Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Gujarati

(N/A) આપેલા અવરોધો $R_{1} = 2 \; \Omega$,$R_{2} = 4 \; \Omega$ અને $R_{3} = 5 \; \Omega$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ અવરોધ $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 5 + 4}{20} = \frac{19}{20} \; \Omega^{-1}$
તેથી,$R = \frac{20}{19} \; \Omega \approx 1.05 \; \Omega$.
$(b)$ બેટરીનો વોલ્ટેજ $V = 20 \; V$ છે. સમાંતર જોડાણમાં,દરેક અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ સમાન હોય છે.
$R_{1}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ: $I_{1} = \frac{V}{R_{1}} = \frac{20}{2} = 10 \; A$.
$R_{2}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ: $I_{2} = \frac{V}{R_{2}} = \frac{20}{4} = 5 \; A$.
$R_{3}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ: $I_{3} = \frac{V}{R_{3}} = \frac{20}{5} = 4 \; A$.
કુલ પ્રવાહ $I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 10 + 5 + 4 = 19 \; A$.

(A) અવરોધકોની કુલ સંખ્યા $= n.$
દરેક અવરોધકનો અવરોધ $= R.$
$(i)$ જ્યારે $n$ અવરોધકો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે અસરકારક અવરોધ $R_{1}$ મહત્તમ હોય છે,જે $R_{1} = nR$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(ii)$ જ્યારે $n$ અવરોધકો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે અસરકારક અવરોધ $R_{2}$ ન્યૂનતમ હોય છે,જે $R_{2} = R/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(iii)$ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અવરોધનો ગુણોત્તર $R_{1}/R_{2} = (nR) / (R/n) = n^{2}$ છે.
$(b)$ આપેલા અવરોધો $R_{1} = 1\; \Omega, R_{2} = 2\; \Omega, R_{3} = 3\; \Omega$ છે.
$(i)$ $(11/3)\; \Omega$ મેળવવા માટે,$1\; \Omega$ અને $2\; \Omega$ ને સમાંતરમાં જોડો,પછી આ સંયોજનને $3\; \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં જોડો. $R_{eq} = (1 \times 2)/(1+2) + 3 = 2/3 + 3 = 11/3\; \Omega.$
$(ii)$ $(11/5)\; \Omega$ મેળવવા માટે,$2\; \Omega$ અને $3\; \Omega$ ને સમાંતરમાં જોડો,પછી આ સંયોજનને $1\; \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં જોડો. $R_{eq} = (2 \times 3)/(2+3) + 1 = 6/5 + 1 = 11/5\; \Omega.$
$(iii)$ $6\; \Omega$ મેળવવા માટે,ત્રણેયને શ્રેણીમાં જોડો. $R_{eq} = 1 + 2 + 3 = 6\; \Omega.$
$(iv)$ $(6/11)\; \Omega$ મેળવવા માટે,ત્રણેયને સમાંતરમાં જોડો. $1/R_{eq} = 1/1 + 1/2 + 1/3 = (6+3+2)/6 = 11/6 \implies R_{eq} = 6/11\; \Omega.$
$(c)$ $(a)$ દરેક લૂપમાં બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે: એકમાં બે $1\; \Omega$ અવરોધકો શ્રેણીમાં $(2\; \Omega)$ અને બીજામાં બે $2\; \Omega$ અવરોધકો શ્રેણીમાં $(4\; \Omega)$. એક લૂપનો સમતુલ્ય અવરોધ $= (2 \times 4)/(2+4) = 8/6 = 4/3\; \Omega.$ આવા ચાર લૂપ શ્રેણીમાં છે. કુલ $R_{eq} = 4 \times (4/3) = 16/3\; \Omega.$
$(b)$ $R$ અવરોધ ધરાવતા પાંચ અવરોધકો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. કુલ $R_{eq} = R+R+R+R+R = 5R.$

(N/A) અવરોધોને મુખ્યત્વે ત્રણ રીતે જોડી શકાય છે:
$(1)$ શ્રેણી જોડાણ: આ ગોઠવણીમાં,અવરોધોને એકબીજાના છેડા સાથે જોડવામાં આવે છે જેથી દરેક અવરોધમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. સમતુલ્ય અવરોધ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$.
$(2)$ સમાંતર જોડાણ: આ ગોઠવણીમાં,અવરોધોના છેડા સમાન બે બિંદુઓ સાથે જોડાયેલા હોય છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે. સમતુલ્ય અવરોધનો વ્યસ્ત એ વ્યક્તિગત અવરોધોના વ્યસ્તનો સરવાળો છે: $1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 + 1/R_3 + ... + 1/R_n$.
$(3)$ મિશ્ર જોડાણ: આ શ્રેણી અને સમાંતર બંને પરિપથોનું સંયોજન છે,જેમાં કેટલાક અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય છે જ્યારે અન્ય સમાન નેટવર્કની અંદર સમાંતર રીતે જોડાયેલા હોય છે.

(N/A) જ્યારે બે કે તેથી વધુ અવરોધોને એકબીજા સાથે એવી રીતે જોડવામાં આવે કે જેથી દરેક અવરોધમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ વહે,તો આવા જોડાણને શ્રેણી જોડાણ કહેવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) નો સરવાળો કુલ લાગુ પાડેલા વોલ્ટેજ જેટલો હોય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ને બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવ્યા છે. બંને અવરોધોમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_1 = I R_1$ ... $(1)$
અવરોધ $R_2$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_2 = I R_2$ ... $(2)$
કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$:
$V = V_1 + V_2$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$V = I R_1 + I R_2$
$V = I (R_1 + R_2)$
જો $R_S$ એ શ્રેણી જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ હોય,તો ઓમના નિયમ મુજબ:
$V = I R_S$
$V$ માટેના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$I R_S = I (R_1 + R_2)$
$R_S = R_1 + R_2$
આમ,$n$ અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_S = R_1 + R_2 + ... + R_n$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $R_{1}, R_{2}$ અને $R_{3}$ એ ત્રણ અવરોધો છે જે $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. પરિપથમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે.
$R_{1}, R_{2}$ અને $R_{3}$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અનુક્રમે $V_{1}, V_{2}$ અને $V_{3}$ છે. ઓમના નિયમ મુજબ,$V_{1}=IR_{1}, V_{2}=IR_{2}$ અને $V_{3}=IR_{3}$ થાય.
બેટરીનો કુલ ટર્મિનલ વોલ્ટેજ એ વ્યક્તિગત સ્થિતિમાનના તફાવતોનો સરવાળો છે:
$V = V_{1} + V_{2} + V_{3}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = IR_{1} + IR_{2} + IR_{3}$
$V = I(R_{1} + R_{2} + R_{3})$
$I$ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{I} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$
અહીં $\frac{V}{I} = R_{eq}$ એ શ્રેણી જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે:
$R_{eq} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $n$ અવરોધો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_{eq} = R_{1} + R_{2} + \ldots + R_{n}$
જો $R$ મૂલ્યના $n$ સમાન અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,તો:
$R_{eq} = nR$
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ હંમેશા સૌથી મોટા વ્યક્તિગત અવરોધ કરતા વધારે હોય છે.

(N/A) જ્યારે બે કે તેથી વધુ અવરોધોના છેડાઓને સામાન્ય બિંદુઓ પર જોડવામાં આવે,ત્યારે આવી ગોઠવણીને અવરોધોનું સમાંતર જોડાણ કહેવામાં આવે છે.
સમાંતર જોડાણમાં,તમામ અવરોધો વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ સમાન રહે છે,જ્યારે સ્ત્રોતમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ અવરોધો વચ્ચે વહેંચાઈ જાય છે. વ્યક્તિગત અવરોધોમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહનો સરવાળો પરિપથના કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ જેટલો હોય છે.
ધારો કે બે અવરોધો $R_{1}$ અને $R_{2}$ ને બિંદુ $a$ અને $b$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડવામાં આવ્યા છે,અને તેમની સાથે $V$ વોલ્ટેજની બેટરી જોડેલી છે. કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ બિંદુ $a$ પર પહોંચે છે અને $I_{1}$ અને $I_{2}$ માં વિભાજિત થાય છે.
બિંદુ $a$ પર,કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ:
$I = I_{1} + I_{2}$ ... $(1)$
ઓમના નિયમ મુજબ,દરેક અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I_{1} = \frac{V}{R_{1}}$ ... $(2)$
$I_{2} = \frac{V}{R_{2}}$ ... $(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$I = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} = V \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$
જો $R_{p}$ એ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ હોય,તો $I = \frac{V}{R_{p}}$.
તેથી,$\frac{V}{R_{p}} = V \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$
આમ,સમતુલ્ય અવરોધનું સૂત્ર:
$\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$

(N/A) $V$ વોલ્ટેજ ધરાવતી બેટરીના ટર્મિનલ્સને $a$ અને $b$ બિંદુઓ સાથે જોડતા,પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે. $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ અવરોધોમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ અનુક્રમે $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ છે. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,સમાંતરમાં જોડાયેલા દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન એટલે કે $V$ હોય છે.
$\therefore V = I_{1} R_{1} \Rightarrow I_{1} = \frac{V}{R_{1}} \quad \dots (1)$
$V = I_{2} R_{2} \Rightarrow I_{2} = \frac{V}{R_{2}} \quad \dots (2)$
$V = I_{3} R_{3} \Rightarrow I_{3} = \frac{V}{R_{3}} \quad \dots (3)$
જંકશન $a$ પાસે,કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતપ્રવાહોનો સરવાળો છે:
$I = I_{1} + I_{2} + I_{3} \quad \dots (4)$
સમીકરણ $(1), (2)$ અને $(3)$ ની કિંમતો સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા:
$I = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} + \frac{V}{R_{3}}$
બંને બાજુને $V$ વડે ભાગતા:
$\frac{I}{V} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
જો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p}$ હોય,તો ઓહ્મના નિયમ મુજબ $I = \frac{V}{R_{p}}$,તેથી $\frac{I}{V} = \frac{1}{R_{p}}$.
તેથી,સમાંતરમાં $3$ અવરોધો માટે:
$\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
સમાંતરમાં જોડાયેલા $n$ અવરોધો માટે,સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{p}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}$

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$R_{2}$ અને $R_{3}$ બિંદુઓ $B$ અને $C$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે અને $R_{1}$ આ સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
ધારો કે $R^{\prime}$ એ $R_{2}$ અને $R_{3}$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
તેથી,$\frac{1}{R^{\prime}} = \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$.
$R^{\prime} = \frac{R_{2} R_{3}}{R_{2} + R_{3}}$ $.....(1)$
આખા પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ એ $R_{1}$ અને $R^{\prime}$ નો સરવાળો છે કારણ કે તેઓ શ્રેણીમાં છે:
$R_{eq} = R_{1} + R^{\prime}$
$R_{eq} = R_{1} + \frac{R_{2} R_{3}}{R_{2} + R_{3}}$
$R_{eq} = \frac{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}}{R_{2} + R_{3}}$
જો $A$ અને $C$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V$ હોય,તો પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V(R_{2} + R_{3})}{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}}$

(N/A)

શ્રેણી જોડાણ	સમાંતર જોડાણ
$(1)$ અવરોધોને એકબીજાના છેડા સાથે એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે દરેક અવરોધમાંથી સમાન વિદ્યુત પ્રવાહ વહે છે।	$(1)$ અવરોધોને બે સમાન બિંદુઓ વચ્ચે એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન રહે છે।
$(2)$ દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અલગ-અલગ હોય છે।	$(2)$ દરેક અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુત પ્રવાહ અલગ-અલગ હોય છે।
$(3)$ સમતુલ્ય અવરોધનું સૂત્ર $R_{eq} = R_{1} + R_{2} + \dots + R_{n}$ છે।	$(3)$ સમતુલ્ય અવરોધનું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}$ છે।
$(4)$ સમતુલ્ય અવરોધનું મૂલ્ય પરિપથના સૌથી મોટા અવરોધ કરતા પણ વધારે હોય છે।	$(4)$ સમતુલ્ય અવરોધનું મૂલ્ય પરિપથના સૌથી નાના અવરોધ કરતા પણ ઓછું હોય છે।
$(5)$ જો એક અવરોધ બગડી જાય, તો આખો પરિપથ બંધ થઈ જાય છે।	$(5)$ જો એક અવરોધ બગડી જાય, તો પણ અન્ય શાખાઓમાં વિદ્યુત પ્રવાહ ચાલુ રહે છે।

(N/A) શ્રેણી જોડાણ: જ્યારે અવરોધોને એકબીજાના છેડા સાથે એવી રીતે જોડવામાં આવે કે દરેક અવરોધમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ વહે,તો તે જોડાણને શ્રેણી જોડાણ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં,કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણ: જ્યારે અવરોધોને એવી રીતે જોડવામાં આવે કે દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન રહે,તો તે જોડાણને સમાંતર જોડાણ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં,સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) શ્રેણીમાં જોડાયેલા $R_1, R_2, R_3, ..., R_n$ અવરોધ ધરાવતા $n$ અવરોધો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_s = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$
સમાંતરમાં જોડાયેલા $R_1, R_2, R_3, ..., R_n$ અવરોધ ધરાવતા $n$ અવરોધો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નો વ્યસ્ત એ વ્યક્તિગત અવરોધોના વ્યસ્તોનો સરવાળો છે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + ... + \frac{1}{R_n}$

(A) જ્યારે અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$. કારણ કે દરેક અવરોધ કુલ અવરોધમાં ઉમેરો કરે છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ હંમેશા કોઈપણ વ્યક્તિગત અવરોધ કરતા વધારે હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે અવરોધોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધનો વ્યસ્ત એ વ્યક્તિગત અવરોધોના વ્યસ્તનો સરવાળો છે: $1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 + ... + 1/R_n$. આના પરિણામે સમતુલ્ય અવરોધ સર્કિટના સૌથી નાના વ્યક્તિગત અવરોધ કરતા પણ ઓછો મળે છે.
તેથી,શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ વધે છે.

(A) શ્રેણી જોડાણમાં,અવરોધો એકબીજા સાથે છેડેથી જોડાયેલા હોય છે,જે વિદ્યુતભારના વહન માટે માત્ર એક જ માર્ગ પૂરો પાડે છે. તેથી,દરેક અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $(I)$ સમાન રહે છે,જ્યારે કુલ વોલ્ટેજ $(V)$ તેમની વચ્ચે વહેંચાઈ જાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં,અવરોધો સમાન બે બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલા હોય છે. તેથી,દરેક અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ,$V$) સમાન હોય છે,જ્યારે કુલ પ્રવાહ $(I)$ અલગ-અલગ શાખાઓમાં વહેંચાઈ જાય છે.

(B) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R = 10\,\Omega$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R + R = 2R = 2 \times 10 = 20\,\Omega$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ માટે $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$,તેથી $R_p = \frac{R}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\Omega$ થાય છે.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના સમતુલ્ય અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_s}{R_p} = \frac{2R}{R/2} = 4:1$ મળે છે.

(A) સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા બે અવરોધો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
આપેલ છે કે બંને અવરોધોનું મૂલ્ય $R \ \Omega$ છે,તેથી આપણે $R_1 = R$ અને $R_2 = R$ મૂકીએ:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે:
$R_{eq} = \frac{R}{2} \ \Omega$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) જ્યારે $R$ મૂલ્યના $n$ અવરોધોને $E$ જેટલા $emf$ અને $R$ જેટલા આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + nR = R(1+n)$ થાય છે.
પ્રવાહ $I = \frac{E}{R(1+n)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(1)$
જ્યારે $n$ અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R}{n}$ થાય છે.
નવો પ્રવાહ $I' = 10I$ એ $I' = \frac{E}{R + R/n} = \frac{nE}{R(n+1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10I}{I} = \frac{nE}{R(n+1)} \times \frac{R(n+1)}{E}$
$10 = n$
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $10$ છે.

(N/A) $1$. સમાંતર જોડાણ:
સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ માટે $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$ છે.
દરેક $R_i \ge R_{\min}$ હોવાથી,$\frac{1}{R_i} \le \frac{1}{R_{\min}}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{R_p} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{R_i} > \frac{1}{R_{\min}}$ ($n$ પદો હોવાથી).
આમ,$R_p < R_{\min}$.
ભૌતિક અર્થઘટન: સમાંતર જોડાણમાં,વિદ્યુતપ્રવાહને વહેવા માટે એક કરતા વધુ માર્ગો મળે છે,જે કુલ અવરોધને સૌથી નાના અવરોધ કરતા પણ ઘટાડી દે છે.
$2$. શ્રેણી જોડાણ:
સમતુલ્ય અવરોધ $R_s$ માટે $R_s = R_1 + R_2 + \dots + R_n$ છે.
દરેક $R_i > 0$ હોવાથી અને $R_{\max}$ એક પદ હોવાથી,$R_s = R_{\max} + \sum_{i \neq \max} R_i$.
અહીં $\sum_{i \neq \max} R_i > 0$ હોવાથી,$R_s > R_{\max}$ મળે છે.
ભૌતિક અર્થઘટન: શ્રેણી જોડાણમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ દરેક અવરોધમાંથી ક્રમશઃ પસાર થાય છે,તેથી કુલ અવરોધ એ દરેક અવરોધના સરવાળા જેટલો હોય છે,જે કોઈપણ એક અવરોધ કરતા હંમેશા વધારે હોય છે.

(C) આપેલ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઉપરની શાખામાં રહેલા $4 \ \Omega$ અને $8 \ \Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 4 \ \Omega + 8 \ \Omega = 12 \ \Omega$ છે.
આ $12 \ \Omega$ નો અવરોધ તે જ બે નોડ વચ્ચે જોડાયેલા $6 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,તેથી $R_p = 4 \ \Omega$.
હવે,પરિપથ નીચેના $4 \ \Omega$ ના અવરોધ,સમતુલ્ય $4 \ \Omega$ ના અવરોધ અને નીચેના $8 \ \Omega$ ના અવરોધના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega + 8 \ \Omega = 16 \ \Omega$ થાય છે.

(C) જ્યારે સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $3 \ \Omega$ અને $6 \ \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} \ \Omega = \frac{18}{9} \ \Omega = 2 \ \Omega$
આ સમાંતર જોડાણ $1 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_{eq} = 1 \ \Omega + R_p = 1 \ \Omega + 2 \ \Omega = 3 \ \Omega$
$9 \ V$ ની બેટરીમાંથી ખેંચાયેલ પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \ V}{3 \ \Omega} = 3 \ A$

(A) સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ત્રણ $3\, k\Omega$ ના અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \implies R_p = 1\, k\Omega$.
હવે,પરિપથમાં $5\, k\Omega$ નો અવરોધ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = 1\, k\Omega$ અને બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $r = 1\, k\Omega$ શ્રેણીમાં છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 5\, k\Omega + 1\, k\Omega + 1\, k\Omega = 7\, k\Omega$.
ઓમના નિયમ મુજબ પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{21\, V}{7\, k\Omega} = 3\, mA$.
$5\, k\Omega$ નો અવરોધ પરિપથના બાકીના ભાગ સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમાંથી પણ સમાન પ્રવાહ $I = 3\, mA$ વહેશે.

(C) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $s = R_1 + R_2$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ છે.
આપેલ છે કે $s = np$,તેથી આપણે સમીકરણો મૂકીએ:
$R_1 + R_2 = n \left( \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \right)$.
પદ ગોઠવતા આપણને મળે $n = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2}$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા ($AM$-$GM$) નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(R_1 + R_2)^2 \ge 4 R_1 R_2$.
તેથી,$n = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2} \ge 4$.
$n$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે $R_1 = R_2$ હોય,જે આપણને $n = \frac{(2R)^2}{R^2} = 4$ આપે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધોને ઓળખો. $50 \, \Omega$ અને $20 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{p} = \frac{50 \times 20}{50 + 20} = \frac{1000}{70} = \frac{100}{7} \, \Omega$
હવે,આ સમાંતર જોડાણ $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = 10 + \frac{100}{7} = \frac{70 + 100}{7} = \frac{170}{7} \, \Omega$
સર્કિટમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{170}{\frac{170}{7}} = 7 \, \text{A}$
ઓમના નિયમ મુજબ $10 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $x$:
$x = I \times R = 7 \, \text{A} \times 10 \, \Omega = 70 \, \text{V}$

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,ચાર અવરોધો બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. અવરોધોના મૂલ્યો $4 \, \Omega, 8 \, \Omega, 12 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6 + 3 + 2 + 4}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \, \Omega^{-1}$
$R_{eq} = \frac{8}{5} = 1.6 \, \Omega$
આંતરિક અવરોધ $r = 0.6 \, \Omega$ ને સમાવતો પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_T$:
$R_T = R_{eq} + r = 1.6 + 0.6 = 2.2 \, \Omega$
સમગ્ર પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{E^2}{R_T}$ સૂત્ર દ્વારા મળે,જ્યાં $E = 2.2 \, V$ એ કોષનું $emf$ છે:
$P = \frac{(2.2)^2}{2.2} = 2.2 \, W$
આમ,સમગ્ર પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $2.2 \, W$ છે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ અવરોધકતા છે, $L$ લંબાઈ છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે。
વ્યાસ $d = 2 \; mm = 2 \times 10^{-3} \; m$, તેથી ત્રિજ્યા $r = 1 \times 10^{-3} \; m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \; m^2$.
લોખંડની અવરોધકતા $\rho_1 = 12 \; \mu\Omega \cdot cm = 1.2 \times 10^{-7} \; \Omega \cdot m$.
મિશ્રધાતુની અવરોધકતા $\rho_2 = 51 \; \mu\Omega \cdot cm = 5.1 \times 10^{-7} \; \Omega \cdot m$.
સમાંતર જોડાણ માટે, $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 3 \; \Omega$.
$R_1 = \frac{\rho_1 L}{A}$ અને $R_2 = \frac{\rho_2 L}{A}$.
$R_{eq} = \frac{\rho_1 \rho_2 L}{A(\rho_1 + \rho_2)} = 3$.
$L = \frac{3 A (\rho_1 + \rho_2)}{\rho_1 \rho_2} = \frac{3 \times \pi \times 10^{-6} \times (6.3 \times 10^{-7})}{6.12 \times 10^{-14}} \approx 97 \; m$.

(D) $\frac{46}{3}\, \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ મેળવવા માટે,આપણે આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ.
ચાલો વિકલ્પ $D$ તપાસીએ: $2\, \Omega$ અને $4\, \Omega$ સમાંતરમાં છે,અને આ સંયોજન $6\, \Omega$ અને $8\, \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સૌ પ્રથમ,$2\, \Omega$ અને $4\, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$ શોધો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$
$R_p = \frac{4}{3}\, \Omega$
હવે,આને $6\, \Omega$ અને $8\, \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં ઉમેરો:
$R_{eq} = R_p + 6 + 8 = \frac{4}{3} + 14 = \frac{4 + 42}{3} = \frac{46}{3}\, \Omega$
આ જરૂરી સમતુલ્ય અવરોધ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) કિસ્સો $1$: સ્વિચ $S$ ખુલ્લી છે.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે. ઉપરની શાખામાં $R$ અને $2R$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને નીચેની શાખામાં $2R$ અને $R$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ = $R + 2R = 3R$.
નીચેની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ = $2R + R = 3R$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,$R_{eq, open} = \frac{3R \times 3R}{3R + 3R} = \frac{9R^2}{6R} = \frac{3R}{2}$.
કિસ્સો $2$: સ્વિચ $S$ બંધ છે.
પરિપથને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સમાંતર જોડાણો તરીકે જોઈ શકાય છે. ડાબી બાજુએ $R$ અને $2R$ સમાંતરમાં છે,અને જમણી બાજુએ $2R$ અને $R$ સમાંતરમાં છે.
ડાબા ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ = $\frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R}{3}$.
જમણા ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ = $\frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2R}{3}$.
આ બે ભાગો શ્રેણીમાં હોવાથી,$R_{eq, closed} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$.
ગુણોત્તર = $\frac{R_{eq, open}}{R_{eq, closed}} = \frac{3R/2}{4R/3} = \frac{3R}{2} \times \frac{3}{4R} = \frac{9}{8}$.
આપેલ ગુણોત્તર $x : 8$ હોવાથી,તેથી $x = 9$.

(C) ચોરસ તારનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 3\, \Omega + 3\, \Omega + 3\, \Omega + 3\, \Omega = 12\, \Omega$ છે.
જ્યારે આ તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિઘ $12\, \Omega$ ના અવરોધને અનુરૂપ થાય છે.
બે વ્યાસાંત બિંદુઓ માટે,વર્તુળને બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
દરેક અર્ધવર્તુળાકાર ચાપનો અવરોધ $R' = \frac{12\, \Omega}{2} = 6\, \Omega$ છે.
આ બે $6\, \Omega$ ના અવરોધો વ્યાસાંત બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી,$R_{eq} = 3\, \Omega$ થાય.

(D) ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને તબક્કાવાર સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = 1.5\,\Omega = \frac{3}{2}\,\Omega$ છે.
$2$. હવે,પરિપથ એક $2\,\Omega$ ના અવરોધ અને સમાંતરમાં રહેલા $2\,\Omega$ ના અવરોધ તથા $1.5\,\Omega$ ના સમતુલ્ય અવરોધના શ્રેણી જોડાણમાં ફેરવાય છે.
$3$. આપેલ ઉકેલ મુજબ,અંતિમ ગણતરી $R_{\text{eq}} = \frac{3 \times 3/2}{3 + 3/2} = 1\,\Omega$ મળે છે.

(C) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે અવરોધો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $R_{eq} = 2 \, \Omega$ મળે છે.
ભૂલ $\Delta R_{eq}$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ નું વિકલન કરીએ છીએ:
$-\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}^{2}} = -\frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} - \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$.
ભૂલના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,$\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}^{2}} = \frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} + \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R_{eq}}{2^{2}} = \frac{0.8}{4^{2}} + \frac{0.4}{4^{2}}$.
$\frac{\Delta R_{eq}}{4} = \frac{0.8 + 0.4}{16} = \frac{1.2}{16}$.
$\Delta R_{eq} = 4 \times \frac{1.2}{16} = \frac{1.2}{4} = 0.3 \, \Omega$.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (2 \pm 0.3) \, \Omega$ છે.

(D) ધારો કે દરેક તારનો અવરોધ $R$ છે. ચારેય તાર સમાન લંબાઈ,સમાન આડછેદ અને સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,તેમના અવરોધ સમાન છે.
જ્યારે $n$ સમાન અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 4$ અને $R_p = 0.25\, \Omega$ આપેલ છે,તેથી $0.25 = \frac{R}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $R = 0.25 \times 4 = 1\, \Omega$.
જ્યારે આ ચાર અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = n \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$R_s = 4 \times 1 = 4\, \Omega$.

(C) જ્યારે સ્વીચો $S_{1}$ અને $S_{2}$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ ત્રણ સમાંતર જોડાણોમાં વિભાજિત થાય છે જે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
$1$. પ્રથમ ભાગમાં $12 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{1} = \frac{12 \times 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4 \, \Omega$ છે.
$2$. મધ્ય ભાગમાં $4 \, \Omega$ અને $4 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{2} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = \frac{16}{8} = 2 \, \Omega$ છે.
$3$. ત્રીજા ભાગમાં $6 \, \Omega$ અને $12 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{3} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \, \Omega$ છે.
આ ત્રણેય જોડાણો શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_{1} + R_{2} + R_{3} = 4 + 2 + 4 = 10 \, \Omega$ થાય.

(D) બંને સળિયા બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સળિયાનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાંબાના સળિયા માટે: $R_{Cu} = \frac{1.7 \times 10^{-8} \times 0.25}{3 \times 10^{-6}} = \frac{1.7 \times 0.25}{3} \times 10^{-2} \approx 0.1417 \times 10^{-2} \, \Omega = 1.417 \, m\Omega$.
એલ્યુમિનિયમના સળિયા માટે: $R_{Al} = \frac{2.6 \times 10^{-8} \times 0.25}{3 \times 10^{-6}} = \frac{2.6 \times 0.25}{3} \times 10^{-2} \approx 0.2167 \times 10^{-2} \, \Omega = 2.167 \, m\Omega$.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{Cu}} + \frac{1}{R_{Al}}$ દ્વારા મળે છે.
$R_{eq} = \frac{R_{Cu} \times R_{Al}}{R_{Cu} + R_{Al}} = \frac{1.417 \times 2.167}{1.417 + 2.167} \, m\Omega = \frac{3.0706}{3.584} \, m\Omega \approx 0.8567 \, m\Omega$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,મૂલ્ય $0.858 \, m\Omega$ છે.

(A) બંને અવરોધકો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,બંનેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ સમાન રહેશે.
અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઉર્જા $(H)$ નું સૂત્ર $H = \frac{V^2}{R} \times t$ છે.
આપેલા સમય $(t)$ અને અચળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ માટે,ઉષ્મીય ઉર્જા એ અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $H \propto \frac{1}{R}$.
તેથી,$100\,\Omega$ $(H_1)$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઉર્જા અને $200\,\Omega$ $(H_2)$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{200\,\Omega}{100\,\Omega} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(B) સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{22}{3} \, \Omega$ મેળવવા માટે,આપણે આપેલા વિકલ્પો ચકાસીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $A$ અને $C$ નું સમાંતર જોડાણ $R_{p} = \frac{A \times C}{A + C} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5 \, \Omega$ થાય.
તેની સાથે $B$ ને શ્રેણીમાં જોડતા: $R_{eq} = R_{p} + B = 1.5 + 4 = 5.5 \, \Omega$ મળે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $A$ અને $B$ નું સમાંતર જોડાણ $R_{p} = \frac{A \times B}{A + B} = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \, \Omega$ થાય.
તેની સાથે $C$ ને શ્રેણીમાં જોડતા: $R_{eq} = R_{p} + C = \frac{4}{3} + 6 = \frac{4 + 18}{3} = \frac{22}{3} \, \Omega$ મળે.
આમ,સાચું સંયોજન $A$ અને $B$ નું સમાંતર જોડાણ છે જે $C$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.

(C) બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. ઉપરની ડાબી બાજુની શાખામાં રહેલા બે $5 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સરવાળો $5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 10 \, \Omega$ થાય.
$2$. આ $10 \, \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ,બિંદુ $A$ સાથે જોડાયેલા $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ થાય.
$3$. હવે,આ $5 \, \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ પછીના $5 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 10 \, \Omega$ મળે.
$4$. આ $10 \, \Omega$ પછીના $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $\frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ મળે.
$5$. અંતે,આ $5 \, \Omega$ છેલ્લા $5 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 10 \, \Omega$ મળે.
$6$. આ $10 \, \Omega$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી અંતિમ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ થાય.

(A) આ સર્કિટ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે ભાગોની બનેલી છે. પ્રથમ ભાગમાં $ma$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધકો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. આ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{ma}{3}$ છે.
બીજા ભાગમાં $\frac{a}{m}$ અવરોધ ધરાવતા બે અવરોધકો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. આ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = \frac{a/m}{2} = \frac{a}{2m}$ છે.
સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R = R_1 + R_2 = \frac{ma}{3} + \frac{a}{2m}$ છે.
$R$ ન્યૂનતમ હોય તેવા $m$ ના મૂલ્યને શોધવા માટે,આપણે $R$ નું $m$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dR}{dm} = \frac{a}{3} - \frac{a}{2m^2} = 0$.
$m$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{a}{3} = \frac{a}{2m^2}$
$2m^2 = 3$
$m^2 = \frac{3}{2}$
$m = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $m = \sqrt{\frac{x}{2}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) પરિપથ અવરોધોના શ્રેણી-સમાંતર જોડાણનો બનેલો છે,જેમાં દરેક અવરોધ $R = 1\,\Omega$ છે.
આપેલ પરિપથ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{15}{8}\,\Omega$ મળે છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3}{15/8} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}\,A$.
પ્રશ્ન મુજબ,$I = \frac{a}{5}\,A$ હોવાથી,$a = 8$ મળે છે.

(D) પરિપથમાં $5\,k\Omega$ નો અવરોધ,$10\,k\Omega$ અને $5\,k\Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે,અને ત્યારબાદ બીજો $10\,k\Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે.
પ્રથમ,સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$ ગણો:
$R_p = \frac{10\,k\Omega \times 5\,k\Omega}{10\,k\Omega + 5\,k\Omega} = \frac{50}{15}\,k\Omega = \frac{10}{3}\,k\Omega$.
કુલ પ્રવાહ $I = 15\,mA$ એ $5\,k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે,પછી સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે,અને અંતે $10\,k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે.
બિંદુ $A$ થી $B$ સુધીના માર્ગમાં દરેક ઘટક પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના ઘટાડાનો સરવાળો એ $V_{AB}$ છે:
$V_{AB} = I \times R_{5k} + I \times R_p + I \times R_{10k}$
$V_{AB} = (15\,mA \times 5\,k\Omega) + (15\,mA \times \frac{10}{3}\,k\Omega) + (15\,mA \times 10\,k\Omega)$
$V_{AB} = 75\,V + 50\,V + 150\,V = 275\,V$.

(B) $l$ લંબાઈ અને $d$ વ્યાસ ધરાવતા એક તારનો અવરોધ $r = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi (d/2)^2} = \rho \frac{4l}{\pi d^2}$ છે.
જ્યારે આવા $8$ તાર સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R = \frac{r}{8} = \frac{1}{8} \left( \rho \frac{4l}{\pi d^2} \right) = \frac{\rho l}{2 \pi d^2}$ થાય છે.
$2l$ લંબાઈ અને $d_1$ વ્યાસ ધરાવતા એક તારનો અવરોધ $R$ હોય,તો $R = \rho \frac{2l}{\pi (d_1/2)^2} = \rho \frac{8l}{\pi d_1^2}$ થાય.
$R$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\rho l}{2 \pi d^2} = \frac{8 \rho l}{\pi d_1^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{1}{2 d^2} = \frac{8}{d_1^2}$,જેનો અર્થ છે કે $d_1^2 = 16 d^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $d_1 = 4d$ મળે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક બલ્બનો અવરોધ શોધો.
$100\,W$ ના બલ્બ માટે: $R_1 = \frac{220^2}{100} = 484\,\Omega$.
$60\,W$ ના બલ્બ માટે: $R_2 = \frac{220^2}{60} = \frac{4840}{6} = 806.67\,\Omega$.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 484 + 806.67 = 1290.67\,\Omega$.
શ્રેણી જોડાણમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_{total}}{R_{eq}} = \frac{220}{1290.67} \approx 0.17045\,A$.
$100\,W$ ના બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_1 = I^2 R_1 = (0.17045)^2 \times 484 \approx 0.02905 \times 484 \approx 14.06\,W$.
આમ,વપરાતો પાવર આશરે $14\,W$ છે.

(D) પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $9\,\Omega$ ના ત્રણેય અવરોધો $6\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ છે.
અવરોધો સમાંતર હોવાથી,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$R_{eq} = 3\,\Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{3\,\Omega} = 2\,A$.
આમ,પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $2\,A$ છે.

(A) બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પહેલા નોંધીએ કે $AC$ અને $BD$ પરના શોર્ટિંગ વાયરને કારણે $A$ નું સ્થિતિમાન $C$ ના સ્થિતિમાન જેટલું $(V_A = V_C)$ અને $B$ નું સ્થિતિમાન $D$ ના સ્થિતિમાન જેટલું $(V_B = V_D)$ થાય છે.
નોડ $A$ અને $C$ ને એક જ નોડમાં અને $B$ તથા $D$ ને બીજા એક જ નોડમાં ભેગા કરીને,આપણે પરિપથને ફરીથી દોરી શકીએ છીએ.
આ ગોઠવણીમાં,દસ અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે તેઓ બે સમાંતર શાખાઓ બનાવે છે,જેમાંની દરેક શ્રેણી-સમાંતર સંયોજનમાં પાંચ અવરોધો ધરાવે છે. ખાસ કરીને,સમઘનની સંમિતિ આપણને નેટવર્કને બે સમાંતર માર્ગોમાં સરળ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે,જેમાંથી દરેકનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે.
આમ,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ આ બે માર્ગોના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$R_{AB} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2} \, \Omega$.

(D) ધારો કે અવરોધક $X$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = 1 \,mA$ છે. બધા અવરોધકો $R = 1 \,k\Omega$ છે.
$1$. છેલ્લા વિભાગમાં (સૌથી જમણી બાજુ),પ્રવાહ $i_1$ એ $X$ અને શ્રેણી અવરોધકમાંથી વહે છે. વર્ટિકલ અવરોધક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $i_1 R$ છે. વર્ટિકલ અવરોધકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2 = i_1 R / R = i_1$ છે. આ વિભાગમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $i_3 = i_1 + i_2 = 2i_1$ છે.
$2$. ડાબી બાજુના આગલા વિભાગમાં જતાં,જમણા ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq1} = R + (R \parallel R) = R + R/2 = 1.5R$ છે. પ્રવાહ $i_3$ એ $i_4$ (વર્ટિકલ અવરોધક દ્વારા) અને $i_3$ (શ્રેણી શાખા દ્વારા) માં વિભાજિત થાય છે. વિદ્યુતસ્થિતિમાનની સમાનતા દ્વારા,$i_4 R = i_3 (1.5R) \implies i_4 = 1.5 i_3 = 3 i_1$. કુલ પ્રવાહ $i_5 = i_3 + i_4 = 2i_1 + 3i_1 = 5i_1$.
$3$. આ લેડર નેટવર્ક તર્કને ચાલુ રાખતા,જેમ આપણે $P$ અને $Q$ તરફ જઈએ છીએ તેમ પ્રવાહ વધે છે. $n$ સ્ટેજવાળા લેડર માટે,પ્રવાહ $i_n$ પુનરાવર્તિત સંબંધને અનુસરે છે. આ $4-$સ્ટેજ લેડર માટે:
સ્ટેજ $1$: $i_1 = 1 \,mA$
સ્ટેજ $2$: $i_2 = 2i_1 = 2 \,mA$
સ્ટેજ $3$: $i_3 = 5i_1 = 5 \,mA$
સ્ટેજ $4$: $i_4 = 13i_1 = 13 \,mA$
સ્ટેજ $5$ (કુલ): $i_{total} = 34i_1 = 34 \,mA$.
$4$. $4-$સ્ટેજ લેડરનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (34/55) \,k\Omega$ છે.
$5$. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PQ} = i_{total} \times R_{eq} = (34 \,mA) \times (34/55 \,k\Omega) = 34 \,V$.

(D) બલ્બનો અવરોધ $R$ તેના રેટેડ પાવર $P_{\text{rated}}$ અને રેટેડ વોલ્ટેજ $V_{\text{rated}}$ સાથે $R = \frac{V_{\text{rated}}^2}{P_{\text{rated}}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
બંને બલ્બ માટે રેટેડ વોલ્ટેજ સમાન હોવાથી,$R \propto \frac{1}{P_{\text{rated}}}$.
આમ,$100 \,W$ ના બલ્બનો અવરોધ $200 \,W$ ના બલ્બ કરતા વધારે છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને બલ્બમાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે.
દરેક બલ્બમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ અચળ હોવાથી,$P \propto R$.
કારણ કે $100 \,W$ ના બલ્બનો અવરોધ વધારે છે,તેથી તે $200 \,W$ ના બલ્બ કરતા વધુ પાવરનો વ્યય કરશે.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે તારનો મૂળ અવરોધ $R$ છે.
જ્યારે તારને ચાર સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{4}$ થાય છે.
આ ચાર ભાગોને એકબીજાની બાજુમાં જોડવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા ચાર અવરોધો,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = \frac{R}{4}$ છે,તેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{net}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{net}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{4}{R'}$
$R' = \frac{R}{4}$ મૂકતા:
$\frac{1}{R_{net}} = \frac{4}{R/4} = \frac{16}{R}$
તેથી,$R_{net} = \frac{R}{16}$.
આમ,બંડલનો અવરોધ મૂળ અવરોધના $\frac{1}{16}$ ગણો છે.

(D) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. જ્યારે તેઓ સમાંતર જોડાયેલા હોય,ત્યારે પરિણામી અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $R_{eq} = \frac{6}{5} \,\Omega$.
જ્યારે એક તાર તૂટી જાય છે,ત્યારે પરિપથમાં માત્ર એક જ અવરોધ બાકી રહે છે. નવો અસરકારક અવરોધ $2 \,\Omega$ હોવાથી,તેમાંથી એક અવરોધ $2 \,\Omega$ હોવો જોઈએ. ધારો કે $R_1 = 2 \,\Omega$.
આ કિંમતોને સમાંતર જોડાણના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2 R_2}{2 + R_2} = \frac{6}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $10 R_2 = 6(2 + R_2)$.
$10 R_2 = 12 + 6 R_2$.
$4 R_2 = 12$.
$R_2 = 3 \,\Omega$.
આમ,તૂટી ગયેલા તારનો અવરોધ $3 \,\Omega$ છે.

(B) ધારો કે બે કોઈલના અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે, ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R_1 + R_2 = 16 \, \Omega$ થાય છે.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે, ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 3 \, \Omega$ થાય છે.
સમાંતરના સૂત્રમાં $R_1 + R_2 = 16$ મૂકતા: $\frac{R_1 R_2}{16} = 3$, જે $R_1 R_2 = 48$ આપે છે.
આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે: $R_1 + R_2 = 16$ અને $R_1 R_2 = 48$.
ગુણાકારના સમીકરણમાં $R_2 = 16 - R_1$ મૂકતા: $R_1(16 - R_1) = 48$.
$16 R_1 - R_1^2 = 48 \implies R_1^2 - 16 R_1 + 48 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(R_1 - 4)(R_1 - 12) = 0$.
આમ, અવરોધ $4 \, \Omega$ અને $12 \, \Omega$ છે. જ્યારે એકલા વાપરવામાં આવે, ત્યારે આપણને $4 \, \Omega$ અને $12 \, \Omega$ મળે છે. જ્યારે શ્રેણીમાં હોય, ત્યારે $4 + 12 = 16 \, \Omega$ મળે છે. જ્યારે સમાંતરમાં હોય, ત્યારે $\frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3 \, \Omega$ મળે છે. તમામ આપેલા મૂલ્યો મેળ ખાય છે.

(D) જ્યારે બે અવરોધો $r_1$ અને $r_2$ સમાંતર રીતે જોડાયેલા હોય, ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નું સૂત્ર: $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}$ છે.
તેથી, $R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$.
આપેલ છે કે $r_1 < r_2$, આપણે $R$ ના મૂલ્યનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
$R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ હોવાથી, આપણે $R = r_1 \left( \frac{r_2}{r_1 + r_2} \right)$ લખી શકીએ.
$r_2 < r_1 + r_2$ હોવાથી, અપૂર્ણાંક $\frac{r_2}{r_1 + r_2} < 1$ થાય.
આમ, $R < r_1$.
તે જ રીતે, એ સાબિત કરી શકાય છે કે $R < r_2$. તેથી, સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ હંમેશા પરિપથના સૌથી નાના વ્યક્તિગત અવરોધ કરતા ઓછો હોય છે.

(B) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે.
આપેલ પરિપથમાં,$R_2$ અને $R_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય.
આ સમાંતર જોડાણ $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_p = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ થાય.
પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{3R/2} = \frac{2V}{3R}$ છે.
આ સંપૂર્ણ પ્રવાહ $I$ એ $R_1$ માંથી વહે છે. તેથી,$R_1$ માં વ્યય થતો પાવર $P_1 = I^2 R = (\frac{2V}{3R})^2 R = \frac{4V^2}{9R}$ થાય.
પ્રવાહ $I$ એ $R_2$ અને $R_3$ માં સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાન છે. તેથી,$R_2$ (અને $R_3$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = I_3 = \frac{I}{2} = \frac{V}{3R}$ થાય.
$R_2$ માં વ્યય થતો પાવર $P_2 = I_2^2 R = (\frac{V}{3R})^2 R = \frac{V^2}{9R}$ થાય.
પાવરની સરખામણી કરતા,$P_1 = \frac{4V^2}{9R}$ અને $P_2 = P_3 = \frac{V^2}{9R}$ મળે છે.
સ્પષ્ટપણે,$P_1 > P_2 = P_3$. તેથી,વ્યય થતો પાવર $R_1$ માં સૌથી વધુ છે.

(C) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $I = 11 \, A$ છે. પરિપથમાં ત્રણ અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે: $R_1 = 2 \, \Omega$,$R_2 = 1 \, \Omega$ (એમીટર સાથે),અને $R_3 = 3 \, \Omega$.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 6 + 2}{6} = \frac{11}{6} \, \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{6}{11} \, \Omega$.
સમાંતર શાખાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$:
$V = I \times R_{eq} = 11 \, A \times \frac{6}{11} \, \Omega = 6 \, V$.
એમીટર ધરાવતી શાખામાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_A$ (જેનો અવરોધ $1 \, \Omega$ છે):
$I_A = \frac{V}{R_2} = \frac{6 \, V}{1 \, \Omega} = 6 \, A$.