सदिशों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि एक ही आधार पर और दो समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल समान होता है।

(N/A) मान लीजिए $ABCD$ और $ABFE$ एक ही आधार $AB$ पर और दो समांतर रेखाओं $AB$ और $DF$ के बीच स्थित दो समांतर चतुर्भुज हैं।
मान लीजिए $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ और $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है:
$\text{Area}(ABCD) = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
अब,समांतर चतुर्भुज $ABFE$ के लिए,आसन्न भुजाएँ $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AE}$ हैं।
चूंकि $D, E, C, F$ एक ही रेखा पर स्थित हैं जो $AB$ के समांतर है,हम लिख सकते हैं $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$।
चूंकि $\overrightarrow{DE}$ रेखा $\overrightarrow{AB}$ के समांतर है,इसलिए $\overrightarrow{DE} = k\vec{a}$ जहाँ $k$ एक अदिश है।
अतः,$\overrightarrow{AE} = \vec{b} + k\vec{a}$।
समांतर चतुर्भुज $ABFE$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area}(ABFE) = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE}|$
$= |\vec{a} \times (\vec{b} + k\vec{a})|$
$= |(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times k\vec{a})|$
$= |(\vec{a} \times \vec{b}) + k(\vec{a} \times \vec{a})|$.
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ सदिश गुणनफल शून्य होता है $(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0})$:
$\text{Area}(ABFE) = |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{0}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
इसलिए,$\text{Area}(ABFE) = \text{Area}(ABCD)$।
अतः,यह सिद्ध होता है कि एक ही आधार पर और दो समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल समान होता है।