यदि $|a| = 3, |b| = 1, |c| = 4$ और $a + b + c = 0$ है,तो $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = $

सदिश $\vec{a} = (\alpha, 2, \beta)$,सदिशों $\vec{b} = (1, 1, 0)$ और $\vec{c} = (0, 1, 1)$ के समतल में स्थित है और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $\alpha$ और $\beta$ के संभावित मान देता है?

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ तीन सदिश हैं। $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में एक सदिश $\vec{V}$,जिसका $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,वह है:

यदि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं और $\theta$ उनके बीच का कोण है,तो $\tan(\theta/2) =$

यदि $|\vec{a}|=5, |\vec{b}|=13$ और $|\vec{a} \times \vec{b}|=25$ है। यदि $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ है जहाँ $\theta$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{u}$ एक सदिश है जो सदिशों $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय है। यदि $\vec{u}$,$\vec{a}$ के लंबवत है और $\vec{u} \cdot \vec{b} = 24$ है,तो $|\vec{u}|^2 = \dots$