यदि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a} .$ इस परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।

(N/A) दिया है,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$
$\Rightarrow \vec{b}=-\vec{c}-\vec{a}$
अब,$\vec{a} \times \vec{b}=\vec{a} \times(-\vec{c}-\vec{a})$
$=(\vec{a} \times(-\vec{c}))+(\vec{a} \times(-\vec{a}))$
$=-( \vec{a} \times \vec{c} ) - 0 = \vec{c} \times \vec{a} \ldots (i)$
इसी प्रकार,$\vec{b} \times \vec{c}=(-\vec{c}-\vec{a}) \times \vec{c}$
$=(-\vec{c} \times \vec{c})+(-\vec{a} \times \vec{c})$
$=0 - (\vec{a} \times \vec{c}) = \vec{c} \times \vec{a} \ldots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}$.
ज्यामितीय व्याख्या:
यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक त्रिभुज $ABC$ की क्रम में ली गई भुजाएँ हैं,तो $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ होता है। दो सदिशों का सदिश गुणनफल (cross product) उन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दर्शाता है। चूँकि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ है,इसलिए इन सदिशों में से किन्हीं दो को आसन्न भुजाओं के रूप में लेकर बनने वाले समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल समान हैं। यह इस तथ्य के अनुरूप है कि ये सदिश एक त्रिभुज बनाते हैं,और सदिश गुणनफल सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना मान दर्शाते हैं।