Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ છે.
લેડર અનંત હોવાથી અથવા ઘણા ઘટકો ધરાવતું હોવાથી,એક વધારાનો વિભાગ ઉમેરવાથી અસરકારક અવરોધ બદલાતો નથી. આમ,પ્રથમ વિભાગની જમણી બાજુના સમગ્ર નેટવર્કનો અવરોધ પણ $R_{eq}$ છે.
પ્રથમ વિભાગમાં બે $2 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $8 \ \Omega$ ના અવરોધ અને બાકીના નેટવર્ક $(R_{eq})$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$R_{eq} = 2 + 2 + \frac{8 \times R_{eq}}{8 + R_{eq}} = 4 + \frac{8 R_{eq}}{8 + R_{eq}}$.
$R_{eq} - 4 = \frac{8 R_{eq}}{8 + R_{eq}}$.
$(R_{eq} - 4)(8 + R_{eq}) = 8 R_{eq}$.
$8 R_{eq} + R_{eq}^2 - 32 - 4 R_{eq} = 8 R_{eq}$.
$R_{eq}^2 - 4 R_{eq} - 32 = 0$.
$(R_{eq} - 8)(R_{eq} + 4) = 0$.
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $R_{eq} = 8 \ \Omega$.
નેટવર્ક ઘટકોની સંખ્યાથી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,અંતિમ અવરોધ $R$ એ નેટવર્કના લાક્ષણિક અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ,જે $R_{eq} = 8 \ \Omega$ છે.

(B) $1$. $2 \,\Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \implies R_1 = 1 \,\Omega$.
$2$. $4 \,\Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies R_2 = 2 \,\Omega$.
$3$. હવે,$R_1$ અને $R_2$ શ્રેણી જોડાણમાં છે. તેથી કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{net} = R_1 + R_2 = 1 \,\Omega + 2 \,\Omega = 3 \,\Omega$.

(A) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને તબક્કાવાર સરળ બનાવીએ છીએ:
$1$. ડાબી બાજુના બે $4 \,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \,\Omega$ થાય છે.
$2$. જમણી બાજુના બે $4 \,\Omega$ ના અવરોધો પણ સમાંતર જોડાણમાં છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \,\Omega$ થાય છે.
$3$. હવે,પરિપથ એક બ્રિજ જેવી રચનામાં સરળ બને છે જ્યાં ઇનપુટ અને આઉટપુટ નોડ્સ વચ્ચે બે શાખાઓ સમાંતર છે. દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $2 \,\Omega$ ના અવરોધો છે.
$4$. ઉપરની શાખાનો અવરોધ $2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$ છે.
$5$. નીચેની શાખાનો અવરોધ $2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$ છે.
$6$. અંતે,આ બે $4 \,\Omega$ ની શાખાઓ સમાંતર છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \,\Omega$ થાય છે.

(C) પરિપથ આકૃતિનું અવલોકન કરતા:
$1$. અવરોધો $R_2$ અને $R_3$ એવી રીતે જોડાયેલા છે કે તેમના છેડા સમાન બે નોડ પર જોડાયેલા છે. તેથી,તેઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
$2$. $R_1$ એ $(R_2, R_3)$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$3$. $R_4$ અને $R_5$ એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં છે.
$4$. $(R_1, R_2, R_3)$ ધરાવતી શાખા,$R_6$ ધરાવતી શાખા અને $(R_4, R_5)$ ધરાવતી શાખા એ તમામ નોડ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે $R_2$ અને $R_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે.

(B) બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટની રચનાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. સર્કિટમાં $\frac{2r}{3}$ નો અવરોધ સમાંતર નેટવર્ક સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$2$. સમાંતર નેટવર્ક બે શાખાઓ ધરાવે છે. નોડલ વિશ્લેષણ અથવા સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરીને બ્રિજ જેવી રચનાને સરળ બનાવતા,આપણે શોધીએ છીએ કે સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{4r}{3}$ થાય છે.
$3$. કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{\text{net}}$ એ શ્રેણી અવરોધ અને સમાંતર ભાગના સમતુલ્ય અવરોધનો સરવાળો છે:
$R_{\text{net}} = \frac{2r}{3} + \frac{4r}{3} = \frac{6r}{3} = 2r$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) પરિપથ આકૃતિ પરથી, ત્રણ $6 \, \Omega$ ના અવરોધો વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે અને એક $6 \, \Omega$ નો અવરોધ બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે ત્રણ સમાંતર અવરોધો $R_1, R_2, R_3$ છે જ્યાં $R_1 = R_2 = R_3 = 6 \, \Omega$ છે.
આ ત્રણ સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{6}{3} = 2 \, \Omega$ થાય.
આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ બાકીના $6 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી, પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{net} = R_p + 6 \, \Omega = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ છે.
બેટરીનો વોલ્ટેજ $V = 24 \, V$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $I = \frac{V}{R_{net}} = \frac{24 \, V}{8 \, \Omega} = 3 \, A$.
આમ, પ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય $3 \, A$ છે.

(B) આ પરિપથ $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે. દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $10 \,\Omega$ ના અવરોધકો છે.
$1$. ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $10 \,\Omega$ ના અવરોધકો છે,તેથી તેનો અવરોધ $R_1 = 10 \,\Omega + 10 \,\Omega = 20 \,\Omega$ છે.
$2$. નીચેની શાખામાં પણ શ્રેણીમાં બે $10 \,\Omega$ ના અવરોધકો છે,તેથી તેનો અવરોધ $R_2 = 10 \,\Omega + 10 \,\Omega = 20 \,\Omega$ છે.
$3$. ડાયોડ આ બે શાખાઓના મધ્યબિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલ છે. પરિપથ સંમિત હોવાથી,બંને મધ્યબિંદુઓ પર સ્થિતિમાન સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે ડાયોડની આજુબાજુ કોઈ સ્થિતિમાનનો તફાવત નથી. તેથી,ડાયોડ સંતુલિત સ્થિતિમાં છે અને તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
$4$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $R_1$ અને $R_2$ નું સમાંતર જોડાણ છે:
$R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{20 \times 20}{20 + 20} = \frac{400}{40} = 10 \,\Omega$.

(D) ધારો કે તારનો કુલ અવરોધ $R$ છે. આકૃતિ $(1)$ માં,$M$ અને $N$ વચ્ચેનો અવરોધ $R_1 = R$ છે.
આકૃતિ $(2)$ માં,તારને ચોરસમાં વાળવામાં આવે છે,તેથી દરેક બાજુનો અવરોધ $R/4$ થાય છે. $M$ અને $N$ બિંદુઓ ચોરસના સામસામેના ખૂણા પર છે. આ બે સમાંતર શાખાઓ બનાવે છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R/2$ (બે બાજુઓ શ્રેણીમાં) છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ એ $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{R/2} + \frac{1}{R/2} = \frac{4}{R}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $R_2 = R/4$.
$R_2 < R_1$ હોવાથી,અવરોધ ઘટે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = V/R$. $R$ ઘટતું હોવાથી,પ્રવાહ $I$ વધે છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} t$ છે. $R$ ઘટતું હોવાથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ વધે છે.
તેથી,તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ અને તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા બંને વધે છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં,બે $4\,\Omega$ ના અવરોધો શોર્ટ-સર્કિટિંગ વાયર સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે. આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ આ અવરોધોમાંથી પસાર થશે નહીં,તેથી તેઓ પરિપથમાંથી અસરકારક રીતે દૂર થઈ જશે.
શોર્ટ થયેલા અવરોધોને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ $3\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં અને ત્યારબાદ $2\,\Omega$ ના બે અવરોધોના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં અને અંતે $6\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં સરળ બને છે.
$2\,\Omega$ ના બે સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1\,\Omega$
હવે,ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ શ્રેણીમાં રહેલા ઘટકોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = 3\,\Omega + R_p + 6\,\Omega$
$R_{eq} = 3\,\Omega + 1\,\Omega + 6\,\Omega = 10\,\Omega$

(A) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલી શાખાઓને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$1$. ઉપરની શાખામાં $1.5 \, \Omega$ અને $0.5 \, \Omega$ ના બે અવરોધ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_1 = 1.5 + 0.5 = 2 \, \Omega$.
$2$. બીજી શાખા $12 \, \Omega$ નો એક અવરોધ છે.
$3$. સરળ બનાવેલી પરિપથ આકૃતિ મુજબ,પાંચ સમાંતર શાખાઓ છે જેના અવરોધો: $2 \, \Omega$,$12 \, \Omega$,$(1.6 + 2.4) = 4 \, \Omega$,$6 \, \Omega$,અને $2 \, \Omega$ છે.
હવે,આ સમાંતર શાખાઓ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6 + 1 + 3 + 2 + 6}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \, \Omega^{-1}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{2}{3} \, \Omega$.

(A) ધારો કે બહુકોણનો કુલ અવરોધ $R$ છે. તે $n$-બાજુવાળો બહુકોણ હોવાથી,દરેક બાજુનો અવરોધ $r = \frac{R}{n}$ થશે.
જ્યારે આપણે બે પાસપાસેના ખૂણાઓ,ધારો કે $A$ અને $B$ લઈએ,ત્યારે પરિપથ બે સમાંતર માર્ગોમાં વિભાજિત થાય છે:
$1$. સીધી બાજુ $AB$ જેનો અવરોધ $r$ છે.
$2$. બાકીની $(n-1)$ બાજુઓ જે શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે અને તેનો કુલ અવરોધ $(n-1)r$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ બે માર્ગોના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$R_{eq} = \frac{r \cdot (n-1)r}{r + (n-1)r}$
$R_{eq} = \frac{(n-1)r^2}{nr} = \frac{(n-1)r}{n}$
સમીકરણમાં $r = \frac{R}{n}$ મૂકતા:
$R_{eq} = \frac{(n-1)}{n} \cdot \frac{R}{n} = \frac{(n-1)R}{n^2}$

(A) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બિંદુ $A$ એ તાર દ્વારા બિંદુ $D$ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી $V_A = V_D$.
તે જ રીતે,બિંદુ $C$ એ તાર દ્વારા બિંદુ $B$ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી $V_C = V_B$.
આ બે સામાન્ય સ્થિતિમાનના બિંદુઓ $(A, D)$ અને $(B, C)$ વચ્ચે ત્રણ અવરોધો જોડાયેલા છે:
$1$. $D$ અને $B$ વચ્ચે $10\,k\Omega$ નો અવરોધ.
$2$. $A$ અને $C$ વચ્ચે $20\,k\Omega$ નો અવરોધ.
$3$. $C$ અને $D$ વચ્ચે $20\,k\Omega$ નો અવરોધ.
આ ત્રણેય અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{20}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2 + 1 + 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
તેથી,$R_{eq} = 5\,k\Omega$.

(B) આ સર્કિટમાં એક કેન્દ્રિય નોડ છે જે બિંદુ $a$,$b$ અને ઉપરના શિરોબિંદુ સાથે જોડાયેલ છે.
ધારો કે ઉપરનું શિરોબિંદુ $c$ છે. $c$ સાથે જોડાયેલા અવરોધો એ $a$ અને $b$ સાથે જોડાયેલા અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે.
ચોક્કસ રીતે,$a$ થી $c$ સુધીની શાખામાં બે $4\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $4+4=8\,\Omega$ આપે છે.
$b$ થી $c$ સુધીની શાખામાં બે $4\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $4+4=8\,\Omega$ આપે છે.
આ બંને શાખાઓ એકબીજા સાથે સમાંતર છે,અને તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{8 \times 8}{8+8} = 4\,\Omega$ છે.
છેલ્લે,આ $4\,\Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ એ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે સીધો જોડાયેલ $16\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે.
$R_{eq} = \frac{4 \times 16}{4+16} = \frac{64}{20} = 3.2\,\Omega$.

(D) જ્યારે બધા અવરોધકોને શ્રેણી જોડાણમાં જોડવામાં આવે ત્યારે મહત્તમ અવરોધ મળે છે.
$R_{\max} = n \times R$,જ્યાં $n = 10$ અને $R = 10\,\Omega$.
$R_{\max} = 10 \times 10 = 100\,\Omega$.
જ્યારે બધા અવરોધકોને સમાંતર જોડાણમાં જોડવામાં આવે ત્યારે ન્યૂનતમ અવરોધ મળે છે.
$R_{\min} = \frac{R}{n}$,જ્યાં $n = 10$ અને $R = 10\,\Omega$.
$R_{\min} = \frac{10}{10} = 1\,\Omega$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ સમતુલ્ય અવરોધનો ગુણોત્તર:
$\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{100}{1} = 100$.

(A) ધારો કે દરેક હીટર ફિલામેન્ટનો અવરોધ $R$ છે અને લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$ છે. $t$ સમયમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R_{eq}} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_p = \frac{V^2}{R_p} t = \frac{V^2}{R/2} t = \frac{2V^2 t}{R}$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_s = \frac{V^2}{R_s} t = \frac{V^2}{2R} t$ છે.
સમાંતર અને શ્રેણી જોડાણ માટે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_p}{H_s} = \frac{2V^2 t / R}{V^2 t / 2R} = 2 \times 2 = 4$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) અચળ પ્રવાહ $I$ ધરાવતા પરિપથમાં પાવર વ્યય $P = I^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
બધા પરિપથો માટે $I$ સમાન હોવાથી,$P$ એ $R_{eq}$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto R_{eq})$.
ચાલો દરેક પરિપથ માટે સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી કરીએ:
$(A)$ સમાંતરમાં બે અવરોધ $(R/2)$ અને શ્રેણીમાં એક અવરોધ $(R)$: $R_A = R/2 + R = 1.5R$.
$(B)$ શ્રેણીમાં બે અવરોધ $(2R)$ અને સમાંતરમાં એક અવરોધ $(R)$: $R_B = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$.
$(C)$ સમાંતરમાં ત્રણ અવરોધ: $R_C = R/3 \approx 0.33R$.
$(D)$ શ્રેણીમાં ત્રણ અવરોધ: $R_D = R + R + R = 3R$.
સમતુલ્ય અવરોધોની સરખામણી કરતા: $R_C (0.33R) < R_B (0.67R) < R_A (1.5R) < R_D (3R)$.
તેથી,પાવર વ્યયનો ચડતો ક્રમ $P_C < P_B < P_A < P_D$ છે.

(C) શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ અવરોધ $R_S = 10R$ છે. પ્રવાહ $I_S$ એ $I_S = \frac{E}{10R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_P = \frac{R}{10}$ છે. પ્રવાહ $I_P$ એ $I_P = \frac{E}{R/10} = \frac{10E}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહ $n$ ગણો વધે છે,તેથી $I_P = n \times I_S$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10E}{R} = n \times \frac{E}{10R}$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n = \frac{10E}{R} \times \frac{10R}{E} = 100$.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $100$ છે.

(A) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા તારને $5$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{5}$ થાય છે.
જ્યારે આ $5$ ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{5}{R'}$.
સમીકરણમાં $R' = \frac{R}{5}$ મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{5}{R/5} = \frac{25}{R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{25}$.

(A) સૌ પ્રથમ, સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો। અવરોધો $R_2$ અને $R_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે, તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$R_p = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = \frac{16}{8} = 2 \,\Omega$
હવે, સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $R_1$, $R_p$ અને $R_4$ ના શ્રેણી જોડાણનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R_1 + R_p + R_4 = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega + 1 \,\Omega = 5 \,\Omega$
સર્કિટમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i$:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \,V}{5 \,\Omega} = 2 \,A$
આ કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 2 \,A$ એ $R_1$ માંથી વહે છે, અને ત્યારબાદ બે સમાંતર શાખાઓ $R_2$ અને $R_3$ માં વહેંચાય છે। કારણ કે $R_2 = R_3 = 4 \,\Omega$ છે, તેથી વિદ્યુતપ્રવાહ બંનેમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે:
$i_{R_3} = i \times \left( \frac{R_2}{R_2 + R_3} \right) = 2 \,A \times \left( \frac{4}{4 + 4} \right) = 2 \times \frac{4}{8} = 1 \,A$

(D) આપેલ છે કે,$20 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = 0.3 \ A$ છે. એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = i_1 + i_2 + i_3 = 0.9 \ A$ છે.
અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB}$ સમાન રહેશે.
$V_{AB} = i_1 \times 20 \ \Omega = 0.3 \ A \times 20 \ \Omega = 6 \ V$.
હવે,$15 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$ ગણીએ:
$i_2 = \frac{V_{AB}}{15 \ \Omega} = \frac{6 \ V}{15 \ \Omega} = 0.4 \ A$.
કુલ પ્રવાહના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$i_1 + i_2 + i_3 = 0.9 \ A$
$0.3 \ A + 0.4 \ A + i_3 = 0.9 \ A$
$0.7 \ A + i_3 = 0.9 \ A$
$i_3 = 0.2 \ A$.
અંતે,$V_{AB}$ અને પ્રવાહ $i_3$ નો ઉપયોગ કરીને $R_1$ શોધીએ:
$R_1 = \frac{V_{AB}}{i_3} = \frac{6 \ V}{0.2 \ A} = 30 \ \Omega$.

(C) ડાબેથી જમણે સર્કિટને જોતા:
$1$. સૌથી ડાબી બાજુનો $6 \ \Omega$ નો અવરોધ શોર્ટ સર્કિટ સાથે સમાંતર છે,જે તેને બાયપાસ કરે છે.
$2$. સર્કિટ ડાબેથી જમણે સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બને છે.
$3$. ડાબી બાજુના ભાગને સરળ બનાવ્યા પછી,આપણી પાસે ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા ત્રણ $3 \ \Omega$ ના અવરોધો બાકી રહે છે.
$4$. સમાંતરમાં જોડાયેલા ત્રણ $3 \ \Omega$ ના અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \ \Omega$.
$5$. આમ,$R_{eq} = 1 \ \Omega$.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,અવરોધો $R_2, R_3,$ અને $R_4$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1+2+1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_p = 2 \Omega$.
આ સમાંતર જોડાણ અવરોધ $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = R_1 + R_p = 10 \Omega + 2 \Omega = 12 \Omega$.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \text{ V}}{12 \Omega} = 1 \text{ A}$.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R = 20 \Omega$ છે. તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે,તેથી દરેક ભાગનો અવરોધ $r = \frac{20 \Omega}{10} = 2 \Omega$ થાય.
બે ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે. આવી એક સમાંતર જોડીનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{r \times r}{r + r} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \Omega$ થાય.
કુલ $10$ ભાગો હોવાથી અને આપણે તેમને જોડીમાં વાપર્યા હોવાથી,આપણી પાસે આવી $5$ સમાંતર જોડીઓ છે.
આ $5$ જોડીઓને પછી શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 5 \times R_p = 5 \times 1 \Omega = 5 \Omega$ થાય.

(D) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવીએ છીએ.
નોડ્સને લેબલ કરીને,આપણે જોઈએ છીએ કે સમાંતર શાખાઓને ઓળખીને પરિપથને ઘટાડી શકાય છે.
$10 \Omega$ અને $5 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે $(15 \Omega)$,$4 \Omega$ અને $11 \Omega$ શ્રેણીમાં છે $(15 \Omega)$,અને મધ્યની ઊભી શાખા પણ નોડ $C$ અને $D$ વચ્ચે $15 \Omega$ નો માર્ગ બનાવે છે.
આ ત્રણેય $15 \Omega$ ની શાખાઓ નોડ $C$ અને $D$ વચ્ચે સમાંતરમાં છે.
આ ત્રણેય સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{15 \Omega}{3} = 5 \Omega$ થાય છે.
હવે,પરિપથ $6 \Omega$,$5 \Omega$ અને $8 \Omega$ ના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
તેથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 6 \Omega + 5 \Omega + 8 \Omega = 19 \Omega$ થાય છે.

(B) આડા અક્ષની સાપેક્ષે પરિપથની સંમિતિને કારણે, ઉપરના અને નીચેના નોડ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે. તેથી, ઊભા અવરોધોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી, અને તેમને દૂર કરી શકાય છે.
ઊભા અવરોધોને દૂર કર્યા પછી, પરિપથ બે કેન્દ્રીય નોડ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે, જેમાં દરેકનો અવરોધ $R + R = 2R$ છે।
આ ત્રણ સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{1}{R_{eq, parallel}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે $R_{eq, parallel} = \frac{2R}{3}$ આપે છે.
અંતે, આ સમતુલ્ય અવરોધ ટર્મિનલ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બે અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી, કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{total} = R + \frac{2R}{3} + R = 2R + \frac{2R}{3} = \frac{8R}{3}$ છે.

(A) મૂળ તારનો અવરોધ $R = 100 \Omega$ છે.
જ્યારે તારને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $r = \frac{R}{10} = \frac{100 \Omega}{10} = 10 \Omega$ થાય છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા પ્રથમ $5$ ભાગો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_S = 5 \times r = 5 \times 10 \Omega = 50 \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાયેલા પછીના $5$ ભાગો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_P$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_P} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{5}{r}$.
તેથી,$R_P = \frac{r}{5} = \frac{10 \Omega}{5} = 2 \Omega$.
આ બંને સંયોજનો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,અંતિમ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_S + R_P = 50 \Omega + 2 \Omega = 52 \Omega$ થાય છે.

(A) પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે વોલ્ટેજ $V = 3 \text{ V}$ બધી ગોઠવણીઓ માટે સમાન છે, તેથી પાવર $P$ એ સમતુલ્ય અવરોધ $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(P \propto \frac{1}{R})$.
$1$. ગોઠવણી $R_1$ માટે: પરિપથમાં ત્રણ $1 \text{ }\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી, $R_1 = \frac{1 \text{ }\Omega}{3} = 0.33 \text{ }\Omega$.
$2$. ગોઠવણી $R_2$ માટે: આ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ પરિપથ છે. બધા અવરોધો $1 \text{ }\Omega$ હોવાથી, આ સંતુલિત બ્રિજ છે. વચ્ચેના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. સમતુલ્ય અવરોધ એ $2 \text{ }\Omega$ ની બે સમાંતર શાખાઓ છે, તેથી $R_2 = \frac{2 \text{ }\Omega}{2} = 1 \text{ }\Omega$.
$3$. ગોઠવણી $R_3$ માટે: આ શ્રેણી-સમાંતર જોડાણ છે. આકૃતિ મુજબ ગણતરી કરતા, $R_3 = 2 \text{ }\Omega$ મળે છે.
અવરોધોની સરખામણી કરતા: $R_1 = 0.33 \text{ }\Omega$, $R_2 = 1 \text{ }\Omega$, $R_3 = 2 \text{ }\Omega$.
$P \propto \frac{1}{R}$ હોવાથી, પાવરનો ક્રમ $P_1 > P_2 > P_3$ થશે.

(B) સંયુક્ત સળિયો બે સમાંતર અવરોધો તરીકે કાર્ય કરે છે,એક $Fe$ નો અને એક $Al$ નો.
લંબાઈ $L = 50 \times 10^{-3} \ m$.
$Fe$ કોરનું ક્ષેત્રફળ $A_{Fe} = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Al$ ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{Al} = (7 \times 10^{-3} \ m)^2 - (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = (49 - 4) \times 10^{-6} \ m^2 = 45 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Fe$ ભાગનો અવરોધ: $R_{Fe} = \frac{\rho_{Fe} L}{A_{Fe}} = \frac{1.0 \times 10^{-7} \times 50 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-6}} = 1.25 \times 10^{-3} \ \Omega = 1250 \ \mu \Omega$.
$Al$ ભાગનો અવરોધ: $R_{Al} = \frac{\rho_{Al} L}{A_{Al}} = \frac{2.7 \times 10^{-8} \times 50 \times 10^{-3}}{45 \times 10^{-6}} = 0.03 \times 10^{-3} \ \Omega = 30 \ \mu \Omega$.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_{Fe} \times R_{Al}}{R_{Fe} + R_{Al}} = \frac{1250 \times 30}{1250 + 30} = \frac{37500}{1280} \ \mu \Omega = \frac{3750}{128} \ \mu \Omega = \frac{1875}{64} \ \mu \Omega$.

(C) તારનો કુલ અવરોધ $9 \ \Omega$ છે. તેને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવતા,તારના ત્રણ સમાન ભાગ થાય છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = 9 \ \Omega / 3 = 3 \ \Omega$ થાય છે.
જ્યારે આપણે કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ (ધારો કે $B$ અને $C$) વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ વિચારીએ,ત્યારે $B$ અને $C$ વચ્ચેનો અવરોધ એ બાકીના બે અવરોધો (જે $A-B$ અને $A-C$ વચ્ચે છે) ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર હોય છે.
$AB$ અને $AC$ શાખાનો શ્રેણી અવરોધ $R_{series} = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$ થાય છે.
હવે,આ $6 \ \Omega$ નો અવરોધ એ $B$ અને $C$ વચ્ચે સીધો જોડાયેલા $3 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$R_{eq} = 2 \ \Omega$.

(C) પરિપથના નોડ્સને નામ આપીને,આપણે દરેક બિંદુ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન ઓળખી શકીએ છીએ. ધારો કે ડાબો છેડો $A$ છે અને જમણો છેડો $B$ છે.
જોડાણોને અનુસરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્રણેય અવરોધકો,જે દરેકનું મૂલ્ય $\frac{r}{3}$ છે,તે બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધકો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
$R_1 = R_2 = R_3 = \frac{r}{3}$ મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r/3} + \frac{1}{r/3} + \frac{1}{r/3} = \frac{3}{r} + \frac{3}{r} + \frac{3}{r} = \frac{9}{r}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{r}{9}$.

(D) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $R \propto \ell$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,દરેક બાજુનો અવરોધ $R/3$ છે. એક બાજુના બે છેડાઓ વચ્ચે સમતુલ્ય અવરોધ શોધતી વખતે,આપણી પાસે $R/3$ નો એક અવરોધ બાકીના બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો (જેનો સરવાળો $2R/3$ થાય છે) સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$(R_{eq})_1 = \frac{(R/3) \times (2R/3)}{(R/3) + (2R/3)} = \frac{2R^2/9}{R} = \frac{2R}{9}$.
ચોરસ માટે,દરેક બાજુનો અવરોધ $R/4$ છે. એક બાજુના બે છેડાઓ વચ્ચે સમતુલ્ય અવરોધ શોધતી વખતે,આપણી પાસે $R/4$ નો એક અવરોધ બાકીના ત્રણ શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો (જેનો સરવાળો $3R/4$ થાય છે) સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$(R_{eq})_2 = \frac{(R/4) \times (3R/4)}{(R/4) + (3R/4)} = \frac{3R^2/16}{R} = \frac{3R}{16}$.
સમતુલ્ય અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{(R_{eq})_1}{(R_{eq})_2} = \frac{2R/9}{3R/16} = \frac{2}{9} \times \frac{16}{3} = \frac{32}{27}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 25 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 5 \ mm^2 = 5 \times 10^{-6} \ m^2$,અવરોધકતા $\rho = 2 \times 10^{-6} \ \Omega \ m$.
પ્રથમ,તારનો કુલ અવરોધ ગણો: $R = \frac{\rho L}{A} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 25}{5 \times 10^{-6}} = 10 \ \Omega$.
જ્યારે તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુઓ તારને બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,જે દરેકનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{10}{2} = 5 \ \Omega$ થાય છે.
આ બે ભાગો વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{5} \implies R_{eq} = \frac{5}{2} = 2.5 \ \Omega$.

(A) $6 \ \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ મેળવવા માટે,આપણે આકૃતિ $A$ માં દર્શાવેલ સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
ઉપરની શાખામાં,$R_1$ અને $R_2$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{up} = R_1 + R_2 = 5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 10 \ \Omega$.
નીચેની શાખામાં,$R_3$ અને $R_4$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{low} = R_3 + R_4 = 5 \ \Omega + 10 \ \Omega = 15 \ \Omega$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_P} = \frac{1}{R_{up}} + \frac{1}{R_{low}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \ \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_P = 6 \ \Omega$.
આમ,આકૃતિ $A$ માં દર્શાવેલ સર્કિટ જરૂરી સમતુલ્ય અવરોધ આપે છે.

(D) ધારો કે $6$ વિભાગોમાંથી દરેકનો અવરોધ $r$ છે. તારનો કુલ અવરોધ $R$ હોવાથી,$6r = R$,જેનો અર્થ છે કે $r = R / 6$ થાય.
પરિપથને જોતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે આ રચના વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી છે. ઉપરના નોડ સાથે જોડાયેલા બે અવરોધકો અને કેન્દ્રિય નોડ સાથે જોડાયેલા બે અવરોધકો બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સંતુલિત બ્રિજ બનાવે છે.
ચોક્કસ રીતે,$A$ થી $B$ સુધીના માર્ગમાં ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે:
$1$. શ્રેણીમાં બે અવરોધકો ધરાવતી શાખા: $r + r = 2r$.
$2$. શ્રેણીમાં બે અવરોધકો ધરાવતી બીજી શાખા: $r + r = 2r$.
$3$. $A$ અને $B$ વચ્ચે સીધો અવરોધ $r$.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$.
$r = R / 6$ મૂકતા:
$R_{AB} = \frac{r}{2} = \frac{R / 6}{2} = \frac{R}{12}$.
આને $R / n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 12$ મળે છે.

(C) $8$ સમાન ટુકડાઓમાંથી દરેકનો અવરોધ $r = \frac{R}{8}$ થશે.
જ્યારે આવા $4$ ટુકડાઓને સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે એક સેટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{r}{4} = \frac{R/8}{4} = \frac{R}{32}$ થાય.
આવા બે સેટને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવતા,કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{\text{eff}} = R_p + R_p = 2 \times \frac{R}{32} = \frac{R}{16}$ મળે.

(C) ત્રણ અવરોધો $10 \Omega$,$15 \Omega$,અને $30 \Omega$ સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{3+2+1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \Omega^{-1}$
તેથી,$R_{eq} = 5 \Omega$.
સમાંતર જોડાણ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V$:
$V = I \times R_{eq} = 1.2 \times 5 = 6 \ V$.
સમાંતર જોડાણમાં દરેક અવરોધ પર વોલ્ટેજ સમાન $(6 \ V)$ હોય છે.
તેથી,$15 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$:
$I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{6}{15} = 0.4 \ A$.

(C) પરિપથ સંમિત છે. ચાલો નેટવર્કને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ સરળ બનાવીએ.
$1$. નોડ $a$ અને $b$ વચ્ચે સમાંતર જોડેલા બે અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{ab} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય.
$2$. તેવી જ રીતે,નોડ $c$ અને $d$ વચ્ચે સમાંતર જોડેલા બે અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{cd} = \frac{R}{2}$ થાય.
$3$. નોડ $e$ સાથે જોડાયેલા બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $2R$ આપે છે. આ $2R$ એ $a-f-d$ માર્ગ સાથે સમાંતરમાં છે. આમ,ડાબા ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ થાય.
$4$. સંમિતિ દ્વારા,જમણા ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ પણ $R$ થાય.
$5$. હવે,પરિપથ ડાબા ભાગ $(R)$,$A$ સાથે જોડાયેલ અવરોધ $(R)$,$B$ સાથે જોડાયેલ અવરોધ $(R)$,અને જમણા ભાગ $(R)$ ના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
$6$. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = R + R + R + R = 4R$ થાય. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{9R}{4}$ છે.

(C) $1$. પરિપથનું ધ્યાનપૂર્વક અવલોકન કરો. નીચેના ભાગમાં રહેલા બે $2\ R$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p1} = \frac{2\ R \times 2\ R}{2\ R + 2\ R} = R$ થાય.
$2$. આ $R$ તેની ઉપરના $R$ અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R + R = 2\ R$ મળે.
$3$. આ $2\ R$ એ સમાન નોડ સાથે જોડાયેલા બીજા $2\ R$ અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p2} = \frac{2\ R \times 2\ R}{2\ R + 2\ R} = R$ થાય.
$4$. આ $R$ તેની ઉપરના $R$ અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R + R = 2\ R$ મળે.
$5$. અંતે,આ $2\ R$ એ જમણી બાજુની શાખા સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે,જેમાં બે $R$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે $(R + R = 2\ R)$.
$6$. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{2\ R \times 2\ R}{2\ R + 2\ R} = R$ થાય.

(D) રીંગનો કુલ અવરોધ $R$ છે. બિંદુઓ $A$ અને $B$ દ્વારા રીંગ બે ભાગમાં વહેંચાય છે.
$\theta$ ખૂણાને અનુરૂપ ચાપની લંબાઈ $l_1 = r\theta$ છે અને બાકીના ચાપની લંબાઈ $l_2 = r(2\pi - \theta)$ છે.
અવરોધ લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,બે ભાગના અવરોધ નીચે મુજબ છે:
$R_1 = R \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)$ અને $R_2 = R \left(\frac{2\pi - \theta}{2\pi}\right)$.
આ બંને ભાગો બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\left(R \frac{\theta}{2\pi}\right) \left(R \frac{2\pi - \theta}{2\pi}\right)}{R \left(\frac{\theta}{2\pi} + \frac{2\pi - \theta}{2\pi}\right)}$
$R_{eq} = \frac{R^2 \theta (2\pi - \theta) / 4\pi^2}{R (2\pi / 2\pi)} = \frac{R \theta (2\pi - \theta)}{4\pi^2}$.

(D) વર્તુળાકાર કોઈલ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ દ્વારા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે,જેના અવરોધ $R_1 = 30 \Omega$ અને $R_2 = 10 \Omega$ છે। આ બંને ભાગો બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે。
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{PQ}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{10} = \frac{1+3}{30} = \frac{4}{30}$
$R_{PQ} = \frac{30}{4} = 7.5 \Omega$
આંતરિક અવરોધ $r = 0.5 \Omega$ ને સમાવતો પરિપથનો કુલ અવરોધ:
$R_{total} = R_{PQ} + r = 7.5 \Omega + 0.5 \Omega = 8 \Omega$
ઓમના નિયમ મુજબ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{16 \text{ V}}{8 \Omega} = 2 \text{ A}$

(A) બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અને શ્રેણી જોડાણોને ઓળખીને પરિપથને સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. પરિપથને નોડ્સને ઓળખીને ફરીથી દોરી શકાય છે. ધારો કે વચ્ચેના અવરોધો વચ્ચેનો નોડ $Z$ છે.
$2$. $X$ અને $Z$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \Omega$ છે.
$3$. તેવી જ રીતે,$Z$ અને $Y$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \Omega$ છે.
$4$. હવે,$R_1$ અને $R_2$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_3 = R_1 + R_2 = 1 + 1 = 2 \Omega$ છે.
$5$. અંતે,આ $R_3$ એ $X$ અને $Y$ ની વચ્ચે સીધા જોડાયેલા ઉપરના $2 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. આમ,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = \frac{R_3 \times 2}{R_3 + 2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1 \Omega$.

(C) ન્યૂનતમ અવરોધ મેળવવા માટે,અવરોધકોને સમાંતર જોડાણમાં જોડવા જોઈએ.
$R_{\min} = \frac{R}{n} = \frac{2}{10} = 0.2 \ \Omega$
મહત્તમ અવરોધ મેળવવા માટે,અવરોધકોને શ્રેણી જોડાણમાં જોડવા જોઈએ.
$R_{\max} = n \times R = 10 \times 2 = 20 \ \Omega$
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અવરોધનો ગુણોત્તર:
$\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{20}{0.2} = 100$

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
આપેલ સર્કિટ આકૃતિ પરથી,$6 \Omega$ અને $2 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$R_p = \frac{6 \times 2}{6 + 2} = \frac{12}{8} = 1.5 \Omega$
હવે,આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = 1.5 \Omega$ એ $1.5 \Omega$ ના અવરોધ અને $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = 1.5 \Omega + 1.5 \Omega + 3 \Omega = 6 \Omega$
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \text{ V}}{6 \Omega} = 1.5 \text{ A}$

(D) ધારો કે રીંગનો કુલ અવરોધ $R$ છે. રીંગની કુલ લંબાઈ $2 \pi r$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = \frac{R}{2 \pi r}$ છે.
નાના ચાપ $AB$ ની લંબાઈ $l_1 = r \theta$ છે. આ ભાગનો અવરોધ $R_1 = \lambda l_1 = \left(\frac{R}{2 \pi r}\right) (r \theta) = \frac{R \theta}{2 \pi}$ છે.
મોટા ચાપ $AB$ ની લંબાઈ $l_2 = r(2 \pi - \theta)$ છે. આ ભાગનો અવરોધ $R_2 = \lambda l_2 = \left(\frac{R}{2 \pi r}\right) (r(2 \pi - \theta)) = \frac{R(2 \pi - \theta)}{2 \pi}$ છે.
બંને ચાપ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{AB} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
$R_{AB} = \frac{\left(\frac{R \theta}{2 \pi}\right) \left(\frac{R(2 \pi - \theta)}{2 \pi}\right)}{\frac{R \theta}{2 \pi} + \frac{R(2 \pi - \theta)}{2 \pi}}$
$R_{AB} = \frac{\frac{R^2 \theta (2 \pi - \theta)}{4 \pi^2}}{\frac{R}{2 \pi} (\theta + 2 \pi - \theta)}$
$R_{AB} = \frac{\frac{R^2 \theta (2 \pi - \theta)}{4 \pi^2}}{\frac{R}{2 \pi} (2 \pi)}$
$R_{AB} = \frac{R^2 \theta (2 \pi - \theta)}{4 \pi^2} \cdot \frac{1}{R} = \frac{R \theta (2 \pi - \theta)}{4 \pi^2}$

(A) તારની કુલ લંબાઈ $L = 2 \pi r = 2 \pi (2) = 4 \pi \ m$ છે.
તારનો કુલ અવરોધ $R_{total} = (\text{એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ}) \times L = \frac{1}{\pi} \times 4 \pi = 4 \ \Omega$ છે.
$\angle AOB = 90^{\circ}$ હોવાથી,તાર બે ચાપમાં વહેંચાય છે: લઘુચાપ $AB$ અને ગુરુચાપ $AB$.
લઘુચાપની લંબાઈ $L_1 = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times (2 \pi r) = \frac{1}{4} \times 4 \pi = \pi \ m$ છે.
લઘુચાપનો અવરોધ $R_1 = \frac{1}{\pi} \times \pi = 1 \ \Omega$ છે.
ગુરુચાપની લંબાઈ $L_2 = L - L_1 = 4 \pi - \pi = 3 \pi \ m$ છે.
ગુરુચાપનો અવરોધ $R_2 = \frac{1}{\pi} \times 3 \pi = 3 \ \Omega$ છે.
આ બંને અવરોધો $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ માટે,$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \ \Omega^{-1}$,તેથી $R_p = \frac{3}{4} \ \Omega$ મળે.
બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_p} = \frac{6}{3/4} = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \ A$ થાય.

(A) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે અને બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 4R$ થાય છે.
શ્રેણીમાં વ્યય થતો પાવર $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{V^2}{4R} = 20 \ W$ છે.
આના પરથી,આપણને $\frac{V^2}{R} = 20 \times 4 = 80 \ W$ મળે છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R}{4}$ થાય છે.
સમાંતરમાં વ્યય થતો પાવર $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{V^2}{R/4} = 4 \times \frac{V^2}{R}$ છે.
$\frac{V^2}{R}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P_p = 4 \times 80 \ W = 320 \ W$ મળે છે.

(A) $R$ અવરોધ ધરાવતા $n$ અવરોધકોને સમાંતર જોડતા,લઘુત્તમ અવરોધ $R_{\min} = \frac{R}{n}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $R = 1 \ \Omega$ અને $n = 10$ હોવાથી,$R_{\min} = \frac{1}{10} \ \Omega$ મળે.
$n$ અવરોધકોને શ્રેણીમાં જોડતા,મહત્તમ અવરોધ $R_{\max} = nR$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$R_{\max} = 10 \times 1 = 10 \ \Omega$ મળે.
લઘુત્તમ અને મહત્તમ અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_{\min}}{R_{\max}} = \frac{1/10}{10} = \frac{1}{100}$ થાય.

(B) પરિપથને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણો ઓળખીને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવી શકાય છે.
$1$. શાખા $ACD$ માં $2 \ \Omega$ અને $2 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ છે.
$2$. આ $R_1 = 4 \ \Omega$ એ $A$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલા $4 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ માટે $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $R_2 = 2 \ \Omega$ મળે.
$3$. હવે,$R_2 = 2 \ \Omega$ એ શાખા $DE$ માં રહેલા $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_3 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ છે.
$4$. આ $R_3 = 4 \ \Omega$ એ $A$ અને $E$ વચ્ચે જોડાયેલા $4 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_4$ માટે $\frac{1}{R_4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $R_4 = 2 \ \Omega$ મળે.
$5$. અંતે,$R_4 = 2 \ \Omega$ એ શાખા $EB$ માં રહેલા $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_5 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ છે.
$6$. આ $R_5 = 4 \ \Omega$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $8 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ માટે $\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1}{8} = \frac{3}{8}$ થાય.
$7$. તેથી,$R_{AB} = \frac{8}{3} \ \Omega$.

(C) તારનો કુલ અવરોધ $R = 24 \Omega$ છે.
જ્યારે તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે વ્યાસ તારને બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
દરેક અર્ધવર્તુળાકાર ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{24 \Omega}{2} = 12 \Omega$ થાય છે.
આ બે અર્ધવર્તુળાકાર ભાગો વ્યાસ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ સમાંતર અવરોધોના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{eq} = 6 \Omega$ મળે છે.

(B) ન્યૂનતમ શક્ય અવરોધ મેળવવા માટે,તમામ $n$ અવરોધકોને સમાંતર જોડવા જોઈએ.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{min}} = \frac{r}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ શક્ય અવરોધ મેળવવા માટે,તમામ $n$ અવરોધકોને શ્રેણીમાં જોડવા જોઈએ.
શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{max}} = n \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ અવરોધ અને મહત્તમ અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_{\text{min}}}{R_{\text{max}}} = \frac{r/n}{nr} = \frac{r}{n^2 r} = \frac{1}{n^2}$ થાય છે.