यदि $\theta$ इकाई सदिशों $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच का कोण है,तो $\cos \frac{\theta}{2} = $

सभी वास्तविक $x$ के लिए,सदिश $Cx \hat{i} - 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $x \hat{i} + 2 \hat{j} + 2Cx \hat{k}$ एक-दूसरे के साथ अधिक कोण (obtuse angle) बनाते हैं,तो $C$ का मान किस अंतराल में हो सकता है?

माना $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ है। यदि $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{r}$,$\overrightarrow{r} \cdot (\alpha\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 3$ और $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} - \alpha\hat{k}) = -1$,जहाँ $\alpha \in R$,तो $\alpha + |\overrightarrow{r}|^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\overrightarrow{a}=\hat{i}+3 \hat{j}+13 \hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k}$ दो सदिश हैं,तो $\vec{b}$ के लंबवत $\vec{a}$ का घटक सदिश ज्ञात कीजिए।

यदि त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $4 \hat{\imath} + 7 \hat{\jmath} + 8 \hat{k}$,$2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 4 \hat{k}$ और $2 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 7 \hat{k}$ हैं,तो उस बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ कोण $A$ का समद्विभाजक $BC$ से मिलता है।

मान लीजिए $\hat{a}$ और $\hat{b}$ दो इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $|(\hat{a}+\hat{b})+2(\hat{a} \times \hat{b})|=2$ है। यदि $\theta \in(0, \pi)$ $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के बीच का कोण है,तो कथनों में से:
$(S_{1})$: $2|\hat{a} \times \hat{b}|=|\hat{a}-\hat{b}|$
$(S_{2})$: $(\hat{a}+\hat{b})$ पर $\hat{a}$ का प्रक्षेप $\frac{1}{2}$ है।