System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Hindi

(B) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $2l^2+2m^2-n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$n = -(l+m)$ है।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2l^2 + 2m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$2l^2 + 2m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$l^2 + m^2 - 2lm = 0$
$(l-m)^2 = 0 \Rightarrow l=m$ प्राप्त होता है।
यदि $l=m$ है,तो $n = -(l+l) = -2l$ होगा।
रेखाओं के दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ के समानुपाती हैं,जो सरल होकर $(1, 1, -2)$ हो जाते हैं।
चूंकि दोनों रेखाओं के लिए दिक्-अनुपात समान हैं,इसलिए रेखाएं समांतर हैं।
समांतर रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$180^{\circ}$ सही उत्तर है।

(D) मान लीजिए कि रेखा की दिक्-कोसाइन $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा अक्षों के साथ $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ कोण बनाती है,इसलिए $l = \cos(\frac{\alpha}{2}), m = \cos(\frac{\beta}{2}), n = \cos(\frac{\gamma}{2})$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\beta}{2}) + \cos^2(\frac{\gamma}{2}) = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1$,इसलिए $\cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ है।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर:
$\frac{1 + \cos \alpha}{2} + \frac{1 + \cos \beta}{2} + \frac{1 + \cos \gamma}{2} = 1$
$\frac{3 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma}{2} = 1$
$3 + \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2$
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2 - 3 = -1$.

(B) मान लीजिए कि रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा $x$ और $y$ अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाती है,इसलिए $l = \cos \alpha$ और $m = \cos \alpha$ है। मान लीजिए $z$-अक्ष के साथ कोण $\theta$ है,इसलिए $n = \cos \theta$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \theta = 1$।
सर्वसमिका $\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \theta) = 1$।
$3 - 2 \sin^2 \alpha - \sin^2 \theta = 1$।
दिया गया है कि $\sin^2 \theta = 2 \sin^2 \alpha$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$3 - 2 \sin^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha = 1$।
$3 - 4 \sin^2 \alpha = 1$।
$4 \sin^2 \alpha = 2$।
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} = \sin^2 \frac{\pi}{4}$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$।

(B) माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $a, b, c$ हैं। चूंकि रेखा $\langle -1, 2, 2 \rangle$ और $\langle 0, 2, 1 \rangle$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए सदिश $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ दिए गए दोनों सदिशों के सदिश गुणनफल (cross product) के समांतर है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(-2-0) = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $\langle -2, 1, -2 \rangle$ या $\langle 2, -1, 2 \rangle$ हैं।
सदिश का परिमाण $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ है।
इसलिए दिक्-कोसाइन $\langle \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{2}{3} \rangle$ हैं।

(A) दिए गए बिंदु $O \equiv(0, 0, 0)$ और $P \equiv(1, 2, 3)$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\overline{OP}$ की लंबाई की गणना करें:
$|\overline{OP}| = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
सदिश $\overline{OP} = (x, y, z)$ की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ को $\frac{x}{|\overline{OP}|}, \frac{y}{|\overline{OP}|}, \frac{z}{|\overline{OP}|}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ हैं।

(C) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x+2}{2} = \frac{2y-4}{3}$ और $z = -1$ है।
हम समीकरण को $\frac{x+2}{2} = \frac{2(y-2)}{3} = \frac{y-2}{3/2}$ और $z = -1$ के रूप में लिख सकते हैं।
रेखा के दिक् अनुपात (direction ratios) $(a, b, c) = (2, \frac{3}{2}, 0)$ हैं।
दिक् कोज्या ज्ञात करने के लिए,हम दिक् अनुपात के सदिश का परिमाण निकालते हैं: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
दिक् कोज्या $(\ell, m, n)$ इस प्रकार दी जाती है: $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}})$.
अतः,$\ell = \pm \frac{2}{5/2} = \pm \frac{4}{5}$,$m = \pm \frac{3/2}{5/2} = \pm \frac{3}{5}$,और $n = \pm \frac{0}{5/2} = 0$.
इसलिए,दिक् कोज्या $\pm \frac{4}{5}, \pm \frac{3}{5}, 0$ हैं।

(C) मान लीजिए कि रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा प्रत्येक निर्देशांक अक्ष के साथ समान कोण $\alpha$ बनाती है,इसलिए $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,और $n = \cos \alpha$ होगा।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$3 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$।
चूँकि रेखा प्रथम अष्टांश $OXYZ$ में है,इसलिए दिक्-कोज्याएँ धनात्मक होनी चाहिए,अतः $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,$l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(C) माना रेखा के दिक्-कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
$\alpha = \beta = \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
इससे $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$,अतः $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि कोण न्यून कोण हैं,इसलिए $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ धनात्मक होने चाहिए।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं।

(B) दिक्कोसाइन उन कोणों के कोसाइन होते हैं जो एक रेखा धनात्मक अक्षों के साथ बनाती है। इन्हें $\langle l, m, n \rangle$ द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $l, m, n$ क्रमशः $x$-अक्ष,$y$-अक्ष और $z$-अक्ष के संगत होते हैं। दिक्कोसाइन के वर्गों का योग इकाई होता है,अर्थात $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$.
चूंकि रेखा $ZOX$ समतल में स्थित है,यह $y$-अक्ष के लंबवत है। इसलिए,$y$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $90^{\circ}$ है,अतः $m = \cos(90^{\circ}) = 0$.
रेखा $Z$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए $n = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
गुणधर्म $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ का उपयोग करते हुए,$m = 0$ और $n = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$l^{2} + 0^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 1$
$l^{2} + \frac{3}{4} = 1$
$l^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$l = \pm \frac{1}{2}$.
अतः,दिक्कोसाइन $\langle \pm \frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2} \rangle$ हैं।

(C) दो रेखाओं,जिनके दिक्-अनुपात $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हैं,के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ होता है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$,$a_1=4, b_1=-3, c_1=5$ और $a_2=3, b_2=4, c_2=k$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\cos \frac{\pi}{3} = \left| \frac{4(3) + (-3)(4) + 5k}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + k^2}} \right|$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{12 - 12 + 5k}{\sqrt{16 + 9 + 25} \sqrt{9 + 16 + k^2}} \right|$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{5k}{\sqrt{50} \sqrt{25 + k^2}} \right| = \left| \frac{5k}{5\sqrt{2} \sqrt{25 + k^2}} \right| = \left| \frac{k}{\sqrt{2} \sqrt{25 + k^2}} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} = \frac{k^2}{2(25 + k^2)}$.
$2(25 + k^2) = 4k^2$.
$50 + 2k^2 = 4k^2$.
$2k^2 = 50 \Rightarrow k^2 = 25$.
अतः,$k = \pm 5$.

(C) एक रेखा के दिक्-कोसाइन को $\ell, m, n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है कि $\ell = \frac{1}{c}$,$m = \frac{1}{c}$,और $n = \frac{1}{c}$ है।
हम जानते हैं कि दिक्-कोसाइन का मूल गुण $\ell^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{1}{c})^{2} + (\frac{1}{c})^{2} + (\frac{1}{c})^{2} = 1$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{3}{c^{2}} = 1$ है।
अतः,$c^{2} = 3$,जिससे $c = \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि यदि कोई रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,तो उसकी दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होती हैं।
दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
अब,हमें $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
वर्गों के योग का मान $1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

(C) धनात्मक $Y$ और $Z$ अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश क्रमशः $\hat{j} = (0, 1, 0)$ और $\hat{k} = (0, 0, 1)$ हैं।
इन दो अक्षों के बीच के कोण के समद्विभाजक पर स्थित सदिश इन इकाई सदिशों के योग द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{v} = \hat{j} + \hat{k} = (0, 1, 1)$।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
दिक्-कोज्याएँ प्राप्त करने के लिए सदिश के घटकों को उसके परिमाण से विभाजित करते हैं:
$l = 0/\sqrt{2} = 0$,
$m = 1/\sqrt{2}$,
$n = 1/\sqrt{2}$।
अतः,दिक्-कोज्याएँ $(0, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि एक रेखा के दिक्-कोसाइन (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है,अर्थात $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$.
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,इसलिए $\alpha = 90^{\circ} - \beta$.
$\cos \alpha$ के लिए यह मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos \alpha = \cos(90^{\circ} - \beta) = \sin \beta$.
अतः,$\cos^{2} \alpha = \sin^{2} \beta$.
सर्वसमिका $\sin^{2} \beta = 1 - \cos^{2} \beta$ का उपयोग करने पर,$\cos^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \beta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta = 1$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $(1) + \cos^{2} \gamma = 1$.
इससे $\cos^{2} \gamma = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos \gamma = 0$.
अतः,$\gamma = 90^{\circ}$.

(B) मान लीजिए कि रेखा के दिशा कोण $\alpha = \frac{\pi}{6}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ हैं और $Z$ अक्ष के साथ कोण $\gamma$ है।
दिक् कोसाइन (direction cosines) के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,अर्थात $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^2(\frac{\pi}{6}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \gamma = 1$।
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$।
अतः,$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$।
$1 + \cos^2 \gamma = 1$।
$\cos^2 \gamma = 0$,जिसका अर्थ है कि $\cos \gamma = 0$।
इसलिए,$\gamma = \frac{\pi}{2}$।

(A) माना रेखा द्वारा $x$,$y$ और $z$-अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 45^{\circ}$ और $\beta = \gamma = \theta$।
दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$।
मान रखने पर,$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$।
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2 \cos^2 \theta = 1$।
$\frac{1}{2} + 2 \cos^2 \theta = 1$।
$2 \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
$\cos^2 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{2}$।
अतः,दिक्-कोज्याएँ $(\cos 45^{\circ}, \cos \theta, \cos \theta)$ हैं,जो $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ या $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ प्राप्त होती हैं।

(C) एक रेखा की दिक्-कोसाइन $l, m, n$ को शर्त $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
विकल्प $A$ के लिए: $(\sqrt{\frac{1}{5}})^2 + (-\sqrt{\frac{1}{2}})^2 + (\sqrt{\frac{3}{10}})^2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{2+5+3}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
विकल्प $B$ के लिए: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.
विकल्प $C$ के लिए: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \neq 1$.
विकल्प $D$ के लिए: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 + 0^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1$.
चूंकि विकल्प $C$ के लिए वर्गों का योग $1$ नहीं है,इसलिए यह एक रेखा की दिक्-कोसाइन नहीं हो सकती है।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x+2}{2} = \frac{2y-5}{3}, z = -1$ है।
सबसे पहले,रेखा को मानक सममित रूप में लिखें:
$\frac{x+2}{2} = \frac{y - 5/2}{3/2} = \frac{z+1}{0}$।
रेखा के दिक्-अनुपात (direction ratios) $(a, b, c) = (2, 3/2, 0)$ हैं।
सरलीकरण के लिए,$2$ से गुणा करने पर: $(4, 3, 0)$ प्राप्त होता है।
दिक्-सदिश का परिमाण $\sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ है।
दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ का सूत्र $\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right)$ है।
अतः,दिक्-कोज्याएँ $\left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5}, 0 \right)$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि $\alpha, \beta, \gamma$ एक रेखा के दिक-कोण (direction angles) हैं,इसलिए दिक-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ हैं।
दिक-कोज्याओं के वर्गों का योग $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma = 1$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta = 1 - \cos ^{2} \theta$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma = (1 - \cos ^{2} \alpha) + (1 - \cos ^{2} \beta) + (1 - \cos ^{2} \gamma)$
$= 3 - (\cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \beta + \cos ^{2} \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$.

(B) माना रेखा $\overrightarrow{OR}$ की दिक्-कोज्याएँ $l, m, n$ हैं।
चूंकि रेखा $XOY, YOZ, ZOX$ समतलों के साथ क्रमशः $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$ कोण बनाती है,इसलिए इन समतलों के अभिलंबों (जो $Z, X, Y$ अक्ष हैं) के साथ कोण $\frac{\pi}{2}-\theta_{1}, \frac{\pi}{2}-\theta_{2}, \frac{\pi}{2}-\theta_{3}$ होंगे।
अतः,$|l| = \sin \theta_{2}$,$|m| = \sin \theta_{3}$,और $|n| = \sin \theta_{1}$।
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के लिए $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ होता है।
मान रखने पर,$\sin^{2} \theta_{2} + \sin^{2} \theta_{3} + \sin^{2} \theta_{1} = 1$।
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta$ का उपयोग करने पर,$(1-\cos^{2} \theta_{2}) + (1-\cos^{2} \theta_{3}) + (1-\cos^{2} \theta_{1}) = 1$।
$3 - (\cos^{2} \theta_{1} + \cos^{2} \theta_{2} + \cos^{2} \theta_{3}) = 1$।
इसलिए,$\cos^{2} \theta_{1} + \cos^{2} \theta_{2} + \cos^{2} \theta_{3} = 3 - 1 = 2$।

(C) पहली रेखा के दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 2, 1)$ हैं।
$(3, 1, 4)$ और $(7, 2, 12)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात $(a_2, b_2, c_2) = (7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{|(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}} = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}}$.
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(D) रेखा $OP$ के दिक अनुपात $(1, \sqrt{2}, 1)$ हैं।
माना रेखा $OP$ के दिक कोसाइन $(l, m, n)$ हैं।
सदिश $\vec{OP}$ का परिमाण $\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,दिक कोसाइन $l = \frac{1}{2}$,$m = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $n = \frac{1}{2}$ हैं।
$XOY$ समतल ($z=0$,अभिलंब $(0,0,1)$) के साथ कोण: $\sin \theta_1 = |0(1/2) + 0(1/\sqrt{2}) + 1(1/2)| = 1/2 \implies \theta_1 = 30^{\circ}$।
$YOZ$ समतल ($x=0$,अभिलंब $(1,0,0)$) के साथ कोण: $\sin \theta_2 = |1(1/2) + 0 + 0| = 1/2 \implies \theta_2 = 30^{\circ}$।
$ZOX$ समतल ($y=0$,अभिलंब $(0,1,0)$) के साथ कोण: $\sin \theta_3 = |0 + 1(1/\sqrt{2}) + 0| = 1/\sqrt{2} \implies \theta_3 = 45^{\circ}$।
अतः,सही उत्तर $30^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}$ है।

(C) एक सदिश $\vec{r}$ के निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुके होने के लिए, दिक्-कोसाइन को $|l| = |m| = |n|$ को संतुष्ट करना चाहिए।
चूंकि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$, हम $|l| = |m| = |n|$ प्रतिस्थापित करते हैं जिससे $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह $3l^2 = 1$ में सरल हो जाता है, जिससे $l^2 = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, और $n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
प्रत्येक दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के $2$ संभावित मान $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ हैं।
इसलिए, ऐसे सदिशों की कुल संख्या $2 \times 2 \times 2 = 8$ है।

(C) मान लीजिए कि सदिश $v$ तीनों अक्षों के साथ $\alpha$ कोण बनाता है। तो $v$ के दिक्-कोसाइन $\langle \cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha \rangle$ होंगे।
हम जानते हैं कि किसी भी सदिश के लिए,उसके दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग $1$ होता है:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$3 \cos^2 \alpha = 1$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,दिक्-कोसाइन $\langle \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \rangle$ या $\langle -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \rangle$ हैं।

(A) माना इकाई सदिश $\hat{a}$ के दिशा कोण $\alpha, \beta, \text{ और } \gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$,और $\gamma = \theta$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी इकाई सदिश के लिए,दिशा कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \theta = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,हमारे पास दो संभावित मान हैं:
यदि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,तो $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
यदि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,तो $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$\frac{2\pi}{3}$ सही उत्तर है।

(A) दिए गए बिंदु $A(1, 2, -3)$ और $B(-1, -2, 1)$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$ ज्ञात करें।
$\vec{AB} = (-1 - 1)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
अब,$\vec{AB}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
दिक्-कोसाइन $\frac{x}{|\vec{AB}|}, \frac{y}{|\vec{AB}|}, \frac{z}{|\vec{AB}|}$ द्वारा प्राप्त की जाती है।
$l = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$,$m = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$,$n = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ है।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x-1}{0}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-3}{0}$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ से तुलना करने पर,हमें दिक अनुपात $(a, b, c) = (0, 5, 0)$ प्राप्त होते हैं।
दिक कोसाइन $(l, m, n)$ इस प्रकार दिए जाते हैं: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
यहाँ,$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{0^2+5^2+0^2} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,$l = \frac{0}{5} = 0$,$m = \frac{5}{5} = 1$,और $n = \frac{0}{5} = 0$.
इसलिए,दिक कोसाइन $(0, 1, 0)$ हैं।

(A) दिए गए बिंदु के निर्देशांक $P(x, y, z) = (6, 7, 8)$ हैं।
किसी भी बिंदु $(x, y, z)$ की $XY$-समतल से लंबवत दूरी उसके $z$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,जो $|z|$ है।
यहाँ,$z$-निर्देशांक $8$ है।
अतः,$XY$-समतल से लंबवत दूरी $|8| = 8$ है।

(D) $XY$-समतल में किसी बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब लेने पर $z$-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है,जबकि $x$ और $y$ निर्देशांक समान रहते हैं।
अतः,$XY$-समतल में बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ का प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, -\gamma)$ होगा।

(A) आठ अष्टांशों में निर्देशांकों $(x, y, z)$ के चिह्न नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं:
| अष्टांश | $I$ | $II$ | $III$ | $IV$ | $V$ | $VI$ | $VII$ | $VIII$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $x$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $y$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $z$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ |
दिए गए बिंदु $(2, -4, -7)$ के लिए,हमारे पास है:
$x = 2$ (धनात्मक,$+$)
$y = -4$ (ऋणात्मक,$-$)
$z = -7$ (ऋणात्मक,$-$)
तालिका को देखने पर,वह अष्टांश जिसमें $x$ धनात्मक,$y$ ऋणात्मक और $z$ ऋणात्मक है,वह $VIII$ अष्टांश है।

(A) एक रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं।
यहाँ,$\alpha = 90^{\circ}, \beta = 60^{\circ}, \gamma = \theta$ है।
दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,इसलिए $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ है।
मान रखने पर: $\cos^2 90^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$ है।
$(0)^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$ है।
$0 + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$ है।
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
चूँकि $\theta$ न्यूनकोण है,इसलिए $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$ या $\frac{\pi}{6}$ रेडियन है।

(C) दिया गया है कि दिशा कोण $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{3}$ हैं।
मान लीजिए कि रेखा $Z$-अक्ष के साथ $\gamma$ कोण बनाती है।
हम दिककोज्या (direction cosines) का गुण जानते हैं: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \gamma = 1$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि कोण $\gamma$ न्यून कोण है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\gamma = \frac{\pi}{4}$।

(C) दिया गया है,रेखा $1$ के दिक्-कोसाइन $(l_{1}, m_{1}, n_{1}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
रेखा $2$ के दिक्-कोसाइन $(l_{2}, m_{2}, n_{2}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = |l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left|\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3 + 1 - 12}{16}\right| = \left|-\frac{8}{16}\right| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos 2\theta$ के लिए सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ होती है।
प्रत्येक पद के लिए इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$।
यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$।
चूंकि $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ सदिश $\vec{a}$ की दिक्कोज्याएं हैं,हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$।

(A) हम जानते हैं कि जब कोई अंतरिक्ष सदिश $x, y$ और $z$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ कोण बनाता है,तो दिक कोज्या (direction cosines) निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करते हैं:
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$
दिया गया है कि $\alpha = 150^{\circ}$ और $\beta = 60^{\circ}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\cos^{2} 150^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$
चूंकि $\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$
$1 + \cos^{2} \gamma = 1$
$\cos^{2} \gamma = 0$
$\cos \gamma = 0$
अतः,$\gamma = 90^{\circ}$।

(A) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l, m, n$ हैं। दिया गया है कि रेखा $X$ और $Y$-अक्षों के साथ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है,इसलिए $l = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ और $m = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + n^2 = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + n^2 = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{2} + n^2 = 1$ $\Rightarrow n^2 = \frac{1}{2}$.
अतः,$n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$Z$-अक्ष के साथ न्यून कोण $\gamma$ के लिए,$\cos \gamma = |n| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\gamma = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$।

(D) किसी किरण द्वारा अक्षों के साथ बनाए गए कोणों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
यहाँ $\beta = 2\alpha$ और $\gamma = 3\alpha$ दिया गया है,इसलिए $\cos^2 \alpha + \cos^2 2\alpha + \cos^2 3\alpha = 1$।
$\alpha = \frac{\pi}{6}$ के लिए: $\cos^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 1$।
$\alpha = \frac{\pi}{4}$ के लिए: $\cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{2} + \cos^2 \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$।
अतः,$\alpha$ के संभावित मान $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{\pi}{4}$ हैं।

(C) हम जानते हैं कि एक सदिश की दिक्-कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है।
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$
यहाँ दिया गया है कि सदिश $x$ और $y$ अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए $\alpha = \beta$। साथ ही,यह $z$-अक्ष के साथ $90^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $\gamma = 90^{\circ}$।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 90^{\circ} = 1$
$2 \cos^2 \alpha + 0 = 1$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{2}$
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\alpha = 45^{\circ}$ या $135^{\circ}$।

(B) माना बिंदु $P(3, 4, \alpha)$ है।
$P$ की $X$-अक्ष से दूरी $d_X = \sqrt{4^2 + \alpha^2} = \sqrt{16 + \alpha^2}$ है।
$P$ की $Y$-अक्ष से दूरी $d_Y = \sqrt{3^2 + \alpha^2} = \sqrt{9 + \alpha^2}$ है।
$P$ की $Z$-अक्ष से दूरी $d_Z = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना $f(\alpha) = \sqrt{16 + \alpha^2} + \sqrt{9 + \alpha^2} + 5$ है।
$f(\alpha)$ को न्यूनतम करने के लिए,हम अवकलज प्राप्त करते हैं $f'(\alpha) = \frac{\alpha}{\sqrt{16 + \alpha^2}} + \frac{\alpha}{\sqrt{9 + \alpha^2}}$।
$f'(\alpha) = 0$ रखने पर,हमें $\alpha \left( \frac{1}{\sqrt{16 + \alpha^2}} + \frac{1}{\sqrt{9 + \alpha^2}} \right) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोष्ठक में पद हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए एकमात्र समाधान $\alpha = 0$ है।
अतः,$\sec \alpha = \sec(0) = 1$।

(B) दिए गए समीकरण $l-2m+n=0$ $(1)$ और $lm+10mn-2nl=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$l = 2m-n$.
$l$ का मान $(2)$ में रखने पर: $(2m-n)m + 10mn - 2n(2m-n) = 0$.
$2m^2 - mn + 10mn - 4mn + 2n^2 = 0$.
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$.
$n^2$ से विभाजित करने पर: $2(m/n)^2 + 5(m/n) + 2 = 0$.
$(2m/n + 1)(m/n + 2) = 0$.
स्थिति $1$: $m/n = -1/2 \implies m = -k, n = 2k$.
$l = 2(-k) - 2k = -4k$.
दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1) = (-4, -1, 2)$.
स्थिति $2$: $m/n = -2 \implies m = -2k, n = k$.
$l = 2(-2k) - k = -5k$.
दिक्-अनुपात $(l_2, m_2, n_2) = (-5, -2, 1)$.
$cos \theta = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$.
$cos \theta = \frac{|(-4)(-5) + (-1)(-2) + (2)(1)|}{\sqrt{16+1+4} \sqrt{25+4+1}} = \frac{|20+2+2|}{\sqrt{21} \sqrt{30}} = \frac{24}{\sqrt{630}} = \frac{24}{3\sqrt{70}} = \frac{8}{\sqrt{70}}$.

(A) माना रेखा द्वारा $X, Y$ और $Z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण $\alpha = \frac{\pi}{4}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ और $n = \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
मान रखने पर: $(\cos \frac{\pi}{4})^2 + (\cos \frac{\pi}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\cos \theta = \frac{1}{2}$ हैं।
इसलिए,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ हैं।

(B) माना कि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (2, 2, 1)$ और $\vec{b} = (2, -1, -2)$ हैं।
सबसे पहले,इकाई सदिशों (दिक्-कोज्याओं) को ज्ञात करने के लिए इन सदिशों का मानकीकरण करते हैं:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$,अतः $\hat{a} = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$,अतः $\hat{b} = (\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$.
कोण समद्विभाजक की दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{a} + \hat{b}$ या $\vec{v} = \hat{a} - \hat{b}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: $\vec{v}_1 = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$। इसका परिमाण $|\vec{v}_1| = \sqrt{2}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{4}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}, -\frac{1}{3\sqrt{2}})$ हैं।
अतः $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = (\frac{4}{3\sqrt{2}})^2 = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$।
स्थिति $2$: $\vec{v}_2 = (0, 1, 1)$। इसका परिमाण $|\vec{v}_2| = \sqrt{2}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $(\alpha, \beta, \gamma) = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
अतः $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = (0 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$।

(B) माना रेखा $L_1$ के दिक-अनुपात $(1, \alpha, \beta)$ हैं,$L_2$ के $(-1, 2, 1)$ हैं,और $L_3$ के $(\alpha, 1, \beta)$ हैं।
चूंकि $L_1 \perp L_2$,उनके दिक-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$1(-1) + \alpha(2) + \beta(1) = 0 \Rightarrow -1 + 2\alpha + \beta = 0 \Rightarrow 2\alpha + \beta = 1$ (समीकरण $1$)।
चूंकि $L_1 \parallel L_3$,उनके दिक-अनुपात समानुपाती होंगे:
$\frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha}{1} = \frac{\beta}{\beta}$.
$\frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha}{1}$ से,$\alpha^2 = 1$,अतः $\alpha = 1$ या $\alpha = -1$ है।
यदि $\alpha = 1$ है,तो समीकरण $1$ से: $2(1) + \beta = 1 \Rightarrow \beta = -1$।
यदि $\alpha = -1$ है,तो समीकरण $1$ से: $2(-1) + \beta = 1 \Rightarrow \beta = 3$।
हालाँकि,शर्त $\frac{\beta}{\beta} = 1$ को $\beta \neq 0$ के लिए सत्य होना चाहिए। $\alpha = 1, \beta = -1$ की जाँच करने पर: अनुपात $(1, 1, -1)$ और $(1, 1, -1)$ प्राप्त होते हैं,जो समांतर हैं। अतः,$(\alpha, \beta) = (1, -1)$।

(D) माना रेखा $L$ के दिक कोज्या $(l, m, n)$ हैं।
दिया गया है कि $L$,$Y$-अक्ष और $Z$-अक्ष के साथ क्रमशः $\pi / 3$ और $\pi / 4$ का कोण बनाती है।
इसलिए,$m = \cos(\pi / 3) = 1 / 2$ और $n = \cos(\pi / 4) = 1 / \sqrt{2}$.
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
मान रखने पर,$l^2 + (1 / 2)^2 + (1 / \sqrt{2})^2 = 1 \Rightarrow l^2 + 1 / 4 + 1 / 2 = 1 \Rightarrow l^2 = 1 - 3 / 4 = 1 / 4$.
अतः,$l = 1 / 2$ (धनात्मक मान लेने पर)।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं। इसकी दिक कोज्या $(1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3})$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(1 / 2)(1 / \sqrt{3}) + (1 / 2)(1 / \sqrt{3}) + (1 / \sqrt{2})(1 / \sqrt{3})| = |1 / (2 \sqrt{3}) + 1 / (2 \sqrt{3}) + 1 / \sqrt{6}|$.
$\cos \theta = |1 / \sqrt{3} + 1 / \sqrt{6}| = |\sqrt{2} / \sqrt{6} + 1 / \sqrt{6}| = (\sqrt{2} + 1) / \sqrt{6}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{6}} \right)$.

(B) दिया गया है कि $(l, m, n)$ एक ऐसी रेखा के दिक्-कोसाइन हैं जो $(1, 2, -1)$ और $(1, -2, 1)$ दिक्-अनुपात वाली दो रेखाओं के लंबवत है।
चूंकि रेखा दोनों के लंबवत है,इसलिए हमारे पास है:
$l + 2m - n = 0$ ...$(i)$
$l - 2m + n = 0$ ...$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें $2l = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $l = 0$ है।
$(i)$ में $l = 0$ रखने पर,हमें $2m - n = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 2m$ है।
हम जानते हैं कि दिक्-कोसाइन के लिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
$l = 0$ और $n = 2m$ रखने पर,हमें $0^2 + m^2 + (2m)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$m^2 + 4m^2 = 1 \Rightarrow 5m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{5}$।
अब,हमें $(l + m + n)^2$ ज्ञात करना है।
$(l + m + n)^2 = (0 + m + 2m)^2 = (3m)^2 = 9m^2$।
$m^2 = \frac{1}{5}$ रखने पर,$(l + m + n)^2 = 9 \times \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$।

(B) $AB$ के दिक्-अनुपात $a_1 = 6-1 = 5$,$b_1 = 11-(-1) = 12$,$c_1 = 2-2 = 0$ हैं।
$AB$ का परिमाण $\sqrt{5^2+12^2+0^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ है।
अतः,$AB$ की दिक्-कोसाइन $l_1 = \frac{5}{13}$,$m_1 = \frac{12}{13}$,$n_1 = 0$ हैं।
$AC$ के दिक्-अनुपात $a_2 = 1-1 = 0$,$b_2 = 2-(-1) = 3$,$c_2 = 6-2 = 4$ हैं।
$AC$ का परिमाण $\sqrt{0^2+3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ है।
अतः,$AC$ की दिक्-कोसाइन $l_2 = 0$,$m_2 = \frac{3}{5}$,$n_2 = \frac{4}{5}$ हैं।
$|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ का मान रेखाओं $AB$ और $AC$ के बीच के कोण का कोसाइन है।
$|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2| = |(\frac{5}{13} \times 0) + (\frac{12}{13} \times \frac{3}{5}) + (0 \times \frac{4}{5})| = |0 + \frac{36}{65} + 0| = \frac{36}{65}$.

(B) दिया गया है कि $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ हैं।
चूंकि ये दिक्कोज्याएँ हैं,इसलिए $l_1^2 + m_1^2 + n_1^2 = 1$ और $l_2^2 + m_2^2 + n_2^2 = 1$ है।
मान लीजिए कि दोनों रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\cos \theta = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$ होता है।
व्यंजक $(l_1 m_2 - l_2 m_1)^2 + (m_1 n_2 - m_2 n_1)^2 + (n_1 l_2 - n_2 l_1)^2 + (l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)^2$ है।
लैग्रेंज की सर्वसमिका (Lagrange's Identity) के अनुसार,$(l_1 m_2 - l_2 m_1)^2 + (m_1 n_2 - m_2 n_1)^2 + (n_1 l_2 - n_2 l_1)^2 = (l_1^2 + m_1^2 + n_1^2)(l_2^2 + m_2^2 + n_2^2) - (l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें $(1)(1) - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल व्यंजक $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ हो जाता है।

(B) मान लीजिए कि रेखा $L$ द्वारा धनात्मक $X$,$Y$,और $Z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$,और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$।
दिक कोसाइन के बीच संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$।
चूंकि प्रश्न में $Z$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कोण पूछा गया है,इसलिए हम $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ लेंगे।
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{3}$।