Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(C) સદિશ બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ છે.
અહીં $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ અને $\vec{b} = -5\hat{i} + 7\hat{j}$ આપેલ છે.
તેમનો સદિશ ગુણાકાર (cross product):
$\vec{a} \times \vec{b} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \times (-5\hat{i} + 7\hat{j})$
$= 3 \times 7 (\hat{i} \times \hat{j}) + 4 \times (-5) (\hat{j} \times \hat{i})$
$= 21(\hat{k}) - 20(-\hat{k}) = 21\hat{k} + 20\hat{k} = 41\hat{k}$.
તેનું માન $|41\hat{k}| = 41$ થાય.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 41 = \frac{41}{2}$ મળે.

(B) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ છે.
અહીં $\vec{d_1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 + 2) + \hat{k}(2 - 3)$
$= -4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d_1} = 2\vec{a} - \vec{b}$ અને $\vec{d_2} = 4\vec{a} - 5\vec{b}$ છે.
વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (2\vec{a} - \vec{b}) \times (4\vec{a} - 5\vec{b}).$
$= 2\vec{a} \times 4\vec{a} - 2\vec{a} \times 5\vec{b} - \vec{b} \times 4\vec{a} + \vec{b} \times 5\vec{b}.$
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0,$ તેથી:
$= -10(\vec{a} \times \vec{b}) - 4(\vec{b} \times \vec{a}) = -10(\vec{a} \times \vec{b}) + 4(\vec{a} \times \vec{b}) = -6(\vec{a} \times \vec{b}).$
આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે $(|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1)$ અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin(45^{\circ}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
આમ,$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = |-6(\vec{a} \times \vec{b})| = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.$
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ થાય.

(C) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશ $\vec{a} = i - 2j + 3k$ અને $\vec{b} = 2i + j - 4k$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે: $\text{Area} = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -4 \end{vmatrix}$
$= i((-2)(-4) - (3)(1)) - j((1)(-4) - (3)(2)) + k((1)(1) - (-2)(2))$
$= i(8 - 3) - j(-4 - 6) + k(1 + 4)$
$= 5i + 10j + 5k$.
હવે,મળેલા સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + 5^2}$
$= \sqrt{25 + 100 + 25}$
$= \sqrt{150}$
$= \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $5\sqrt{6}$ ચોરસ એકમ છે.

(D) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ છે.
અહીં $\vec{d_1} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = \hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધીએ:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-4 - (-6)) - \hat{j}(-12 - (-2)) + \hat{k}(9 - 1)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(-10) + \hat{k}(8) = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 8\hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધીએ:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 100 + 64} = \sqrt{168}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{168} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 42} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{42} = \sqrt{42}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $\vec{a} = i + 2j + 3k$ અને $\vec{b} = -3i - 2j + k$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= i(2(1) - 3(-2)) - j(1(1) - 3(-3)) + k(1(-2) - 2(-3))$
$= i(2 + 6) - j(1 + 9) + k(-2 + 6)$
$= 8i - 10j + 4k$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(8)^2 + (-10)^2 + (4)^2}$
$= \sqrt{64 + 100 + 16}$
$= \sqrt{180}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1} = a + b$ અને $\overrightarrow{d_2} = b + c$ છે.
વિકર્ણોની ગણતરી:
$\overrightarrow{d_1} = (i + j + k) + (i + 3j + 5k) = 2i + 4j + 6k$
$\overrightarrow{d_2} = (i + 3j + 5k) + (7i + 9j + 11k) = 8i + 12j + 16k$
વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1}$ અને $\overrightarrow{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}$ ની ગણતરી:
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 12 & 16 \end{vmatrix}$
$= i(4 \times 16 - 6 \times 12) - j(2 \times 16 - 6 \times 8) + k(2 \times 12 - 4 \times 8)$
$= i(64 - 72) - j(32 - 48) + k(24 - 32)$
$= -8i + 16j - 8k$
હવે,તેનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 256 + 64} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8\sqrt{6}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 8\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$ થાય.

(A) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{d_1} = \frac{3}{2}i + \frac{1}{2}j - k$ અને $\vec{d_2} = 2i - 6j + 8k$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -1 \\ 2 & -6 & 8 \end{vmatrix}$
$= i(4 - 6) - j(12 + 2) + k(-9 - 1) = -2i - 14j - 10k$.
હવે,તેનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 196 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ થાય.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A = (1, -2, 3)$,$B = (-2, 3, -1)$,અને $C = (4, -7, 7)$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = (-2 - 1)i + (3 - (-2))j + (-1 - 3)k = -3i + 5j - 4k$
$\overrightarrow{AC} = (4 - 1)i + (-7 - (-2))j + (7 - 3)k = 3i - 5j + 4k$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3 & 5 & -4 \\ 3 & -5 & 4 \end{vmatrix}$
$= i(5 \times 4 - (-4) \times (-5)) - j((-3) \times 4 - (-4) \times 3) + k((-3) \times (-5) - 5 \times 3)$
$= i(20 - 20) - j(-12 + 12) + k(15 - 15) = 0i + 0j + 0k = \vec{0}$.
કારણ કે સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ છે,તેથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{0}| = 0$ થાય.
આ દર્શાવે છે કે બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ સમરેખ છે.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(3 - 0) + \hat{k}(2 - 0)$
$= 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$
તેથી,માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.

(D) બળ $\overrightarrow{F}$ ની કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે મોમેન્ટ $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} = 2i - j + k$ અને $\overrightarrow{F} = i + 2j + 3k$.
$\overrightarrow{M} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= i((-1)(3) - (1)(2)) - j((2)(3) - (1)(1)) + k((2)(2) - (-1)(1))$
$= i(-3 - 2) - j(6 - 1) + k(4 + 1)$
$= -5i - 5j + 5k$.

(C) બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = 2i - j + 0k$ છે.
બળ સદિશ $\overrightarrow{F} = 2i + j - k$ છે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે બળની મોમેન્ટ $\overrightarrow{M}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{M} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
$= i((-1)(-1) - (0)(1)) - j((2)(-1) - (0)(2)) + k((2)(1) - (-1)(2))$
$= i(1 - 0) - j(-2 - 0) + k(2 + 2)$
$= i + 2j + 4k$.

(C) આપેલ છે કે $n$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે,તેથી તે $a \times b$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટને સમાંતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$a \times b$ ની ગણતરી કરો:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i(0) - j(0) + k(1 - (-1)) = 2k$.
કારણ કે $n$ એ એકમ સદિશ છે,તેથી $n = \pm \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{2k}{2} = \pm k$.
હવે,$|c \cdot n|$ ની ગણતરી કરો:
$|c \cdot n| = |(i + 3j + 5k) \cdot (\pm k)| = |\pm 5| = 5$.

(D) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(1 - 1)$
$= -2\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k} = -2\hat{i} - 2\hat{j}$.
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ શોધો.
તેથી એકમ સદિશ $\pm \frac{-2\hat{i} - 2\hat{j}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{-(\hat{i} + \hat{j})}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ થશે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) અને $b$ બંનેને લંબ સદિશ શોધવા માટે,આપણે સદિશ ગુણાકાર $n = a \times b$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = i(-4 - 3) - j(2 - 9) + k(1 + 6) = -7i + 7j + 7k$.
$n$ નું માન $|n| = \sqrt{(-7)^2 + 7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49 + 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3}$ છે.
$a$ અને $b$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{n}{|n|} = \pm \frac{-7i + 7j + 7k}{7\sqrt{3}} = \pm \frac{-i + j + k}{\sqrt{3}}$ છે.
આમ,એકમ સદિશ $\frac{-i + j + k}{\sqrt{3}}$ અથવા $\frac{i - j - k}{\sqrt{3}}$ છે. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{-i + j + k}{\sqrt{3}}$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) સદિશ $b \times c$ એ $b$ અને $c$ સદિશો ધરાવતા સમતલને લંબ છે.
$a \times (b \times c)$ એ સદિશ $a$ અને સદિશ $(b \times c)$ નો સદિશ ગુણાકાર હોવાથી,મળતું પરિણામી સદિશ $(b \times c)$ ને લંબ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $(b \times c)$ એ $b$ અને $c$ ના સમતલને લંબ છે,તેથી $(b \times c)$ ને લંબ કોઈપણ સદિશ $b$ અને $c$ ના સમતલમાં જ હોય.
તેથી,$a \times (b \times c)$ એ $b$ અને $c$ સાથે સમતલીય છે.

(A) આપેલ સદિશો $a = i + 2j - 2k$,$b = 2i - j + k$,અને $c = i + 3j - k$ છે.
સૌ પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(b \times c)$ ની ગણતરી કરો:
$b \times c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = i(1 - 3) - j(-2 - 1) + k(6 + 1) = -2i + 3j + 7k$.
હવે,$a \times (b \times c)$ ની ગણતરી કરો:
$a \times (b \times c) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & -2 \\ -2 & 3 & 7 \end{vmatrix} = i(14 - (-6)) - j(7 - 4) + k(3 - (-4)) = 20i - 3j + 7k$.

(B) સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ છે.
આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = 0,$
આનો અર્થ એ છે કે $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = 0.$
આ સમીકરણ ત્યારે સાચું પડે છે જ્યારે $b$ અને $c$ સમરેખ હોય,એટલે કે $b \parallel c,$ જે $b \times c = 0$ બનાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $a$ શૂન્ય સદિશ હોય,તો ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$b \parallel c$ એ શરત સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવા માટેનું પ્રમાણિત ભૌમિતિક અર્થઘટન છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ અને $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$.
$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ હોવાથી,$\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે.
$\vec{a} = \vec{b} \times \vec{c}$ હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે.
આમ,$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે.
હવે,બીજા સમીકરણમાં $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ મૂકતા:
$\vec{a} = \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z}) = (\vec{x} \cdot \vec{z})\vec{y} - (\vec{x} \cdot \vec{y})\vec{z}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} = (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b}$
$\vec{a} \perp \vec{b}$ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,તેથી:
$\vec{a} = b^2 \vec{a}$
$\vec{a} \neq \vec{0}$ હોવાથી,$b^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $b = 1$.
હવે,$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ નું માન લેતા:
$c = |\vec{a} \times \vec{b}| = ab \sin(90^\circ) = ab$.
$b = 1$ હોવાથી,આપણને $c = a$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર $j \times k = i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $i \times (j \times k) = i \times i$ મળે છે.
કોઈપણ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ હોવાથી,$i \times i = 0$ થાય છે.

(B) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધો:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-2)) - j(0 - (-2)) + k(2 - 1) = 2i - 2j + k$.
હવે,$a \times b$ નું માન શોધો:
$|a \times b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આપેલ છે કે $|c - a| = 2\sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|c - a|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
$|c|^2 - 2(a \cdot c) + |a|^2 = 8$.
કારણ કે $a \cdot c = |c|$ અને $|a|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9$:
$|c|^2 - 2|c| + 9 = 8 \Rightarrow |c|^2 - 2|c| + 1 = 0 \Rightarrow (|c| - 1)^2 = 0 \Rightarrow |c| = 1$.
અંતે,$|(a \times b) \times c|$ નું માન સૂત્ર $|u \times v| = |u||v|\sin\theta$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો:
$|(a \times b) \times c| = |a \times b| |c| \sin 30^\circ = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
$= i(2 - (-3)) - j(-1 - (-6)) + k(1 - (-4))$
$= i(5) - j(5) + k(5) = 5i - 5j + 5k$
હવે,$(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}$ શોધો:
$(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 5 & -5 & 5 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}$
$= i(10 - 15) - j(-10 - 5) + k(15 - (-5))$
$= i(-5) - j(-15) + k(20)$
$= -5i + 15j + 20k$
$= 5(-i + 3j + 4k)$.

(C) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $a \cdot b = 0$.
સદિશ ત્રિગુણન ગુણાકારના સૂત્ર $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ,$a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b = 0 - |a|^2 b = -|a|^2 b$ મેળવીએ.
ત્યારબાદ,$a \times \{ a \times (a \times b) \} = a \times (-|a|^2 b) = -|a|^2 (a \times b)$ મેળવીએ.
અંતે,$a \times \{ a \times \{ a \times (a \times b) \} \} = a \times (-|a|^2 (a \times b)) = -|a|^2 (a \times (a \times b))$ મેળવીએ.
પ્રથમ સ્ટેપનું પરિણામ મૂકતા: $-|a|^2 (-|a|^2 b) = |a|^4 b$.

(B) સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુથી $r = a + t\,b$ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|(c - a) \times b|}{|b|}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $P$ એ રેખા $r = a + t\,b$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. બિંદુ $A$ ($a$ સ્થાન સદિશ) થી બિંદુ $C$ ($c$ સ્થાન સદિશ) સુધીનો સદિશ $(c - a)$ છે.
લંબ અંતર $d$ એ સદિશ $(c - a)$ નો $b$ ને લંબ દિશામાંનો ઘટક છે.
આ કિંમત $\frac{|(c - a) \times b|}{|b|}$ દ્વારા મળે છે.

(D) માંગેલ રેખા બિંદુ $A = i + 3j + 2k$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા એ દિશા સદિશો $v_1 = 2i + j + k$ અને $v_2 = i + 2j + 3k$ ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $b$ એ $v_1 \times v_2$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$b = v_1 \times v_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = i(3 - 2) - j(6 - 1) + k(4 - 1) = i - 5j + 3k$.
બિંદુ $a$ માંથી પસાર થતી અને દિશા સદિશ $b$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $r = a + \lambda b$ છે.
તેથી,$r = (i + 3j + 2k) + \lambda (i - 5j + 3k)$.
અહીં નોંધો કે સદિશ $(i - 5j + 3k)$ એ $(-i + 5j - 3k)$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$r = (i + 3j + 2k) + \lambda (-i + 5j - 3k)$ એ પણ તે જ રેખાનું માન્ય સમીકરણ છે.

(B) $u$ અને $v$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{u \times v}{|u \times v|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $u \times v$ શોધો:
$u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$= i(4 - 3) - j(4 - (-6)) + k(-6 - 12)$
$= i(1) - j(10) + k(-18) = i - 10j - 18k$.
હવે,તેનું માન $|u \times v|$ શોધો:
$|u \times v| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + (-18)^2} = \sqrt{1 + 100 + 324} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17}$.
આમ,એકમ સદિશ $\pm \frac{i - 10j - 18k}{5\sqrt{17}}$ છે.
પદને સરળ બનાવતા: $\frac{1}{5\sqrt{17}}i - \frac{10}{5\sqrt{17}}j - \frac{18}{5\sqrt{17}}k = \frac{1}{\sqrt{17}} \left( \frac{1}{5}i - 2j - \frac{18}{5}k \right)$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(D) આપેલ છે કે $d \times b = c \times b$,જેનો અર્થ છે કે $(d - c) \times b = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(d - c)$ એ $b$ ને સમાંતર છે,તેથી $d - c = \lambda b$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
તેથી,$d = c + \lambda b = (4i - 3j + 7k) + \lambda(i + j + k) = (4 + \lambda)i + (-3 + \lambda)j + (7 + \lambda)k$.
આપણને આપેલ છે કે $d \cdot a = 0$,જ્યાં $a = 2i + k$.
$d$ અને $a$ ની કિંમત મૂકતા: $((4 + \lambda)i + (-3 + \lambda)j + (7 + \lambda)k) \cdot (2i + 0j + k) = 0$.
$2(4 + \lambda) + 0(-3 + \lambda) + 1(7 + \lambda) = 0$.
$8 + 2\lambda + 7 + \lambda = 0$.
$15 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = -5$.
$d$ ના સમીકરણમાં $\lambda = -5$ મૂકતા:
$d = (4 - 5)i + (-3 - 5)j + (7 - 5)k = -i - 8j + 2k$.

(A) સદિશો $a$ અને $b$ દ્વારા બનતા સમતલ $P_1$ ને લંબ સદિશ $n_1 = a \times b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશો $c$ અને $d$ દ્વારા બનતા સમતલ $P_2$ ને લંબ સદિશ $n_2 = c \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ સૂચવે છે કે સદિશ $n_1$ એ સદિશ $n_2$ ને સમાંતર છે (એટલે કે $n_1 \parallel n_2$).
જેহেতু સમતલોના લંબ સદિશો સમાંતર છે,તેથી સમતલો $P_1$ અને $P_2$ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,સમતલો $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^o$ છે.

(B) આપેલ છે કે $p, q, r$ સમાન માન ધરાવતા પરસ્પર લંબ સદિશો છે,ધારો કે $|p| = |q| = |r| = c$.
તેથી,$p \cdot q = q \cdot r = r \cdot p = 0$ અને $p \cdot p = q \cdot q = r \cdot r = c^2$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ નો ઉપયોગ કરીને,દરેક પદનું વિસ્તરણ કરીએ:
$p \times \{(x - q) \times p\} = (p \cdot p)(x - q) - (p \cdot (x - q))p = c^2(x - q) - (p \cdot x)p$.
તે જ રીતે,$q \times \{(x - r) \times q\} = c^2(x - r) - (q \cdot x)q$ અને $r \times \{(x - p) \times r\} = c^2(x - p) - (r \cdot x)r$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$c^2(x - q + x - r + x - p) - [(p \cdot x)p + (q \cdot x)q + (r \cdot x)r] = 0$.
$c^2(3x - (p + q + r)) - [(p \cdot x)p + (q \cdot x)q + (r \cdot x)r] = 0$.
જો આપણે $x = \frac{1}{2}(p + q + r)$ મૂકીએ,તો $p \cdot x = \frac{1}{2}c^2$,$q \cdot x = \frac{1}{2}c^2$,અને $r \cdot x = \frac{1}{2}c^2$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$c^2(3(\frac{1}{2}(p + q + r)) - (p + q + r)) - [\frac{1}{2}c^2 p + \frac{1}{2}c^2 q + \frac{1}{2}c^2 r] = 0$.
$c^2(\frac{3}{2}(p + q + r) - (p + q + r)) - \frac{1}{2}c^2(p + q + r) = 0$.
$c^2(\frac{1}{2}(p + q + r)) - \frac{1}{2}c^2(p + q + r) = 0$.
આ સાબિત કરે છે કે $x = \frac{1}{2}(p + q + r)$ એ ઉકેલ છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓના દિક સદિશો $\vec{v_1} = (l_1, m_1, n_1)$ અને $\vec{v_2} = (l_2, m_2, n_2)$ છે.
બંને રેખાઓને લંબ હોય તેવી રેખાનો દિક સદિશ એ બંને રેખાઓના દિક સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ (cross product) ને સમાંતર હશે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = \hat{i}(m_1n_2 - m_2n_1) - \hat{j}(l_1n_2 - l_2n_1) + \hat{k}(l_1m_2 - l_2m_1)$.
આનું સાદું રૂપ $\hat{i}(m_1n_2 - m_2n_1) + \hat{j}(n_1l_2 - n_2l_1) + \hat{k}(l_1m_2 - l_2m_1)$ થાય છે.
આમ,બંનેને લંબ રેખાના દિક ગુણોત્તર $(m_1n_2 - m_2n_1), (n_1l_2 - n_2l_1), (l_1m_2 - l_2m_1)$ છે.
જેમ કે મૂળ રેખાઓ લંબ છે અને તેમના દિક સદિશો એકમ સદિશો છે,તેથી ક્રોસ પ્રોડક્ટ એક એવો સદિશ આપે છે જેના ઘટકો સામાન્ય લંબ રેખાની દિકકોસાઇન દર્શાવે છે.

(A) સદિશો $a$,$b$ અને $a \times b$ એ $3D$ અવકાશ માટે આધાર (basis) બનાવે છે,તેથી આપણે $r = xa + yb + z(a \times b)$ લખી શકીએ,જ્યાં $x, y, z$ અદિશ છે.
આપેલ છે કે $r \times a = b$,તેથી $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$b = (xa + yb + z(a \times b)) \times a$
$b = x(a \times a) + y(b \times a) + z((a \times b) \times a)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \times a = 0$ અને $b \times a = -(a \times b)$:
$b = -y(a \times b) + z((a \cdot a)b - (a \cdot b)a)$
$a \perp b$ હોવાથી $a \cdot b = 0$,તેથી:
$b = -y(a \times b) + z(a \cdot a)b$
બંને બાજુ $b$ અને $(a \times b)$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-y = 0 \implies y = 0$
$z(a \cdot a) = 1 \implies z = \frac{1}{a \cdot a}$
આમ,$r = xa + \frac{1}{a \cdot a}(a \times b)$.

(A) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{v} = \lambda(\vec{a} \times \vec{b})$ સ્વરૂપમાં હશે.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(2 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ ગણો.
વળી,સદિશ $\vec{c} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{v} = \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 2 & 6 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-6)) - \hat{j}(-15 - 12) + \hat{k}(-5 - 4) = 0\hat{i} + 27\hat{j} - 9\hat{k} = 9(3\hat{j} - \hat{k})$.
એકમ સદિશ $\pm \frac{3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ મળે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})| = \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $V = |\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}|$.
નિત્યસમ $\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD} = 2 (\overline{AB} \times \overline{AC})$ નો ઉપયોગ કરતા,
આપણે સદિશોને બદલીએ છીએ: $\overline{AB} \times (\vec{d}-\vec{c}) + \overline{BC} \times (\vec{d}-\vec{a}) + \overline{CA} \times (\vec{d}-\vec{b})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\overline{AB} \times \vec{d} - \overline{AB} \times \vec{c} + \overline{BC} \times \vec{d} - \overline{BC} \times \vec{a} + \overline{CA} \times \vec{d} - \overline{CA} \times \vec{b}$ મળે છે.
કારણ કે $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = 0$,તેથી $\vec{d}$ વાળા પદોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
આમ,પદાવલિ $|-\overline{AB} \times \vec{c} - \overline{BC} \times \vec{a} - \overline{CA} \times \vec{b}|$ માં સરળ બને છે.
$\vec{c} = \vec{a} + \overline{AC}$ અને $\vec{b} = \vec{a} + \overline{AB}$ નો ઉપયોગ કરતા,આ $2 |\overline{AB} \times \overline{AC}|$ માં પરિણમે છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}|$ હોવાથી,આપણી પાસે $2 |\overline{AB} \times \overline{AC}| = 4 \times (\Delta ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ})$ છે.
તેથી,$\lambda = 4$.

(B) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધો:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)i + (0-(-1))j + (-1-2)k = i + j - 3k$
$\overrightarrow{AC} = (0-1)i + (2-(-1))j + (1-2)k = -i + 3j - k$
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= i(-1 - (-9)) - j(-1 - 3) + k(3 - (-1))$
$= i(8) - j(-4) + k(4) = 8i + 4j + 4k$
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$
અંતે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} (4\sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} + \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b})$
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$,$\vec{a} \times \vec{c} = -(\vec{c} \times \vec{a})$,અને $\vec{b} \times \vec{c} = -(\vec{c} \times \vec{b})$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{b} \times \vec{c})$
$= \vec{0}$

(A) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
આપણે એક એવો એકમ સદિશ $\vec{u}$ જોઈએ છે જે $\vec{a}$ ને લંબ હોય અને $\vec{b}$ તથા $\vec{c}$ સાથે સમતલીય હોય.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમતલીય સદિશ $\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$\vec{u}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{u}$ એ $\vec{a} \times \vec{v}$ ની દિશામાં હશે.
$\vec{a} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
આમ,માંગેલ એકમ સદિશ $\frac{5\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}}{\sqrt{50}}$ થશે.

(B) ધારો કે $c$ એ $u$ અને $v$ બંનેને લંબ સદિશ છે. તેથી $c = u \times v$.
$c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$c = i(4 - 3) - j(4 - (-6)) + k(-6 - 12)$
$c = i(1) - j(10) + k(-18) = i - 10j - 18k$.
હવે,$c$ નું માન $|c| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + (-18)^2} = \sqrt{1 + 100 + 324} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17}$ છે.
$u$ અને $v$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{c}{|c|}$ છે.
$\frac{c}{|c|} = \frac{i - 10j - 18k}{5\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} \left( \frac{1}{5}i - 2j - \frac{18}{5}k \right)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) સદિશ $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક $\vec{a}_1 = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ને લંબ ઘટક $\vec{a}_2 = \vec{a} - \vec{a}_1 = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ છે.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a}_1 \times \vec{a}_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a}_1 \times \vec{a}_2 = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \right) \times \left( \vec{a} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \right)$
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} (\vec{b} \times \vec{a}) - \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{|\vec{b}|^4} (\vec{b} \times \vec{b})$
કારણ કે $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$,તેથી બીજું પદ શૂન્ય થઈ જાય છે:
$= \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{b} \times \vec{a})}{|\vec{b}|^2}$.

(C) સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ એ નિશ્ચાયકની મદદથી ગણવામાં આવે છે:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$= i((2)(2) - (-1)(-3)) - j((2)(2) - (-1)(6)) + k((2)(-3) - (2)(6))$
$= i(4 - 3) - j(4 + 6) + k(-6 - 12)$
$= i(1) - j(10) + k(-18)$
$= i - 10j - 18k$

(C) બંધ ષષ્ટકોણ $PQRSTU$ માં,તેની બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$\overline{PQ} + \overline{QR} + \overline{RS} + \overline{ST} + \overline{TU} + \overline{UP} = \vec{0}$.
વિધાન-$2$ દાવો કરે છે કે $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \vec{0}$ અને $\overline{PQ} \times \overline{ST} = \vec{0}$. આનો અર્થ એ છે કે $\overline{PQ}$ એ $\overline{RS}$ ને સમાંતર છે અને $\overline{PQ}$ એ $\overline{ST}$ ને સમાંતર છે. જો $\overline{PQ} \parallel \overline{RS}$ અને $\overline{PQ} \parallel \overline{ST}$ હોય,તો $\overline{RS}$ અને $\overline{ST}$ એકબીજાને સમાંતર હોવા જોઈએ. કોઈપણ સામાન્ય ષષ્ટકોણ માટે આ હંમેશા સાચું નથી. તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે.
વિધાન-$1$ માટે,$\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) = \overline{PQ} \times \overline{RS} + \overline{PQ} \times \overline{ST}$. સામાન્ય ષષ્ટકોણની બાજુઓ જરૂરી નથી કે સમાંતર હોય,તેથી આ સદિશ ગુણાકાર સામાન્ય રીતે શૂન્યતર હોય છે. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.

(D) ધારો કે માંગેલ સદિશ $\vec{v} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{u}_1 = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{u}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(2-1) = -3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ મળે.
હવે,$\vec{v}$ એ $\vec{n}$ ને લંબ છે અને $\vec{w} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$\vec{v}$ એ $\vec{n} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(-3-1) + \hat{k}(-3-1) = 4\hat{j} - 4\hat{k}$ ની દિશામાં છે.
આ સદિશ $\hat{j} - \hat{k}$ ના પ્રમાણમાં છે. વિકલ્પ $D$ માં $-\hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે,જે સમાન દિશામાં છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{c}$ અને $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$.
બીજા સમીકરણમાં $\bar{c} = \bar{a} \times \bar{b}$ મુકતા: $\bar{b} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = \bar{a}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\bar{b} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{b} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{b} = |\bar{b}|^2 \bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{b}$.
તેથી,$|\bar{b}|^2 \bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{b} = \bar{a}$.
કારણ કે $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$,તેથી $\bar{b}$ એ $\bar{a}$ ને લંબ છે,એટલે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
આ કિંમત મુકતા,આપણને $(|\bar{b}|^2 - 1)\bar{a} = 0$ મળે છે. $\bar{a} \neq 0$ હોવાથી,$|\bar{b}|^2 = 1$,એટલે કે $|\bar{b}| = 1$.
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{c}$ પરથી,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{c}|$.
$\bar{a} \perp \bar{b}$ હોવાથી,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin(90^\circ) = |\bar{a}|(1)(1) = |\bar{a}|$.
તેથી,$|\bar{c}| = |\bar{a}|$. આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$,તેથી:
$\hat{j} - \hat{k} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3 - b_2)\hat{i} - (b_3 - b_1)\hat{j} + (b_2 - b_1)\hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$b_3 - b_2 = 0 \implies b_3 = b_2$
$b_1 - b_3 = 1 \implies b_1 = b_3 + 1 = b_2 + 1$
$b_2 - b_1 = -1$ (આ ઉપરના સમીકરણો સાથે સુસંગત છે).
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,તેથી:
$b_1 + b_2 + b_3 = 1$
$b_1 = b_2 + 1$ અને $b_3 = b_2$ મુકતા:
$(b_2 + 1) + b_2 + b_2 = 1$
$3b_2 + 1 = 1 \implies 3b_2 = 0 \implies b_2 = 0$.
આમ,$b_3 = 0$ અને $b_1 = 0 + 1 = 1$.
તેથી,$\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$ અને $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$.
સદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{u} \times \vec{v} = (\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b})$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,તથા $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,તેથી $\vec{u} \times \vec{v} = 0 + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} - 0 = 2(\vec{a} \times \vec{b})$.
માન મેળવતા: $|\vec{u} \times \vec{v}| = 2|\vec{a} \times \vec{b}|$.
નિત્યસમ $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $|\vec{a}| = 2$ અને $|\vec{b}| = 2$ હોવાથી,$|\vec{a}|^2 = 4$ અને $|\vec{b}|^2 = 4$ થાય.
તેથી,$|\vec{u} \times \vec{v}| = 2 \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = 2 \sqrt{4 \times 4 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = 2 \sqrt{16 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$.

(C) ધારો કે $\vec{u} = (\vec{a} \times \vec{b})$ અને $\vec{v} = (\vec{a} \times 2\vec{b})$ છે.
અહીં નોંધો કે $\vec{v} = 2(\vec{a} \times \vec{b}) = 2\vec{u}$ થાય છે.
જેহেতু $\vec{v}$ એ $\vec{u}$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ સમરેખ (સમાંતર) છે.
કોઈપણ બે સમરેખ સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ થાય છે,એટલે કે $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$.
તેથી,$[(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times 2\vec{b})] = \vec{0}$ મળે.
અંતે,$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{0} = 0$ થાય.

(A) ધારો કે $\vec{n}_1$ અને $\vec{n}_2$ એ અનુક્રમે $(\hat{i}, \hat{i} + \hat{j})$ અને $(\hat{i} - \hat{j}, \hat{i} + \hat{k})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમતલના અભિલંબ સદિશો છે.
$\vec{n}_1 = \hat{i} \times (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{k}$.
$\vec{n}_2 = (\hat{i} - \hat{j}) \times (\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} \times \hat{k} - \hat{j} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{k} = -\hat{j} + \hat{k} - \hat{i} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ $\vec{a}$ એ છેદરેખાને સમાંતર હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ ને સમાંતર છે.
$\vec{a} = \lambda (\vec{n}_1 \times \vec{n}_2) = \lambda \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \lambda (\hat{i} - \hat{j})$.
ધારો કે $\vec{a} = \lambda(\hat{i} - \hat{j})$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|\lambda(1 + 2)|}{\sqrt{\lambda^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{3|\lambda|}{\sqrt{2}|\lambda| \sqrt{9}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે માગેલો સદિશ $\vec{v} = ai + bj + ck$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{u_1} = i + 2j + k$ અને $\vec{u_2} = i + j + 2k$ સાથે સમતલીય હોવાથી,$\vec{v} = p(i + 2j + k) + r(i + j + 2k)$ લખી શકાય.
આથી $a = p + r$,$b = 2p + r$,અને $c = p + 2r$ મળે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{w} = i + j + k$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $a + b + c = 0$.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા: $(p + r) + (2p + r) + (p + 2r) = 0 \implies 4p + 4r = 0 \implies p = -r$.
$p = -r$ ને $a, b, c$ માં મૂકતા: $a = -r + r = 0$,$b = -2r + r = -r$,$c = -r + 2r = r$.
આમ,$\vec{v} = r(-j + k) = -r(j - k)$.
$\vec{v}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\vec{v}| = 1 \implies \sqrt{0^2 + (-r)^2 + r^2} = 1 \implies \sqrt{2r^2} = 1 \implies r^2 = 1/2 \implies r = \pm 1/\sqrt{2}$.
તેથી,માગેલો એકમ સદિશ $\pm \frac{j - k}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(a \times b) \times (c \times d) = 0$.
ધારો કે $u = (a \times b)$ અને $v = (c \times d)$. શરત $u \times v = 0$ સૂચવે છે કે સદિશો $u$ અને $v$ સમાંતર છે.
સદિશ $u = (a \times b)$ એ $a$ અને $b$ ને સમાવતા સમતલ $P_1$ નો અભિલંબ સદિશ છે.
સદિશ $v = (c \times d)$ એ $c$ અને $d$ ને સમાવતા સમતલ $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ છે.
જેহেতু $u$ અને $v$ સમાંતર છે,તેથી સમતલ $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબ સદિશો પણ સમાંતર છે.
જો બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો સમાંતર હોય,તો તે સમતલો એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
તેથી,સમતલ $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 4$,$|\vec{b}| = 2$,અને $\theta = \frac{\pi}{6}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 4 \times 2 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (4)^2 = 16$.

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{a} \times \vec{b}| = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$1 = (3) \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right) \sin \theta$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$1 = \sqrt{2} \sin \theta$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ મળે.