Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Gujarati

(B) ધારો કે લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ છે. ફિલામેન્ટ દ્વારા વપરાતો પાવર અનુક્રમે $P_1$ અને $P_2$ છે.
પાણીને ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $H = P_1 t_1 = P_2 t_2$.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે ત્યારે કુલ પાવર $P_{eq} = P_1 + P_2$ થાય છે.
તેટલું જ પાણી ઉકાળવા માટે લાગતો સમય $t$ એ $H = (P_1 + P_2)t$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$t = \frac{H}{P_1 + P_2}$.
$P_1 = \frac{H}{t_1}$ અને $P_2 = \frac{H}{t_2}$ મૂકતા:
$t = \frac{H}{\frac{H}{t_1} + \frac{H}{t_2}} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$.
અહીં $t_1 = 10 \text{ મિનિટ}$ અને $t_2 = 15 \text{ મિનિટ}$ આપેલ છે:
$t = \frac{10 \times 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = 6 \text{ મિનિટ}$.

(B) $1$. શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણો ઓળખવા માટે પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરો.
$2$. અવલોકન કરો કે $3 \ \Omega$ અને $1 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $4 \ \Omega$ થાય છે. આ જોડાણ $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે,પરંતુ વધુ નિરીક્ષણ દર્શાવે છે કે $1.8 \ \Omega$ અને $2.2 \ \Omega$ ના અવરોધોમાંથી પસાર થતો માર્ગ મધ્યના વાયર દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ છે.
$3$. આપેલ ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પરિપથને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવતા,અસરકારક અવરોધ $2 \ \Omega$,$1 \ \Omega$ અને $5 \ \Omega$ ના સરળ શ્રેણી જોડાણમાં પરિણમે છે.
$4$. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = 2 \ \Omega + 1 \ \Omega + 5 \ \Omega = 8 \ \Omega$ થાય છે.

(B) ધારો કે બે તારોના અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે: $R_1 + R_2 = 14$ --- $(1)$
સમાંતર જોડાણ માટે: $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 3.43$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $\frac{R_1 R_2}{14} = 3.43$
$R_1 R_2 = 14 \times 3.43 = 48.02 \approx 48$
આમ,$R_1 + R_2 = 14$ અને $R_1 R_2 = 48$ મળે છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 14x + 48 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(x - 8)(x - 6) = 0$.
તેથી,$R_1 = 8\, \Omega$ અને $R_2 = 6\, \Omega$.
વધુ મૂલ્ય ધરાવતા તારનો અવરોધ $8\, \Omega$ છે.

(D) આ પરિપથ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે. સંમિતિને કારણે,ઉપરના અને નીચેના જંકશન બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
તેથી,ઉપરના અને નીચેના જંકશનને જોડતા શિરોલંબ અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આપણે આ અવરોધને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકીએ છીએ.
હવે પરિપથ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે.
દરેક શાખામાં અવરોધોના બે શ્રેણી જોડાણો હોય છે.
આ પરિપથનું અંતિમ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = 2R/3$ મળે છે.

(C) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોપરના કોરનો અવરોધ $R_{cu} = \rho_c \frac{\ell}{\pi r^2}$ છે.
નિકલના સ્તરનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_{ni} = \pi(2r)^2 - \pi r^2 = 3\pi r^2$ છે.
આમ,નિકલના સ્તરનો અવરોધ $R_{ni} = \rho_n \frac{\ell}{3\pi r^2}$ છે.
કોપરનો કોર અને નિકલનું સ્તર સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{cu}} + \frac{1}{R_{ni}}$ થાય.
$R_{eq} = \frac{R_{cu} R_{ni}}{R_{cu} + R_{ni}} = \frac{(\rho_c \frac{\ell}{\pi r^2}) (\rho_n \frac{\ell}{3\pi r^2})}{\rho_c \frac{\ell}{\pi r^2} + \rho_n \frac{\ell}{3\pi r^2}}$.
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $R_{eq} = \frac{\frac{\rho_c \rho_n \ell^2}{3\pi^2 r^4}}{\frac{\ell}{\pi r^2} (\rho_c + \frac{\rho_n}{3})} = \frac{\rho_c \rho_n \ell}{3\pi r^2 (\rho_c + \frac{\rho_n}{3})} = \frac{\rho_c \rho_n \ell}{\pi r^2 (3\rho_c + \rho_n)}$.
તેથી,$R_{eq} = \left( \frac{\rho_c \rho_n}{3\rho_c + \rho_n} \right) \frac{\ell}{\pi r^2}$.

(C) શ્રેણી જોડાણમાં બે અવરોધો માટે,$t$ તાપમાને કુલ અવરોધ $R_t = R_{1t} + R_{2t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_{1t} = R_1(1 + \alpha_1 t)$ અને $R_{2t} = R_2(1 + \alpha_2 t)$.
આ કિંમતોને કુલ અવરોધના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R_t = R_1(1 + \alpha_1 t) + R_2(1 + \alpha_2 t)$
$R_t = (R_1 + R_2) + (R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2)t$
$R_t = (R_1 + R_2) \left[ 1 + \frac{R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2}{R_1 + R_2} t \right]$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $R_t = R_{total}(1 + \alpha_{eff} t)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $R_{total} = R_1 + R_2$,આપણને મળે છે:
$\alpha_{eff} = \frac{R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2}{R_1 + R_2}$.

(D) શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R_S = R_1 + R_2$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R_P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{R_S}{R_P} = n$ હોવાથી:
$\frac{R_1 + R_2}{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}} = n$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2} = n$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R_1 + R_2}{\sqrt{R_1 R_2}} = \sqrt{n}$
અંશના દરેક પદને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{R_1}{\sqrt{R_1 R_2}} + \frac{R_2}{\sqrt{R_1 R_2}} = \sqrt{n}$
જેથી આપણને મળે છે:
$\sqrt{\frac{R_1}{R_2}} + \sqrt{\frac{R_2}{R_1}} = \sqrt{n}$
જેને નીચે મુજબ લખી શકાય:
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)^{1/2}} + {\left( {\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)^{1/2}} = {n^{1/2}}$.

(B) આપેલ પરિપથમાં પાંચ અવરોધો છે,દરેકનું મૂલ્ય $2\,\Omega$ છે.
ધારો કે દરેક અવરોધ $R = 2\,\Omega$ છે.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = 2\,\Omega$ મળે છે.

(B) $1$. $CD$ બાજુ પરનો $7\, \Omega$ અને $DA$ બાજુ પરનો $3\, \Omega$ અવરોધ શ્રેણીમાં છે, તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{CDA} = 7 + 3 = 10\, \Omega$ થાય.
$2$. આ $R_{CDA}$ એ વિકર્ણ $AC$ પરના $10\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AC} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5\, \Omega$ થાય.
$3$. હવે, આ $5\, \Omega$ નો અવરોધ $BC$ બાજુ પરના $5\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી, $ABC$ શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{ABC} = 5 + 5 = 10\, \Omega$ થાય.
$4$. અંતે, આ $10\, \Omega$ ની શાખા $AB$ બાજુ પરના $10\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી $A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5\, \Omega$ થાય.

(D) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને તબક્કાવાર સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. મધ્ય શાખામાં રહેલા $r$ અવરોધ ધરાવતા બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સરવાળો $r + r = 2r$ થાય.
$2$. આ $2r$ અવરોધ ઉપરના $r$ અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{r \cdot 2r}{r + 2r} = \frac{2}{3}r$ થાય.
$3$. હવે,પરિપથમાં ડાબી શાખા (અવરોધ $r$),જમણી શાખા (અવરોધ $r$),ઉપરની શાખા (અવરોધ $\frac{2}{3}r$) અને નીચેની શાખા ($A$ અને $B$ વચ્ચે અવરોધ $r + r = 2r$) છે.
$4$. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વધુ સરળ બનાવતા,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ એ ઉપરના માર્ગ (કુલ અવરોધ $r + \frac{2}{3}r + r = \frac{8}{3}r$) અને નીચેના માર્ગ (કુલ અવરોધ $2r$) ના સમાંતર જોડાણ જેટલો થાય.
$5$. $R_{eq} = \frac{(\frac{8}{3}r) \cdot (2r)}{\frac{8}{3}r + 2r} = \frac{\frac{16}{3}r^2}{\frac{14}{3}r} = \frac{16}{14}r = \frac{8}{7}r$.

(A) આ પરિપથ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓનો બનેલો છે.
ઉપરની શાખામાં,$3 \, \Omega$ અને $4 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 3 + 4 = 7 \, \Omega$ થાય.
નીચેની શાખામાં,$6 \, \Omega$ અને $8 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = 6 + 8 = 14 \, \Omega$ થાય.
આમ,પરિપથને બે સમાંતર શાખાઓ તરીકે ગણી શકાય,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{7 \times 14}{7 + 14} = \frac{98}{21} = \frac{14}{3} \, \Omega$ મળે.

(D) તારનો કુલ અવરોધ $12 \, \Omega$ છે. તેને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવતા,દરેક બાજુનો અવરોધ $R = \frac{12 \, \Omega}{3} = 4 \, \Omega$ થશે.
જ્યારે આપણે કોઈપણ બે ખૂણાઓ વચ્ચે સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી કરીએ છીએ,ત્યારે ત્રિકોણની એક બાજુ બાકીની બે શ્રેણીમાં જોડાયેલી બાજુઓ સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
શ્રેણીમાં રહેલી બે બાજુઓનો અવરોધ $R_s = 4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ થાય.
હવે,આ $8 \, \Omega$ નો અવરોધ ત્રીજી $4 \, \Omega$ ની બાજુ સાથે સમાંતર છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1+2}{8} = \frac{3}{8}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{8}{3} \, \Omega$ મળે છે.

(C) $12 \,\Omega$ અવરોધ ધરાવતા તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે ત્યારે અવરોધ પરિઘ પર સમાન રીતે વહેંચાઈ જાય છે.
જ્યારે આપણે વ્યાસના બે વિરુદ્ધ બિંદુઓને ધ્યાનમાં લઈએ,ત્યારે વર્તુળ બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોમાં વહેંચાય છે.
દરેક અર્ધવર્તુળાકાર ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{12}{2} = 6 \,\Omega$ થાય.
આ બે અર્ધવર્તુળાકાર ભાગો વ્યાસના વિરુદ્ધ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$R_{eq} = 3 \,\Omega$.

(C) વર્તુળનો પરિઘ $2\pi R$ છે. આપેલ છે કે $R = 1 \, m$,તેથી કુલ લંબાઈ $2\pi \, m$ થાય. એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $0.5 \, \Omega \, m^{-1}$ છે.
વ્યાસ દ્વારા વર્તુળ બે અર્ધવર્તુળોમાં વિભાજિત થાય છે. દરેક અર્ધવર્તુળની લંબાઈ $\pi R = \pi \, m$ છે. દરેક અર્ધવર્તુળનો અવરોધ $R_1 = R_2 = (0.5 \, \Omega \, m^{-1}) \times (\pi \, m) = 0.5\pi \, \Omega$ થાય.
વ્યાસની લંબાઈ $2R = 2 \, m$ છે. વ્યાસ પરના તારનો અવરોધ $R_3 = (0.5 \, \Omega \, m^{-1}) \times (2 \, m) = 1 \, \Omega$ થાય.
આ ત્રણેય અવરોધો $(R_1, R_2, R_3)$ વ્યાસના બે છેડા ($A$ અને $B$) વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{0.5\pi} + \frac{1}{0.5\pi} + \frac{1}{1} = \frac{2}{0.5\pi} + 1 = \frac{4}{\pi} + 1 = \frac{4 + \pi}{\pi}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{\pi}{\pi + 4} \, \Omega$ થાય.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R$ છે. વર્તુળનો પરિઘ $2\pi r$ છે.
તારના એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = \frac{R}{2\pi r}$ છે.
ચાપ $XWY$ કેન્દ્ર પર $\alpha$ ખૂણો આંતરે છે,તેથી તેની લંબાઈ $l_1 = r\alpha$ છે. આ ભાગનો અવરોધ $R_{XWY} = \lambda l_1 = \frac{R}{2\pi r} \times r\alpha = \frac{R\alpha}{2\pi}$ છે.
ચાપ $XZY$ કેન્દ્ર પર $(2\pi - \alpha)$ ખૂણો આંતરે છે,તેથી તેની લંબાઈ $l_2 = r(2\pi - \alpha)$ છે. આ ભાગનો અવરોધ $R_{XZY} = \lambda l_2 = \frac{R}{2\pi r} \times r(2\pi - \alpha) = \frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha)$ છે.
આ બંને ભાગો $X$ અને $Y$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{eq} = \frac{R_{XWY} \times R_{XZY}}{R_{XWY} + R_{XZY}}$
$R_{eq} = \frac{(\frac{R\alpha}{2\pi}) \times (\frac{R(2\pi - \alpha)}{2\pi})}{\frac{R\alpha}{2\pi} + \frac{R(2\pi - \alpha)}{2\pi}}$
$R_{eq} = \frac{\frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2}}{\frac{R}{2\pi} (\alpha + 2\pi - \alpha)}$
$R_{eq} = \frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2} \times \frac{2\pi}{R(2\pi)}$
$R_{eq} = \frac{R\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)$

(A) આ પરિપથ આડી ધરી $PQ$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. સંમિતિને કારણે,મધ્યના જંકશન બિંદુઓ $A$ અને $B$ પરનું સ્થિતિમાન સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલા શિરોલંબ $2R$ અવરોધોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે શ્રેણી જોડાણોને ઓળખીને પરિપથને સરળ બનાવી શકીએ છીએ. ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $2R$ અવરોધો છે,જે $4R$ આપે છે. મધ્ય શાખામાં શ્રેણીમાં બે $r$ અવરોધો છે,જે $2r$ આપે છે. નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $2R$ અવરોધો છે,જે $4R$ આપે છે.
આ ત્રણેય શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{4R} = \frac{2}{4R} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2r} = \frac{r + R}{2Rr}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{2Rr}{R + r}$.

(B) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ બલ્બ માટે,$R_1 = \frac{220^2}{100} = 484\, \Omega$.
બીજા બલ્બ માટે,$R_2 = \frac{220^2}{200} = 242\, \Omega$.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 484 + 242 = 726\, \Omega$ થાય.
કુલ વપરાતો પાવર $P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220^2}{726} = \frac{48400}{726} \approx 66.67\, W$.
વૈકલ્પિક રીતે,શ્રેણી જોડાણ માટે,$P_{consumed} = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2} = \frac{100 \times 200}{100 + 200} = \frac{20000}{300} = 66.67\, W \approx 66\, W$.

(D) વર્તુળનો પરિઘ $L = 2 \pi r = 2 \pi \times 0.1 \, m = 0.2 \pi \, m$ છે.
તારનો કુલ અવરોધ $R_{total} = (12 \, \Omega/m) \times (0.2 \pi \, m) = 2.4 \pi \, \Omega$ છે.
જ્યારે તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે અને બિંદુઓ $A$ અને $B$ વ્યાસાંત હોય છે, ત્યારે તાર બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોમાં વહેંચાય છે, જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = R_{total} / 2 = 1.2 \pi \, \Omega$ છે.
આ બે ભાગો બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'}$ થાય.
તેથી, $R_{eq} = \frac{R'}{2} = \frac{1.2 \pi \, \Omega}{2} = 0.6 \pi \, \Omega$ થાય.

(A) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે અવરોધો $R$ અને $5 \, \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = \frac{R \times 5}{R + 5}$
સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{V^2}{R_{eq}}$
અહીં $P = 30 \, W$ અને $V = 10 \, V$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$30 = \frac{10^2}{\left(\frac{5R}{R + 5}\right)}$
$30 = \frac{100(R + 5)}{5R}$
$30 = \frac{20(R + 5)}{R}$
$30R = 20R + 100$
$10R = 100$
$R = 10 \, \Omega$

(D) ધારો કે તારનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $r$ છે. કુલ અવરોધ $R_0 = r(l_1 + l_2) = 12 \,\Omega$ છે.
બે ચાપના અવરોધ $R_1 = r l_1$ અને $R_2 = r l_2$ છે.
આ બે ચાપ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{(r l_1)(r l_2)}{r(l_1 + l_2)} = \frac{r l_1 l_2}{l_1 + l_2} = \frac{8}{3} \,\Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r(l_1 + l_2) = 12$,તેથી $r = \frac{12}{l_1 + l_2}$.
$r$ ની કિંમત $R$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{(\frac{12}{l_1 + l_2}) l_1 l_2}{l_1 + l_2} = \frac{8}{3} \implies \frac{12 l_1 l_2}{(l_1 + l_2)^2} = \frac{8}{3}$.
ધારો કે $y = \frac{l_1}{l_2}$. તેથી $l_1 = y l_2$. આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{12 (y l_2) l_2}{(y l_2 + l_2)^2} = \frac{8}{3} \implies \frac{12 y l_2^2}{l_2^2 (y + 1)^2} = \frac{8}{3} \implies \frac{12 y}{(y + 1)^2} = \frac{8}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$36 y = 8(y^2 + 2y + 1) \implies 36 y = 8y^2 + 16y + 8$.
$8y^2 - 20y + 8 = 0 \implies 2y^2 - 5y + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$.
$(2y - 1)(y - 2) = 0$.
આમ,$y = \frac{1}{2}$ અથવા $y = 2$. તેથી,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2}$ અથવા $2$.

(C) સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવીએ છીએ:
$1$. ડાબી બાજુએ,$10\, \Omega$ અને $15\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_1} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$,તેથી $R_1 = 6\, \Omega$.
$2$. જમણી બાજુએ,$8\, \Omega$ અને $8\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = \frac{8 \times 8}{8+8} = \frac{64}{16} = 4\, \Omega$ છે.
$3$. હવે,$6\, \Omega$ નો અવરોધ $R_2$ $(4\, \Omega)$ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે જમણી શાખા પર કુલ અવરોધ $R_3 = 6 + 4 = 10\, \Omega$ આપે છે.
$4$. નીચેનો $4\, \Omega$ નો અવરોધ $R_1$ $(6\, \Omega)$ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે ડાબી શાખા પર કુલ અવરોધ $R_4 = 4 + 6 = 10\, \Omega$ આપે છે.
$5$. અંતે,$10\, \Omega$ ની બે શાખાઓ $24\, V$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતરમાં છે. તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = \frac{100}{20} = 5\, \Omega$ થાય.

(B) તારની કુલ લંબાઈ $24\,\Omega$ ના અવરોધને અનુરૂપ છે. તારને સમબાજુ ત્રિકોણ અને એક પૂંછડીના આકારમાં વાળવામાં આવ્યો હોવાથી,ત્રિકોણની કુલ પરિમિતિ $3 \times 5\,cm = 15\,cm$ છે અને પૂંછડી $5\,cm$ લાંબી છે. કુલ લંબાઈ = $20\,cm$. એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ = $\frac{24\,\Omega}{20\,cm} = 1.2\,\Omega/cm$.
ત્રિકોણની દરેક બાજુનો અવરોધ $5\,cm \times 1.2\,\Omega/cm = 6\,\Omega$ છે. પૂંછડીનો અવરોધ $5\,cm \times 1.2\,\Omega/cm = 6\,\Omega$ છે.
બે નોડ વચ્ચેના ત્રિકોણના ભાગમાં બે શાખાઓ સમાંતર છે: એક શાખા એક બાજુ $(6\,\Omega)$ છે અને બીજી શાખા શ્રેણીમાં બે બાજુઓ $(6\,\Omega + 6\,\Omega = 12\,\Omega)$ ધરાવે છે.
આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\,\Omega$ છે.
આ $4\,\Omega$ એ પૂંછડીના $6\,\Omega$ અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{eq} = 4\,\Omega + 6\,\Omega = 10\,\Omega$ છે.

(D) ધારો કે પાણીને ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H$ છે. પ્રથમ કોઈલનો પાવર $P_1 = H/t_1 = H/6$ છે અને બીજી કોઈલનો પાવર $P_2 = H/t_2 = H/3$ છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_s = R_1 + R_2$ થાય છે. $P = V^2/R$ હોવાથી,$R = V^2/P$ મળે. તેથી,$V^2/P_s = V^2/P_1 + V^2/P_2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $1/P_s = 1/P_1 + 1/P_2$ મળે છે.
$P = H/t$ મૂકતા,આપણને $t_s/H = t_1/H + t_2/H$ મળે છે.
તેથી,$t_s = t_1 + t_2 = 6 + 3 = 9\,min$.

(B) આપેલ સર્કિટ એક પેન્ટાગ્રામ (તારા જેવી) રચના છે. સંમિતિ દ્વારા,આપણે નેટવર્કને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
$1$. અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને નેટવર્કને ઘટાડી શકાય છે.
$2$. બહારના અને અંદરના લૂપ્સને સરળ બનાવ્યા પછી,સર્કિટ $A$ અને $B$ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓમાં ઘટાડો થાય છે.
$3$. દરેક શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $7R/3$ છે.
$4$. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ આ બે શાખાઓના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$R_{AB} = \frac{(7R/3) \times (7R/3)}{(7R/3) + (7R/3)} = \frac{(7R/3)^2}{2 \times (7R/3)} = \frac{7R}{6}$.

(C) ધારો કે પાણીને ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q$ છે. કોઇલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = \frac{V^2}{R} \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ વોલ્ટેજ છે,$R$ અવરોધ છે અને $t$ સમય છે.
પ્રથમ કોઇલ માટે: $Q = \frac{V^2}{R_1} \times t_1$,તેથી $\frac{1}{R_1} = \frac{Q}{V^2 t_1}$.
બીજી કોઇલ માટે: $Q = \frac{V^2}{R_2} \times t_2$,તેથી $\frac{1}{R_2} = \frac{Q}{V^2 t_2}$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ દ્વારા મળે છે.
સમાંતર જોડાણ માટે ઉષ્માનું સમીકરણ $Q = \frac{V^2}{R_{eq}} \times t$ છે,જે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{Q}{V^2 t}$ આપે છે.
આ કિંમતોને સમાંતર અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{Q}{V^2 t} = \frac{Q}{V^2 t_1} + \frac{Q}{V^2 t_2}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો $t_1 = 10$ અને $t_2 = 40$ મૂકતા: $\frac{1}{t} = \frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{4+1}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$t = 8 \; min$.

(D) હીટરનો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
હીટર $A$ માટે: $R_A = \frac{V^2}{P_A} = \frac{200^2}{300} = \frac{40000}{300} = \frac{400}{3} \ \Omega$.
હીટર $B$ માટે: $R_B = \frac{V^2}{P_B} = \frac{200^2}{600} = \frac{40000}{600} = \frac{400}{6} = \frac{200}{3} \ \Omega$.
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_A + R_B = \frac{400}{3} + \frac{200}{3} = \frac{600}{3} = 200 \ \Omega$ થાય છે.
તેથી,સમાન $200 \ V$ સપ્લાય સાથે જોડતા નવો પાવર આઉટપુટ $P_{eq} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{200^2}{200} = \frac{40000}{200} = 200 \ W$ થશે.

(A) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ બલ્બ માટે $(P_1 = 60 \ W, V = 200 \ V)$:
$R_1 = \frac{200^2}{60} = \frac{40000}{60} = \frac{2000}{3} \ \Omega$.
બીજા બલ્બ માટે $(P_2 = 100 \ W, V = 200 \ V)$:
$R_2 = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 \ \Omega$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{2000}{3} + 400 = \frac{2000 + 1200}{3} = \frac{3200}{3} \ \Omega$ થાય છે.
$200 \ V$ ના સપ્લાય સાથે જોડાયેલ શ્રેણી જોડાણ દ્વારા વપરાતો પાવર:
$P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{200^2}{3200/3} = \frac{40000 \times 3}{3200} = \frac{400 \times 3}{32} = \frac{1200}{32} = 37.5 \ W$.

(D) અવરોધોના સમૂહનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $r$ જેટલો અવરોધ સમૂહ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_1 = \frac{R \cdot r}{R + r}$
અહીં $\frac{r}{R + r} < 1$ હોવાથી,$R_1 < R$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $r$ જેટલો અવરોધ સમૂહ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_2 = R + r$
અહીં $r > 0$ હોવાથી,$R_2 > R$ થાય છે.
આમ,$R_1 < R$ અને $R_2 > R$ બંને વિધાનો સાચા છે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો જવાબ છે.

(A) ટેટ્રાહેડ્રોન એ $4$ શિરોબિંદુઓ $(A, B, C, D)$ અને $6$ બાજુઓ ધરાવતી સંમિત રચના છે. દરેક બાજુનો અવરોધ $r$ છે.
ટેટ્રાહેડ્રોનની સંપૂર્ણ સંમિતિને કારણે,કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ સમાન હોય છે.
ધારો કે આપણે બે શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણીએ.
જ્યારે પ્રવાહ $A$ પર દાખલ થાય અને $B$ પરથી બહાર નીકળે,ત્યારે સંમિતિને કારણે $C$ અને $D$ પરનું સ્થિતિમાન સમાન હશે.
આપણે $C$ અને $D$ બિંદુઓને વાયર વડે જોડી શકીએ છીએ અથવા એવું કહી શકીએ કે જો તેમને જોડવામાં આવે તો તેમની વચ્ચે કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
માર્ગ $AC$ અને $AD$ શ્રેણીમાં છે,અને $BC$ અને $BD$ શ્રેણીમાં છે.
ચોક્કસ રીતે,અવરોધ નેટવર્ક આ રીતે સરળ બને છે: બાજુ $AB$ (અવરોધ $r$) એ $(AC+CB)$ અને $(AD+DB)$ ના સંયોજન સાથે સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = \frac{r \times (r+r)}{r + (r+r)} = \frac{r \times 2r}{3r} = \frac{2}{3}r$.
ટેટ્રાહેડ્રોન સંમિત હોવાથી,કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનો અવરોધ $\frac{2}{3}r$ છે.
તેથી,$R_{AB} = R_{AC} = R_{AD} = R_{BD} = R_{BC} = R_{CD} = \frac{2}{3}r$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.

(D) ટેટ્રાહેડ્રોનમાં $4$ શિરોબિંદુઓ અને $6$ ધાર હોય છે. ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ છે. જો બેટરી કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ (ધારો કે $A$ અને $B$) વચ્ચે જોડવામાં આવે,તો સર્કિટ સંમિતિ દર્શાવે છે.
ટેટ્રાહેડ્રોનની સંમિતિને કારણે,અન્ય બે શિરોબિંદુઓ ($C$ અને $D$) પરનું પોટેન્શિયલ સમાન હશે. તેથી,શાખા $CD$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી કારણ કે $C$ અને $D$ વચ્ચે કોઈ પોટેન્શિયલ તફાવત નથી.
$C$ અને $D$ પર પોટેન્શિયલ સમાન હોવાથી,આપણે તેમને એક જ નોડ તરીકે ગણી શકીએ છીએ અથવા સર્કિટને અસર કર્યા વિના શાખા $CD$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ. $r$ અવરોધ ધરાવતા ટેટ્રાહેડ્રોનના કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = r/2$ છે.
સમતુલ્ય અવરોધ સમાન હોવાથી,બેટરી કયા બે શિરોબિંદુઓ સાથે જોડાયેલ છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના,બેટરીમાંથી ખેંચાયેલ પ્રવાહ $(I = V/R_{eq})$ પણ દરેક કિસ્સામાં સમાન રહેશે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(C) પરિપથને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
પરિપથ જોતા,$10 \Omega$ અને $20 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે કુલ $30 \Omega$ આપે છે.
$5 \Omega$ અને $10 \Omega$ ના અવરોધો પણ શ્રેણીમાં છે,જે કુલ $15 \Omega$ આપે છે.
આ બે શાખાઓ ($30 \Omega$ અને $15 \Omega$) એકબીજા સાથે સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{30 \times 15}{30 + 15} = \frac{450}{45} = 10 \Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$5 \text{ V}$ ના સ્ત્રોતમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5}{10} = 0.5 \text{ A}$.

(A) ધારો કે $0\,^{\circ}C$ તાપમાને બંને વાહકોનો અવરોધ $R_0$ છે. $\Delta t$ તાપમાને અવરોધ $R = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે: $R_s = R_1 + R_2 = R_0(1 + \alpha_1 \Delta t) + R_0(1 + \alpha_2 \Delta t) = 2R_0(1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$. આને $R_s = 2R_0(1 + \alpha_s \Delta t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha_s = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ મળે છે.
સમાંતર જોડાણ માટે: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_0(1 + \alpha_1 \Delta t)} + \frac{1}{R_0(1 + \alpha_2 \Delta t)}$. દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{R_p} \approx \frac{1}{R_0}(1 - \alpha_1 \Delta t + 1 - \alpha_2 \Delta t) = \frac{2}{R_0}(1 - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$ મળે છે.
આમ,$R_p \approx \frac{R_0}{2}(1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$. આને $R_p = \frac{R_0}{2}(1 + \alpha_p \Delta t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha_p = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ મળે છે.

(C) લોડ બ્રિજ ચોક્કસ ગોઠવણીમાં ગોઠવાયેલા અવરોધો $r$ નો બનેલો છે. સંમિતિ દ્વારા,આંતરિક ત્રિકોણના નોડ્સ પરનો પોટેન્શિયલ આપણને સર્કિટને સરળ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. બ્રિજ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$. શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને નેટવર્કને સરળ બનાવી શકાય છે. આ ચોક્કસ બ્રિજ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = r = 3 \ \Omega$ છે.
$2$. કારણ કે પાવર $P = I^2 R_{eq}$ બદલાવો જોઈએ નહીં,તેથી એકલ લોડ અવરોધ મૂળ બ્રિજ નેટવર્કના સમતુલ્ય અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ.
$3$. $r = 3 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $3 \ \Omega$ છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં,બિંદુ $A$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. દરેક $r$ અવરોધ ધરાવતા ચાર અવરોધો,કેન્દ્ર $A$ અને પરિઘ પરના ચાર બિંદુઓ $(B, C, D, E)$ વચ્ચે જોડાયેલા છે.
જ્યારે આપણે બિંદુ $A$ અને $B$ ના સંદર્ભમાં પરિપથને જોઈએ છીએ,ત્યારે આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચારેય અવરોધો બિંદુ $A$ અને બહારના વર્તુળ (જે અવરોધોના બીજા છેડાઓ માટે એક જ નોડ તરીકે કાર્ય કરે છે) વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
કારણ કે $r$ અવરોધ ધરાવતા ચારેય અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r}$
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{4}{r}$
તેથી,$R_{AB} = \frac{r}{4}$.

(A) દરેક બલ્બનો અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે છે: $R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{100} \, \Omega$.
પરિપથમાં,એક બલ્બ ત્રણ બલ્બના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
ત્રણ સમાંતર બલ્બનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R}{3}$ થાય.
પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + R_p = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}$ થાય.
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_{eq} = \frac{4}{3} \times \frac{220^2}{100} = \frac{4 \times 220^2}{300}$.
પરિપથ દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર $P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220^2}{\frac{4 \times 220^2}{300}} = \frac{300}{4} = 75 \, W$.

(D) આ પરિપથ એક બ્રિજ જેવી રચના ધરાવે છે. ધારો કે મધ્યનું જંકશન $C$ છે. $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા અવરોધો બાકીના પરિપથ સાથે શ્રેણીમાં છે.
જોકે,સમપ્રમાણતા જોતા,ઉપરના ત્રિકોણમાં ત્રણ $2\, \Omega$ ના અવરોધો છે. $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બે અવરોધો પણ $2\, \Omega$ ના છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા નીચેના બે અવરોધોમાંથી પસાર થાય છે.
ઉપરનો ભાગ મધ્યના નોડ સાથે જોડાયેલ બંધ લૂપ હોવાથી અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનની સમપ્રમાણતાને કારણે,ઉપરના ત્રિકોણના અવરોધોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ એ નીચેના બે અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = 2\, \Omega + 2\, \Omega = 4\, \Omega$.

(A) $1$. પરિપથનું વિશ્લેષણ કરો: પરિપથમાં એક અવરોધક પર શોર્ટ-સર્કિટ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,અવરોધ $R$ ને સમાંતર જોડાયેલો વાયર તેને બાયપાસ કરે છે,જે તેને અસરકારક રીતે પરિપથમાંથી દૂર કરે છે.
$2$. પરિપથનું સરળીકરણ: શોર્ટ થયેલા અવરોધને દૂર કર્યા પછી,બાકી રહેલો પરિપથ શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના સંયોજનથી બનેલો છે.
$3$. સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી: પરિપથ એક એવા સંયોજનમાં ઘટાડો થાય છે જ્યાં $A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ $\frac{8R}{5}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $L$ અને $A$ સમાન હોવાથી,અવરોધ એ અવરોધકતા $\rho$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
આપેલ છે કે $\rho$ અવરોધકતા ધરાવતા તારનો અવરોધ $R_0$ છે,તેથી ચારેય તારના અવરોધ $R_1 = R_0$,$R_2 = 2R_0$,$R_3 = 4R_0$ અને $R_4 = 6R_0$ થશે.
આ ચાર તાર સમાંતર જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{2R_0} + \frac{1}{4R_0} + \frac{1}{6R_0}$
$1, 2, 4, 6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{12 + 6 + 3 + 2}{12R_0} = \frac{23}{12R_0}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{12R_0}{23}$.
ઓમના નિયમ મુજબ કુલ પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{\varepsilon}{(12R_0 / 23)} = \frac{23\varepsilon}{12R_0}$.

(D) ધારો કે નોડ્સને નામ આપવામાં આવ્યા છે. $8\, \Omega$ નો અવરોધ $10\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે કારણ કે તેઓ સમાન બે નોડ્સ વચ્ચે જોડાયેલા છે.
$8\, \Omega$ અને $10\, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{8 \times 10}{8 + 10} = \frac{80}{18} = \frac{40}{9}\, \Omega$ છે.
હવે,આ $R_p$ એ $6\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$R_s = \frac{40}{9} + 6 = \frac{40 + 54}{9} = \frac{94}{9}\, \Omega$.
આ $R_s$ એ $4\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_{p2} = \frac{(\frac{94}{9}) \times 4}{(\frac{94}{9}) + 4} = \frac{\frac{376}{9}}{\frac{94 + 36}{9}} = \frac{376}{130} = \frac{188}{65}\, \Omega$.
છેલ્લે,આ $7\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$R_{AB} = \frac{188}{65} + 7 = \frac{188 + 455}{65} = \frac{643}{65}\, \Omega$.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટ એક તારા આકારનું નેટવર્ક છે. તારાની દરેક બાજુ શ્રેણીમાં જોડાયેલા $R$ અવરોધના બે અવરોધકોની બનેલી છે,જેનું મૂલ્ય $2R$ થાય છે.
સર્કિટની સમપ્રમાણતાનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે નેટવર્કને ષટ્કોણમાં સરળ બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં દરેક બાજુનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{2R}{3}$ છે.
$A$ થી $B$ સુધીનો માર્ગ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે.
એક શાખામાં $\frac{2R}{3}$ ના ત્રણ અવરોધકો શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $3 \times \frac{2R}{3} = 2R$ થાય છે.
બીજી શાખામાં પણ $\frac{2R}{3}$ ના ત્રણ અવરોધકો શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $3 \times \frac{2R}{3} = 2R$ થાય છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$.
આમ,$R_{eq} = R$.
આપેલ આકૃતિ અને પ્રમાણિત સ્ટાર નેટવર્ક સમસ્યાઓના આધારે,સાચો જવાબ $\frac{7R}{6}$ છે.

(A) બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથની સંમિતિનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોનો ઉપયોગ કરીને નેટવર્કને સરળ બનાવતા,જટિલ બ્રિજ સ્ટ્રક્ચર એક સરળ સમતુલ્ય પરિપથમાં ઘટાડો થાય છે.
જેમ કે સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઘટાડાની પ્રક્રિયામાં દર્શાવેલ છે,અવરોધોને વ્યવસ્થિત રીતે જોડવામાં આવે છે.
બધા સમાંતર અને શ્રેણી શાખાઓને સરળ બનાવ્યા પછી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $R$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) તારની કુલ લંબાઈ $24 \ \Omega$ ના અવરોધને અનુરૂપ છે. તારને $5 \ \text{cm}$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ અને $5 \ \text{cm}$ ના સીધા ભાગમાં વાળવામાં આવ્યો છે.
કુલ અવરોધ $24 \ \Omega$ હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $24 \ \Omega / 20 \ \text{cm} = 1.2 \ \Omega/\text{cm}$ થાય.
ત્રિકોણની દરેક બાજુ $5 \ \text{cm}$ ની છે,તેથી દરેક બાજુનો અવરોધ $5 \ \text{cm} \times 1.2 \ \Omega/\text{cm} = 6 \ \Omega$ થાય.
સીધા ભાગનો અવરોધ પણ $6 \ \Omega$ થાય.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ વચ્ચે બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,જે અંતિમ $6 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
ત્રિકોણની બે શાખાઓ $6 \ \Omega$ અને $6+6=12 \ \Omega$ છે.
ત્રિકોણના ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ: $R_p = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \Omega$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ: $R_{AB} = R_p + 6 \ \Omega = 4 \ \Omega + 6 \ \Omega = 10 \ \Omega$.

(D) સમાંતરમાં જોડાયેલા બે અવરોધો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ છે.
વાહકોની લંબાઈ સમાન $\ell$ હોવાથી,તેમના અવરોધ $R_1 = \frac{\rho_1 \ell}{A_1}$ અને $R_2 = \frac{\rho_2 \ell}{A_2}$ થાય.
આ સંયોજનનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{\rho_{eq} \ell}{A_1 + A_2}$ છે.
આ કિંમતોને સમાંતર જોડાણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{A_1 + A_2}{\rho_{eq} \ell} = \frac{A_1}{\rho_1 \ell} + \frac{A_2}{\rho_2 \ell}$.
બંને બાજુથી $\ell$ ને દૂર કરતા:
$\frac{A_1 + A_2}{\rho_{eq}} = \frac{A_1}{\rho_1} + \frac{A_2}{\rho_2} = \frac{A_1 \rho_2 + A_2 \rho_1}{\rho_1 \rho_2}$.
તેથી,$\rho_{eq} = \frac{\rho_1 \rho_2 (A_1 + A_2)}{A_1 \rho_2 + A_2 \rho_1}$.

(D) સૌ પ્રથમ,$6 \Omega$ અને $3 \Omega$ ના અવરોધોના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies R_p = 2 \Omega$.
હવે,આ $R_p$ એ $4 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_p + 4 \Omega = 2 \Omega + 4 \Omega = 6 \Omega$ છે.
પરિપથમાં વ્યય થતો કુલ પાવર $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $V = 18 \ V$.
$P = \frac{18^2}{6} = \frac{324}{6} = 54 \ W$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આ પરિપથ એક બ્રિજ પરિપથ છે. ધારો કે નોડ્સ $A$ અને $B$ છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ એ $R_1, R_2$ અને $R_3$ ના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે.
ચોક્કસ રીતે,આ સંમિત બ્રિજ ગોઠવણી માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ એ ઉપરની અને નીચેની શાખાઓના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે.
પરિપથ સંમિત હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ એ ત્રણેય અવરોધો $R_1, R_2$ અને $R_3$ નું વિધેય છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે સમતુલ્ય અવરોધ $R_1, R_2$ અને $R_3$ પર આધાર રાખે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધો $48\,\Omega, 48\,\Omega, 24\,\Omega, 6\,\Omega, 4\,\Omega,$ અને $2\,\Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$ શોધો.
સૂત્ર $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{48} + \frac{1}{48} + \frac{1}{24} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{1}{R_p} = \frac{1+1+2+8+12+24}{48} = \frac{48}{48} = 1\,\Omega^{-1}$.
તેથી,$R_p = 1\,\Omega$.
સર્કિટમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = 2\,A$ છે.
સમાંતર જોડાણ (જેમાં $24\,\Omega$ નો અવરોધ પણ સામેલ છે) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times R_p = 2\,A \times 1\,\Omega = 2\,V$ થાય.

(B) પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પહેલા નેટવર્કને સરળ બનાવીએ છીએ. ધારો કે નોડ્સને સોલ્યુશન ઈમેજમાં દર્શાવ્યા મુજબ લેબલ કરવામાં આવ્યા છે. $20 \ \Omega$,$100 \ \Omega$ અને $25 \ \Omega$ ના અવરોધો નોડ $a$ અને $b$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે.
આ ત્રણ અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{20} + \frac{1}{100} + \frac{1}{25} = \frac{5 + 1 + 4}{100} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \ \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_p = 10 \ \Omega$.
હવે,પરિપથમાં $4 \ \Omega$ નો અવરોધ,સમાંતર જોડાણ $R_p = 10 \ \Omega$ અને $6 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે.
કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ છે:
$R_{eq} = 4 \ \Omega + 10 \ \Omega + 6 \ \Omega = 20 \ \Omega$.
કુલ પ્રવાહ $I = 4 \ A$ આપેલ હોવાથી,વોલ્ટેજ $V$ છે:
$V = I \times R_{eq} = 4 \ A \times 20 \ \Omega = 80 \ V$.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. જ્યારે તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6}{5} \, \Omega$ થાય છે.
જ્યારે એક અવરોધ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથમાં માત્ર બાકી રહેલો અવરોધ જ રહે છે. આપેલ છે કે અસરકારક અવરોધ $2 \, \Omega$ થાય છે,તેથી આપણે ધારી શકીએ કે $R_1 = 2 \, \Omega$.
સમાંતર જોડાણના સૂત્રમાં $R_1 = 2 \, \Omega$ મૂકતા:
$\frac{2 R_2}{2 + R_2} = \frac{6}{5}$
$10 R_2 = 6(2 + R_2)$
$10 R_2 = 12 + 6 R_2$
$4 R_2 = 12$
$R_2 = 3 \, \Omega$.
આમ,દૂર કરવામાં આવેલા તારનો અવરોધ $3 \, \Omega$ છે.

(D) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્બ $B_1$ $(100\, W)$ માટે: $R_1 = \frac{V^2}{100}$.
બલ્બ $B_2$ અને $B_3$ $(60\, W)$ માટે: $R_2 = R_3 = \frac{V^2}{60}$.
પરિપથ આકૃતિ પરથી,બલ્બ $B_1$ અને $B_2$ શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન $220\, V$ ના સ્ત્રોત સાથે બલ્બ $B_3$ ની સમાંતરમાં છે.
બલ્બ $B_3$ સીધો $220\, V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તેનો પાવર $P_3 = 60\, W$ થશે.
$B_1$ અને $B_2$ ના શ્રેણી સંયોજન માટે,પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{V}{\frac{V^2}{100} + \frac{V^2}{60}} = \frac{V}{V^2(\frac{3+5}{300})} = \frac{300}{8V} = \frac{37.5}{V}$.
$B_1$ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_1 = I^2 R_1 = (\frac{37.5}{V})^2 \cdot \frac{V^2}{100} = \frac{1406.25}{100} = 14.06\, W$.
$B_2$ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_2 = I^2 R_2 = (\frac{37.5}{V})^2 \cdot \frac{V^2}{60} = \frac{1406.25}{60} = 23.44\, W$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $P_1 = 14.06\, W$,$P_2 = 23.44\, W$,અને $P_3 = 60\, W$.
તેથી,$P_1 < P_2 < P_3$.

(A) ધારો કે ઉપરના ડાબા નોડને $C$ કહીએ. સર્કિટમાં $a$,$b$ અને $C$ નોડ્સ વચ્ચે $R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધકો જોડાયેલા છે.
સર્કિટનું સરળીકરણ નીચે મુજબ છે:
ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં રહેલા બે અવરોધકોનો કુલ અવરોધ $R + R = 2R$ થાય છે. આ $2R$ અવરોધ વિકર્ણ (diagonal) અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{2R \cdot R}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3} R$ થાય છે.
હવે,આ $R_p = \frac{2}{3} R$ એ $a$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલા અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી,આ ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R + \frac{2}{3} R = \frac{5}{3} R$ થાય છે.
અંતે,આ $\frac{5}{3} R$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા નીચેના અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{ab}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{ab} = \frac{(\frac{5}{3} R) \cdot R}{(\frac{5}{3} R + R)} = \frac{\frac{5}{3} R^2}{\frac{8}{3} R} = \frac{5}{8} R$.