Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
चूंकि $a - \sqrt{2}b$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ है,इसलिए $|a - \sqrt{2}b| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a - \sqrt{2}b|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v)$ का उपयोग करते हुए:
$|a|^2 + |\sqrt{2}b|^2 - 2(a \cdot \sqrt{2}b) = 1$ है।
$|a| = 1$ और $|b| = 1$ मान रखने पर:
$1^2 + 2|b|^2 - 2\sqrt{2}(a \cdot b) = 1$ है।
$1 + 2(1) - 2\sqrt{2}(a \cdot b) = 1$ है।
$3 - 2\sqrt{2}(a \cdot b) = 1$ है।
$2\sqrt{2}(a \cdot b) = 2$ है।
$a \cdot b = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $a \cdot b = |a||b|\cos\theta$ होता है,इसलिए $1 \cdot 1 \cdot \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।

(D) माना $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(2) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $0 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos \theta$.
चूंकि $\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$।

(D) माना शीर्षों $A$,$B$,और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 4i - 2j + 0k$,$\vec{b} = i + 4j - 3k$,और $\vec{c} = -i + 5j + k$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिशों $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ को ज्ञात करते हैं:
$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)i + (-2-4)j + (0-(-3))k = 3i - 6j + 3k$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)i + (5-4)j + (1-(-3))k = -2i + j + 4k$
अब,अदिश गुणनफल $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$
चूँकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,$\angle ABC = 90^\circ$ या $\pi / 2$ रेडियन।

(D) माना $\vec{a} = x\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$ है।
शर्त $1$: $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण न्यूनकोण है,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x)(2x) + (-3)(x) + (-1)(-1) = 2x^2 - 3x + 1 > 0$.
$2x^2 - 3x + 1 > 0$ को हल करने पर,हमें $(2x - 1)(x - 1) > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x < 1/2$ या $x > 1$.
शर्त $2$: $\vec{b}$ और $y$-अक्ष (इकाई सदिश $\hat{j}$) के बीच का कोण अधिककोण है,इसलिए $\vec{b} \cdot \hat{j} < 0$.
$\vec{b} \cdot \hat{j} = (2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}) \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}) = x < 0$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $x < 0$ और ($x < 1/2$ या $x > 1$).
प्रतिच्छेदन $x < 0$ है।
चूंकि कोई भी विकल्प $x < 0$ से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
साथ ही,$|a - b| = 1$ है।
$|a - b| = 1$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a - b|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
$|x|^2 = x \cdot x$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(a - b) \cdot (a - b) = 1$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = 1$ मिलता है।
चूंकि $a \cdot a = |a|^2 = 1$ और $b \cdot b = |b|^2 = 1$,समीकरण $1 - 2(a \cdot b) + 1 = 1$ बन जाता है।
$2 - 2(a \cdot b) = 1$।
$2(a \cdot b) = 1$,जिसका अर्थ है कि $a \cdot b = \frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
मान रखने पर,$1 \times 1 \times \cos \theta = \frac{1}{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$ या $60^\circ$।

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है,$0 \le \theta \le \pi.$
चूँकि परिमाण $|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b}$ का चिह्न $\cos \theta$ पर निर्भर करता है.
$\vec{a} \cdot \vec{b} \ge 0$ के लिए,हमारे पास $\cos \theta \ge 0$ होना चाहिए.
अंतराल $0 \le \theta \le \pi$ में,$\cos \theta \ge 0$ तब होता है जब $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ हो.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(C) दिए गए सदिश $a = i + 2j - 3k$ और $b = 3i - j + 2k$ हैं।
सबसे पहले,योग सदिश $a + b$ की गणना करें:
$a + b = (i + 3i) + (2j - j) + (-3k + 2k) = 4i + j - k.$
इसके बाद,अंतर सदिश $a - b$ की गणना करें:
$a - b = (i - 3i) + (2j - (-j)) + (-3k - 2k) = -2i + 3j - 5k.$
अब,$(a + b)$ और $(a - b)$ का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें:
$(a + b) \cdot (a - b) = (4)(-2) + (1)(3) + (-1)(-5) = -8 + 3 + 5 = 0.$
चूंकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $90^o$ है।

(B) सदिशों $a$ और $b$ के बीच का कोण न्यूनकोण होने के लिए, उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होना चाहिए: $a \cdot b > 0$.
$(-3i + xj + k) \cdot (xi + 2xj + k) > 0$
$-3x + 2x^2 + 1 > 0$
$2x^2 - 3x + 1 > 0$
$(2x - 1)(x - 1) > 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x < 1/2$ या $x > 1$ हो।
सदिश $b = xi + 2xj + k$ और $x$-अक्ष (जो इकाई सदिश $i$ द्वारा दर्शाया जाता है) के बीच का कोण अधिककोण ($\pi/2$ और $\pi$ के बीच) होने के लिए, उनका अदिश गुणनफल $b \cdot i$ ऋणात्मक होना चाहिए:
$b \cdot i < 0$
$(xi + 2xj + k) \cdot i < 0$
$x < 0$.
शर्तों $x < 1/2$ या $x > 1$ और $x < 0$ को संयोजित करने पर, हमें $x < 0$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $\vec{a} = 2i + 6j + 3k$ और $\vec{b} = 12i - 4j + 3k$ है।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(12) + (6)(-4) + (3)(3) = 24 - 24 + 9 = 9$.
इसके बाद,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13$.
अतः,$\cos \theta = \frac{9}{7 \times 13} = \frac{9}{91}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{9}{91}\right)$।

(D) माना $\vec{u} = i + 0j + k$ और $\vec{v} = i - j + ak$ है।
अदिश गुणन का सूत्र $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$ है।
यहाँ,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (0)(-1) + (1)(a) = 1 + a$ है।
सदिशों के परिमाण $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + a^2} = \sqrt{2 + a^2}$ हैं।
दिया गया है कि $\theta = \pi / 3$,इसलिए $\cos(\pi / 3) = 1/2$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $1 + a = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + a^2} \cdot (1/2)$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2(1 + a) = \sqrt{2(2 + a^2)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4(1 + 2a + a^2) = 2(2 + a^2)$.
$4 + 8a + 4a^2 = 4 + 2a^2$.
$2a^2 + 8a = 0$.
$2a(a + 4) = 0$.
अतः,$a = 0$ या $a = -4$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$a = 0$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया है,$a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = -c$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a + b|^2 = |-c|^2$ प्राप्त होता है।
$|u|^2 = u \cdot u$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ मिलता है।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है,इसलिए $|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos \theta = |c|^2$ होगा।
दिए गए मान $|a| = 3, |b| = 5, |c| = 7$ रखने पर:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 60^\circ$।

(D) दिया गया है कि $a, b,$ और $c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1.$
दी गई शर्त $a + b - c = 0$ है,जिसका अर्थ है $a + b = c.$
दोनों पक्षों का अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$(a + b) \cdot (a + b) = c \cdot c$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$a \cdot a + b \cdot b + 2(a \cdot b) = |c|^2$
चूंकि $a \cdot a = |a|^2 = 1,$ $b \cdot b = |b|^2 = 1,$ और $c \cdot c = |c|^2 = 1,$
$1 + 1 + 2|a||b|\cos \theta = 1,$
जहाँ $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
$2 + 2(1)(1)\cos \theta = 1$
$2\cos \theta = 1 - 2$
$2\cos \theta = -1$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ होने के कारण,कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ होगा।

(A) माना $a = 2i + 3j + k$ और $b = 2i - j - k$ है।
दो सदिशों $a$ और $b$ के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot b$ ज्ञात करें:
$a \cdot b = (2)(2) + (3)(-1) + (1)(-1) = 4 - 3 - 1 = 0$।
अब,परिमाण $|a|$ और $|b|$ ज्ञात करें:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$।
$|b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = 0$।
चूँकि $\cos \theta = 0$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण $\theta$ के कोसाइन का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2) = 12 - 6 - 2 = 4$ की गणना करें।
इसके बाद,सदिशों के परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
अंत में,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\cos \theta = \frac{4}{3 \times 7} = \frac{4}{21}$.

(B) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
चूंकि $(a + 2b)$ और $(5a - 4b)$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(a + 2b) \cdot (5a - 4b) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$5(a \cdot a) - 4(a \cdot b) + 10(b \cdot a) - 8(b \cdot b) = 0$
चूंकि $a \cdot a = |a|^2 = 1$ और $b \cdot b = |b|^2 = 1$,और $a \cdot b = b \cdot a$:
$5(1) + 6(a \cdot b) - 8(1) = 0$
$5 + 6(a \cdot b) - 8 = 0$
$6(a \cdot b) - 3 = 0$
$6(a \cdot b) = 3$
$a \cdot b = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
सूत्र $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1)(1) \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^o$.

(A) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
हम जानते हैं कि $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|\cos\theta$ होता है।
मान रखने पर,हमें $|a - b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos\theta = 2 - 2\cos\theta$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos\theta = 2\sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $|a - b|^2 = 2(2\sin^2(\theta/2)) = 4\sin^2(\theta/2)$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|a - b| = 2\sin(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(\theta/2) = \frac{1}{2}|a - b|$।

(A) दिए गए सदिश $a = (1, 1, 4)$ और $b = (1, -1, 4)$ हैं।
सबसे पहले,$a + b$ की गणना करें:
$a + b = (1+1, 1-1, 4+4) = (2, 0, 8)$.
इसके बाद,$a - b$ की गणना करें:
$a - b = (1-1, 1-(-1), 4-4) = (0, 2, 0)$.
अब,$(a + b)$ और $(a - b)$ का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें:
$(a + b) \cdot (a - b) = (2)(0) + (0)(2) + (8)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$.
चूंकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\theta = 90^o$ है।

(B) दिया गया है कि $|a + b| = |a - b|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a + b|^2 = |a - b|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|x|^2 = x \cdot x$ का उपयोग करते हुए,$(a + b) \cdot (a + b) = (a - b) \cdot (a - b)$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$a \cdot a + 2(a \cdot b) + b \cdot b = a \cdot a - 2(a \cdot b) + b \cdot b$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $a \cdot a + b \cdot b$ घटाने पर,$2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $4(a \cdot b) = 0$,जिसका अर्थ है कि $a \cdot b = 0$।
चूंकि दो अशून्य सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य है,इसलिए सदिश $a$ और $b$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(D) दो सदिश $\vec{u} = 2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ परस्पर लंब होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.$
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(2)(2) + (a)(-1) + (1)(-1) = 0$
$4 - a - 1 = 0$
$3 - a = 0$
$a = 3.$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(D) दिए गए सदिश $a = 2i + 2j + 3k$,$b = -i + 2j + k$ और $c = 3i + j$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $a + tb$ की गणना करें:
$a + tb = (2i + 2j + 3k) + t(-i + 2j + k) = (2 - t)i + (2 + 2t)j + (3 + t)k$.
चूंकि $a + tb$,$c$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(a + tb) \cdot c = 0$.
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$((2 - t)i + (2 + 2t)j + (3 + t)k) \cdot (3i + j + 0k) = 0$.
$3(2 - t) + 1(2 + 2t) + 0(3 + t) = 0$.
$6 - 3t + 2 + 2t = 0$.
$8 - t = 0$.
$t = 8$.

(C) दो सदिश $\vec{a} = a_1i + a_2j + a_3k$ और $\vec{b} = b_1i + b_2j + b_3k$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
दिए गए सदिश $\vec{a} = 2i + j - k$ और $\vec{b} = i - 4j + \lambda k$ हैं।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(-4) + (-1)(\lambda) = 0$.
$2 - 4 - \lambda = 0$.
$-2 - \lambda = 0$.
$\lambda = -2$.

(B) दो सदिश $\vec{A} = A_1\,i + A_2\,j + A_3\,k$ और $\vec{B} = B_1\,i + B_2\,j + B_3\,k$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$।
दिए गए सदिश $\vec{A} = 2\,i + 3\,j - 4\,k$ और $\vec{B} = a\,i + b\,j + c\,k$ हैं।
लंबवत होने की शर्त $(2)(a) + (3)(b) + (-4)(c) = 0$ है,जो $2a + 3b - 4c = 0$ में सरल हो जाती है।
विकल्प $(b)$ की जाँच करने पर: $2(4) + 3(4) - 4(5) = 8 + 12 - 20 = 20 - 20 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए विकल्प $(b)$ में दिए गए मानों के लिए सदिश लंबवत हैं।

(B) माना $xy$-समतल में अभीष्ट इकाई सदिश $\vec{r} = xi + yj$ है।
चूंकि $\vec{r}$ एक इकाई सदिश है, इसलिए $x^2 + y^2 = 1$ होगा।
दिया गया है कि $\vec{r}$, $\vec{a} = 4i - 3j + k$ के लंबवत है, इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(xi + yj) \cdot (4i - 3j + k) = 0$
$4x - 3y = 0 \Rightarrow 4x = 3y \Rightarrow x = \frac{3}{4}y$।
$x = \frac{3}{4}y$ को $x^2 + y^2 = 1$ में रखने पर:
$(\frac{3}{4}y)^2 + y^2 = 1$
$\frac{9}{16}y^2 + y^2 = 1 \Rightarrow \frac{25}{16}y^2 = 1$
$y^2 = \frac{16}{25} \Rightarrow y = \pm \frac{4}{5}$।
यदि $y = \frac{4}{5}$ है, तो $x = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः, सदिश $\frac{3}{5}i + \frac{4}{5}j = \frac{1}{5}(3i + 4j)$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण $l\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c} = \vec{0}$ है।
समीकरण के दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$(l\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c}) \cdot \vec{a} = \vec{0} \cdot \vec{a}$
$l(\vec{a} \cdot \vec{a}) + m(\vec{b} \cdot \vec{a}) + n(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, \vec{b} \cdot \vec{c} = 0,$ और $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0.$
अतः,$l|\vec{a}|^2 + 0 + 0 = 0.$
चूंकि $\vec{a}$ एक शून्येतर सदिश है,$|\vec{a}|^2 \neq 0,$ जिसका अर्थ है कि $l = 0.$
इसी प्रकार,क्रमशः $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन करने पर,हमें $m = 0$ और $n = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = m = n = 0.$

(A) दो सदिश $\vec{u} = a\,i - 2j + 3k$ और $\vec{v} = 3i + 6j - 5k$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(a)(3) + (-2)(6) + (3)(-5) = 0$।
$3a - 12 - 15 = 0$।
$3a - 27 = 0$।
$3a = 27$।
$a = 9$।

(A) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ परस्पर लंब होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
माना $\vec{a} = 2\lambda \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\lambda)(0) + (1)(2) + (-1)(1) = 0 + 2 - 1 = 1$।
चूंकि अदिश गुणनफल $1$ है,जो $\lambda$ के किसी भी मान के लिए $0$ नहीं है,इसलिए $\lambda$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए ये सदिश परस्पर लंब हों।

(C) दो सदिश $\vec{A} = ai + bj + ck$ और $\vec{B} = pi + qj + rk$ परस्पर लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो।
अदिश गुणनफल इस प्रकार दिया जाता है: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (ai + bj + ck) \cdot (pi + qj + rk)$
अदिश गुणनफल की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है $\vec{A} \cdot \vec{B} = a(p) + b(q) + c(r) = ap + bq + cr$
चूंकि सदिश लंबवत हैं, इसलिए $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
अतः, $ap + bq + cr = 0$.

(C) दो सदिश $a$ और $b$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $a \cdot b = 0$।
दिया गया है $a = 2i + 4j + 2k$ और $b = 8i - 3j + \lambda k$।
अदिश गुणनफल की गणना इस प्रकार की जाती है:
$a \cdot b = (2)(8) + (4)(-3) + (2)(\lambda) = 0$
$16 - 12 + 2\lambda = 0$
$4 + 2\lambda = 0$
$2\lambda = -4$
$\lambda = -2$
अतः,$\lambda$ का मान $-2$ है।

(D) दो सदिश $\vec{u} = a\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{v} = -\hat{i} + 5\hat{j} + a\hat{k}$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(a)(-1) + (2)(5) + (3)(a) = 0$
$-a + 10 + 3a = 0$
$2a + 10 = 0$
$2a = -10$
$a = -5$
अतः,सही मान $a = -5$ है।

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो।
माना $\vec{u} = ai + 6j - k$ और $\vec{v} = 7i - 3j + 17k$ है।
चूंकि $\vec{u} \perp \vec{v}$,इसलिए $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$(ai + 6j - k) \cdot (7i - 3j + 17k) = 0$
$(a)(7) + (6)(-3) + (-1)(17) = 0$
$7a - 18 - 17 = 0$
$7a - 35 = 0$
$7a = 35$
$a = 5$.

(C) दो सदिश $\vec{a} = 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + m\hat{j} + 2\hat{k}$ समकोण पर हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक-दूसरे के लंबवत हैं।
लंबवत सदिशों के लिए,उनका अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
$(4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + m\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$(4)(3) + (1)(m) + (-1)(2) = 0$
$12 + m - 2 = 0$
$10 + m = 0$
$m = -10$.

(C) माना कि $\vec{a} = 3i + \lambda j + k$ और $\vec{b} = 2i - j + 8k$ हैं।
चूंकि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होगा,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(3i + \lambda j + k) \cdot (2i - j + 8k) = 0$.
संगत घटकों का गुणा करके अदिश गुणनफल प्राप्त करने पर:
$(3)(2) + (\lambda)(-1) + (1)(8) = 0$.
$6 - \lambda + 8 = 0$.
$14 - \lambda = 0$.
अतः,$\lambda = 14$.

(D) सदिश $a$ की दिशा में सदिश $b$ का प्रक्षेप (घटक) ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{proj}_a b = (b \cdot \hat{a})\hat{a}$.
चूंकि इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{a}{|a|}$ है,इसलिए हम सूत्र में मान रखते हैं:
$\text{proj}_a b = \left( b \cdot \frac{a}{|a|} \right) \frac{a}{|a|}$.
इसे सरल करने पर $\frac{(b \cdot a)a}{|a|^2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $|a|^2 = a \cdot a$,अतः व्यंजक $\frac{(a \cdot b)a}{a \cdot a}$ हो जाता है।

(B) सदिश $a$ का $b$ की दिशा में घटक ज्ञात करने का सूत्र: $\text{proj}_{b} a = \frac{(a \cdot b)b}{|b|^2}$ है।
दिया गया है कि $a = 4i + 6j$ और $b = 3j + 4k$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot b = (4i + 6j) \cdot (0i + 3j + 4k) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 0 + 18 + 0 = 18$ की गणना करें।
इसके बाद,$b$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\text{proj}_{b} a = \frac{18}{25}(3j + 4k)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $\vec{a} = \vec{i} + \vec{j}$ और $\vec{b} = \vec{j} + \vec{k}$ है।
सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ की दिशा में घटक ज्ञात करने का सूत्र: $\left( \vec{a} \cdot \hat{b} \right) \hat{b}$ है,जहाँ $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
सबसे पहले,$\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
अतः,$\hat{b} = \frac{\vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{2}}$ है।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \hat{b} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot \left( \frac{\vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} \cdot \vec{j} + \vec{i} \cdot \vec{k} + \vec{j} \cdot \vec{j} + \vec{j} \cdot \vec{k}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + 0 + 1 + 0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अंत में,घटक $\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{\vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\vec{j} + \vec{k}}{2}$ होगा।

(B) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(2) + (-2)(3) = 2 + 6 - 6 = 2$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$।
अतः,प्रक्षेप $\frac{2}{\sqrt{14}}$ होगा।

(B) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{b}$ का सदिश $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $\frac{\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}}{\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$ है।
दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
दिया गया है $\vec{b} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $\frac{7}{3}$ है।

(C) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ की दिशा में प्रक्षेप,$\vec{b}$ की दिशा में $\vec{a}$ का अदिश घटक (scalar component) होता है।
गणितीय रूप से,यह $\vec{a}$ और $\vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश (unit vector) के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
माना $\hat{b}$,$\vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश है,जहाँ $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
अतः प्रक्षेप = $\vec{a} \cdot \hat{b} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) सदिश $b$ का सदिश $a$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Projection} = \frac{a \cdot b}{|a|}$।
दिए गए सदिश $a = 2i + j + 2k$ और $b = 5i - 3j + k$ हैं।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot b = (2)(5) + (1)(-3) + (2)(1) = 10 - 3 + 2 = 9$ की गणना करें।
इसके बाद,सदिश $a$ का परिमाण $|a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ की गणना करें।
अंत में,प्रक्षेप $\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{9}{3} = 3$ प्राप्त होता है।

(B) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (-2)(-4) + (1)(7) = 4 + 8 + 7 = 19$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण (magnitude) ज्ञात करें:
$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$.
अतः,अभीष्ट प्रक्षेप $\frac{19}{9}$ है।

(A) विस्थापन सदिश $\vec{d}$ को $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\vec{AB} = (4i - 3j - 2k) - (6i + j - 3k) = (4-6)i + (-3-1)j + (-2+3)k = -2i - 4j + k$.
किया गया कार्य $W$,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{d}$ का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (i - 3j + 5k) \cdot (-2i - 4j + k)$.
$W = (1 \times -2) + (-3 \times -4) + (5 \times 1) = -2 + 12 + 5 = 15 \text{ units}$.

(A) किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\overrightarrow{F}$ और विस्थापन सदिश $\overrightarrow{d}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,विस्थापन सदिश $\overrightarrow{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ की गणना करें।
$\overrightarrow{d} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = (2-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
अब,कार्य $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}$ की गणना करें।
$W = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$.
$W = (1)(1) + (2)(-2) + (3)(2) = 1 - 4 + 6 = 3$.
अतः,किया गया कार्य $3$ इकाई है।

(A) बल सदिश $F = 2i - 3j + 2k$ दिया गया है।
प्रारंभिक स्थिति सदिश $r_1 = 3i + 4j + 5k$ और अंतिम स्थिति सदिश $r_2 = 1i + 2j + 3k$ है।
विस्थापन सदिश $d = r_2 - r_1 = (1 - 3)i + (2 - 4)j + (3 - 5)k = -2i - 2j - 2k$ है।
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है: $W = F \cdot d$.
$W = (2i - 3j + 2k) \cdot (-2i - 2j - 2k) = (2 \times -2) + (-3 \times -2) + (2 \times -2) = -4 + 6 - 4 = -2$.
कार्य का परिमाण $|W| = |-2| = 2$ $unit$ है।

(C) परिणामी बल $\vec{F}$ व्यक्तिगत बलों का योग है:
$\vec{F} = (3i + 2j + 5k) + (2i + j - 3k) = (3+2)i + (2+1)j + (5-3)k = 5i + 3j + 2k$.
विस्थापन सदिश $\vec{d}$ अंतिम स्थिति सदिश और प्रारंभिक स्थिति सदिश के बीच का अंतर है:
$\vec{d} = (4i - 3j + 7k) - (2i - j - 3k) = (4-2)i + (-3 - (-1))j + (7 - (-3))k = 2i - 2j + 10k$.
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन सदिशों का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5i + 3j + 2k) \cdot (2i - 2j + 10k)$
$W = (5 \times 2) + (3 \times -2) + (2 \times 10)$
$W = 10 - 6 + 20 = 24 \, \text{units}$.

(D) परिणामी बल $\vec{F}$ दोनों बलों का योग है:
$\vec{F} = (3i + 2j - 3k) + (2i + 4j + 2k) = 5i + 6j - k$.
विस्थापन सदिश $\vec{d}$ अंतिम और प्रारंभिक स्थिति सदिशों के बीच का अंतर है:
$\vec{d} = (5i + 4j + 2k) - (i + 2j + k) = 4i + 2j + k$.
किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिश का अदिश गुणनफल (dot product) है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5i + 6j - k) \cdot (4i + 2j + k)$.
$W = (5 \times 4) + (6 \times 2) + (-1 \times 1) = 20 + 12 - 1 = 31 \text{ units}$.

(C) किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ के अदिश गुणनफल (dot product) के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है:
$\vec{F} = 2i - j - k$
$\vec{d} = 3i + 2j - 5k$
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
$W = (2i - j - k) \cdot (3i + 2j - 5k)$
$W = (2 \times 3) + (-1 \times 2) + (-1 \times -5)$
$W = 6 - 2 + 5$
$W = 9 \text{ इकाई}$.

(B) किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ का अदिश गुणनफल है।
सबसे पहले,$2i - 2j + k$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात करें:
$\hat{u} = \frac{2i - 2j + k}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{2i - 2j + k}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{2i - 2j + k}{3}$.
बल सदिश $\vec{F}$ परिमाण और इकाई सदिश का गुणनफल है:
$\vec{F} = 5 \times \left( \frac{2i - 2j + k}{3} \right) = \frac{5}{3}(2i - 2j + k)$.
विस्थापन सदिश $\vec{d}$ अंतिम और प्रारंभिक स्थिति के बीच का अंतर है:
$\vec{d} = (5i + 3j + 7k) - (i + 2j + 3k) = 4i + j + 4k$.
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$:
$W = \frac{5}{3}(2i - 2j + k) \cdot (4i + j + 4k)$
$W = \frac{5}{3} \times [(2 \times 4) + (-2 \times 1) + (1 \times 4)]$
$W = \frac{5}{3} \times [8 - 2 + 4] = \frac{5}{3} \times 10 = \frac{50}{3}$ इकाई।

(C) परिणामी बल $\overrightarrow{F}$ व्यक्तिगत बलों का योग है:
$\overrightarrow{F} = (4i + j - 3k) + (3i + j - k) = (4+3)i + (1+1)j + (-3-1)k = 7i + 2j - 4k$.
विस्थापन सदिश $\overrightarrow{d}$ अंतिम स्थिति सदिश और प्रारंभिक स्थिति सदिश के बीच का अंतर है:
$\overrightarrow{d} = (5i + 4j + k) - (i + 2j + 3k) = (5-1)i + (4-2)j + (1-3)k = 4i + 2j - 2k$.
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन सदिशों का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) है:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (7i + 2j - 4k) \cdot (4i + 2j - 2k)$.
$W = (7 \times 4) + (2 \times 2) + (-4 \times -2) = 28 + 4 + 8 = 40 \text{ units}$.

(A) एक सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर अदिश प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $\vec{a} = xi - j + k$ और $\vec{b} = 2i - j + 5k$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (x)(2) + (-1)(-1) + (1)(5) = 2x + 1 + 5 = 2x + 6$ है।
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$ है।
दिया गया है कि अदिश प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{30}}$ है, इसलिए $\frac{2x + 6}{\sqrt{30}} = \frac{1}{\sqrt{30}}$ है।
अंशों की तुलना करने पर, हमें $2x + 6 = 1$ प्राप्त होता है।
$2x = 1 - 6 = -5$ है।
अतः, $x = \frac{-5}{2}$।