System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Hindi

(D) दिए गए समीकरण $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ और $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$m = -2l - 2n$.
$m$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
मान लीजिए $x = \frac{l}{n}$. तब $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
मान लीजिए मूल $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ और $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ हैं।
तब $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
इसी प्रकार,$l = -\frac{m+2n}{2}$ को $(2)$ में रखने पर $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$n^2$ से भाग देने पर,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
मान लीजिए $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ और $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. तब $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
दो रेखाओं के लिए जिनके दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
घन के चार विकर्ण $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ सदिशों की दिशा में हैं।
चार विकर्णों की दिशा में इकाई सदिश $\vec{d_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$,$\vec{d_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$,$\vec{d_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$,और $\vec{d_4} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$ हैं।
रेखा और विकर्ण सदिश $\vec{d}$ के बीच के कोण $\theta$ की कोज्या $|l \cdot d_x + m \cdot d_y + n \cdot d_z|$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m+n|$,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}|-l+m+n|$,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}|l-m+n|$,और $\cos \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m-n|$।
इनका वर्ग करने पर,$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}(l+m+n)^2$,$\cos^2 \beta = \frac{1}{3}(-l+m+n)^2$,$\cos^2 \gamma = \frac{1}{3}(l-m+n)^2$,और $\cos^2 \delta = \frac{1}{3}(l+m-n)^2$ प्राप्त होता है।
इनका योग करने पर: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ (l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2 ]$।
वर्गों का विस्तार करने पर: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि अंतरिक्ष में एक रेखा जो निर्देशांक अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,उसके दिक्-कोसाइन के लिए $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
दी गई व्यंजक: $E = \cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$E = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta) + (\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma) + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$E = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
$\sin^2$ वाले पद कट जाएंगे:
$E = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma$.
चूंकि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,इसलिए व्यंजक का मान $1$ है।

(C) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(u, v, w)$ हैं।
चूंकि $P, O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 6, 0),$ और $C(0, 0, 9)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PO^2 = PA^2 = PB^2 = PC^2$ है।
$PO^2 = u^2 + v^2 + w^2$.
$PA^2 = (u-3)^2 + v^2 + w^2 = u^2 - 6u + 9 + v^2 + w^2$.
$PO^2 = PA^2$ को बराबर करने पर,$u^2 = u^2 - 6u + 9$ $\Rightarrow 6u = 9$ $\Rightarrow u = \frac{3}{2}$.
$PB^2 = u^2 + (v-6)^2 + w^2 = u^2 + v^2 - 12v + 36 + w^2$.
$PO^2 = PB^2$ को बराबर करने पर,$v^2 = v^2 - 12v + 36$ $\Rightarrow 12v = 36$ $\Rightarrow v = 3$.
$PC^2 = u^2 + v^2 + (w-9)^2 = u^2 + v^2 + w^2 - 18w + 81$.
$PO^2 = PC^2$ को बराबर करने पर,$w^2 = w^2 - 18w + 81$ $\Rightarrow 18w = 81$ $\Rightarrow w = \frac{81}{18} = \frac{9}{2}$.
अतः,$P = \left(\frac{3}{2}, 3, \frac{9}{2}\right)$.
$Q = (2, 5, 8)$ दिया गया है,बिंदु $R, PQ$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$ का उपयोग करने पर:
$R = \left(\frac{3(2) + 2(\frac{3}{2})}{3+2}, \frac{3(5) + 2(3)}{3+2}, \frac{3(8) + 2(\frac{9}{2})}{3+2}\right)$
$R = \left(\frac{6+3}{5}, \frac{15+6}{5}, \frac{24+9}{5}\right) = \left(\frac{9}{5}, \frac{21}{5}, \frac{33}{5}\right)$.

(A) माना बिंदु $A(3, 4, 5)$,$B(4, 6, 3)$,$C(-1, 2, 4)$ और $D(1, 0, 5)$ हैं।
सबसे पहले,हम $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का सदिश $\overrightarrow{AB}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (4-3)\hat{i} + (6-4)\hat{j} + (3-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
इसके बाद,$C$ और $D$ को जोड़ने वाली रेखा का सदिश $\overrightarrow{CD}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{CD} = (1 - (-1))\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
सदिश $\overrightarrow{AB}$ का सदिश $\overrightarrow{CD}$ पर प्रक्षेप की लंबाई का सूत्र $\left| \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|} \right|$ है।
अदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(2) + (2)(-2) + (-2)(1) = 2 - 4 - 2 = -4$.
$\overrightarrow{CD}$ का परिमाण $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,प्रक्षेप की लंबाई $\left| \frac{-4}{3} \right| = \frac{4}{3}$ है।

(D) चूंकि $OA, OX, OY$ और $OZ$ अक्षों के साथ समान रूप से झुका हुआ है,इसलिए इसकी दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) समान हैं। मान लीजिए कि $A$ के निर्देशांक $(a, a, a)$ हैं।
यह दिया गया है कि $A$ की मूल बिंदु $O(0,0,0)$ से दूरी $\sqrt{3}$ इकाई है।
इसलिए,$\sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{3}$।
$\sqrt{3a^2} = \sqrt{3}$।
$|a|\sqrt{3} = \sqrt{3}$।
$|a| = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1$ या $a = -1$।
अतः,$A$ के निर्देशांक $(1, 1, 1)$ या $(-1, -1, -1)$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही निर्देशांक $(1, 1, 1)$ है।

(A) दिए गए समीकरण $2l+m-n=0$ $(1)$ और $l^2-2m^2+n^2=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$n = 2l+m$ प्राप्त होता है।
$n$ का मान $(2)$ में रखने पर: $l^2 - 2m^2 + (2l+m)^2 = 0$.
$l^2 - 2m^2 + 4l^2 + 4lm + m^2 = 0$.
$5l^2 + 4lm - m^2 = 0$.
$m^2$ से भाग देने पर: $5(l/m)^2 + 4(l/m) - 1 = 0$.
माना $x = l/m$,तो $5x^2 + 4x - 1 = 0$.
$(5x-1)(x+1) = 0$,अतः $x = 1/5$ या $x = -1$.
स्थिति $1$: $l/m = 1/5 \implies m = 5l$. तब $n = 2l + 5l = 7l$. दिक्-अनुपात $(1, 5, 7)$ हैं।
स्थिति $2$: $l/m = -1 \implies m = -l$. तब $n = 2l - l = l$. दिक्-अनुपात $(1, -1, 1)$ हैं।
दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, 5, 7)$ और $\vec{b} = (1, -1, 1)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (5)(-1) + (7)(1)|}{\sqrt{1^2+5^2+7^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|1-5+7|}{\sqrt{75} \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{225}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

(A) मान लीजिए कि रेखा के दिशा कोण $\alpha = 60^{\circ}$,$\beta = 45^{\circ}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
हम जानते हैं कि एक रेखा के दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $1$ होता है,जो सूत्र $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 60^{\circ}$.
इसलिए,$\tan \theta = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.

(B) दिया गया है: $l-m+n=0$ $\Rightarrow m=l+n$ $(i)$
$m=l+n$ को $2lm-3mn+nl=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2l(l+n)-3(l+n)n+nl=0$
$2l^2+2ln-3ln-3n^2+nl=0$
$2l^2-3n^2=0$
$l^2 = \frac{3}{2}n^2$
माना $n=1$,तो $l^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow l = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$.
$l_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}$ के लिए,$m_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}+1$.
$l_2 = -\sqrt{\frac{3}{2}}$ के लिए,$m_2 = -\sqrt{\frac{3}{2}}+1$.
दोनों रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}}+1, 1)$ और $\vec{b} = (-\sqrt{\frac{3}{2}}, 1-\sqrt{\frac{3}{2}}, 1)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|-\frac{3}{2} + (1-\frac{3}{2}) + 1|}{\sqrt{\frac{3}{2} + (\frac{3}{2}+1+2\sqrt{\frac{3}{2}}) + 1} \cdot \sqrt{\frac{3}{2} + (1+\frac{3}{2}-2\sqrt{\frac{3}{2}}) + 1}}$
$\cos \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{16-6}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

(A) दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए संबंध:
$l+m+n=0$ और $lm=0$
$lm=0$ से,हमारे पास दो स्थितियाँ हैं: $l=0$ या $m=0$।
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $0+m+n=0 \Rightarrow n=-m$। दिक्-अनुपात $(0, m, -m)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(0, 1, -1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $l+0+n=0 \Rightarrow n=-l$। दिक्-अनुपात $(l, 0, -l)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(1, 0, -1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए दिक्-सदिश $\vec{a} = (0, 1, -1)$ और $\vec{b} = (1, 0, -1)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta$ का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1)|}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिए गए समीकरण $3l+2m+n=0$ ...$(1)$ और $2mn-3nl+5lm=0$ ...$(2)$ हैं।
समीकरण $(1)$ से,$n = -(3l+2m)$।
इसे समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2m(-(3l+2m)) - 3l(-(3l+2m)) + 5lm = 0$
$-6ml - 4m^2 + 9l^2 + 6lm + 5lm = 0$
$9l^2 + 5lm - 4m^2 = 0$।
$m^2$ से विभाजित करने पर ($m \neq 0$ मानते हुए),हमें $9(\frac{l}{m})^2 + 5(\frac{l}{m}) - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $t = \frac{l}{m}$,तो $9t^2 + 5t - 4 = 0$।
$(9t-4)(t+1) = 0$,इसलिए $t = \frac{4}{9}$ या $t = -1$।
स्थिति $1$: $t = -1 \Rightarrow l = -m$। तब $n = -(3(-m)+2m) = m$। दिक्-अनुपात $(-1, 1, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $t = \frac{4}{9} \Rightarrow l = \frac{4}{9}m$। तब $n = -(3(\frac{4}{9}m)+2m) = -(\frac{4}{3}m+2m) = -\frac{10}{3}m$। दिक्-अनुपात $(\frac{4}{9}, 1, -\frac{10}{3})$ हैं,जो $(4, 9, -30)$ के समतुल्य है।
मान लीजिए दिक्-सदिश $\vec{a} = (-1, 1, 1)$ और $\vec{b} = (4, 9, -30)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(-1)(4) + (1)(9) + (1)(-30)|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2} \sqrt{4^2+9^2+(-30)^2}}$
$= \frac{|-4 + 9 - 30|}{\sqrt{3} \sqrt{16+81+900}} = \frac{|-25|}{\sqrt{3} \sqrt{997}} = \frac{25}{\sqrt{2991}}$।

(C) मान लीजिए कि दो रेखाएं $L_1$ और $L_2$ हैं जिनकी दिक्-कोसाइन क्रमशः $(\ell, m, n)$ और $(a, b, c)$ हैं।
दो रेखाएं जिनके दिक्-कोसाइन $(\ell_1, m_1, n_1)$ और $(\ell_2, m_2, n_2)$ हैं,उनके कोण समद्विभाजकों के दिक्-अनुपात $(\ell_1 \pm \ell_2, m_1 \pm m_2, n_1 \pm n_2)$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,दी गई रेखाओं के लिए,समद्विभाजकों के दिक्-अनुपात $(\ell \pm a, m \pm b, n \pm c)$ हैं।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) दो रेखाओं के दिक्-अनुपातों $(a, b, c)$ के बीच संबंध दिए गए हैं:
$a - b + c = 0$ $(i)$
$a^2 - b^2 + 2c^2 = 0$ $(ii)$
$(i)$ से,हमारे पास $c = b - a$ है।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 - b^2 + 2(b - a)^2 = 0$
$a^2 - b^2 + 2(b^2 - 2ab + a^2) = 0$
$a^2 - b^2 + 2b^2 - 4ab + 2a^2 = 0$
$3a^2 - 4ab + b^2 = 0$
$(3a - b)(a - b) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $b = 3a \implies a:b = 1:3$. तब $c = b - a = 3a - a = 2a$. अतः,दिक्-अनुपात $(1, 3, 2)$ हैं।
स्थिति $2$: $b = a \implies a:b = 1:1$. तब $c = b - a = a - a = 0$. अतः,दिक्-अनुपात $(1, 1, 0)$ हैं।
दिक्-अनुपातों $(a_1, b_1, c_1) = (1, 3, 2)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 1, 0)$ वाली रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (3)(1) + (2)(0)|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$
$\cos \theta = \frac{|1 + 3 + 0|}{\sqrt{1 + 9 + 4} \sqrt{1 + 1 + 0}} = \frac{4}{\sqrt{14} \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{28}} = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.

(C) माना बिंदु $A(2, 3, -1)$ और $O(0, 0, 0)$ हैं।
रेखा $OA$ के दिक्अनुपात $(2-0, 3-0, -1-0) = (2, 3, -1)$ हैं।
दूरी $OA = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ है।
दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ को $\frac{a}{r}, \frac{b}{r}, \frac{c}{r}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है,जहाँ $(a, b, c)$ दिक्अनुपात हैं और $r$ दूरी है।
अतः,$l = \frac{2}{\sqrt{14}}, m = \frac{3}{\sqrt{14}}, n = \frac{-1}{\sqrt{14}}$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,रेखा $AO$ के लिए,दिक्अनुपात $(0-2, 0-3, 0-(-1)) = (-2, -3, 1)$ हैं।
अतः दिक्कोसाइन $\frac{-2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}$ प्राप्त होते हैं।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया है कि दो रेखाओं के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, -1, 2)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (K, -3, -5)$ हैं,और उनके बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ वाली दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos 60^{\circ} = \frac{|2K + (-1)(-3) + 2(-5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{K^2 + (-3)^2 + (-5)^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|2K + 3 - 10|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{K^2 + 9 + 25}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|2K - 7|}{3 \sqrt{K^2 + 34}}$
$3 \sqrt{K^2 + 34} = 2 |2K - 7|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9(K^2 + 34) = 4(2K - 7)^2$
$9K^2 + 306 = 4(4K^2 - 28K + 49)$
$9K^2 + 306 = 16K^2 - 112K + 196$
$7K^2 - 112K - 110 = 0$

(C) रेखा $OP$ मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती है और इसके दिक्-अनुपात $3, -2, 6$ हैं।
अतः,इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक को किसी अदिश $\lambda$ के लिए $(3\lambda, -2\lambda, 6\lambda)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $O$ से बिंदु $P$ की दूरी $|OP| = \sqrt{(3\lambda)^2 + (-2\lambda)^2 + (6\lambda)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $|OP| = 63$,इसलिए:
$\sqrt{9\lambda^2 + 4\lambda^2 + 36\lambda^2} = 63$
$\sqrt{49\lambda^2} = 63$
$7|\lambda| = 63$
$|\lambda| = 9$
यदि $\lambda = 9$ लें,तो $P$ के निर्देशांक $(3(9), -2(9), 6(9)) = (27, -18, 54)$ प्राप्त होते हैं।
यदि $\lambda = -9$ लें,तो $P$ के निर्देशांक $(-27, 18, -54)$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही निर्देशांक $(27, -18, 54)$ हैं।

(A) माना सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (1, 1, -2)$ हैं।
सदिश का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ है।
दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ को $\left(\frac{a}{|\vec{a}|}, \frac{b}{|\vec{a}|}, \frac{c}{|\vec{a}|}\right)$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
साथ ही,दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
हम व्यंजक $S = lm + mn + nl$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
सर्वसमिका $(l + m + n)^2 = l^2 + m^2 + n^2 + 2(lm + mn + nl)$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $2(lm + mn + nl) = (l + m + n)^2 - (l^2 + m^2 + n^2) = (l + m + n)^2 - 1$.
$lm + mn + nl$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $(l + m + n)^2$ को अधिकतम करना होगा।
कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,$(l + m + n)^2 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)(l^2 + m^2 + n^2) = 3(1) = 3$.
समानता तब होती है जब $l = m = n$ हो।
चूंकि $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$,इसका अर्थ है $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$,जिसका अर्थ है $\alpha = \beta = \gamma$ (कोण $0$ और $\pi$ के बीच हैं)।
अतः,अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\alpha = \beta = \gamma$ हो।

(B) दिक्-अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2=m^2+n^2$ हैं।
$l+m+n=0$ से,हमें $l=-(m+n)$ प्राप्त होता है।
इसे $l^2=m^2+n^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ प्राप्त होता है।
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,जिसका अर्थ है $2mn=0$,अतः $mn=0$ है।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $m=0$. तब $l=-n$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, 0, -k)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
स्थिति $II$: $n=0$. तब $l=-m$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, -k, 0)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
मान लीजिए $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिए गए समीकरण $3l + m + 5n = 0$ और $6mn - 2nl + 5lm = 0$ हैं।
पहले समीकरण से,$m = -3l - 5n$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$6n(-3l - 5n) - 2nl + 5l(-3l - 5n) = 0$
$-18nl - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25nl = 0$
$-15l^2 - 45nl - 30n^2 = 0$
$-15$ से विभाजित करने पर:
$l^2 + 3nl + 2n^2 = 0$
$(l + n)(l + 2n) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $l = -n$। $m = -3l - 5n$ में रखने पर,$m = -3(-n) - 5n = 3n - 5n = -2n$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(-n, -2n, n)$ हैं,जो $(1, 2, -1)$ के रूप में सरल हो जाते हैं।
स्थिति $2$: $l = -2n$। $m = -3l - 5n$ में रखने पर,$m = -3(-2n) - 5n = 6n - 5n = n$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(-2n, n, n)$ हैं,जो $(-2, 1, 1)$ के रूप में सरल हो जाते हैं।
माना दिक अनुपात $\vec{a} = (1, 2, -1)$ और $\vec{b} = (-2, 1, 1)$ हैं।
कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(-2) + (2)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 2 - 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-1|}{6} = \frac{1}{6}$.

(D) दिए गए समीकरण:
$ab + bc + ca = 0$ --- $(1)$
$6ab + 9bc + 8ca = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $6$ से गुणा करने पर:
$6ab + 6bc + 6ca = 0$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(6ab + 9bc + 8ca) - (6ab + 6bc + 6ca) = 0$
$3bc + 2ca = 0 \Rightarrow c(3b + 2a) = 0$.
चूंकि $c \neq 0$,इसलिए $2a = -3b$,अर्थात $a/(-3) = b/2$.
$a = -3k$ और $b = 2k$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(-3k)(2k) + (2k)c + c(-3k) = 0$
$-6k^2 - kc = 0 \Rightarrow c = -6k$.
अतः,दिक्-अनुपात $(-3k, 2k, -6k)$ के समानुपाती हैं,अर्थात $(-3, 2, -6)$.
इसका परिमाण $\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
इसलिए,दिक्-कोसाइन $\frac{-3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{-6}{7}$ हैं।

(A) माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $E, F, G$ क्रमशः $AB, BC, CA$ के मध्य-बिंदु हैं:
$\frac{x_1+x_2}{2}=1, \frac{y_1+y_2}{2}=0, \frac{z_1+z_2}{2}=0$ $(1)$
$\frac{x_2+x_3}{2}=0, \frac{y_2+y_3}{2}=2, \frac{z_2+z_3}{2}=0$ $(2)$
$\frac{x_3+x_1}{2}=0, \frac{y_3+y_1}{2}=0, \frac{z_3+z_1}{2}=3$ $(3)$
इन्हें हल करने पर,हमें $A(1, -2, 3), B(1, 2, -3), C(-1, 2, 3)$ प्राप्त होता है।
$AF$ के दिक्-अनुपात (जहाँ $F$ बिंदु $(0, 2, 0)$ है): $a_1 = 0-1 = -1, b_1 = 2-(-2) = 4, c_1 = 0-3 = -3$. अतः $a_1^2+b_1^2+c_1^2 = (-1)^2+4^2+(-3)^2 = 1+16+9 = 26$.
$BG$ के दिक्-अनुपात (जहाँ $G$ बिंदु $(0, 0, 3)$ है): $a_2 = 0-1 = -1, b_2 = 0-2 = -2, c_2 = 3-(-3) = 6$. अतः $a_2^2+b_2^2+c_2^2 = (-1)^2+(-2)^2+6^2 = 1+4+36 = 41$.
इसलिए,$\frac{a_1^2+b_1^2+c_1^2}{a_2^2+b_2^2+c_2^2} = \frac{26}{41}$.

(C) दो रेखाएं जिनके दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे समांतर होती हैं यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो।
$L_1$ के लिए दिक्-अनुपात $(2, 5, 7)$ और $L_2$ के लिए $(\frac{4}{\sqrt{19}}, \frac{10}{\sqrt{19}}, \frac{14}{\sqrt{19}})$ दिए गए हैं।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{2}{4/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,$\frac{5}{10/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,और $\frac{7}{14/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$।
चूंकि सभी अनुपात समान हैं,इसलिए रेखाएं $L_1$ और $L_2$ समांतर हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
शर्त $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्त है,समांतर होने की नहीं। अतः,$(R)$ असत्य है।
इसलिए,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(B) दिए गए समीकरण $a+b+c=0$ और $2ab+2ac-bc=0$ हैं।
दूसरे समीकरण में $a=-(b+c)$ रखने पर:
$-2(b+c)b - 2(b+c)c - bc = 0$
$-2b^2 - 2bc - 2bc - 2c^2 - bc = 0$
$-2b^2 - 5bc - 2c^2 = 0$
$2b^2 + 5bc + 2c^2 = 0$
$(2b+c)(b+2c) = 0$.
स्थिति $1$: $b = -2c$. तब $a = -(-2c+c) = c$. दिक्-अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $b = -c/2$. तब $a = -(-c/2+c) = -c/2$. दिक्-अनुपात $(-1/2, -1/2, 1)$ हैं,जो $(1, 1, -2)$ के समतुल्य हैं।
माना दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (1, -2, 1)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 1, -2)$ हैं।
सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{1+1+4}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
चूंकि हमें अधिक कोण ज्ञात करना है,इसलिए $\cos \theta = -1/2$ लेने पर,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण $a+2b+c=0$ $(i)$ और $11bc+6ca-14ab=0$ (ii) हैं।
$(i)$ से,$b = \frac{-(a+c)}{2}$।
इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$11\left(\frac{-(a+c)}{2}\right)c + 6ac - 14a\left(\frac{-(a+c)}{2}\right) = 0$
$\Rightarrow -\frac{11}{2}ac - \frac{11}{2}c^2 + 6ac + 7a^2 + 7ac = 0$
$2$ से गुणा करने पर: $-11ac - 11c^2 + 12ac + 14a^2 + 14ac = 0$
$\Rightarrow 14a^2 + 15ac - 11c^2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(7a+11c)(2a-c) = 0$।
स्थिति $1$: $2a = c \Rightarrow a = 1, c = 2$। तब $b = \frac{-(1+2)}{2} = -1.5$। भिन्नों से बचने के लिए,$a=2, c=4, b=-3$ लें। दिक्-अनुपात: $(2, -3, 4)$।
स्थिति $2$: $7a = -11c \Rightarrow a = -11, c = 7$। तब $b = \frac{-(-11+7)}{2} = 2$। दिक्-अनुपात: $(-11, 2, 7)$।
मान लीजिए दिक्-अनुपात $\vec{n_1} = (2, -3, 4)$ और $\vec{n_2} = (-11, 2, 7)$ हैं।
डॉट प्रोडक्ट $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(-11) + (-3)(2) + (4)(7) = -22 - 6 + 28 = 0$।
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,रेखाएं लंबवत हैं।
इसलिए,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिक्-कोसाइन के लिए दिए गए समीकरण $a l + b m + c n = 0$ $(1)$ और $m n + n l + l m = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,हमारे पास $n = -\frac{a l + b m}{c}$ है।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$m \left( -\frac{a l + b m}{c} \right) + l \left( -\frac{a l + b m}{c} \right) + l m = 0$.
$-c$ से गुणा करने पर:
$m(a l + b m) + l(a l + b m) - c l m = 0$.
$a l^2 + b m^2 + a l m + b l m - c l m = 0$.
$a l^2 + (a + b - c) l m + b m^2 = 0$.
$m^2$ से विभाजित करने पर,हमें $a \left( \frac{l}{m} \right)^2 + (a + b - c) \left( \frac{l}{m} \right) + b = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं। द्विघात समीकरण के मूल $\frac{l_1}{m_1}$ और $\frac{l_2}{m_2}$ हैं।
अतः,$\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{b}{a}$,जिसका अर्थ है $\frac{l_1 l_2}{b} = \frac{m_1 m_2}{a}$।
समरूपता से,$\frac{l_1 l_2}{1/a} = \frac{m_1 m_2}{1/b} = \frac{n_1 n_2}{1/c} = k$।
रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$।
मान रखने पर: $k \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 0$।
चूंकि $k \neq 0$,शर्त $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ है।

(C) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ से,$n = -(l+m)$।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $l=0$ या $m=0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l=0$ है,तो $(i)$ से,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$। माना $m=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$ है,तो $(i)$ से,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$। माना $l=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं।
माना दो सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(D) दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0 \Rightarrow m=-(l+n) \quad (i)$
$2lm+2ln-mn=0 \quad (ii)$
$m=-(l+n)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2l(-(l+n)) + 2ln - (-(l+n))n = 0$
$-2l^2 - 2ln + 2ln + ln + n^2 = 0$
$-2l^2 + ln + n^2 = 0$
$2l^2 - ln - n^2 = 0$
$(2l+n)(l-n) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $l=n$. $(i)$ से,$m=-(n+n)=-2n$. अतः,$(l, m, n) = (n, -2n, n)$,जो दिक्-अनुपात $(1, -2, 1)$ देता है।
स्थिति $2$: $2l=-n \Rightarrow l=-\frac{n}{2}$. $(i)$ से,$m=-(-\frac{n}{2}+n) = -\frac{n}{2}$. अतः,$(l, m, n) = (-\frac{n}{2}, -\frac{n}{2}, n)$,जो दिक्-अनुपात $(1, 1, -2)$ देता है।
माना दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, -2, 1)$ और $\vec{b} = (1, 1, -2)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right| = \left| \frac{(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{1 - 2 - 2}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{6} \right| = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$l+3m+5n=0$ --- $(i)$
$5lm-2mn+6ln=0$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$l = -3m - 5n$।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(-3m-5n)m - 2mn + 6(-3m-5n)n = 0$
$-15m^2 - 25mn - 2mn - 18mn - 30n^2 = 0$
$-15m^2 - 45mn - 30n^2 = 0$
$-15$ से भाग देने पर:
$m^2 + 3mn + 2n^2 = 0$
$(m+n)(m+2n) = 0$
स्थिति $1$: $m = -n$। तब $l = -3(-n) - 5n = -2n$। दिक्-अनुपात $(-2n, -n, n)$ या $(2, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -2n$। तब $l = -3(-2n) - 5n = n$। दिक्-अनुपात $(n, -2n, n)$ या $(1, -2, 1)$ हैं।
माना दिक्-अनुपात $\vec{a} = (2, 1, -1)$ और $\vec{b} = (1, -2, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(2)(1) + (1)(-2) + (-1)(1)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 2 - 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-1|}{6} = \frac{1}{6}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$।

(B) दो रेखाओं के दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = \left(-\frac{2}{\sqrt{21}}, \frac{C}{\sqrt{21}}, \frac{1}{\sqrt{21}}\right)$ और $(l_2, m_2, n_2) = \left(\frac{3}{\sqrt{54}}, \frac{3}{\sqrt{54}}, -\frac{6}{\sqrt{54}}\right)$ दिए गए हैं।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।
लंबवत रेखाओं के लिए शर्त $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ है।
मान रखने पर:
$\left(-\frac{2}{\sqrt{21}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{54}}\right) + \left(\frac{C}{\sqrt{21}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{54}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{21}}\right) \left(-\frac{6}{\sqrt{54}}\right) = 0$
$\frac{-6}{\sqrt{21}\sqrt{54}} + \frac{3C}{\sqrt{21}\sqrt{54}} - \frac{6}{\sqrt{21}\sqrt{54}} = 0$
दोनों पक्षों को $\sqrt{21}\sqrt{54}$ से गुणा करने पर:
$-6 + 3C - 6 = 0$
$3C - 12 = 0$
$3C = 12$
$C = 4$.

(D) दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ अर्थात $(1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, m)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.