System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Hindi

(B) एक रेखा के दिक्कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है।
दिए गए दिक्कोसाइन $\frac{a}{\sqrt{83}}, \frac{5}{\sqrt{83}}, \frac{c}{\sqrt{83}}$ हैं।
अतः,$\left(\frac{a}{\sqrt{83}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{83}}\right)^2 + \left(\frac{c}{\sqrt{83}}\right)^2 = 1$.
$\Rightarrow \frac{a^2}{83} + \frac{25}{83} + \frac{c^2}{83} = 1$.
$\Rightarrow a^2 + 25 + c^2 = 83$.
$\Rightarrow a^2 + c^2 = 58$ ...$(i)$.
दिया गया है $c - a = 4$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $(c - a)^2 = 16$ प्राप्त होता है।
$c^2 + a^2 - 2ca = 16$.
समीकरण $(i)$ से $a^2 + c^2 = 58$ प्रतिस्थापित करने पर:
$58 - 2ca = 16$.
$2ca = 58 - 16 = 42$.
$ca = 21$.

(D) हम जानते हैं कि दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ और दिक्-कोसाइन $(\ell, m, n)$ के बीच संबंध $a = k\ell, b = km, c = kn$ होता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{(k\ell)^2}{(km)^2+(kn)^2} = \frac{k^2\ell^2}{k^2(m^2+n^2)} = \frac{\ell^2}{m^2+n^2}$.
चूंकि $\ell^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $m^2 + n^2 = 1 - \ell^2$ होता है।
अतः,$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{\ell^2}{1-\ell^2}$।

(B) दिए गए समीकरण $2l-m+3n=0$ और $l^2+mn-6n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$m=2l+3n$।
इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $l^2+(2l+3n)n-6n^2=0$।
$l^2+2ln+3n^2-6n^2=0 \Rightarrow l^2+2ln-3n^2=0$।
गुणनखंड करने पर $(l+3n)(l-n)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $l=n$ या $l=-3n$।
स्थिति $1$: यदि $l=n$,तो $m=2(n)+3n=5n$। दिक् अनुपात $(n, 5n, n)$ या $(1, 5, 1)$ हैं। दिक्कोज्या $(\frac{1}{\sqrt{1^2+5^2+1^2}}, \frac{5}{\sqrt{27}}, \frac{1}{\sqrt{27}}) = (\frac{1}{3\sqrt{3}}, \frac{5}{3\sqrt{3}}, \frac{1}{3\sqrt{3}})$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $l=-3n$,तो $m=2(-3n)+3n=-3n$। दिक् अनुपात $(-3n, -3n, n)$ या $(-3, -3, 1)$ हैं। दिक्कोज्या $(\frac{-3}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+1^2}}, \frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{1}{\sqrt{19}}) = (\frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{1}{\sqrt{19}})$ हैं।
अतः,$l_1=\frac{1}{3\sqrt{3}}, m_1=\frac{5}{3\sqrt{3}}$ और $l_2=\frac{-3}{\sqrt{19}}, m_2=\frac{-3}{\sqrt{19}}$।
$|l_1 l_2|+|m_1 m_2| = |(\frac{1}{3\sqrt{3}})(\frac{-3}{\sqrt{19}})| + |(\frac{5}{3\sqrt{3}})(\frac{-3}{\sqrt{19}})| = |\frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{19}}| + |\frac{-5}{\sqrt{3}\sqrt{19}}| = \frac{1}{\sqrt{57}} + \frac{5}{\sqrt{57}} = \frac{6}{\sqrt{57}} = \frac{6}{\sqrt{3}\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$।

(D) मान लीजिए $AB$ और $AC$ की दिक्कोज्याएँ ($DC$'s) क्रमशः $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
सबसे पहले,$AB$ और $AC$ के दिक्-अनुपात ($DR$'s) ज्ञात करें:
$AB$ के $DR's = (3-1, 1-(-2), -3-3) = (2, 3, -6)$.
$AC$ के $DR's = (-3-1, 1-(-2), 3-3) = (-4, 3, 0)$.
अब,दिक्-अनुपातों को उनके परिमाण से विभाजित करके दिक्कोज्याएँ ज्ञात करें:
$AB$ का परिमाण $= \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$l_1 = \frac{2}{7}, m_1 = \frac{3}{7}, n_1 = \frac{-6}{7}$.
$AC$ का परिमाण $= \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,$l_2 = \frac{-4}{5}, m_2 = \frac{3}{5}, n_2 = 0$.
चूंकि $\cos A = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$:
$\cos A = \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{-4}{5}\right) + \left(\frac{3}{7}\right)\left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{-6}{7}\right)(0)$
$\cos A = \frac{-8}{35} + \frac{9}{35} + 0 = \frac{1}{35}$.

(D) दिया गया है कि $l, m, n$ एक रेखा के दिक्कोज्या हैं,इसलिए $l^2+m^2+n^2=1$ $(i)$.
दिए गए संबंध $l-m+n=0$ से,हमें $l=m-n$ प्राप्त होता है।
इसे दूसरे संबंध $lm+mn-4nl=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(m-n)m + mn - 4n(m-n) = 0$
$m^2 - mn + mn - 4mn + 4n^2 = 0$
$m^2 - 4mn + 4n^2 = 0$
$(m-2n)^2 = 0 \Rightarrow m=2n$.
$l=m-n$ में $m=2n$ रखने पर,हमें $l=2n-n=n$ प्राप्त होता है।
अब,$l=n$ और $m=2n$ को सर्वसमिका $l^2+m^2+n^2=1$ में रखने पर:
$n^2 + (2n)^2 + n^2 = 1$
$n^2 + 4n^2 + n^2 = 1$
$6n^2 = 1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
अतः,$l = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ और $m = \pm \frac{2}{\sqrt{6}}$.
इसलिए दिक्कोज्या $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ या $\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ हैं।

(C) मान लीजिए कि रेखा के दिक्-कोसाइन $(l, m, n) = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ हैं।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,उसके दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
यह दिया गया है कि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
अतः,$\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$ है।
इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$3 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$।
इस प्रकार,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,दिक्-कोसाइन $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\vec{OP}$ के दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (1, -2, -2)$ हैं।
सबसे पहले,हम दिक्-अनुपातों के सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं: $\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ दिक्-अनुपातों को उनके परिमाण से विभाजित करके प्राप्त की जाती हैं:
$l = \frac{1}{3}, m = \frac{-2}{3}, n = \frac{-2}{3}$.
मूल बिंदु से $r = 3$ की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(lr, mr, nr)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$P = (\frac{1}{3} \times 3, \frac{-2}{3} \times 3, \frac{-2}{3} \times 3) = (1, -2, -2)$.

(B) माना सदिश $\overrightarrow{AB} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ है।
$XY$ समतल पर प्रक्षेप $\sqrt{l^2 + m^2} = \sqrt{15}$ है,अतः $l^2 + m^2 = 15$ (समीकरण $1$)।
$YZ$ समतल पर प्रक्षेप $\sqrt{m^2 + n^2} = \sqrt{46}$ है,अतः $m^2 + n^2 = 46$ (समीकरण $2$)।
$ZX$ समतल पर प्रक्षेप $\sqrt{n^2 + l^2} = 7$ है,अतः $n^2 + l^2 = 49$ (समीकरण $3$)।
तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(l^2 + m^2 + n^2) = 15 + 46 + 49 = 110$
$l^2 + m^2 + n^2 = 55$.
$y$-अक्ष पर प्रक्षेप $|m|$ है।
$m^2 = (l^2 + m^2 + n^2) - (l^2 + n^2) = 55 - 49 = 6$.
अतः,$m = \sqrt{6}$।

(C) दिया गया है कि दो रेखाओं के दिक्-कोसाइन $l_1 = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ और $l_2 = (\frac{5}{13}, \frac{12}{13}, 0)$ हैं।
दो रेखाओं,जिनके दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $\langle l_1+l_2, m_1+m_2, n_1+n_2 \rangle$ के समानुपाती होते हैं।
मान रखने पर,दिक्-अनुपात $\langle \frac{2}{3} + \frac{5}{13}, \frac{2}{3} + \frac{12}{13}, \frac{1}{3} + 0 \rangle$ के समानुपाती हैं।
प्रत्येक घटक के लिए योग की गणना करने पर:
$\frac{2}{3} + \frac{5}{13} = \frac{26+15}{39} = \frac{41}{39}$
$\frac{2}{3} + \frac{12}{13} = \frac{26+36}{39} = \frac{62}{39}$
$\frac{1}{3} + 0 = \frac{13}{39}$
अतः,दिक्-अनुपात $\langle \frac{41}{39}, \frac{62}{39}, \frac{13}{39} \rangle$ के समानुपाती हैं।
$39$ से गुणा करने पर,हमें दिक्-अनुपात $\langle 41, 62, 13 \rangle$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना बिंदु $P = (-2, 4, -5)$ और $Q = (1, 2, 3)$ हैं।
रेखाखंड $\overrightarrow{PQ}$ के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (1 - (-2), 2 - 4, 3 - (-5)) = (3, -2, 8)$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{PQ}$ का परिमाण $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 4 + 64} = \sqrt{77}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ प्राप्त करने के लिए दिक्-अनुपातों को परिमाण से विभाजित करने पर:
$l = \frac{3}{\sqrt{77}}$,$m = \frac{-2}{\sqrt{77}}$,$n = \frac{8}{\sqrt{77}}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(\frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}}\right)$ हैं।

(B) धनात्मक $X, Y$ और $Z$ अक्ष के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}, \gamma = 45^{\circ}$ है।
दिक्-कोसाइन इस प्रकार हैं:
$l = \cos 90^{\circ} = 0$
$m = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$n = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।

(B) एक रेखा के दिक्-कोसाइन को $l, m, n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,उसके दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा $1$ के बराबर होता है,अर्थात $l^2 + m^2 + n^2 = 1$।
दिए गए दिक्-कोसाइन $\left(\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}\right)$ हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} = 1$
$\frac{3}{c^2} = 1$
$c^2 = 3$
$c = \pm \sqrt{3}$

(C) मान लीजिए कि रेखा $AB$ के दिशा कोण $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 120^{\circ}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
किसी रेखा के दिक्-कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,अर्थात $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
दिए गए मानों को रखने पर,$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 120^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$।
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$।
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 60^{\circ}$।

(C) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं। चूँकि रेखा की लंबाई $l$ है,इसलिए निर्देशांक अक्षों पर रेखा के प्रक्षेप $l_1 = l \cdot |l|$,$l_2 = l \cdot |m|$ और $l_3 = l \cdot |n|$ द्वारा दिए जाते हैं।
इनका वर्ग करने पर,हमें $l_1^2 = l^2 l^2$,$l_2^2 = l^2 m^2$ और $l_3^2 = l^2 n^2$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = l^2 (l^2 + m^2 + n^2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है,इसलिए $l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = l^2 (1) = l^2$ होगा।

(D) माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ हैं।
चूंकि यह रेखा $\langle 1, -2, -2 \rangle$ और $\langle 0, 2, 1 \rangle$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$1(a) - 2(b) - 2(c) = 0$ (समीकरण $1$)
$0(a) + 2(b) + 1(c) = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,हमें $c = -2b$ प्राप्त होता है।
$c = -2b$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a - 2b - 2(-2b) = 0$
$a - 2b + 4b = 0$
$a + 2b = 0 \implies a = -2b$।
यदि $b = -1$ लें,तो $a = 2$ और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः दिक्-अनुपात $\langle 2, -1, 2 \rangle$ हैं।
इसका परिमाण $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः दिक्कोज्याएँ $\langle \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{2}{3} \rangle$ होंगी।

(A) $X, Y$ और $Z$-अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाने वाली रेखा की दिक्-कोज्याएँ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होती हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}$ और $\gamma = 45^{\circ}$।
मानों की गणना करने पर:
$\cos \alpha = \cos 90^{\circ} = 0$
$\cos \beta = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \gamma = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,दिक्-कोज्याएँ $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।

(D) दो लंबवत रेखाओं के लिए जिनकी दिक्-कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,उनके लंबवत होने की शर्त $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ है।
कथन $4$ में योग $1$ होने का दावा किया गया है,जो गलत है।
अतः,कथन $4$ असत्य है।

(C) एक रेखा के दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ उसके दिक्-अनुपातों $(a, b, c)$ के समानुपाती होते हैं।
दिए गए दिक्-कोसाइन $\langle -\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11} \rangle$ हैं।
हम जानते हैं कि दिक्-अनुपात,दिक्-कोसाइन के समानुपाती संख्याओं का कोई भी सेट हो सकते हैं।
यदि हम दिक्-कोसाइन को स्थिरांक $k = 11$ से गुणा करते हैं,तो हमें दिक्-अनुपात $\langle -9, 6, -2 \rangle$ प्राप्त होते हैं।
अतः,दिक्-अनुपात $\langle -9, 6, -2 \rangle$ हैं।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी दिक्-कोज्याएँ समानुपाती हों।
दिया गया है कि दो रेखाओं की दिक्-कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,अतः समांतरता के लिए शर्त है:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) माना कि दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ और $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ के लिए सूत्र $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = |(\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{4})(\frac{\sqrt{3}}{4})|$
$\cos \theta = |-\frac{3}{4} + \frac{1}{16} + \frac{3}{16}|$
$\cos \theta = |-\frac{12}{16} + \frac{4}{16}| = |-\frac{8}{16}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$.
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।

(B) दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ दी गई हैं।
चूंकि ये दिक्कोज्याएँ हैं,इसलिए हमारे पास गुणधर्म $a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 = 1$ और $a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 = 1$ है।
दो रेखाओं जिनकी दिक्कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \theta = |a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|$ प्राप्त होता है।
चूंकि हर (denominator) $\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} = 1$ है,इसलिए व्यंजक $|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|$ में सरल हो जाता है।

(D) मान लीजिए कि रेखा धनात्मक $x$,$y$,और $z$-अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha$,$\beta$,और $\gamma$ कोण बनाती है।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$ है।
रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
मान रखने पर: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ (चूंकि कोण धनात्मक अक्ष के साथ है,इसलिए $\cos \gamma > 0$ है)।
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{3}$।

(D) मान लीजिए $OA$ और $OB$ की दिशा में इकाई सदिश $\vec{a} = l_1 \hat{i} + m_1 \hat{j} + n_1 \hat{k}$ और $\vec{b} = l_2 \hat{i} + m_2 \hat{j} + n_2 \hat{k}$ हैं।
चूँकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
$\angle AOB$ का आंतरिक समद्विभाजक सदिश $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ की दिशा में होता है।
$\vec{v} = (l_1+l_2) \hat{i} + (m_1+m_2) \hat{j} + (n_1+n_2) \hat{k}$।
$\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(l_1+l_2)^2 + (m_1+m_2)^2 + (n_1+n_2)^2}$ है।
$|\vec{v}|^2 = (l_1^2+m_1^2+n_1^2) + (l_2^2+m_2^2+n_2^2) + 2(l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2)$।
चूँकि $l_i^2+m_i^2+n_i^2 = 1$ और $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \cos \theta$ है,इसलिए:
$|\vec{v}|^2 = 1 + 1 + 2 \cos \theta = 2(1+\cos \theta) = 4 \cos^2 \frac{\theta}{2}$।
अतः,$|\vec{v}| = 2 \cos \frac{\theta}{2}$।
आंतरिक समद्विभाजक की दिक्-कोसाइन इकाई सदिश $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ के घटक हैं,जो निम्नलिखित हैं:
$\frac{l_1+l_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}, \frac{m_1+m_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}, \frac{n_1+n_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}$।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ ... $(i)$
$2lm+2ln-mn=0$ ... (ii)
$(i)$ से,$m+n = -l$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$2l(m+n) - mn = 0$
$2l(-l) - mn = 0 \Rightarrow mn = -2l^2$ ... (iii)
हम जानते हैं कि $l^2+m^2+n^2 = 1$. साथ ही,$(m+n)^2 = m^2+n^2+2mn = (-l)^2 = l^2$.
अतः,$m^2+n^2 = l^2 - 2mn = l^2 - 2(-2l^2) = 5l^2$.
$l^2+m^2+n^2 = 1$ में मान रखने पर:
$l^2 + 5l^2 = 1 \Rightarrow 6l^2 = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{6}$.
माना दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
$mn = -2l^2$ और $m+n = -l$ से,$m$ और $n$ द्विघात समीकरण $t^2 + lt - 2l^2 = 0$ के मूल हैं।
$(t+2l)(t-l) = 0 \Rightarrow t = -2l, l$.
इस प्रकार,दिक्-अनुपात $(l, -2l, l)$ और $(l, l, -2l)$ के समानुपाती हैं।
इन्हें सामान्यीकृत करने पर,दिक्-कोसाइन $(1, -2, 1)$ और $(1, 1, -2)$ के समानुपाती हैं।
माना $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{|1-2-2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) मान लीजिए कि रेखा $X, Y, Z$-अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है। दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\beta = \frac{\pi}{4}$ और $\gamma = \frac{\pi}{3}$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{3} = 1$।
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$।
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$।
$\cos^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$।
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{2}$।
चूंकि $\alpha$ एक अधिक कोण है,इसलिए $\cos \alpha$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$।
इसलिए,$\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$।

(D) हम जानते हैं कि यदि कोई रेखा $X$-अक्ष,$Y$-अक्ष और $Z$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,तो $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
यहाँ $\alpha = \tan^{-1} \sqrt{7}$ और $\beta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}$ दिया गया है।
$\alpha = \tan^{-1} \sqrt{7}$ के लिए,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{7})^2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
$\beta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}$ के लिए,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{5/3})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 5/3}} = \frac{1}{\sqrt{8/3}} = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$।
इन मानों को सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ में रखने पर:
$\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{4}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{4}$ या $\gamma = \frac{3\pi}{4}$।

(D) दिए गए संबंध $l+m+n=0$ और $lm=0$ हैं।
$lm=0$ से,या तो $l=0$ या $m=0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l=0$ है,तो $m+n=0$,इसलिए $n=-m$ है। दिक्-कोज्याएँ $(0, m, -m)$ हैं। चूंकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $0^2+m^2+(-m)^2=1$ है,जो $2m^2=1$ देता है,इसलिए $m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। अतः,दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$ है,तो $l+n=0$,इसलिए $n=-l$ है। दिक्-कोज्याएँ $(l, 0, -l)$ हैं। इसी प्रकार,$l^2+0^2+(-l)^2=1$,जो $2l^2=1$ देता है,इसलिए $l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। अतः,दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक्-सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोज्या $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$ है।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(D) एक रेखा के दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ द्वारा दर्शाए जाते हैं। दिया गया है $(l, m, n) = (pq, q, q)$।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(pq)^2 + q^2 + q^2 = 1$,जो सरल होकर $p^2q^2 + 2q^2 = 1$ या $q^2(p^2 + 2) = 1$ हो जाता है।
साथ ही,दिक्-कोसाइन $l = \cos(\alpha)$ होता है,जहाँ $\alpha$ $X$-अक्ष के साथ बना कोण है।
दिया गया है $\alpha = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $l = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$।
चूंकि $l = pq$,हमारे पास $pq = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $p^2q^2 = \frac{1}{4}$।
$p^2q^2 = \frac{1}{4}$ को समीकरण $p^2q^2 + 2q^2 = 1$ में रखने पर:
$\frac{1}{4} + 2q^2 = 1$
$2q^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$q^2 = \frac{3}{8}$।
अब,$p^2q^2 = \frac{1}{4}$ का उपयोग करके $p^2$ ज्ञात करें:
$p^2(\frac{3}{8}) = \frac{1}{4}$
$p^2 = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{2}{3}$।
अंत में,अनुपात $p^2 : q^2 = \frac{2}{3} : \frac{3}{8} = \frac{2}{3} \times \frac{8}{3} = \frac{16}{9}$।

(B) मान लीजिए कि रेखा के दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ हैं।
चूंकि रेखा तीनों निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए रेखा द्वारा $x, y, z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण $\alpha, \beta, \gamma$ समान हैं,अर्थात $\alpha = \beta = \gamma$।
इसलिए,दिक्कोसाइन समान हैं: $l = m = n$।
हम जानते हैं कि दिक्कोसाइन के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
$l = m = n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3l^2 = 1$।
अतः,$l^2 = \frac{1}{3}$,इसलिए $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
रेखा द्वारा $y$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\beta$,$\cos \beta = m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
मुख्य मान लेने पर,$\beta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

(A) माना बिंदु $O(0, 0, 0)$ और $P(2, 3, -1)$ हैं।
रेखा $OP$ के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 0, 3 - 0, -1 - 0) = (2, 3, -1)$ हैं।
दूरी $OP = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n) = \left(\frac{a}{r}, \frac{b}{r}, \frac{c}{r}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}\right)$ होंगे।

(D) हम जानते हैं कि एक रेखा के दिक कोज्या (direction cosines) संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ रेखा द्वारा $X, Y,$ और $Z$-अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं।
यहाँ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
इन मानों को संबंध में रखने पर:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \gamma = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$
चूँकि $\gamma$ का मान $0$ और $\pi$ के बीच है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ का अर्थ है $\gamma = \frac{\pi}{3}$ (या $\cos \gamma = -\frac{1}{2}$ का अर्थ है $\gamma = \frac{2\pi}{3}$)।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही कोण $\frac{\pi}{3}$ है।

(B) चूंकि रेखा तीनों निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण $\theta$ बनाती है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma = \theta$ है।
अतः,दिक कोज्याएँ $l = m = n = \cos \theta$ हैं।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,हमें $3 \cos^2 \theta = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$।
इस प्रकार,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।
अंत में,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{2}/\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{2}$।

(B) बिंदुओं $A(p, -4, 2)$ और $B(3, 2, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु $M$ इस प्रकार है: $M = \left( \frac{p+3}{2}, \frac{-4+2}{2}, \frac{2-4}{2} \right) = \left( \frac{p+3}{2}, -1, -1 \right)$।
चूंकि किरण बिंदु $C(5, q, 1)$ और $M\left( \frac{p+3}{2}, -1, -1 \right)$ से गुजरती है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात निर्देशांकों के अंतर के समानुपाती होते हैं: $\left( \frac{p+3}{2} - 5, -1 - q, -1 - 1 \right)$।
दिए गए दिक्-अनुपात $(2, 3, c)$ हैं,अतः तुलना करने पर:
$1) \frac{p+3}{2} - 5 = 2 \implies \frac{p+3}{2} = 7 \implies p+3 = 14 \implies p = 11$.
$2) -1 - q = 3 \implies q = -4$.
$3) -1 - 1 = c \implies c = -2$.
अंत में,$c \cdot (p + 7q) = -2 \cdot (11 + 7(-4)) = -2 \cdot (11 - 28) = -2 \cdot (-17) = 34$।

(A) मान लीजिए कि $\alpha, \beta, \gamma$ किरण द्वारा $X, Y$ और $Z$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण हैं।
किरण की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
यहाँ $\beta = \frac{\pi}{3}$ और $\gamma = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
चूँकि $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$,इसलिए:
$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
अतः,$\sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) एक रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ द्वारा दी जाती हैं।
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,अर्थात $\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = 1$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma = (1 - \cos ^2 \alpha) + (1 - \cos ^2 \beta) + (1 - \cos ^2 \gamma)$
$= 3 - (\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$।
अतः,मान $2$ है।

(B) माना कि दो रेखाओं के दिक् अनुपात $\vec{a} = (2, -2, 1)$ और $\vec{b} = (1, -2, 2)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (-2)(-2) + (1)(2)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}$
अंश की गणना:
$|2 + 4 + 2| = 8$
हर की गणना:
$\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
अतः,$\cos \theta = \frac{8}{3 \times 3} = \frac{8}{9}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$.

(D) दिए गए समीकरण $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ और $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$m = -2l - 2n$.
$m$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
मान लीजिए $x = \frac{l}{n}$. तब $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
मान लीजिए मूल $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ और $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ हैं।
तब $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
इसी प्रकार,$l = -\frac{m+2n}{2}$ को $(2)$ में रखने पर $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$n^2$ से भाग देने पर,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
मान लीजिए $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ और $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. तब $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
दो रेखाओं के लिए जिनके दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।