यदि $\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है,तो सदिशों $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि सदिश $\overline{PQ}, \overline{QR}, \overline{RS}, \overline{ST}, \overline{TU}$ और $\overline{UP}$ एक नियमित षट्कोण की भुजाओं को दर्शाते हैं।
$\text{कथन}-1$: $\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) \neq \overrightarrow{0}$.
$\text{कथन}-2$: $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$ और $\overline{PQ} \times \overline{ST} \neq \overrightarrow{0}$.

मान लीजिए $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$ है। यदि $\overline{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,$|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$ और $(\overline{a} \times \overline{b})$ तथा $\overline{c}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,तो $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है कि $|\vec{a}|=\sqrt{3}$,$|\vec{b}|=5$,$\vec{b} \cdot \vec{c}=10$ और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\vec{a}$,$\vec{b} \times \vec{c}$ के लंबवत है,तो $|\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})|$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $\overrightarrow{c}$ एक सदिश है जो सदिशों $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ के लंबवत है। यदि $\overrightarrow{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8$ है,तो $\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ का मान ...... के बराबर है।

मान लीजिए $\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$,और $\vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}$,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं और $\alpha \beta=-6$ है। मान लीजिए कि क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ के वे मान जिनके लिए विकर्णों $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{b}+\vec{c}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{21}}{2}$ है,$(\alpha_1, \beta_1)$ और $(\alpha_2, \beta_2)$ हैं। तो $\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।