यदि $a, b, c$ शून्येतर सदिश हैं और $a \cdot b = a \cdot c$ है,तो कौन सा कथन सत्य है?

मान लीजिए $\overline{a}, \overline{b}$ और $\overline{c}$ क्रमशः $2, 3$ और $4$ परिमाण वाले सदिश हैं। यदि $\overline{a}, (\overline{b}+\overline{c})$ के लंबवत है,$\overline{b}, (\overline{c}+\overline{a})$ के लंबवत है और $\overline{c}, (\overline{a}+\overline{b})$ के लंबवत है,तो $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}$ का परिमाण क्या होगा?

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$,$|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 2$,और $|\vec{c}| = 3$,तो $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है $\vec{a}=3 \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{b}=\overrightarrow{b_1}+\overrightarrow{b_2}$,जहाँ $\overrightarrow{b_1}$,$\vec{a}$ के समांतर है और $\overrightarrow{b_2}$,$\vec{a}$ के लंबवत है,तो $\overrightarrow{b_2}$ किसके बराबर है?

$x$ के किन मानों के लिए सदिशों $\vec{a} = x\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$ के बीच का कोण न्यूनकोण है और सदिश $\vec{b}$ तथा $y$-अक्ष के बीच का कोण अधिककोण है?

यदि $\overline{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overline{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\overline{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ इस प्रकार हैं कि $\overline{b}+\lambda \overline{a}$,$\overline{c}$ पर लंब है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।