Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$.
સદિશોની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\overrightarrow{c} = (\alpha - 5)\hat{i} + (4 - 3)\hat{j} + (2 - 4)\hat{k} = (\alpha - 5)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેથી,$x = \alpha - 5$,$y = 1$,અને $z = -2$.
સદિશો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}| = 5\sqrt{6}$ પણ થાય.
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 4 & 2 \\ \alpha-5 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 - 2) - \hat{j}(-2\alpha - 2(\alpha - 5)) + \hat{k}(\alpha - 4(\alpha - 5))$
$= -10\hat{i} - \hat{j}(-2\alpha - 2\alpha + 10) + \hat{k}(\alpha - 4\alpha + 20) = -10\hat{i} - (10 - 4\alpha)\hat{j} + (20 - 3\alpha)\hat{k}$.
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}|^2 = (-10)^2 + (4\alpha - 10)^2 + (20 - 3\alpha)^2 = (10\sqrt{6} \times 2)^2 = 400 \times 6 = 2400$.
$100 + 16\alpha^2 - 80\alpha + 100 + 400 - 120\alpha + 9\alpha^2 = 600$.
$25\alpha^2 - 200\alpha + 600 = 600 \Rightarrow 25\alpha^2 - 200\alpha = 0$.
$25\alpha(\alpha - 8) = 0$. કારણ કે $\alpha > 0$,તેથી $\alpha = 8$.
હવે $x = 8 - 5 = 3, y = 1, z = -2$.
$|\overrightarrow{c}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$.

(A) સ્થાન સદિશ $\overline{OP} = \hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ છે.
લંબાઈનો વર્ગ $|\overline{OP}|^2 = (\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t) \cdot (\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t) = \cos^2 t + \sin^2 t + 2 \sin t \cos t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + \sin(2t) (\hat{a} \cdot \hat{b})$ છે.
કારણ કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ લઘુકોણ બનાવે છે,તેથી $\hat{a} \cdot \hat{b} > 0$. આમ,$|\overline{OP}|$ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin(2t) = 1$,એટલે કે $2t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ પર,$M = |\overline{OP}| = (1 + \hat{a} \cdot \hat{b})^{1/2}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ પર સદિશ $\overline{OP} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})}{\frac{1}{\sqrt{2}}|\hat{a} + \hat{b}|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = 1$.
આપેલ શરત $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ છે.
ડોટ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|(\vec{a} \times \vec{b})| |(\vec{c} \times \vec{d})| \cos \phi = 1$,જ્યાં $\phi$ એ સદિશો $(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $(\vec{c} \times \vec{d})$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sin \theta_1 \le 1$ અને $|\vec{c} \times \vec{d}| = \sin \theta_2 \le 1$,તેથી ગુણાકાર $\sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \phi = 1$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\sin \theta_1 = 1$,$\sin \theta_2 = 1$ અને $\cos \phi = 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$,$\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ અને $\phi = 0$.
$\phi = 0$ હોવાથી,સદિશો $(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $(\vec{c} \times \vec{d})$ સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ સમતલીય છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
બધા સદિશો સમતલીય અને એકમ સદિશો હોવાથી,ભૌમિતિક ગોઠવણી મુજબ $\vec{b}$ અને $\vec{d}$ સમાંતર નથી.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{b} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{c} = \frac{17}{5}\hat{i} + \frac{16}{5}\hat{j} + 7\hat{k}$,અને $\vec{d} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
પદ $\frac{\vec{b} + 2\vec{d}}{3} = \frac{(3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) + 2(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{3} = \frac{7\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ ધ્યાનમાં લો.
હવે,$PR$ ને $5:4$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\frac{5\vec{c} + 4\vec{a}}{5+4} = \frac{5(\frac{17}{5}\hat{i} + \frac{16}{5}\hat{j} + 7\hat{k}) + 4(\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})}{9} = \frac{(17\hat{i} + 16\hat{j} + 35\hat{k}) + (4\hat{i} + 8\hat{j} - 20\hat{k})}{9} = \frac{21\hat{i} + 24\hat{j} + 15\hat{k}}{9} = \frac{7\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ છે.
બંને પદો સમાન હોવાથી,$\frac{\vec{b} + 2\vec{d}}{3}$ દ્વારા દર્શાવેલ બિંદુ $PR$ નું $5:4$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે,$|\vec{b} \times \vec{d}|^2 = |\vec{b}|^2 |\vec{d}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{d})^2 = (3^2 + 6^2 + 3^2)(2^2 + 1^2 + 1^2) - (3(2) + 6(1) + 3(1))^2 = 54 \times 6 - (15)^2 = 324 - 225 = 99$. આમ,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
તેથી,સાચું વિધાન $B$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} + \overline{OR} \cdot \overline{OS} = \overline{OR} \cdot \overline{OP} + \overline{OQ} \cdot \overline{OS}$.
પદોને ગોઠવતા: $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} - \overline{OR} \cdot \overline{OP} = \overline{OQ} \cdot \overline{OS} - \overline{OR} \cdot \overline{OS}$.
$\overline{OP} \cdot (\overline{OQ} - \overline{OR}) = \overline{OS} \cdot (\overline{OQ} - \overline{OR})$.
$(\overline{OP} - \overline{OS}) \cdot (\overline{OQ} - \overline{OR}) = 0$.
$\overline{SP} \cdot \overline{RQ} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overline{SP} \perp \overline{RQ}$,એટલે કે $S$ એ $P$ માંથી $QR$ પરના વેધ પર આવેલું છે.
તે જ રીતે,$\overline{OR} \cdot \overline{OP} + \overline{OQ} \cdot \overline{OS} = \overline{OQ} \cdot \overline{OR} + \overline{OP} \cdot \overline{OS}$ પરથી,આપણને $\overline{SQ} \perp \overline{PR}$ મળે છે.
જેથી $S$ એ વેધનું છેદબિંદુ હોવાથી,$S$ એ $\triangle PQR$ નું લંબકેન્દ્ર છે.

(A) શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = -2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{q} = 4\hat{i}$,$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$,અને $\vec{s} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ ના મધ્યબિંદુઓ તપાસીએ:
$PR$ નું મધ્યબિંદુ $= \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{(-2\hat{i} - \hat{j}) + (3\hat{i} + 3\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
$QS$ નું મધ્યબિંદુ $= \frac{\vec{q} + \vec{s}}{2} = \frac{(4\hat{i}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
વિકર્ણોના મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આગળ,આપણે બાજુઓના સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\hat{i} - (-2\hat{i} - \hat{j}) = 6\hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = (-3\hat{i} + 2\hat{j}) - (-2\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + 3\hat{j}$.
લંબચોરસ માટે તપાસ (પાસેની બાજુઓનો ડોટ ગુણાકાર):
$\vec{PQ} \cdot \vec{PS} = (6\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-\hat{i} + 3\hat{j}) = (6)(-1) + (1)(3) = -6 + 3 = -3 \neq 0$.
ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય ન હોવાથી,બાજુઓ લંબ નથી,તેથી તે લંબચોરસ નથી.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ માટે તપાસ (પાસેની બાજુઓની લંબાઈ):
$|\vec{PQ}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$.
$|\vec{PS}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$|\vec{PQ}| \neq |\vec{PS}|$ હોવાથી,બાજુઓ સમાન નથી,તેથી તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
આમ,$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,જે સમબાજુ કે લંબચોરસ નથી.

(A) ધારો કે $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\vec{v} = \overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
પ્રથમ,માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AD} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{AD}| |\vec{AB}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (-1)(2) + (2)(10) + (2)(11) = -2 + 20 + 22 = 40$.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{40}{3 \times 15} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
જરૂરી સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી $\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
વળી,$\vec{v}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$.
$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \implies x(\vec{a} \cdot \vec{c}) + y(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 4$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (2)(1) + (1)(1) = 4$.
તેથી,$4x + 4y = 0 \implies x = -y$.
આમ,$\vec{v} = x(\vec{a} - \vec{b}) = x[(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})] = x(-\hat{j}+\hat{k})$.
જો $x=1$ હોય,તો $\vec{v} = -\hat{j}+\hat{k}$ (વિકલ્પ $D$).
જો $x=-1$ હોય,તો $\vec{v} = \hat{j}-\hat{k}$ (વિકલ્પ $A$).
તેથી,સાચા સદિશો $(A)$ અને $(D)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$,જેનો અર્થ છે કે $(\vec{r} - \vec{c}) \times \vec{b} = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $t$ માટે $\vec{r} - \vec{c} = t\vec{b}$,તેથી $\vec{r} = \vec{c} + t\vec{b}$.
$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j}) = (1-t)\hat{i} + (2+t)\hat{j} + 3\hat{k}$ મૂકતા.
આપેલ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$,જ્યાં $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{k}$.
$((1-t)\hat{i} + (2+t)\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{k}) = 0$.
$-(1-t) - 3 = 0 \Rightarrow -1 + t - 3 = 0 \Rightarrow t = 4$.
આમ,$\vec{r} = \vec{c} + 4\vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + 4(-\hat{i} + \hat{j}) = -3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
અંતે,$\vec{r} \cdot \vec{b} = (-3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j}) = 3 + 6 = 9$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2=9$.
આ $(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$ બને છે.
કારણ કે $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 1$,તેથી $6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$.
આમ,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$.
હવે,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 3 + 2(-\frac{3}{2}) = 0$ ધ્યાનમાં લો.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$,તેથી $\vec{b}+\vec{c} = -\vec{a}$.
આપણે $|2 \vec{a}+5 \vec{b}+5 \vec{c}| = |2 \vec{a}+5(\vec{b}+\vec{c})| = |2 \vec{a}+5(-\vec{a})| = |-3 \vec{a}| = 3|\vec{a}| = 3(1) = 3$ શોધવાનું છે.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b})$ હોવાથી,આપણને $\vec{c} \cdot \vec{a} = x$ અને $\vec{c} \cdot \vec{b} = y$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંને સાથે સમાન ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે,તેથી $\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \alpha = 2(1) \cos \alpha = 2 \cos \alpha$ અને $\vec{c} \cdot \vec{b} = 2 \cos \alpha$.
આમ,$x = y = 2 \cos \alpha$.
હવે,$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} = (x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot (x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b}))$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$|\vec{c}|^2 = x^2 + y^2 + |\vec{a} \times \vec{b}|^2$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 90^{\circ} = 1$ હોવાથી,આપણને $4 = x^2 + y^2 + 1$ મળે છે.
$x = y = 2 \cos \alpha$ મૂકતા,$4 = (2 \cos \alpha)^2 + (2 \cos \alpha)^2 + 1$.
$4 = 4 \cos^2 \alpha + 4 \cos^2 \alpha + 1$.
$3 = 8 \cos^2 \alpha$.
આમ,$8 \cos^2 \alpha$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) ત્રિકોણ $PQR$ માં,આપણી પાસે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ છે.
કારણ કે $\vec{a} = \vec{QR}$,$\vec{b} = \vec{RP}$,અને $\vec{c} = \vec{PQ}$,તેથી $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$.
આપેલ સમીકરણમાં $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{\vec{a} \cdot (-(\vec{a} + \vec{b}) - \vec{b})}{(-(\vec{a} + \vec{b})) \cdot (\vec{a} - \vec{b})} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$
$\frac{\vec{a} \cdot (-\vec{a} - 2\vec{b})}{-(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})} = \frac{3}{3 + 4}$
$\frac{-|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{-(\vec{a}^2 - \vec{b}^2)} = \frac{3}{7}$
અહીં $|\vec{a}| = 3$ અને $|\vec{b}| = 4$ આપેલ છે,તેથી $|\vec{a}|^2 = 9$ અને $|\vec{b}|^2 = 16$.
$\frac{-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{-(9 - 16)} = \frac{3}{7}$
$\frac{-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{7} = \frac{3}{7}$
$-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$
$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$
હવે,નિત્યસમ $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (9)(16) - (-6)^2$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 144 - 36 = 108$.

(A) સદિશ $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{c} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (\lambda \hat{i} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \lambda + 8$.
તેથી,$\vec{c} = \frac{\lambda + 8}{9} (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\vec{a} + \vec{c}| = 7$. કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે,ધારો કે $\vec{c} = k\vec{a}$,જ્યાં $k = \frac{\lambda + 8}{9}$.
તેથી $|\vec{a} + k\vec{a}| = |(1+k)\vec{a}| = |1+k| |\vec{a}| = |1+k| \cdot 3 = 7$.
$|1+k| = \frac{7}{3} \Rightarrow 1+k = \frac{7}{3}$ (કારણ કે $\lambda > 0, k > 0$).
$k = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{\lambda + 8}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow \lambda + 8 = 12 \Rightarrow \lambda = 4$.
હવે,$\vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{k}$ અને $\vec{c} = \frac{4}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{4}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + \frac{8}{3}\hat{k}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{b} \times \vec{c}|$ છે.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ પર $\vec{b}$ નો પ્રક્ષેપ છે,$\vec{c} = k\vec{a}$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b} \times k\vec{a}| = |k| |\vec{b} \times \vec{a}|$.
$\vec{b} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(8-0) = -8\hat{i} - 4\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\vec{b} \times \vec{a}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12$.
ક્ષેત્રફળ $= |k| \cdot 12 = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16$.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}| = 1$ અને $|\overrightarrow{b}| = 1$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સદિશો $(\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b})$ અને $(3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b})$ લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય:
$(\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b}) = 0$
$3\lambda (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}) - \lambda^2 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + 6 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - 2\lambda (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = 1$ અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ હોવાથી:
$3\lambda - \lambda^2(\frac{1}{2}) + 6(\frac{1}{2}) - 2\lambda = 0$
$3\lambda - \frac{\lambda^2}{2} + 3 - 2\lambda = 0$
$\lambda - \frac{\lambda^2}{2} + 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા,$\lambda^2 - 2\lambda - 6 = 0$ મળે.
ઉકેલ $\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$ છે.
$\sqrt{7} \approx 2.64$ હોવાથી,કિંમતો $\lambda_1 = 1 + 2.64 = 3.64$ અને $\lambda_2 = 1 - 2.64 = -1.64$ છે.
આ બંને કિંમતો $[-1, 3]$ અંતરાલમાં આવતી નથી.
તેથી,$[-1, 3]$ માં $\lambda$ ની કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) ધારો કે $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,અને $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$. $A, B, C$ વર્તુળ પર હોવાથી,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$.
ચાપ $AC$ કેન્દ્ર પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
ચાપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $AB:BC = 1:5$ હોવાથી,$\angle AOB = \frac{1}{6} \times 90^{\circ} = 15^{\circ}$ અને $\angle BOC = \frac{5}{6} \times 90^{\circ} = 75^{\circ}$.
$\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$ છે.
$\vec{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\vec{a} \cdot \vec{c} = \alpha |\vec{a}|^2 + \beta \vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 0 = \alpha + \beta \cos 15^{\circ} \Rightarrow \alpha = -\beta \cos 15^{\circ} \dots (1)$.
$\vec{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\vec{b} \cdot \vec{c} = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b} + \beta |\vec{b}|^2 \Rightarrow \cos 75^{\circ} = \alpha \cos 15^{\circ} + \beta \dots (2)$.
$(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $\cos 75^{\circ} = -\beta \cos^2 15^{\circ} + \beta = \beta \sin^2 15^{\circ}$.
તેથી,$\beta = \frac{\cos 75^{\circ}}{\sin^2 15^{\circ}} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$.
$(1)$ પરથી,$\alpha = -\beta \cos 15^{\circ} = -(2+\sqrt{3})$.
હવે $\alpha + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1) \beta = -(2+\sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = -(2+\sqrt{3}) + 4 = 2-\sqrt{3}$.

(D) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$,અને $\vec{C} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = 0\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ અને $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -5\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{35}}{2}$.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \times \text{Area}(ABC) \times h = \frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}}$.
$\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{35}}{2} \times h = \frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}} \implies h = \sqrt{\frac{23}{2}}$.
$\triangle ADE$ માં,$AD^2 = AE^2 + DE^2$. $AD = \frac{\sqrt{110}}{3} \implies AD^2 = \frac{110}{9}$.
$AE^2 = \frac{110}{9} - \frac{23}{2} = \frac{13}{18}$.
$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,$F = \frac{3\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}}{2}$.
$\vec{AF} = F-A = \frac{1}{2}(\hat{i}-5\hat{k})$.
$\vec{AE} = AE \cdot \frac{\vec{AF}}{|AF|} = \sqrt{\frac{13}{18}} \cdot \frac{\hat{i}-5\hat{k}}{\sqrt{26}} = \frac{\hat{i}-5\hat{k}}{6}$.
$E$ નો સ્થાન સદિશ = $\vec{A} + \vec{AE} = (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) + \frac{1}{6}(\hat{i}-5\hat{k}) = \frac{7\hat{i}+12\hat{j}+\hat{k}}{6}$.

(D) બિંદુ $A$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $r:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$A = \left( \frac{5r - 1}{r + 1}, \frac{5r - 1}{r + 1}, \frac{10r + 2}{r + 1} \right)$
આપેલ સમીકરણ $(\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}) - \frac{1}{5}|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = 10$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}$ શોધો:
$\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 5\left( \frac{5r - 1}{r + 1} \right) + 5\left( \frac{5r - 1}{r + 1} \right) + 10\left( \frac{10r + 2}{r + 1} \right) = \frac{150r + 10}{r + 1} = \frac{10(15r + 1)}{r + 1}$
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}$ શોધો:
$\overrightarrow{OP} = (-1, -1, 2)$ અને $\overrightarrow{OA} = \frac{1}{r+1}(5r-1, 5r-1, 10r+2)$
$\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA} = \frac{1}{r+1} (-20r, 15r+1, 0)$
$|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = \frac{625r^2 + 30r + 1}{(r+1)^2}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{10(15r + 1)}{r + 1} - \frac{1}{5} \left( \frac{625r^2 + 30r + 1}{(r+1)^2} \right) = 10$
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $r = 7$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\vec{a}_{\parallel}$ એ $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક છે અને $\vec{a}_{\perp}$ એ $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ને લંબ ઘટક છે.
આપેલ છે કે $\vec{a}_{\parallel} = \frac{16}{11}(3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ અને $\vec{a}_{\perp} = \frac{1}{11}(-4 \hat{i} - 5 \hat{j} - 17 \hat{k})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} = \vec{a}_{\parallel} + \vec{a}_{\perp}$,તેથી:
$\vec{a} = \frac{16}{11}(3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \frac{1}{11}(-4 \hat{i} - 5 \hat{j} - 17 \hat{k})$
$\vec{a} = \frac{48-4}{11} \hat{i} + \frac{16-5}{11} \hat{j} + \frac{-16-17}{11} \hat{k}$
$\vec{a} = \frac{44}{11} \hat{i} + \frac{11}{11} \hat{j} - \frac{33}{11} \hat{k}$
$\vec{a} = 4 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$
$\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4$,$\beta = 1$,અને $\gamma = -3$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (4)^2 + (1)^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$.
ધારો કે $\vec{b} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$,અને $\vec{d} = \hat{k}$.
પ્રક્ષેપો સમાન હોવાથી,$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|}$.
માન ગણતા: $|\vec{b}| = 3$,$|\vec{c}| = 3$,અને $|\vec{d}| = 1$.
તેથી,$\frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = \frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = a_3$.
$\frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = a_3$ પરથી,$2a_1 - a_2 - a_3 = 0$.
$\frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = a_3$ પરથી,$a_1 + 2a_2 - 5a_3 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a_1 = \frac{7}{5}a_3$ અને $a_2 = \frac{9}{5}a_3$ મળે છે.
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ માં કિંમત મૂકતા: $(\frac{7}{5}a_3)^2 + (\frac{9}{5}a_3)^2 + a_3^2 = 1 \implies a_3 = \frac{5}{\sqrt{155}}$.
આમ,$\vec{a} = \frac{1}{\sqrt{155}}(7 \hat{i} + 9 \hat{j} + 5 \hat{k})$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \hat{d} = \vec{b} \times \hat{d}$,તેથી $(\vec{a} - \vec{b}) \times \hat{d} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{d}$ એ $\vec{a} - \vec{b}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{a} - \vec{b} = (1-3)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\hat{d}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$\hat{d} = \pm \frac{-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{3}$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ હોવાથી,$(\lambda \hat{j} + \mu \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$,એટલે કે $\lambda + \mu = 0$,જેનો અર્થ છે $\mu = -\lambda$.
તેથી,$\vec{c} = \lambda(\hat{j} - \hat{k})$.
$\vec{c} \cdot \hat{d} = 1$ હોવાથી,$\lambda(\hat{j} - \hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{3}(-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 1$.
$\pm \frac{\lambda}{3}(-1 - 2) = 1 \Rightarrow \mp \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \mp 1$.
બંને કિસ્સામાં,$\lambda^2 = 1$ અને $\mu^2 = \lambda^2 = 1$.
આપણે $|3 \lambda \hat{d} + \mu \vec{c}|^2 = 9 \lambda^2 |\hat{d}|^2 + \mu^2 |\vec{c}|^2 + 6 \lambda \mu (\hat{d} \cdot \vec{c})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$|\hat{d}|^2 = 1$,$|\vec{c}|^2 = \lambda^2 + \mu^2 = 2\lambda^2 = 2$,અને $\hat{d} \cdot \vec{c} = 1$ હોવાથી:
$|3 \lambda \hat{d} + \mu \vec{c}|^2 = 9(1)(1) + (1)(2) + 6(\lambda)(-\lambda)(1) = 9 + 2 - 6\lambda^2 = 11 - 6(1) = 5$.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{u} = 3\hat{i} - \hat{j}$ અને $\overrightarrow{v} = 2\hat{i} + \hat{j} - \lambda\hat{k}$.
$\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}$ થાય.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (3)(2) + (-1)(1) + (0)(-\lambda) = 6 - 1 = 5$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.
$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-\lambda)^2} = \sqrt{5 + \lambda^2}$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$,તેથી $\frac{5}{\sqrt{10} \sqrt{5 + \lambda^2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{10(5 + \lambda^2)} = \frac{5}{4 \times 7} = \frac{5}{28}$.
$\frac{5}{2(5 + \lambda^2)} = \frac{5}{28} \Rightarrow 5 + \lambda^2 = 14 \Rightarrow \lambda^2 = 9 \Rightarrow \lambda = 3$ (કારણ કે $\lambda > 0$).
હવે,$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$,જ્યાં $\vec{v}_1 \parallel \overrightarrow{u}$ અને $\vec{v}_2 \perp \overrightarrow{u}$.
કારણ કે $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$ થાય.
$|\vec{v}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$.
આમ,$|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 = 14$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{c} = 3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})$.
$\sin \theta = \frac{\sqrt{65}}{9}$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{65}{81} = \frac{16}{81}$,તેથી $\cos \theta = \frac{4}{9}$ (કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$).
હવે,$\vec{c} \cdot \hat{a} = (3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})) \cdot \hat{a} = 3(\hat{a} \cdot \hat{a}) + 6(\hat{b} \cdot \hat{a}) + 9((\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{a})$.
$\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,$\hat{b} \cdot \hat{a} = \cos \theta = \frac{4}{9}$,અને $(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{a} = 0$ હોવાથી,$\vec{c} \cdot \hat{a} = 3(1) + 6(\frac{4}{9}) + 0 = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$.
તે જ રીતે,$\vec{c} \cdot \hat{b} = (3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})) \cdot \hat{b} = 3(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 6(\hat{b} \cdot \hat{b}) + 9((\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{b})$.
$\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{4}{9}$,$\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$,અને $(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{b} = 0$ હોવાથી,$\vec{c} \cdot \hat{b} = 3(\frac{4}{9}) + 6(1) + 0 = \frac{4}{3} + 6 = \frac{22}{3}$.
અંતે,$9(\vec{c} \cdot \hat{a}) - 3(\vec{c} \cdot \hat{b}) = 9(\frac{17}{3}) - 3(\frac{22}{3}) = 3(17) - 22 = 51 - 22 = 29$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{a}-\vec{b}|}=\sqrt{2}+1$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{|\vec{a}+\vec{b}|}{|\vec{a}-\vec{b}|} = \frac{(\sqrt{2}+1)+1}{(\sqrt{2}+1)-1} = \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (1+\sqrt{2})^2 |\vec{a}-\vec{b}|^2$.
$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (3+2\sqrt{2}) |\vec{a}-\vec{b}|^2$.
ધારો કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$.
$2k^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = (3+2\sqrt{2})(2k^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b})$.
$2k^2$ વડે ભાગતા:
$1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2} = (3+2\sqrt{2})(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2})$.
ધારો કે $x = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2}$.
$1+x = 3+2\sqrt{2} - (3+2\sqrt{2})x$.
$x(4+2\sqrt{2}) = 2+2\sqrt{2}$.
$x = \frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} = 1 + 1 + 2x = 2 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2+\sqrt{2}$.

(D) ધારો કે સદિશ $\vec{p}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે. તેથી $\vec{p} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$.
કારણ કે $\vec{p}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{p} \cdot \vec{a} = 0$.
$(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (1)(2) + (-1)(1) = 2 + 2 - 1 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6 + \lambda(3) = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
તેથી,$\vec{p} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - 2(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -3\hat{i} + 3\hat{k}$.
એકમ સદિશ $\hat{c}$ એ $\pm \frac{\vec{p}}{|\vec{p}|} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{k}}{\sqrt{(-3)^2 + 3^2}} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{k}}{3\sqrt{2}} = \pm \frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સદિશ $\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{i} + \hat{k})$ છે.

(C) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H$ અને પરિકેન્દ્ર $P$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,વિભાજન સૂત્ર મુજબ,મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\bar{g} = \frac{1 \cdot \bar{h} + 2 \cdot \bar{p}}{1 + 2}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $3 \bar{g} = \bar{h} + 2 \bar{p}$ થાય છે,જેને $2 \bar{p} + 1 \bar{h} - 3 \bar{g} = \overline{0}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ સમીકરણ $x \bar{p} + y \bar{h} + z \bar{g} = \overline{0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$,$y = 1$ અને $z = -3$ મળે છે.

(C) કારણ કે $\triangle ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે,તેથી સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ પરસ્પર લંબ છે,એટલે કે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (3-4)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (8-x)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} + (8-x)\hat{k}$
$\vec{AC} = (2-4)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-x)\hat{k} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + (2-x)\hat{k}$
હવે,ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$(-1)(-2) + (-1)(-3) + (8-x)(2-x) = 0$
$2 + 3 + (16 - 8x - 2x + x^2) = 0$
$5 + 16 - 10x + x^2 = 0$
$x^2 - 10x + 21 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-3)(x-7) = 0$
આમ,$x = 3$ અથવા $x = 7$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચી કિંમત $3$ છે.

(B) આપેલ છે: $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=4, |\overline{c}|=4$.
શરત મુજબ,$\overline{b}$ નો $\overline{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\overline{c}$ નો $\overline{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ.
$\frac{\overline{b} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|} = \frac{\overline{c} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|}$
$\implies \overline{b} \cdot \overline{a} = \overline{c} \cdot \overline{a}$
$\implies (\overline{b} - \overline{c}) \cdot \overline{a} = 0$ ... $(i)$
વળી,$\overline{b}$ એ $\overline{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$.
હવે,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b} - \overline{c}|^2 + 2\overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c})$ લો.
$(i)$ પરથી,$\overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c}) = 0$.
તેથી,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 - 2(\overline{b} \cdot \overline{c})$.
કારણ કે $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$,આપણને મળે છે:
$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = (2)^2 + (4)^2 + (4)^2 - 0 = 4 + 16 + 16 = 36$.
તેથી,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}| = \sqrt{36} = 6$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overline{AB}$ અને $\overline{CD}$ શોધીએ:
$\overline{AB} = (1-2)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-2-0)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\overline{CD} = (7-4)\hat{i} + (0-6)\hat{j} + (10-8)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
સદિશ $\overline{AB}$ નો સદિશ $\overline{CD}$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Projection} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CD}}{|\overline{CD}|}$
અદિશ ગુણાકાર $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-1)(3) + (-1)(-6) + (-2)(2) = -3 + 6 - 4 = -1$
$\overline{CD}$ નું માન શોધીએ:
$|\overline{CD}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$
આમ,અદિશ પ્રક્ષેપ:
$\frac{-1}{7}$
નોંધ: પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $|\frac{-1}{7}| = \frac{1}{7}$ થાય.

(C) $\vec{a}$ પર $\vec{b}$ નો સદિશ પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \cdot \vec{a} = (7)(3) + (-5)(2) + (-1)(5) = 21 - 10 - 5 = 6$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{a}$ ના માનનો વર્ગ: $|\vec{a}|^2 = 3^2 + 2^2 + 5^2 = 9 + 4 + 25 = 38$ શોધો.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
સદિશ પ્રક્ષેપ = $\frac{6}{38} (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}) = \frac{3}{19} (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k})$.

(B) આપેલ બિંદુઓ $A=(-2,2,3), B=(3,2,2), C=(4,-3,5)$ અને $D=(7,-5,-1)$ છે.
સદિશ $\overline{AB} = (3 - (-2))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k} = 5\hat{i} - \hat{k}$.
સદિશ $\overline{CD} = (7 - 4)\hat{i} + (-5 - (-3))\hat{j} + (-1 - 5)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$.
સદિશ $\overline{AB}$ નો સદિશ $\overline{CD}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\overline{AB} \cdot \overline{CD}}{|\overline{CD}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (5)(3) + (0)(-2) + (-1)(-6) = 15 + 0 + 6 = 21$.
ત્યારબાદ,$\overline{CD}$ નું માન શોધો: $|\overline{CD}| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{21}{7} = 3$ થાય.

(A) $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ના સમતલમાં કોઈપણ સદિશ $\overrightarrow{r} = m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ તરીકે લખી શકાય.
$\overrightarrow{r} = m(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (m+1)\hat{i} + (2m+1)\hat{j} + (-m-2)\hat{k}$.
$\overrightarrow{a}$ પર $\overrightarrow{r}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{|\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.
$\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,તેથી $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{6}$.
$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 2(m+1) - (2m+1) + (-m-2) = -m - 1$.
તેથી,$\frac{|-m-1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
$|-m-1| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $-m-1 = 2$ અથવા $-m-1 = -2$.
જો $-m-1 = 2$,તો $m = -3$. તેથી $\overrightarrow{r} = -2\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k}$.
જો $-m-1 = -2$,તો $m = 1$. તેથી $\overrightarrow{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $\bar{r} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{a}$ અને $\bar{r} \times \bar{b} = \bar{a} \times \bar{b}$ છે.
આને $\bar{r} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a} = 0$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $(\bar{r} - \bar{b}) \times \bar{a} = 0$. આથી $\bar{r} - \bar{b} = t\bar{a}$ કોઈ અદિશ $t$ માટે,તેથી $\bar{r} = \bar{b} + t\bar{a}$.
તે જ રીતે,$\bar{r} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} = 0$ નો અર્થ છે કે $(\bar{r} - \bar{a}) \times \bar{b} = 0$,તેથી $\bar{r} = \bar{a} + s\bar{b}$ કોઈ અદિશ $s$ માટે.
$\bar{r}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\bar{b} + t\bar{a} = \bar{a} + s\bar{b}$.
$\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\bar{b} = 2\hat{i} - \hat{k}$ મૂકતા:
$(2\hat{i} - \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j}) = (\hat{i} + \hat{j}) + s(2\hat{i} - \hat{k})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$i: 2 + t = 1 + 2s \implies t - 2s = -1$
$j: t = 1$
$k: -1 = -s \implies s = 1$
$t=1$ અને $s=1$ ને $\bar{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\bar{r} = \bar{b} + 1\bar{a} = (2\hat{i} - \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j}) = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, 1, -1)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\triangle PQR$ એ $Q$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે.
તેથી,સદિશો $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ એકબીજાને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{QP} \cdot \vec{QR} = 0$.
સૌ પ્રથમ,સદિશો $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ શોધો:
$\vec{QP} = (6-1, 10-0, 10-(-5)) = (5, 10, 15)$
$\vec{QR} = (6-1, -10-0, \lambda-(-5)) = (5, -10, \lambda+5)$
હવે,ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (5)(5) + (10)(-10) + (15)(\lambda+5) = 0$
$25 - 100 + 15\lambda + 75 = 0$
$-75 + 15\lambda + 75 = 0$
$15\lambda = 0$
$\lambda = 0$

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$P$ એ $BC$ ને $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7}$ છે.
$Q$ એ $CA$ ને $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,$Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{3\vec{c} + 5\vec{a}}{8}$ છે.
ધારો કે $G$ એ $AP$ ને $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી $\vec{g} = \frac{1\vec{a} + k\vec{p}}{k+1} = \frac{\vec{a} + k(\frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7})}{k+1} = \frac{7\vec{a} + 4k\vec{b} + 3k\vec{c}}{7(k+1)}$.
વળી,$G$ એ $BQ$ પર આવેલું હોવાથી,$\vec{g} = \frac{m\vec{q} + 1\vec{b}}{m+1} = \frac{m(\frac{3\vec{c} + 5\vec{a}}{8}) + \vec{b}}{m+1} = \frac{5m\vec{a} + 8\vec{b} + 3m\vec{c}}{8(m+1)}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{7}{7(k+1)} = \frac{5m}{8(m+1)} \implies \frac{1}{k+1} = \frac{5m}{8(m+1)}$
$\frac{4k}{7(k+1)} = \frac{8}{8(m+1)} \implies \frac{4k}{7(k+1)} = \frac{1}{m+1}$
$\frac{3k}{7(k+1)} = \frac{3m}{8(m+1)} \implies \frac{k}{7(k+1)} = \frac{m}{8(m+1)}$
પ્રથમ અને ત્રીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{1}{k+1} = 5 \times \frac{k}{7(k+1)} \implies 1 = \frac{5k}{7} \implies k = \frac{7}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $7:5$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$ થાય.
$\bar{a}+\bar{b}$ એક એકમ સદિશ હોવાથી,$|\bar{a}+\bar{b}| = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 1^2$ મળે.
$|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 1$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1$ મળે.
$|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$ ની કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2|\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = 1$ મળે.
$1 + 1 + 2(1)(1) \cos \theta = 1$.
$2 + 2 \cos \theta = 1$.
$2 \cos \theta = -1$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ મળે.

(D) સદિશ $\bar{c}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,આપણે $\bar{c} = x\bar{a} + y\bar{b}$ લખી શકીએ,જ્યાં $x$ અને $y$ અદિશ છે.
$\bar{c} = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + y(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2x + y)\hat{i} + (x + 2y)\hat{j} + (x - y)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\bar{c} \perp \bar{a}$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ થાય.
$(2x + y)(2) + (x + 2y)(1) + (x - y)(1) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$\bar{c}$ ના સમીકરણમાં $y = -2x$ મૂકતા:
$\bar{c} = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2x(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} - 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) = x(-3\hat{j} + 3\hat{k}) = 3x(-\hat{j} + \hat{k})$.
જો $x = 1/3$ લઈએ,તો $\bar{c} = -\hat{j} + \hat{k}$ મળે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$P$ એ $AC$ ને $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{p} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{c}}{7}$.
$Q$ એ $BC$ ને $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{q} = \frac{3\vec{b} + 4\vec{c}}{7}$.
$M$ એ $BP$ અને $AQ$ નું છેદબિંદુ છે. મેનેલાઉસના પ્રમેય મુજબ $\triangle ACQ$ માટે રેખા $B-M-P$ સાથે: $\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{QB}{BC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$.
અહીં $BQ:QC = 4:3$,તેથી $QB:BC = 4:7$.
અને $AP:PC = 3:4$,તેથી $CP:PA = 4:3$.
તેથી,$\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{3} = 1$.
$\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{16}{21} = 1 \implies \frac{AM}{MQ} = \frac{21}{16}$.
આમ,$M$ એ $AQ$ ને $21:16$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 4\hat{i}+7\hat{j}+8\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i}+5\hat{j}+7\hat{k}$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle B$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $AC$ ને $BA : BC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
લંબાઈ $BA$ અને $BC$ ની ગણતરી કરો:
$BA = |\vec{a} - \vec{b}| = |2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}| = \sqrt{4+16+16} = 6$.
$BC = |\vec{c} - \vec{b}| = |0\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}| = \sqrt{0+4+9} = \sqrt{13}$.
બિંદુ $D$ એ $AC$ ને $6 : \sqrt{13}$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{6\vec{c} + \sqrt{13}\vec{a}}{6+\sqrt{13}}$ મળે છે.
$\vec{d} = \frac{(12+4\sqrt{13})\hat{i} + (30+7\sqrt{13})\hat{j} + (42+8\sqrt{13})\hat{k}}{6+\sqrt{13}}$.

(B) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ બે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{a} \times (2\bar{a} + 3\bar{b})| = \frac{1}{2} |2(\bar{a} \times \bar{a}) + 3(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |0 + 3(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AD} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{b} \times (2\bar{a} + 3\bar{b})| = \frac{1}{2} |2(\bar{b} \times \bar{a}) + 3(\bar{b} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |-2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0| = |\bar{a} \times \bar{b}|$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| + |\bar{a} \times \bar{b}| = \frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$AB$ અને $AD$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ છે.
આપેલ છે કે ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળના $\alpha$ ગણું છે,તેથી $\frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \alpha |\bar{a} \times \bar{b}|$.
આમ,$\alpha = \frac{5}{2}$.

(A) ધારો કે $\vec{r}$ અને $\vec{s}$ એ બિંદુઓ $R$ અને $S$ ના સ્થાન સદિશો છે.
$2:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r} = \frac{2\vec{q} + 3\vec{p}}{2+3} = \frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5}$
$2:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{s} = \frac{2\vec{q} - 3\vec{p}}{2-3} = \frac{2\vec{q} - 3\vec{p}}{-1} = 3\vec{p} - 2\vec{q}$
કારણ કે $\vec{OR}$ અને $\vec{OS}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{r} \cdot \vec{s} = 0$
$\left(\frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5}\right) \cdot (3\vec{p} - 2\vec{q}) = 0$
$(3\vec{p} + 2\vec{q}) \cdot (3\vec{p} - 2\vec{q}) = 0$
$9|\vec{p}|^2 - 6(\vec{p} \cdot \vec{q}) + 6(\vec{q} \cdot \vec{p}) - 4|\vec{q}|^2 = 0$
$9p^2 - 4q^2 = 0$
$9p^2 = 4q^2$

(A) કારણ કે $\overline{a}$ એ $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તે $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ ની દિશામાંના એકમ સદિશોના સરવાળાના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\hat{b} = \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$ અને $\hat{c} = \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$.
સદિશ $\overline{a}$ ને કોઈ અદિશ $k$ માટે $\overline{a} = k(\hat{b} + \hat{c})$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$\overline{a} = k \left( \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{k}{\sqrt{2}} (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$.
આપેલ છે કે $\overline{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\alpha = \frac{k}{\sqrt{2}}$,$2 = \frac{2k}{\sqrt{2}}$,અને $\beta = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
$2 = \frac{2k}{\sqrt{2}}$ પરથી,આપણને $k = \sqrt{2}$ મળે છે.
$\alpha$ અને $\beta$ ના સમીકરણોમાં $k = \sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને $\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ અને $\beta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ મળે છે.
આમ,$\alpha=1$ અને $\beta=1$.

(A) સ્થાન સદિશ $\overline{OP} = \hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ છે.
લંબાઈ $M = |\overline{OP}|$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M^2 = |\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t|^2 = |\hat{a}|^2 \cos^2 t + |\hat{b}|^2 \sin^2 t + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin t \cos t$.
કારણ કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = |\hat{b}| = 1$.
$M^2 = \cos^2 t + \sin^2 t + (\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin 2t = 1 + (\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin 2t$.
$M$ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2t = 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $2t = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{\pi}{4}$.
તેથી $M = \sqrt{1 + \hat{a} \cdot \hat{b}}$.
$\overline{OP}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|}$ છે.
$t = \frac{\pi}{4}$ પર,$\overline{OP} = \hat{a} \cos(\frac{\pi}{4}) + \hat{b} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})$.
આમ,$\hat{u} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})}{|\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$.

(D) આપેલ છે કે $\overline{a}+2\overline{b}$ એ $\overline{c}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી $\overline{a}+2\overline{b} = n\overline{c}$ જ્યાં $n$ એ શૂન્યતર અદિશ છે. $(i)$
તે જ રીતે,$\overline{b}+3\overline{c}$ એ $\overline{a}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી $\overline{b}+3\overline{c} = m\overline{a}$ જ્યાં $m$ એ શૂન્યતર અદિશ છે. (ii)
(ii) પરથી,$\overline{b} = m\overline{a} - 3\overline{c}$ મળે.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $\overline{a} + 2(m\overline{a} - 3\overline{c}) = n\overline{c}$.
આથી $(1+2m)\overline{a} = (n+6)\overline{c}$ મળે.
કારણ કે $\overline{a}$ અને $\overline{c}$ સમરેખ નથી,તેથી સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ: $1+2m = 0 \Rightarrow m = -1/2$ અને $n+6 = 0 \Rightarrow n = -6$.
હવે,$\overline{a}+2\overline{b}+6\overline{c}$ પદને ધ્યાનમાં લો.
$(i)$ પરથી,$\overline{a}+2\overline{b} = n\overline{c} = -6\overline{c}$.
તેથી,$\overline{a}+2\overline{b}+6\overline{c} = -6\overline{c} + 6\overline{c} = \overline{0}$.

(C) આપેલ સદિશો $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ શોધીએ:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
કારણ કે $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$(2-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$.

(A) આપેલ છે $\overline{OP} = \hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t$.
$M = |\overline{OP}| = \sqrt{(\hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t)^2}$.
$\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\hat{a}| = 1$ અને $|\hat{b}| = 1$.
$M^2 = \sin^2 t |\hat{a}|^2 + \cos^2 t |\hat{b}|^2 + 2 \sin t \cos t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = \sin^2 t + \cos^2 t + \sin 2t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + \sin 2t (\hat{a} \cdot \hat{b})$.
$P$ ઉગમબિંદુ $O$ થી સૌથી દૂર હોય તે માટે,$M$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\hat{a}$ અને $\hat{b}$ લઘુકોણ બનાવતા હોવાથી,$\hat{a} \cdot \hat{b} > 0$.
તેથી,$M$ મહત્તમ થાય જ્યારે $\sin 2t = 1$,જેનો અર્થ છે $2t = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $t = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ પર,$\sin t = \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$M = \sqrt{1 + 1(\hat{a} \cdot \hat{b})} = (1 + \hat{a} \cdot \hat{b})^{\frac{1}{2}}$.
$\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|} = \frac{\hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t}{M} = \frac{\hat{a} \frac{1}{\sqrt{2}} + \hat{b} \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} |\hat{a} + \hat{b}|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$.

(D) આપેલ શરત મુજબ,સદિશ $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
સૌ પ્રથમ,$\bar{a}+\lambda \bar{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = (2+2\lambda) \hat{i} + (3+\lambda) \hat{j} + (2-\lambda) \hat{k}$
હવે,$\bar{c} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 0 \hat{k}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર કરતા:
$[(2+2\lambda) \hat{i} + (3+\lambda) \hat{j} + (2-\lambda) \hat{k}] \cdot (3 \hat{i} - \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$3(2+2\lambda) - 1(3+\lambda) + 0(2-\lambda) = 0$
$6 + 6\lambda - 3 - \lambda = 0$
$3 + 5\lambda = 0$
$5\lambda = -3$
$\lambda = \frac{-3}{5}$

(C) આપેલ છે: $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$.
શરત મુજબ,$\overline{v}$ નો $\overline{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\overline{w}$ નો $\overline{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ.
$\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|} = \frac{\overline{w} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$
$\implies \overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u}$
$\implies (\overline{w} - \overline{v}) \cdot \overline{u} = 0$.
હવે,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = |\overline{u} + (\overline{w} - \overline{v})|^2$ ધ્યાનમાં લો.
$= |\overline{u}|^2 + |\overline{w} - \overline{v}|^2 + 2\overline{u} \cdot (\overline{w} - \overline{v})$.
કારણ કે $(\overline{w} - \overline{v}) \cdot \overline{u} = 0$,તેથી છેલ્લું પદ $0$ થશે.
$= |\overline{u}|^2 + |\overline{w}|^2 + |\overline{v}|^2 - 2(\overline{w} \cdot \overline{v})$.
$\overline{v}$ અને $\overline{w}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\overline{w} \cdot \overline{v} = 0$.
$= (1)^2 + (3)^2 + (2)^2 - 0 = 1 + 9 + 4 = 14$.
તેથી,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}| = \sqrt{14}$.

(D) આપેલ છે કે $|\overline{b}|=4, |\overline{c}|=1$ અને $|\overline{b} \times \overline{c}|=\sqrt{15}$.
ધારો કે $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
$|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}||\overline{c}| \sin \alpha = \sqrt{15}$.
$4 \times 1 \times \sin \alpha = \sqrt{15} \implies \sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
તેથી,$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \implies \cos \alpha = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $\overline{b} = 2\overline{c} + \lambda \overline{a}$,તેથી $\overline{b} - 2\overline{c} = \lambda \overline{a}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\overline{b} - 2\overline{c}|^2 = |\lambda \overline{a}|^2$.
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$.
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(|\overline{b}||\overline{c}| \cos \alpha) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$.
$16 + 4(1) - 4(4 \times 1 \times \frac{1}{4}) = \lambda^2 (2)^2$.
$16 + 4 - 4 = 4\lambda^2$.
$16 = 4\lambda^2 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$. વિકલ્પ મુજબ સાચો જવાબ $4$ છે.