Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Gujarati

(D) આપેલ સર્કિટને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
$1$. બિંદુ $C$ સાથે જોડાયેલા બે અવરોધો ડેલ્ટા-સ્ટાર જોડાણ બનાવે છે અથવા સંમિતિ દ્વારા તેને સરળ બનાવી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે,ઉપરના ત્રિકોણને જુઓ: $r$ અવરોધ ધરાવતા બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $2r$ આપે છે. આ $2r$ ઉપરના ત્રિકોણના ત્રીજા $r$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે.
$2$. ઉપરના ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{top} = (2r \times r) / (2r + r) = (2/3)r$ છે.
$3$. હવે,આ $R_{top}$ એ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બે અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે,પરંતુ આ રચનાને જોતા,આપણે નેટવર્કને શાખાઓના સમાંતર જોડાણમાં સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
$4$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ નેટવર્કને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ એક સમતુલ્ય અવરોધમાં ઘટાડીને મેળવવામાં આવે છે,જેનું પરિણામ $R_{eq} = 8r / 7$ મળે છે.

(B) આપેલ સર્કિટ સંમિત છે. સંમિતિનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સર્કિટમાં બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે. દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા $r$ અવરોધના બે અવરોધકો છે.
$1$. દરેક શાખાનો અવરોધ = $r + r = 2r$.
$2$. સમાંતરમાં આવી ત્રણ શાખાઓ હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} = \frac{3}{2r}$
$R_{eq} = \frac{2r}{3}$
$3$. આપેલ છે $r = \frac{3}{2} \Omega$,આ કિંમત મૂકતા:
$R_{eq} = \frac{2}{3} \times \left(\frac{3}{2}\right) = 1 \Omega$.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R$ છે. રીંગનો પરિઘ $2\pi r$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = \frac{R}{2\pi r}$ છે.
$\alpha$ ખૂણો બનાવતી ચાપ $XWY$ ની લંબાઈ $l_1 = r\alpha$ છે. તેનો અવરોધ $R_1 = \lambda l_1 = \frac{R}{2\pi r} \times r\alpha = \frac{R\alpha}{2\pi}$ છે.
બાકીની ચાપ $XZY$ જે $(2\pi - \alpha)$ ખૂણો બનાવે છે તેની લંબાઈ $l_2 = r(2\pi - \alpha)$ છે. તેનો અવરોધ $R_2 = \lambda l_2 = \frac{R}{2\pi r} \times r(2\pi - \alpha) = \frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha)$ છે.
આ બે ભાગો બિંદુ $X$ અને $Y$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{(\frac{R\alpha}{2\pi}) \times (\frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha))}{\frac{R\alpha}{2\pi} + \frac{R(2\pi - \alpha)}{2\pi}}$
$R_{eq} = \frac{\frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2}}{\frac{R}{2\pi}(\alpha + 2\pi - \alpha)} = \frac{\frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2}}{\frac{R(2\pi)}{2\pi}} = \frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2 R} = \frac{R\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)$.

(B) સ્ટાર સર્કિટ $A$ અને $H$ માંથી પસાર થતી ધરીની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ધારો કે સ્ટારની દરેક બાજુનો અવરોધ $r$ છે.
સંમિતિનું વિશ્લેષણ કરીને અને પેન્ટાગ્રામના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,સર્કિટને સરળ બનાવી શકાય છે.
બિંદુઓ $A$ અને $H$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$R_{eq} = 0.973r$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $S = R_1 + R_2$ થાય.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ થાય.
આપેલ શરત $S = nP$ મુજબ,કિંમતો મૂકતા:
$R_1 + R_2 = n \left( \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \right)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(R_1 + R_2)^2 = n R_1 R_2$ મળે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(R_1 + R_2)^2 = (R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2 = n R_1 R_2$.
$R_1 R_2$ વડે ભાગતા,$n = 4 + \frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ મળે.
અહીં પદ $\frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ હંમેશા $0$ અથવા તેનાથી મોટું હોય છે,તેથી $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $R_1 = R_2$ હોય,જે $n = 4$ આપે છે.

(A) $R$ અવરોધ ધરાવતા બે સમાન અવરોધો માટે,શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R_{Series} = R + R = 2R$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R_{Parallel} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
આમ,$R_{Parallel} < R_{Series}$ છે.
$V-i$ આલેખમાં,રેખાનો ઢાળ અવરોધ દર્શાવે છે $(R = \frac{V}{i} = \text{ઢાળ})$.
આકૃતિ પરથી,રેખા $A$ નો ઢાળ રેખા $B$ ના ઢાળ કરતા ઓછો છે.
કારણ કે $R_{Parallel} < R_{Series}$ છે,તેથી જે રેખાનો ઢાળ ઓછો હોય તે સમાંતર જોડાણ દર્શાવે છે.
તેથી,રેખા $A$ સમાંતર જોડાણ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે દરેક બલ્બનો અવરોધ $R$ છે.
જ્યારે $40$ બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq1} = 40R$ થાય છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I_1 = V / (40R)$ છે.
દરેક બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_1 = I_1^2 R = (V / 40R)^2 R = V^2 / (1600R)$ છે.
જ્યારે $39$ બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq2} = 39R$ થાય છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I_2 = V / (39R)$ છે.
દરેક બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_2 = I_2^2 R = (V / 39R)^2 R = V^2 / (1521R)$ છે.
અહીં $1521R < 1600R$ હોવાથી,$P_2 > P_1$ થાય છે.
તેથી,$39$ બલ્બ સાથે પ્રકાશની તીવ્રતા $40$ બલ્બ કરતા વધારે હશે.

(C) પરિપથમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ અચળ હોવાથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા અવરોધ $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(H \propto \frac{1}{R})$.
ઉષ્મા મહત્તમ કરવા માટે,આપણે કુલ અવરોધ $R$ ને ન્યૂનતમ કરવો પડશે.
ધારો કે સંપૂર્ણ તારનો અવરોધ $R_0$ છે.
$(a)$ $R = R_0$
$(b)$ બે ભાગ સમાંતરમાં: $R = \frac{(R_0/2)}{2} = \frac{R_0}{4}$
$(c)$ ચાર ભાગ સમાંતરમાં: $R = \frac{(R_0/4)}{4} = \frac{R_0}{16}$
$(d)$ અડધો તાર: $R = \frac{R_0}{2}$
અવરોધોની સરખામણી કરતા,કિસ્સા $(c)$ માં અવરોધ ન્યૂનતમ $\frac{R_0}{16}$ છે. તેથી,કિસ્સા $(c)$ માં સૌથી વધુ ઉષ્મા ઉત્પન્ન થશે.

(D) ધારો કે દરેક હીટર વાયરનો અવરોધ $R$ છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ થાય છે.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
અચળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માટે,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ એ $H = \frac{V^2}{R_{eq}} \cdot t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$H \propto \frac{1}{R_{eq}}$.
શ્રેણીમાં $(H_s)$ અને સમાંતરમાં $(H_p)$ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_s}{H_p} = \frac{R_p}{R_s} = \frac{R/2}{2R} = \frac{1}{4}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(C) દરેક હીટરનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{1000} = 48.4\,\Omega$ છે.
જ્યારે બે સમાન હીટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + R = 2R = 2 \times 48.4 = 96.8\,\Omega$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_{series} = \frac{V_{supply}^2}{R_{eq}} = \frac{220^2}{96.8} = \frac{48400}{96.8} = 500\,W$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,શ્રેણીમાં જોડાયેલા $n$ સમાન અવરોધો માટે,અસરકારક પાવર $P_{series} = \frac{P}{n} = \frac{1000}{2} = 500\,W$ થાય છે.

(C) જ્યારે ઘટકો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય છે,ત્યારે દરેક ઘટકમાંથી સમાન વિદ્યુત પ્રવાહ વહે છે.
આપેલ બંને બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,$50\, W$ ના બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ અને $25\, W$ ના બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ સમાન હશે.
તેથી,તેમાંથી વહેતા પ્રવાહનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) જ્યારે બલ્બની સાથે શ્રેણીમાં અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથનો કુલ અવરોધ વધે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ ઘટે છે.
બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે. તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માં ઘટાડો થવાથી પાવર $P$ માં ઘટાડો થાય છે.
પરિણામે,બલ્બની તેજસ્વીતા,જે વપરાતા પાવર પર આધાર રાખે છે,તે ઘટી જાય છે.

(B) જ્યારે બલ્બ સમાંતર જોડાણમાં હોય છે,ત્યારે દરેક બલ્બ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા વપરાતા પાવરના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(P \propto \text{Brightness})$,અને અચળ વોલ્ટેજ $V$ માટે $P \propto \frac{1}{R}$ હોવાથી,જે બલ્બનો અવરોધ ઓછો હોય તે વધુ પાવર વાપરે છે અને તેથી તે વધુ પ્રકાશિત હોય છે.
આપેલ છે કે બલ્બ $A$ એ બલ્બ $B$ કરતા વધુ પ્રકાશિત છે,જેનો અર્થ છે કે $P_A > P_B$.
તેથી,$R_A < R_B$.

(A) પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ છે। અહીં $m$, $c$ અને $\Delta T$ સમાન હોવાથી, જરૂરી ઉષ્મા $Q$ અચળ રહે છે.
હીટિંગ કોઈલનો પાવર $P = V^2/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક કોઈલ માટે, $P_1 = V^2/R$. લાગતો સમય $t_1 = Q/P_1 = 30\,min$ છે.
જ્યારે બે સમાન કોઈલને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + R = 2R$ થાય છે.
નવો પાવર $P_{series} = V^2/R_{eq} = V^2/(2R) = P_1/2$ થાય છે.
નવો લાગતો સમય $t_{series} = Q/P_{series} = Q/(P_1/2) = 2(Q/P_1) = 2t_1$ થાય છે.
$t_1 = 30\,min$ મૂકતા, આપણને $t_{series} = 2 \times 30 = 60\,min$ મળે છે.

(A) અવરોધકમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઉર્જાનું સૂત્ર $H = i^2Rt$ છે,જ્યાં $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$R$ એ અવરોધ છે અને $t$ એ સમયનો ગાળો છે.
અવરોધકો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને અવરોધકોમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ વહે છે.
આપેલ છે કે અવરોધો સમાન છે $(R_1 = R_2 = R)$,તેથી બંને અવરોધકોમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઉર્જા $H_1 = i^2Rt$ અને $H_2 = i^2Rt$ થશે.
તેથી,$H_1 = H_2$,જેનો અર્થ છે કે અવરોધકોમાં સમાન પ્રમાણમાં ઉષ્મીય ઉર્જા ઉત્પન્ન થવી જોઈએ.

(C) શ્રેણી પરિપથમાં,ઘટકો એકબીજા સાથે છેડેથી જોડાયેલા હોય છે,જે વિદ્યુતપ્રવાહના વહન માટે એક જ માર્ગ બનાવે છે.
શ્રેણી પરિપથના ગુણધર્મો અનુસાર,સમગ્ર પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ અચળ રહે છે.
તેથી,$60\,W$ ના બલ્બ અને $100\,W$ ના બલ્બ બંનેમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન હશે.

(A) ધારો કે પાણીને ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H$ છે. કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ વોલ્ટેજ છે,$R$ અવરોધ છે અને $t$ સમય છે.
$H$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$t \propto R$ અથવા $R \propto t$ થાય.
ધારો કે $R_1$ અને $R_2$ એ બે કોઈલના અવરોધ છે. તેથી $R_1 \propto 5$ અને $R_2 \propto 10$ થાય.
જ્યારે સમાંતર જોડાણમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ માટે $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ થાય.
$t_p \propto R_p$ હોવાથી,$\frac{1}{t_p} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{t_p} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2+1}{10} = \frac{3}{10}$.
તેથી,$t_p = \frac{10}{3} \text{ min} = 3.33 \text{ min}$.
$0.33 \text{ min} = 0.33 \times 60 \text{ sec} = 20 \text{ sec}$.
આમ,લાગતો સમય $3 \text{ min } 20 \text{ sec}$ છે.

(A) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ રેટ કરેલ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
પ્રથમ બલ્બ માટે,$R_1 = \frac{V^2}{P_1} = \frac{220^2}{100}$.
બીજા બલ્બ માટે,$R_2 = \frac{V^2}{P_2} = \frac{220^2}{200}$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{V^2}{P_1} + \frac{V^2}{P_2} = V^2 \left( \frac{P_1 + P_2}{P_1 P_2} \right)$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં વપરાતો કુલ પાવર $P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{V^2 \left( \frac{P_1 + P_2}{P_1 P_2} \right)} = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P_{total} = \frac{100 \times 200}{100 + 200} = \frac{20000}{300} = \frac{200}{3} \approx 66.67\, W$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,વપરાતો કુલ પાવર આશરે $65\, W$ છે.

(A) બલ્બના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સપ્લાય વોલ્ટેજ છે અને $R_{eq}$ એ શ્રેણી પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
$V$ અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{R_{eq}}$.
જ્યારે એક બલ્બ ફ્યુઝ થાય છે,ત્યારે તેને પરિપથમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. બલ્બ શ્રેણીમાં હોવાથી,પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq}$ ઘટે છે $(R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n)$.
જેમ કુલ અવરોધ $R_{eq}$ ઘટે છે,તેમ બાકીના બલ્બ દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર $P$ વધે છે.
તેથી,રૂમમાં પ્રકાશ (illumination) વધશે.

(C) ધારો કે દરેક અવરોધનો અવરોધ $R$ છે. અવરોધો $B$ અને $C$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય.
આ સંયોજન અવરોધ $A$ સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ પ્રવાહ $I$ એ $A$ માંથી પસાર થાય છે,જ્યારે $B$ અને $C$ સમાન હોવાથી પ્રવાહ તેમના વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે.
અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2 R t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ $A$ માટે,$H_A = I^2 R t$.
અવરોધો $B$ અને $C$ માટે,દરેકમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I/2$ છે. તેથી,$H_B = H_C = (I/2)^2 R t = \frac{I^2 R t}{4} = \frac{H_A}{4}$.
આમ,$H_A > H_B = H_C$. તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા અવરોધ $A$ માં મહત્તમ હશે.

(C) અવરોધ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે કોઈલનો પ્રારંભિક અવરોધ $R$ છે. તેથી $P_1 = \frac{V^2}{R}$.
જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $\frac{R}{2}$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R/2} + \frac{1}{R/2} = \frac{2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{4}{R}$,તેથી $R_{eq} = \frac{R}{4}$.
નવો વ્યય થતો પાવર $P_2 = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{R/4} = \frac{4V^2}{R}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2/R}{4V^2/R} = \frac{1}{4}$ થાય.

(B) પરિપથમાં બે અવરોધો $R$ અને $2\,\Omega$ સમાંતર જોડાણમાં $15\, V$ ના વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{R \times 2}{R + 2} = \frac{2R}{R + 2}$
પરિપથમાં પાવરનો વ્યય $P$ સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = 150\, W$ અને $V = 15\, V$,તેથી:
$150 = \frac{15^2}{R_{eq}} = \frac{225}{R_{eq}}$
$R_{eq} = \frac{225}{150} = 1.5\,\Omega$
હવે,$R_{eq}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1.5 = \frac{2R}{R + 2}$
$1.5(R + 2) = 2R$
$1.5R + 3 = 2R$
$0.5R = 3$
$R = \frac{3}{0.5} = 6\,\Omega$
આમ,$R$ નું મૂલ્ય $6\,\Omega$ છે.

(A) બલ્બનું પાવર રેટિંગ $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ રેટેડ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
બંને બલ્બ સમાન વોલ્ટેજ રેટિંગ ધરાવતા હોવાથી,$R \propto \frac{1}{P}$.
તેથી,ઓછા પાવર ધરાવતા બલ્બનો અવરોધ વધારે હોય છે. આમ,$R_X > R_Y$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન હોય છે.
વ્યય થતો પાવર (જે તેજસ્વીતા નક્કી કરે છે) $P' = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_X > R_Y$ હોવાથી,બલ્બ $X$ માં વ્યય થતો પાવર બલ્બ $Y$ કરતા વધારે છે $(P'_X > P'_Y)$.
પરિણામે,બલ્બ $X$ એ બલ્બ $Y$ કરતા વધુ તેજસ્વી રીતે પ્રકાશશે.

(C) ધારો કે દરેક સમાન બલ્બનો અવરોધ $R$ છે.
જ્યારે $3$ બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + R + R = 3R$ થાય છે.
શ્રેણીમાં વપરાતો પાવર $P = V^2 / R_{eq} = V^2 / (3R)$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $V^2 / R = 3P$.
જ્યારે $3$ બલ્બ સમાંતર જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $1 / R'_{eq} = 1/R + 1/R + 1/R = 3/R$ થાય છે,તેથી $R'_{eq} = R/3$.
સમાંતરમાં વપરાતો પાવર $P' = V^2 / R'_{eq} = V^2 / (R/3) = 3(V^2 / R)$ છે.
સમીકરણમાં $V^2 / R = 3P$ મૂકતા,આપણને $P' = 3(3P) = 9P$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે. અચળ પ્રવાહ $i$ ધરાવતા પરિપથમાં પાવર વ્યય $P = i^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
સંયોજન $I$ (શ્રેણી) માટે: $R_{eq, I} = R + R + R = 3R$.
સંયોજન $II$ (બે શ્રેણીમાં,એક સમાંતરમાં) માટે: $R_{eq, II} = \frac{(2R)(R)}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R \approx 0.67R$.
સંયોજન $III$ (ત્રણેય સમાંતરમાં) માટે: $R_{eq, III} = \frac{R}{3} \approx 0.33R$.
સંયોજન $IV$ (બે સમાંતરમાં,એક શ્રેણીમાં) માટે: $R_{eq, IV} = \frac{R}{2} + R = 1.5R$.
સમતુલ્ય અવરોધોની સરખામણી કરતા: $R_{eq, III} (0.33R) < R_{eq, II} (0.67R) < R_{eq, IV} (1.5R) < R_{eq, I} (3R)$.
કારણ કે $P \propto R_{eq}$,પાવર વ્યય પણ સમાન ક્રમ અનુસરે છે: $III < II < IV < I$.

(B) જ્યારે અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = 100 + 100 + 100 + 100 = 400\; \Omega$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ અવરોધમાં થતી નિરપેક્ષ ત્રુટિ એ દરેક અવરોધની નિરપેક્ષ ત્રુટિઓના સરવાળા જેટલી હોય છે: $\Delta R_{eq} = \Delta R_1 + \Delta R_2 + \Delta R_3 + \Delta R_4$.
અહીં ટોલરન્સ $5\%$ આપેલ છે,તેથી દરેક $100\; \Omega$ ના અવરોધ માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta R = 100\; \Omega$ ના $5\% = 5\; \Omega$ થાય.
આમ,$\Delta R_{eq} = 5 + 5 + 5 + 5 = 20\; \Omega$.
સંયોજનનું ટકાવારી ટોલરન્સ $\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}} \times 100\% = \frac{20}{400} \times 100\% = 5\%$ થાય.

(B) પગલું $1$: વિભાગોના અવરોધનું વિશ્લેષણ કરો.
તાર સમાન હોવાથી,તેને વર્તુળાકારે વાળતા કુલ અવરોધ $R$ બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાઈ જાય છે,જે દરેક $R/2$ છે,જે બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને અનુરૂપ છે.
પગલું $2$: સર્કિટ ગોઠવણી નક્કી કરો.
જ્યારે બે વ્યાસાંત બિંદુઓનો વિચાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ બે અર્ધવર્તુળાકાર વિભાગો આ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા હોય છે.
પગલું $3$: સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી કરો.
સમાંતરમાં જોડાયેલા બે અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R_1 = R/2$ અને $R_2 = R/2$ છે.
$R_{eq} = \frac{(R/2) \times (R/2)}{(R/2) + (R/2)} = \frac{R^2/4}{R} = \frac{R}{4}$.
આમ,કોઈપણ બે વ્યાસાંત બિંદુઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R/4$ થશે.

(D) જ્યારે $n$ અવરોધો,દરેક $r$ અવરોધ ધરાવતા,સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{r}{n}$
આના પરથી,આપણે $r$ ને $R$ અને $n$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$r = nR$
જ્યારે આ $n$ અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{series}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{\text{series}} = n \times r$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_{\text{series}} = n \times (nR) = n^2R$
તેથી,શ્રેણીમાં સમતુલ્ય અવરોધ $n^2R \ \Omega$ થશે.

(D) વાહકતા $(\sigma)$ એ અવરોધકતા $(\rho)$ નો વ્યસ્ત છે. જોકે,વાહકોના શ્રેણી જોડાણના સંદર્ભમાં (જે સામાન્ય રીતે અવરોધો માટે વપરાય છે),અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{L}{A} = \frac{L}{\sigma A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન લંબાઈ $L$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા ત્રણ વાહકોને શ્રેણીમાં જોડતા,કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$ થાય છે.
$R = \frac{L}{\sigma A}$ મૂકતા,આપણને $\frac{L}{\sigma_{eq} A} = \frac{L}{\sigma_1 A} + \frac{L}{\sigma_2 A} + \frac{L}{\sigma_3 A}$ મળે છે.
$\frac{L}{A}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{\sigma_{eq}} = \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} + \frac{1}{\sigma_3}$ મળે છે.
આમ,$\sigma_{eq} = \left( \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} + \frac{1}{\sigma_3} \right)^{-1}$ થાય.

(B) ધારો કે ત્રણ અવરોધો $R_1, R_2$ અને $R_3$ છે. સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બે અવરોધોનો ગુણોત્તર $R_1 : R_2 = 1 : 2$ છે,તેથી આપણે $R_2 = 2R_1$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને સમાંતર અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1$,અથવા $\frac{1}{R_3} = 1 - \frac{3}{2R_1} = \frac{2R_1 - 3}{2R_1}$ મળે.
તેથી,$R_3 = \frac{2R_1}{2R_1 - 3}$.
$R_3$ ધન પૂર્ણાંક હોવા માટે,$2R_1 - 3$ એ $2R_1$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. કારણ કે $2R_1 = (2R_1 - 3) + 3$,તેથી $(2R_1 - 3)$ એ $3$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$3$ ના શક્ય ભાજકો $1$ અને $3$ છે.
કિસ્સો $1$: $2R_1 - 3 = 1 \Rightarrow 2R_1 = 4 \Rightarrow R_1 = 2 \ \Omega$. તો $R_2 = 2R_1 = 4 \ \Omega$ અને $R_3 = \frac{4}{1} = 4 \ \Omega$. (અસમાન અવરોધો નથી).
કિસ્સો $2$: $2R_1 - 3 = 3 \Rightarrow 2R_1 = 6 \Rightarrow R_1 = 3 \ \Omega$. તો $R_2 = 2R_1 = 6 \ \Omega$ અને $R_3 = \frac{6}{3} = 2 \ \Omega$.
અવરોધો $3 \ \Omega, 6 \ \Omega$ અને $2 \ \Omega$ છે. સૌથી મોટો અવરોધ $6 \ \Omega$ છે.

(C) ધારો કે કેન્દ્રિય નોડ $O$ છે. સર્કિટમાં $x$ અને $O$ ની વચ્ચે અને $y$ અને $O$ ની વચ્ચે અવરોધો જોડાયેલા છે.
$x$ અને $O$ ની વચ્ચે $8\, \Omega$ અને $2\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = (8 \times 2) / (8 + 2) = 16 / 10 = 1.6\, \Omega$ થાય.
$y$ અને $O$ ની વચ્ચે $4\, \Omega$ અને $6\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = (4 \times 6) / (4 + 6) = 24 / 10 = 2.4\, \Omega$ થાય.
હવે,$x$ અને $O$ વચ્ચેનો અને $O$ અને $y$ વચ્ચેનો ભાગ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{xOy} = R_1 + R_2 = 1.6 + 2.4 = 4\, \Omega$.
આ $R_{xOy}$ એ ઉપરના અને નીચેના $4\, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_{xy} = (4 || 4) || 4 = 2 || 4 = (2 \times 4) / (2 + 4) = 8 / 6 = 4/3\, \Omega$.

(D) અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે.
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$
$R_{eq} = 4\, R + 16\, R + 64\, R + \dots$
આ એક અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 4\, R$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 4$ છે.
કારણ કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 4$ એ $1$ કરતા મોટો છે,તેથી આ અનંત શ્રેણીનો સરવાળો અનંત (infinity) તરફ જાય છે.
તેથી,$R_{eq} = \infty$.

(B) ધારો કે ડાબી બાજુના બે અવરોધો વચ્ચેનું બિંદુ $X$ છે. સર્કિટમાં પાંચ અવરોધો છે,દરેક $2 \, \Omega$ ના.
સર્કિટને ફરીથી દોરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $X$ બિંદુ સાથે જોડાયેલા ત્રણ અવરોધો $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$1$. જમણી બાજુના બે અવરોધો સમાંતરમાં છે: $R_p = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \, \Omega$.
$2$. આ સર્કિટના જોડાણને સમજતા,$A$ અને $B$ ની વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $2 \, \Omega$ છે.
$3$. તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{2}{3} \, \Omega$ થાય. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પ્રશ્નમાં કિંમતોમાં ભૂલ હોઈ શકે છે. જો આપણે આ બ્રિજ સર્કિટને પ્રમાણિત રીતે ઉકેલીએ,તો જવાબ $2 \, \Omega$ મળે છે.

(C) ધારો કે પરિપથમાં વપરાતા કુલ અવરોધોની સંખ્યા $n$ છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 5 \, \Omega$ અને કુલ પ્રવાહ $I_{total} = 4 \, \text{A}$ છે.
દરેક અવરોધ માટે $R = 10 \, \Omega$ અને $I_{max} = 1 \, \text{A}$ છે.
પરિપથ દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર $P_{eq} = I_{total}^2 \times R_{eq} = (4)^2 \times 5 = 16 \times 5 = 80 \, \text{W}$ થાય.
દરેક અવરોધની પાવર ક્ષમતા $P_{res} = I_{max}^2 \times R = (1)^2 \times 10 = 10 \, \text{W}$ છે.
કુલ પાવર $n$ અવરોધો દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો હોવાથી,$P_{eq} = n \times P_{res}$ થાય.
$80 = n \times 10$.
તેથી,$n = 8$.

(B) પરિપથ આકૃતિ પરથી,જમણી બાજુના બે $3 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$ થાય છે.
આ $R_1 = 6 \ \Omega$ અવરોધ ત્રીજા $3 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
તેથી,$R_{eq} = 2 \ \Omega$.
પરિપથમાં કુલ વિદ્યુત પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \ V}{2 \ \Omega} = 1.5 \ A$.

(A) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે.
$1$. બિંદુ $P$ અને $R$ વચ્ચે: $PR$ શાખામાં એક જ અવરોધ $R$ છે. તેથી,$R_{PR} = R$.
$2$. બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચે: $PQ$ શાખામાં બે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,$R_{PQ} = \frac{R}{2} = 0.5R$.
$3$. બિંદુ $R$ અને $Q$ વચ્ચે: $RQ$ શાખામાં ત્રણ અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,$R_{RQ} = \frac{R}{3} \approx 0.33R$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $R > 0.5R > 0.33R$.
આમ,$P$ અને $R$ બિંદુઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ મહત્તમ છે.

(A) શ્રેણી જોડાણ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{eq}$ એ પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
સપ્લાય વોલ્ટેજ $V$ અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{R_{eq}}$ થાય.
જ્યારે શ્રેણી જોડાણમાંથી એક બલ્બ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ ઘટે છે.
$P$ એ $R_{eq}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,અવરોધ ઘટવાથી બાકીના બલ્બ દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર વધે છે.
તેથી,રૂમમાં પ્રકાશ વધશે.

(C) પરિપથમાં દરેક $1\,\Omega$ ના $7$ અવરોધો છે. પરિપથની સંમિતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
સંમિત રેખા રીત મુજબ,પરિપથને સમાંતર જોડાણમાં ફેરવતા,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = 8/7\,\Omega$ મળે છે.

(A) વાયરનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = d \times \pi r^2 L$ અચળ હોવાથી,$L \propto \frac{1}{r^2}$ થાય.
$L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R \propto \frac{1}{r^2 \cdot r^2} = \frac{1}{r^4}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
આનો અર્થ એ છે કે $R_B = 16 R_A$.
જ્યારે $A$ અને $B$ ને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{eq} = \frac{R_A R_B}{R_A + R_B} = \frac{R_A (16 R_A)}{R_A + 16 R_A} = \frac{16}{17} R_A$.
જો $R_A = 4.25 \, \Omega$ હોય,તો $R_{eq} = \frac{16}{17} \times 4.25 = 4 \, \Omega$ થાય.

(A) પ્રારંભિક ગોઠવણી: પાંચ ઘાટી રેખાઓ $1\, \Omega$ ના પાંચ અવરોધોને શ્રેણીમાં દર્શાવે છે. તેથી,પ્રારંભિક સમતુલ્ય અવરોધ $R_i = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5\, \Omega$ છે.
અંતિમ ગોઠવણી: જ્યારે બે તૂટક રેખાવાળા અવરોધો ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ એક બ્રિજ જેવી રચના બનાવે છે. અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે સમતુલ્ય અવરોધ $R_f = 3\, \Omega$ થાય છે.
અવરોધમાં થતો ફેરફાર $\Delta R = |R_i - R_f| = |5 - 3| = 2\, \Omega$ છે.

(B) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધો માટે,પરિણામી અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{4R} + \frac{1}{8R} + ..... \infty$
$\frac{1}{R}$ ને સામાન્ય લેતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} [1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ..... \infty]$
કૌંસમાં રહેલું પદ એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/2$ છે. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} \times 2 = \frac{2}{R}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{2}$.

(C) કોઈપણ ઉપકરણનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
હીટર માટે,અવરોધ $R_h = \frac{(220)^2}{500} = \frac{48400}{500} = 96.8\,\Omega$ થાય.
બલ્બ માટે,અવરોધ $R_b = \frac{(220)^2}{100} = \frac{48400}{100} = 484\,\Omega$ થાય.
જ્યારે બંનેને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_h + R_b = 96.8 + 484 = 580.8\,\Omega$ થાય.
શ્રેણી પરિપથમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{220}{580.8} \approx 0.3787\,A$ થાય,જે આશરે $0.38\,A$ છે.

(D) વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2 \, m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1 \, m$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = \pi d = 2\pi \, m$ છે.
તારને બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,જેની લંબાઈ $L_{arc} = \pi r = \pi \times 1 = \pi \, m$ છે.
દરેક અર્ધવર્તુળાકાર ચાપનો અવરોધ $R_1 = R_3 = \rho_L \times L_{arc} = 10^{-6} \times \pi = \pi \times 10^{-6} \, \Omega$ છે.
વ્યાસ પર જોડાયેલ તારની લંબાઈ $L_{diameter} = d = 2 \, m$ છે.
આ તારનો અવરોધ $R_2 = \rho_L \times L_{diameter} = 10^{-6} \times 2 = 2 \times 10^{-6} \, \Omega$ છે.
આ ત્રણેય અવરોધો $(R_1, R_2, R_3)$ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{\pi \times 10^{-6}} + \frac{1}{2 \times 10^{-6}} + \frac{1}{\pi \times 10^{-6}}$
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{2}{\pi \times 10^{-6}} + \frac{1}{2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-6}} \left( \frac{2}{\pi} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{10^{-6}} \left( \frac{4 + \pi}{2\pi} \right)$
$R_{AB} = 10^{-6} \times \frac{2\pi}{4 + \pi} \approx 10^{-6} \times \frac{6.28}{7.14} \approx 0.88 \times 10^{-6} \, \Omega$.

(D) ધારો કે $r$ એ વાયરનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ છે.
ધારો કે $R_1 = r l_1$ અને $R_2 = r l_2$ એ $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચેના બે ચાપના અવરોધ છે.
રીંગનો કુલ અવરોધ $R_0 = R_1 + R_2 = 12\,\Omega$ છે.
ચાપ સમાંતર હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{8}{3}\,\Omega$.
$R_1 + R_2 = 12$ મુકતા,આપણને મળે:
$\frac{R_1 R_2}{12} = \frac{8}{3} \Rightarrow R_1 R_2 = 32$.
આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$1$) $R_1 + R_2 = 12$
$2$) $R_1 R_2 = 32$
બીજા સમીકરણમાં $R_2 = 12 - R_1$ મુકતા:
$R_1(12 - R_1) = 32 \Rightarrow 12R_1 - R_1^2 = 32 \Rightarrow R_1^2 - 12R_1 + 32 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(R_1 - 8)(R_1 - 4) = 0$.
તેથી,$R_1 = 8\,\Omega$ અને $R_2 = 4\,\Omega$ (અથવા તેનાથી ઉલટું).
અવરોધ એ લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(R \propto l)$,લંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{8}{4} = 2$ અથવા $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $S = R_1 + R_2$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_1 R_2}{S}$ છે.
આપેલ છે કે $S = nP$,તેથી $P$ ની કિંમત મૂકતા: $S = n \left( \frac{R_1 R_2}{S} \right) \Rightarrow n = \frac{S^2}{R_1 R_2} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$n = \frac{R_1^2 + R_2^2 + 2R_1 R_2}{R_1 R_2} = \frac{R_1}{R_2} + \frac{R_2}{R_1} + 2$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા ($AM$ $\ge$ $GM$) નો ઉપયોગ કરતા,કોઈપણ ધન સંખ્યા $x$ માટે,$x + \frac{1}{x} \ge 2$ થાય.
અહીં,ધારો કે $x = \frac{R_1}{R_2}$. તો $n = x + \frac{1}{x} + 2$.
$x + \frac{1}{x}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે (જ્યારે $x = 1$,એટલે કે $R_1 = R_2$).
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2 + 2 = 4$ થાય.

(B) આ પરીપથ $A$ અને $H$ માંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને સંમિત છે.
ધારો કે દરેક ભાગનો અવરોધ $r$ છે.
સંમિતિને કારણે,બિંદુ $C$ અને $D$ પરનું સ્થિતિમાન સમાન છે,તેથી $CD$ ભાગમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,$AC$ અને $AD$ માર્ગ બાકીના નેટવર્ક સાથે શ્રેણીમાં છે.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોનો ઉપયોગ કરીને સંમિત શાખાઓનું સાદુંરૂપ આપતા,$A$ અને $H$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 0.973\ r$ મળે છે.

(A) મૂળ વાયરનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r_1^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_1 = 9 \ mm$.
આપેલ છે કે $R = 5 \ \Omega$,તેથી $5 = \rho \frac{l}{\pi (9 \times 10^{-3})^2} \quad \dots (i)$
જ્યારે તેને $r_2 = 3 \ mm$ ત્રિજ્યાવાળા $6$ વાયરોથી બદલવામાં આવે છે જે સમાંતર જોડાણમાં છે,ત્યારે દરેક નવા વાયરનો અવરોધ $R' = \rho \frac{l}{\pi r_2^2} = \rho \frac{l}{\pi (3 \times 10^{-3})^2}$ થાય.
$6$ વાયરો સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6}{R'}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$R_{eq} = \frac{R'}{6} = \frac{1}{6} \left( \rho \frac{l}{\pi (3 \times 10^{-3})^2} \right) \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{R}{R_{eq}} = \frac{\rho l / (\pi \times 81 \times 10^{-6})}{\rho l / (6 \times \pi \times 9 \times 10^{-6})} = \frac{6 \times 9}{81} = \frac{54}{81} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{3}{2} R = \frac{3}{2} \times 5 = 7.5 \ \Omega$.

(D) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને જમણી બાજુથી સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. છેલ્લા વિભાગમાં $4\,\Omega$ નો અવરોધ સમાંતરમાં છે,જે આડા અવરોધોના શ્રેણી જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે.
$2$. જમણી બાજુથી સરળ બનાવતા:
- સૌથી જમણી લૂપમાં $4\,\Omega$ નો અવરોધ $(1+1+1+1)\,\Omega = 4\,\Omega$ સાથે સમાંતરમાં છે.
- સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = (4\,\Omega \parallel 4\,\Omega) = 2\,\Omega$.
$3$. હવે,આ $2\,\Omega$ એ ઉપરના $(1+1)\,\Omega$ અને નીચેના $(1+1)\,\Omega$ અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી કુલ અવરોધ $R_{next} = 2 + 2 + 2 = 6\,\Omega$ થાય.
$4$. આ $6\,\Omega$ એ $8\,\Omega$ ના ઊભા અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_2 = (6\,\Omega \parallel 8\,\Omega) = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}\,\Omega$.
$5$. બાકીના આડા અવરોધો $(1+1)\,\Omega$ અને $(1+1)\,\Omega$ ઉમેરતા: $R_{total} = \frac{24}{7} + 4 = \frac{52}{7}\,\Omega$.
$6$. અંતે,આ પ્રથમ $8\,\Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{CD} = (\frac{52}{7} \parallel 8) = \frac{416}{108} \approx 3.85\,\Omega$.
$7$. શરૂઆતના $2\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં ઉમેરતા: $R_{AB} = 2 + 3.85 + 2 = 7.85\,\Omega \approx 8\,\Omega$.

(A) વાયરનો કુલ અવરોધ $R$ છે. રીંગનો પરિઘ $2\pi r$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = \frac{R}{2\pi r}$ છે.
ચાપ $XWY$ ની લંબાઈ $l_1 = r\alpha$ છે.
તેથી,ચાપ $XWY$ નો અવરોધ $R_{XWY} = \lambda l_1 = \frac{R}{2\pi r} \times r\alpha = \frac{R\alpha}{2\pi}$ છે.
ચાપ $XZY$ ની લંબાઈ $l_2 = r(2\pi - \alpha)$ છે.
તેથી,ચાપ $XZY$ નો અવરોધ $R_{XZY} = \lambda l_2 = \frac{R}{2\pi r} \times r(2\pi - \alpha) = \frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha)$ છે.
બંને ચાપ બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{eq} = \frac{R_{XWY} \times R_{XZY}}{R_{XWY} + R_{XZY}}$
$R_{eq} = \frac{(\frac{R\alpha}{2\pi}) \times (\frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha))}{\frac{R\alpha}{2\pi} + \frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha)}$
$R_{eq} = \frac{\frac{R^2\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)}{\frac{R}{2\pi}(\alpha + 2\pi - \alpha)}$
$R_{eq} = \frac{\frac{R^2\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)}{\frac{R}{2\pi}(2\pi)}$
$R_{eq} = \frac{R^2\alpha(2\pi - \alpha)}{4\pi^2} \times \frac{1}{R} = \frac{R\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)$.