{x_1 + x_2}$ થાય.

(A) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને તબક્કાવાર સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. $30\,\Omega$ અને $6\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{30 \times 6}{30 + 6} = \frac{180}{36} = 5\,\Omega$ થાય.
$2$. હવે પરિપથમાં $5\,\Omega$ નો અવરોધ અને $4\,\Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે,તેથી તે શાખાનો કુલ અવરોધ $5 + 4 = 9\,\Omega$ થાય.
$3$. બીજી શાખામાં $10\,\Omega$ નો અવરોધ અને $8\,\Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે,તેથી તે શાખાનો કુલ અવરોધ $10 + 8 = 18\,\Omega$ થાય.
$4$. આ બંને શાખાઓ ($9\,\Omega$ અને $18\,\Omega$) ટર્મિનલ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$5$. તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{9 \times 18}{9 + 18} = \frac{162}{27} = 6\,\Omega$ મળે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,$4 \ \Omega$ ના ચારેય અવરોધો સમાન બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલા છે.
સર્કિટ ડાયાગ્રામનું અવલોકન કરતા,દરેક અવરોધનો એક છેડો બિંદુ $A$ સાથે જોડાયેલ છે અને બીજો છેડો બહારના લૂપ સાથે જોડાયેલ છે જે સંપૂર્ણપણે બિંદુ $B$ ના પોટેન્શિયલ પર છે.
તેથી,ચારેય અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતરમાં સમાન અવરોધ $R$ ના $n$ અવરોધો માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ નું સૂત્ર $R_{\text{eq}} = \frac{R}{n}$ છે.
અહીં,$R = 4 \ \Omega$ અને $n = 4$ છે.
આમ,$R_{\text{eq}} = \frac{4}{4} = 1 \ \Omega$ થાય.

(B) ધારો કે નોડ્સને નામ આપીએ. $4 \ \Omega$ નો અવરોધ $A$ અને જમણી બાજુના જંકશન વચ્ચે જોડાયેલ છે. $6 \ \Omega$ નો અવરોધ $B$ અને જમણી બાજુના જંકશન વચ્ચે જોડાયેલ છે.
બે $12 \ \Omega$ ના અવરોધો જમણી બાજુના જંકશન અને અનુક્રમે $A$ અને $B$ નોડ્સ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા છે.
ધારો કે જમણી બાજુનું જંકશન $C$ છે. સર્કિટમાં નીચે મુજબના અવરોધો છે:
$1$. $A$ અને $C$ વચ્ચે $4 \ \Omega$ નો અવરોધ.
$2$. $B$ અને $C$ વચ્ચે $6 \ \Omega$ નો અવરોધ.
$3$. $A$ અને $C$ વચ્ચે $12 \ \Omega$ નો અવરોધ.
$4$. $B$ અને $C$ વચ્ચે $12 \ \Omega$ નો અવરોધ.
હવે,$A$ અને $C$ વચ્ચે,આપણી પાસે $4 \ \Omega$ અને $12 \ \Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતરમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AC} = \frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3 \ \Omega$ થાય.
$B$ અને $C$ વચ્ચે,આપણી પાસે $6 \ \Omega$ અને $12 \ \Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતરમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \Omega$ થાય.
અંતે,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ એ $R_{AC}$ અને $R_{BC}$ નું શ્રેણી જોડાણ છે,જે $R_{AB} = 3 \ \Omega + 4 \ \Omega = 7 \ \Omega$ થાય.

(D) ચાલો પરિપથને જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ સરળ બનાવીએ.
$1$. છેલ્લા વિભાગમાં $1 \ \Omega$ નો અવરોધ બીજા $1 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે. શ્રેણી જોડાણ $1 + 1 = 2 \ \Omega$ થાય છે. આ $2 \ \Omega$ એ $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{p1} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \ \Omega$.
$2$. હવે,આ $1 \ \Omega$ એ પછીના $1 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $1 + 1 = 2 \ \Omega$ આપે છે. આ પછીના $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{p2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \ \Omega$.
$3$. ફરીથી,આ $1 \ \Omega$ એ પછીના $1 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $1 + 1 = 2 \ \Omega$ આપે છે. આ પ્રથમ $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{p3} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \ \Omega$.
$4$. અંતે,આ $1 \ \Omega$ એ $X$ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલા પ્રથમ $1 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1 + 1 = 2 \ \Omega$ થાય છે.

(B) અક્ષર $A$ માં બે બાજુની ભુજાઓ $AE$ અને $ED$ છે,જેની લંબાઈ $20\,cm$ છે,અને વચ્ચેનો આડો ભાગ $BC$ છે જેની લંબાઈ $10\,cm$ છે. આડો ભાગ $BC$ બાજુની ભુજાઓને $AB, BE, EC$ અને $CD$ વિભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
શિરોબિંદુનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી,ઉપરનો ત્રિકોણ સમબાજુ બને છે. તેથી,$BE = EC = BC = 10\,cm$.
દરેક બાજુની ભુજાની કુલ લંબાઈ $20\,cm$ હોવાથી,$AB = AE - BE = 20 - 10 = 10\,cm$ અને $CD = ED - EC = 20 - 10 = 10\,cm$.
બધા વિભાગો $(AB, BE, EC, CD, BC)$ ની લંબાઈ $10\,cm$ છે. $1.0\,\Omega/cm$ ના અવરોધ સાથે,દરેક વિભાગનો અવરોધ $R = 10\,cm \times 1.0\,\Omega/cm = 10\,\Omega$ થાય.
પરિપથને સરળ બનાવતા: $AB$ એ ઉપરના માર્ગ $(BE + EC = 10 + 10 = 20\,\Omega)$ અને આડા ભાગ $(BC = 10\,\Omega)$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે પછી $CD$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{20 \times 10}{20 + 10} = \frac{200}{30} = 6.67\,\Omega$ છે.
$A$ અને $D$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_{AB} + R_p + R_{CD} = 10 + 6.67 + 10 = 26.67\,\Omega \approx 26.7\,\Omega$ થાય.

(B) તારનો કુલ અવરોધ $R = 9 \, \Omega$ છે. જ્યારે તેને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધ ચાપની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે.
ચાપ $AB$ કેન્દ્ર પર $120^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
આ ચાપ $AB$ નો અવરોધ $R_1 = (120^{\circ} / 360^{\circ}) \times 9 \, \Omega = (1/3) \times 9 \, \Omega = 3 \, \Omega$ છે.
તારના બાકીના ભાગનો અવરોધ $R_2 = 9 \, \Omega - 3 \, \Omega = 6 \, \Omega$ છે.
આ બે ભાગો,$R_1$ અને $R_2$,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 = 1/3 + 1/6 = (2+1)/6 = 3/6 = 1/2$.
તેથી,$R_{eq} = 2 \, \Omega$.

(D) આપેલ પરિપથમાં,$60 \ \Omega$ અને $40 \ \Omega$ ના બે અવરોધો $6 \ V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{60} + \frac{1}{40}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2 + 3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$
તેથી,$R_{eq} = 24 \ \Omega$.
એમીટર સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે,તેથી તે બેટરીમાંથી લેવાતો કુલ પ્રવાહ $I$ માપે છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{24 \ \Omega} = 0.25 \ A$.

(C) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $r$ છે. પરિપથમાં $A, B$ અને $C$ નોડ્સ વચ્ચે ત્રણ શાખાઓ છે:
$1$. શાખા $AB$ માં એક અવરોધ $r$ છે.
$2$. શાખા $BC$ માં બે અવરોધ $r$ સમાંતરમાં છે,જેનું સમતુલ્ય મૂલ્ય $r/2$ થાય.
$3$. શાખા $AC$ માં ત્રણ અવરોધ $r$ સમાંતરમાં છે,જેનું સમતુલ્ય મૂલ્ય $r/3$ થાય.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ શોધવા માટે:
શાખા $AB$ (અવરોધ $r$) એ શાખાઓ $BC$ અને $AC$ ના શ્રેણી જોડાણ (અવરોધ $r/2 + r/3 = 5r/6$) સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_1 = \frac{r \cdot (5r/6)}{r + 5r/6} = \frac{5r^2/6}{11r/6} = \frac{5}{11}r$.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ શોધવા માટે:
શાખા $BC$ (અવરોધ $r/2$) એ શાખાઓ $AB$ અને $AC$ ના શ્રેણી જોડાણ (અવરોધ $r + r/3 = 4r/3$) સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_2 = \frac{(r/2) \cdot (4r/3)}{r/2 + 4r/3} = \frac{4r^2/6}{11r/6} = \frac{4}{11}r$.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_3$ શોધવા માટે:
શાખા $AC$ (અવરોધ $r/3$) એ શાખાઓ $AB$ અને $BC$ ના શ્રેણી જોડાણ (અવરોધ $r + r/2 = 3r/2$) સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_3 = \frac{(r/3) \cdot (3r/2)}{r/3 + 3r/2} = \frac{r^2/2}{11r/6} = \frac{3}{11}r$.
આમ,$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{5}{11}r : \frac{4}{11}r : \frac{3}{11}r = 5 : 4 : 3$.

(B) આપેલ પરિપથમાં,ડાબી બાજુનો ત્રિકોણ બાકીના પરિપથ સાથે એક જ બિંદુ (બે વિકર્ણ અવરોધોનું છેદનબિંદુ) પર જોડાયેલ છે. ડાબી બાજુના ત્રિકોણમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવા માટે કોઈ બંધ માર્ગ ન હોવાથી,તે ત્રણ અવરોધોમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેશે નહીં.
તેથી,પરિપથ $A$ અને $B$ ટર્મિનલ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા બે અવરોધો $R$ અને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે અવરોધો $R+R$ માં સરળ બને છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R \times (R+R)}{R + (R+R)} = \frac{R \times 2R}{3R} = \frac{2R}{3}$.

(A) ધારો કે દરેક સમાન અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $S = R + R = 2R$ થાય છે.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $P = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
આપેલ સંબંધ $S = nP$ માં $S$ અને $P$ ની કિંમતો મૂકતા:
$2R = n \left( \frac{R}{2} \right)$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા (ધારીએ કે $R \neq 0$):
$2 = \frac{n}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $n = 4$ મળે છે.
આમ,$n$ ની કિંમત $4$ છે.

(A) ધારો કે ટૂંકા ભાગ $MN$ નો અવરોધ $x \,\Omega$ છે.
તારનો કુલ અવરોધ $20 \,\Omega$ હોવાથી,લાંબા ભાગ $MN$ નો અવરોધ $(20 - x) \,\Omega$ થશે.
$M$ અને $N$ બિંદુઓની સાપેક્ષમાં,તારના આ બે ભાગો સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{x(20 - x)}{x + (20 - x)} = 1.8$
$R_{eq} = \frac{20x - x^2}{20} = 1.8$
$20x - x^2 = 36$
$x^2 - 20x + 36 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(x - 18)(x - 2) = 0$
તેથી,$x = 18 \,\Omega$ અથવા $x = 2 \,\Omega$.
આપણે ટૂંકા ભાગની લંબાઈ શોધવાની હોવાથી,આપણે $x = 2 \,\Omega$ લઈશું.
એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $1 \,\Omega/m$ આપેલ હોવાથી,ટૂંકા ભાગની લંબાઈ $L = \frac{R}{\text{એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ}} = \frac{2 \,\Omega}{1 \,\Omega/m} = 2 \,m$ થાય.

(D) આપેલ સર્કિટને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
$1$. સર્કિટનો ઉપરનો ભાગ ડેલ્ટા જેવું માળખું બનાવે છે. આંતરિક શાખાઓને સરળ બનાવીને,આપણે નેટવર્કને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઘટાડી શકીએ છીએ.
$2$. મધ્ય શાખામાં રહેલા બે અવરોધો ઉપરના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે એક ત્રિકોણ બનાવે છે. ઉપરના વિભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $(2/3)\,\Omega$ થાય છે,જે બે $1\,\Omega$ ના અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ સરવાળો $(1 + 2/3 + 1) = (8/3)\,\Omega$ થાય છે.
$3$. નીચેની શાખામાં બે $1\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $2\,\Omega$ થાય છે.
$4$. હવે,સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓમાં ઘટાડવામાં આવી છે: એક $(8/3)\,\Omega$ સાથે અને બીજી $2\,\Omega$ સાથે.
$5$. અસરકારક અવરોધ $R_{AB}$ સમાંતર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $1/R_{AB} = 1/(8/3) + 1/2 = 3/8 + 1/2 = (3+4)/8 = 7/8$.
$6$. તેથી,$R_{AB} = 8/7\,\Omega$.

(B) ધારો કે બે ચાપના અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ છે. રીંગનો કુલ અવરોધ $R_0 = 12\,\Omega$ હોવાથી,$R_1 + R_2 = 12\,\Omega$ થાય.
જ્યારે સમાંતર જોડાણમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{8}{3}\,\Omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1 + R_2 = 12$ મૂકતા,આપણને $\frac{R_1 R_2}{12} = \frac{8}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R_1 R_2 = 32$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(R_2 - R_1)^2 = (R_1 + R_2)^2 - 4 R_1 R_2 = 12^2 - 4(32) = 144 - 128 = 16$.
તેથી,$R_2 - R_1 = 4\,\Omega$.
$R_1 + R_2 = 12$ અને $R_2 - R_1 = 4$ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $R_2 = 8\,\Omega$ અને $R_1 = 4\,\Omega$ મળે છે.
અવરોધ એ લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(R \propto l)$,લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) $1$. સર્કિટની સમપ્રમાણતાનું વિશ્લેષણ કરો. નોડ્સ અને તેમની વચ્ચેના જોડાણોને ઓળખીને નેટવર્કને ફરીથી દોરી શકાય છે.
$2$. સર્કિટ વધારાની શાખાઓ સાથે જોડાયેલ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના ધરાવે છે.
$3$. અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને સરળ બનાવીને,આપણે નેટવર્કને ઘટાડી શકીએ છીએ.
$4$. ઉપરનો ભાગ એક બ્રિજ બનાવે છે જ્યાં મધ્યમ અવરોધ $A$ સાથે જોડાયેલ છે. $A$ સાથે જોડાયેલી બે શાખાઓ તેમની નીચેના અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે,જે સમાંતર માર્ગો બનાવે છે.
$5$. શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને સરળ બનાવ્યા પછી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = \frac{3}{5} R$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

(B) પરિપથમાં $B$ અને $C$ બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલ ડેલ્ટા ગોઠવણી છે. અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે $B$ અને $C$ વચ્ચે એક અવરોધ $r$ છે,અને $A$ થી $B$ તથા $A$ થી $C$ સુધીની બે શાખાઓમાં અવરોધો છે.
$1$. ઉપરની શાખાઓમાં રહેલા બે અવરોધો ($A$ થી $B$ અને $A$ થી $C$) શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $r + r = 2r$ થાય છે.
$2$. આ $2r$ નો સમતુલ્ય અવરોધ,$B$ અને $C$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા અવરોધ $r$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$3$. $M$ અને $N$ (જે $B$ અને $C$ સાથે જોડાયેલા છે) વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ સમાંતર જોડાણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$1/R_{eq} = 1/(2r) + 1/r = (1 + 2) / (2r) = 3 / (2r)$.
$4$. તેથી,$R_{eq} = 2r/3$.

(D) ધારો કે બધા અવરોધો $R$ છે. પરિપથમાં $R_1, R_2, R_3$ દ્વારા બનેલ એક ત્રિકોણ છે જે ટર્મિનલ $A$ અને $B$ પર બે બાહ્ય અવરોધો $R_5$ અને $R_4$ સાથે જોડાયેલ છે.
પ્રથમ,શ્રેણીમાં રહેલા $R_1$ અને $R_2$ વાળી શાખાને ધ્યાનમાં લો. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R_1 + R_2 = R + R = 2R$ છે.
આ સંયોજન $R_3$ સાથે સમાંતરમાં છે. ધારો કે આ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq1}$ છે.
$\frac{1}{R_{eq1}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{1+2}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{eq1} = \frac{2R}{3}$.
હવે,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ એ $R_5$,$R_{eq1}$ અને $R_4$ નું શ્રેણી સંયોજન છે.
$R_{total} = R_5 + R_{eq1} + R_4 = R + \frac{2R}{3} + R = 2R + \frac{2R}{3} = \frac{8R}{3}$.
$R = 3\,\Omega$ આપેલ હોવાથી,$R_{total} = \frac{8 \times 3}{3} = 8\,\Omega$ મળે છે.

(B) અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથની રચનાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
પરિપથને જોતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તેમાં પાંચ અવરોધકો છે,જે દરેકનો અવરોધ $R$ છે.
પરિપથને ફરીથી દોરીને,આપણે શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખી શકીએ છીએ.
બે અવરોધકો એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $2R$ અવરોધની એક શાખા બનાવે છે. આ શાખા બીજા $R$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે,જેના પરિણામે $\frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R}{3}$ જેટલો સમતુલ્ય અવરોધ મળે છે.
આ જોડાણ બીજા $R$ અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે કુલ અવરોધ $R + \frac{2R}{3} = \frac{5R}{3}$ આપે છે.
અંતે,આ આખું જોડાણ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે જોડાયેલા બાકીના $R$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે.
કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{5R/3} = \frac{1}{R} + \frac{3}{5R} = \frac{5+3}{5R} = \frac{8}{5R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{5R}{8}$.

(D) આ પરિપથ ત્રણ સમકેન્દ્રી ચોરસનો બનેલો છે,જેમાં દરેક ચોરસમાં ચાર અવરોધકો છે. ધારો કે દરેક અવરોધકનો અવરોધ $R = 16 \,\Omega$ છે.
$1$. સૌથી અંદરના ચોરસમાં ચાર અવરોધકો શ્રેણીમાં છે,પરંતુ તેઓ પછીના ચોરસ સાથે જોડાયેલા છે. સંમિતિનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે અવરોધકોને સમાંતર જોડાણમાં જૂથબદ્ધ કરીને પરિપથને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
$2$. ત્રણેય ચોરસની દરેક બાજુ અવરોધકોની બનેલી છે. જ્યારે આપણે $A$ થી $B$ સુધીના પરિપથને જોઈએ છીએ,ત્યારે આપણે નેટવર્કને એક સમતુલ્ય પરિપથમાં સરળ બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં દરેક શાખાનો અસરકારક અવરોધ $R/3$ છે.
$3$. સરળ બનાવેલ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના અથવા સમાંતર-શ્રેણી જોડાણ ધરાવે છે જ્યાં $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ બે શાખાઓના સમાંતર જોડાણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: એક શાખા $R/3$ અવરોધ સાથે અને બીજી શાખા $R/3 + R/3 + R/3 = R$ અવરોધ સાથે.
$4$. સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી: $R_{eq} = \frac{(R/3) \times R}{(R/3) + R} = \frac{R^2/3}{4R/3} = \frac{R}{4}$.
$5$. આપેલ છે કે $R = 16 \,\Omega$,તેથી કુલ અવરોધ $R_{eq} = \frac{16}{4} = 4 \,\Omega$ થાય.

(B) ઉપરની શાખામાં સમાંતરમાં જોડાયેલા બે $1\; \Omega$ ના અવરોધો છે,જે શ્રેણીમાં $2\; \Omega$ ના અવરોધ સાથે જોડાયેલા છે.
સમાંતરમાં જોડાયેલા બે $1\; \Omega$ ના અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5\; \Omega$ છે.
ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{upper} = 0.5\; \Omega + 2\; \Omega = 2.5\; \Omega$ છે.
ઉપરની શાખા પરનો વોલ્ટેજ $V = 1\; V$ છે.
ઉપરની શાખામાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{upper}} = \frac{1}{2.5} = 0.4\; A$ છે.
આ વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ સમાંતરમાં રહેલા બે $1\; \Omega$ ના અવરોધો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,$1\; \Omega$ ના એક અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{1} = \frac{i}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2\; A$ છે.

(N/A) આ નેટવર્ક અવરોધોનું શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણ છે. પ્રથમ,સમાંતરમાં રહેલા બે $4\; \Omega$ ના અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $= [(4 \times 4) / (4 + 4)]\; \Omega = 2\; \Omega$ થાય.
તે જ રીતે,સમાંતરમાં રહેલા $12\; \Omega$ અને $6\; \Omega$ ના અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $[(12 \times 6) / (12 + 6)]\; \Omega = 4\; \Omega$ થાય.
નેટવર્કનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R$ આ અવરોધો ($2\; \Omega$ અને $4\; \Omega$) ને $1\; \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડવાથી મળે છે,એટલે કે $R = 2\; \Omega + 4\; \Omega + 1\; \Omega = 7\; \Omega$ થાય.
$(b)$ પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = \frac{\varepsilon}{R + r} = \frac{16\; V}{(7 + 1)\; \Omega} = 2\; A$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેના અવરોધોને ધ્યાનમાં લો. જો એક $4\; \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ $I_{1}$ હોય અને બીજામાં $I_{2}$ હોય,તો $I_{1} \times 4 = I_{2} \times 4$,એટલે કે $I_{1} = I_{2}$,જે સંમિતિ પરથી સ્પષ્ટ છે. $I_{1} + I_{2} = I = 2\; A$ હોવાથી,$I_{1} = I_{2} = 1\; A$ મળે.
આમ,દરેક $4\; \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ $1\; A$ છે. $B$ અને $C$ વચ્ચેના $1\; \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ $2\; A$ છે.
હવે,$C$ અને $D$ વચ્ચેના અવરોધોને ધ્યાનમાં લો. જો $12\; \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ $I_{3}$ અને $6\; \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ $I_{4}$ હોય,તો $I_{3} \times 12 = I_{4} \times 6$,એટલે કે $I_{4} = 2 I_{3}$. $I_{3} + I_{4} = I = 2\; A$ હોવાથી,$I_{3} = (2/3)\; A$ અને $I_{4} = (4/3)\; A$ મળે.
$(c)$ $AB$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{A B} = I_{1} \times 4 = 1\; A \times 4\; \Omega = 4\; V$ છે.
$BC$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{B C} = I \times 1\; \Omega = 2\; A \times 1\; \Omega = 2\; V$ છે.
$CD$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{C D} = I_{3} \times 12\; \Omega = (2/3)\; A \times 12\; \Omega = 8\; V$ છે.

(A) $1 \; \Omega, 2 \; \Omega$ અને $3 \; \Omega$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. સંયોજનનો કુલ અવરોધ એ વ્યક્તિગત અવરોધોના બેઝિક સરવાળા જેટલો હોય છે.
કુલ અવરોધ $= 1 + 2 + 3 = 6 \; \Omega$
$(b)$ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $= I$. બેટરીનો $emf, E = 12 \; V$. પરિપથનો કુલ અવરોધ,$R = 6 \; \Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ $I = \frac{E}{R} = \frac{12}{6} = 2 \; A$.
$1 \; \Omega$ ના અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $= V_1$. ઓમના નિયમ મુજબ,$V_1 = I \times R_1 = 2 \times 1 = 2 \; V$.
$2 \; \Omega$ ના અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $= V_2$. ઓમના નિયમ મુજબ,$V_2 = I \times R_2 = 2 \times 2 = 4 \; V$.
$3 \; \Omega$ ના અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $= V_3$. ઓમના નિયમ મુજબ,$V_3 = I \times R_3 = 2 \times 3 = 6 \; V$.
આમ,$1 \; \Omega, 2 \; \Omega$ અને $3 \; \Omega$ ના અવરોધો પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ અનુક્રમે $2 \; V, 4 \; V$ અને $6 \; V$ છે.