Plane Questions in Hindi

(C) बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत समतल का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,बिंदु $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें:
$1(x-1) + 2(y-1) - 3(z+1) = 0$
$x - 1 + 2y - 2 - 3z - 3 = 0$
$x + 2y - 3z - 6 = 0$.
चूंकि समतल $\pi$ इस समतल के समानांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश भी $\vec{n} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ ही होगा।
अतः,बिंदु $3\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण:
$1(x-3) + 2(y+4) - 3(z-5) = 0$
$x - 3 + 2y + 8 - 3z + 15 = 0$
$x + 2y - 3z + 20 = 0$.

(A) बिंदुओं $(6,3,2)$ और $(1,-4,-9)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक अनुपात $(6-1, 3-(-4), 2-(-9)) = (5, 7, 11)$ हैं।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(a, b, c) = (5, 7, 11)$ हैं।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c) = (5, 7, 11)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $5(x-1) + 7(y-1) + 11(z-1) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$5x - 5 + 7y - 7 + 11z - 11 = 0$,जो सरल होकर $5x + 7y + 11z - 23 = 0$ हो जाता है।
इसकी तुलना $ax + by + cz - 23 = 0$ से करने पर,हमें $a=5, b=7, c=11$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b-c = 5+7-11 = 1$.

(B) मान लीजिए $Q = (1, 2, 3)$ बिंदु है और $R = (-1, 3, -2)$ समतल पर लंब का पाद है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{QR}$ है।
$\vec{n} = \vec{R} - \vec{Q} = (-1 - 1, 3 - 2, -2 - 3) = (-2, 1, -5)$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (2, -1, 5)$ के रूप में भी ले सकते हैं।
बिंदु $R(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, 5)$ वाले समतल का समीकरण इस प्रकार है:
$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$
$2(x - (-1)) - 1(y - 3) + 5(z - (-2)) = 0$
$2(x + 1) - (y - 3) + 5(z + 2) = 0$
$2x + 2 - y + 3 + 5z + 10 = 0$
$2x - y + 5z + 15 = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 2, B = -1, C = 5, D = 15$.
$d = \frac{|15|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2}} = \frac{15}{\sqrt{4 + 1 + 25}} = \frac{15}{\sqrt{30}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$d = \frac{15}{\sqrt{30}} \times \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} = \frac{15\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{2} = \sqrt{\frac{30}{4}} = \sqrt{\frac{15}{2}}$.

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
दिया गया बिंदु $(1, -2, 3)$ है और अभिलंब सदिश $\vec{n} = -\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
मान रखने पर:
$-1(x - 1) + 2(y - (-2)) - 3(z - 3) = 0$
$-1(x - 1) + 2(y + 2) - 3(z - 3) = 0$
$-x + 1 + 2y + 4 - 3z + 9 = 0$
$-x + 2y - 3z + 14 = 0$
$x - 2y + 3z = 14$.

(D) समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n}_1 = a\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{7}}$,इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{3}{7}$।
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (a)(1) + (2)(-2) + (-3)(1) = a - 4 - 3 = a - 7$।
$||\vec{n}_1|| = \sqrt{a^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{a^2 + 13}$।
$||\vec{n}_2|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$।
अतः,$\frac{(a-7)^2}{(a^2+13)(6)} = \frac{3}{7}$।
$7(a^2 - 14a + 49) = 18(a^2 + 13)$।
$7a^2 - 98a + 343 = 18a^2 + 234$।
$11a^2 + 98a - 109 = 0$।
$(a-1)(11a+109) = 0$।
चूंकि $a$ एक पूर्णांक है,इसलिए $a = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल बिंदुओं $(2,3,0), (0,-5,2)$ और $(-2,0,3)$ से गुजरता है,हमारे पास है:
$1) \frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$
$2) -\frac{5}{b} + \frac{2}{c} = 1$
$3) -\frac{2}{a} + \frac{3}{c} = 1$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$\frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 2 \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{2}{3} - \frac{1}{c} = \frac{2c-3}{3c}$.
$\frac{1}{b}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$-5\left(\frac{2c-3}{3c}\right) + \frac{2}{c} = 1
\Rightarrow \frac{-10c + 15 + 6}{3c} = 1
\Rightarrow -10c + 21 = 3c
\Rightarrow 13c = 21 \Rightarrow c = \frac{21}{13}$.
अब,समीकरण $(3)$ से:
$-\frac{2}{a} + 3\left(\frac{13}{21}\right) = 1
\Rightarrow -\frac{2}{a} + \frac{13}{7} = 1
\Rightarrow \frac{2}{a} = \frac{13}{7} - 1 = \frac{6}{7}
\Rightarrow a = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
अतः,$X$-अक्ष पर अंतःखंड $A = \left(\frac{7}{3}, 0, 0\right)$ है।

(D) माना बिंदु $A(0, 1, 2)$,$B(3, 0, 2)$ और $C(4, 5, 0)$ हैं।
समतल में सदिश $\vec{AB} = 3\hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{AC} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 16\hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसे $2$ से विभाजित करने पर,$\vec{n} = \hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ मिलता है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 8^2} = \sqrt{74}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $l = \frac{1}{\sqrt{74}}$,$m = \frac{3}{\sqrt{74}}$,$n = \frac{8}{\sqrt{74}}$ हैं।
अतः,$|l| + |m| + |n| = \frac{1+3+8}{\sqrt{74}} = \frac{12}{\sqrt{74}}$।

(A) समतल का दिया गया सदिश समीकरण: $\bar{r}=(2-\lambda+\mu) \hat{i}+(1-\mu) \hat{j}+(2-3 \lambda+2 \mu) \hat{k}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})+\lambda(-\hat{i}-3 \hat{k})+\mu(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$.
यह एक समतल है जो बिंदु $(2, 1, 2)$ से गुजरता है और सदिशों $\bar{a} = -\hat{i}-3 \hat{k}$ और $\bar{b} = \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\bar{n}$,क्रॉस प्रोडक्ट $\bar{a} \times \bar{b}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\bar{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -3 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
अभिलंब सदिश को $3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के रूप में भी लिया जा सकता है।
समतल का समीकरण $(\bar{r} - \bar{r}_0) \cdot \bar{n} = 0$ है,जहाँ $\bar{r}_0 = 2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$.
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} - (2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$.
$3(x-2) + 1(y-1) - 1(z-2) = 0$.
$3x - 6 + y - 1 - z + 2 = 0$.
$3x + y - z = 5$.

(A) दिया गया है कि मूल बिंदु से समतल की दूरी $d = 6$ इकाई है।
अभिलंब सदिश $\vec{N} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,अभिलंब सदिश का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{N}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7}$ है।
समतल का अभिलंब रूप में समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7} \right) = 6$ प्राप्त होता है।
$7$ से गुणा करने पर,हमें $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ प्राप्त होता है।
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ रखने पर,हमें $(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ प्राप्त होता है।
यह $2x + 6y - 3z = 42$ या $2x + 6y - 3z - 42 = 0$ में सरल हो जाता है।

(B) दिया गया समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1$ है।
इसे कार्तीय रूप में बदलने पर,हमें $2 x+3 y-4 z=1$ प्राप्त होता है,या $2 x+3 y-4 z-1=0$।
इस समतल के समांतर कोई भी समतल $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ के रूप में होता है।
दो समांतर समतलों $Ax+By+Cz+D_1=0$ और $Ax+By+Cz+D_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d=2$,$A=2$,$B=3$,$C=-4$,$D_1=-1$,और $D_2=\lambda$ है।
अतः,$2 = \frac{|\lambda-(-1)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-4)^2}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{4+9+16}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{29}}$।
इसका अर्थ है $|\lambda+1| = 2 \sqrt{29}$,इसलिए $\lambda+1 = \pm 2 \sqrt{29}$,जिसका अर्थ है $\lambda = -1 \pm 2 \sqrt{29}$।
$\lambda$ का मान $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ में रखने पर,हमें $2 x+3 y-4 z-1 \pm 2 \sqrt{29} = 0$ प्राप्त होता है,या $2 x+3 y-4 z = 1 \mp 2 \sqrt{29}$।
चूंकि विकल्पों में $1 \pm 2 \sqrt{29}$ दिया गया है,इसलिए सही समीकरण $2 x+3 y-4 z = 1 \pm 2 \sqrt{29}$ है।

(B) बिंदुओं $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, -4)$ और $C(3, -4, 5)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2-1 & 3-2 & -4-3 \\ 3-1 & -4-2 & 5-3 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & 1 & -7 \\ 2 & -6 & 2 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)(2 - 42) - (y-2)(2 - (-14)) + (z-3)(-6 - 2) = 0$
$(x-1)(-40) - (y-2)(16) + (z-3)(-8) = 0$
$-40x + 40 - 16y + 32 - 8z + 24 = 0$
$-40x - 16y - 8z + 96 = 0$
$-8$ से विभाजित करने पर:
$5x + 2y + z - 12 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|-12|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{12}{\sqrt{25 + 4 + 1}} = \frac{12}{\sqrt{30}}$.

(A) तीन बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदुओं $A(1,1,-1)$,$B(2,-1,0)$ और $C(-1,0,2)$ का मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z+1 \\ 2-1 & -1-1 & 0+1 \\ -1-1 & 0-1 & 2+1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z+1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)(-6+1) - (y-1)(3+2) + (z+1)(-1-4) = 0$
$-5(x-1) - 5(y-1) - 5(z+1) = 0$
$-5$ से भाग देने पर:
$(x-1) + (y-1) + (z+1) = 0$
$x + y + z - 1 = 0$
अब,विकल्पों को समीकरण $x + y + z - 1 = 0$ में रखकर जाँच करने पर:
$(1,2,-2)$ के लिए: $1 + 2 - 2 - 1 = 0$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है.
अतः,बिंदु $(1,2,-2)$ समतल पर स्थित है।

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दो समांतर सदिशों $\vec{v_1} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9-2) - \hat{j}(-6+1) + \hat{k}(4+3) = -11\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
बिंदु $(1, 2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = -11\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण है:
$-11(x-1) + 5(y-2) + 7(z-1) = 0$
$-11x + 11 + 5y - 10 + 7z - 7 = 0$
$-11x + 5y + 7z - 6 = 0$
$-11x + 5y + 7z = 6$
$6$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{11}{6}x + \frac{5}{6}y + \frac{7}{6}z = 1$
इसकी तुलना $ax+by+cz=1$ से करने पर,$a = -\frac{11}{6}$,$b = \frac{5}{6}$,$c = \frac{7}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$18(a+b+c) = 18 \left(-\frac{11}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6}\right) = 18 \left(\frac{1}{6}\right) = 3$.

(D) समतल का दिया गया सदिश समीकरण: $\vec{r} = (2+\alpha-3\beta) \hat{i} + (\beta-3) \hat{j} + (2\alpha-5\beta-1) \hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर:
$x = 2 + \alpha - 3\beta$ $(i)$
$y = \beta - 3 \implies \beta = y + 3$ (ii)
$z = 2\alpha - 5\beta - 1$ (iii)
$\beta = y + 3$ को (iii) में रखने पर:
$z = 2\alpha - 5(y + 3) - 1$
$z = 2\alpha - 5y - 15 - 1$
$z = 2\alpha - 5y - 16$
$2\alpha = z + 5y + 16 \implies \alpha = \frac{z + 5y + 16}{2}$.
अब,$\alpha$ और $\beta$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$x = 2 + \left(\frac{z + 5y + 16}{2}\right) - 3(y + 3)$
$2$ से गुणा करने पर:
$2x = 4 + z + 5y + 16 - 6y - 18$
$2x = z - y + 2$
$2x + y - z = 2$.

(A) दिया गया समीकरण $S = 2 x^2 - 6 y^2 - 12 z^2 + 18 y z + 2 z x + x y = 0$ है।
द्विघात रूप का गुणनखंड करने पर,हमें $S = (x + 2 y - 2 z)(2 x - 3 y + 6 z) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो समतल $P_1: x + 2 y - 2 z = 0$ और $P_2: 2 x - 3 y + 6 z = 0$ हैं।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ और $\vec{n_2} = (2, -3, 6)$ हैं।
समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-3) + (-2)(6) = 2 - 6 - 12 = -16$.
परिमाणों की गणना करने पर: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{|-16|}{3 \times 7} = \frac{16}{21}$.
अतः,न्यून कोण $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{21}\right)$ है।

(A) $A(0,0,2)$,$B(1,0,1)$ और $C(3,1,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया गया है:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-2 \\ 1-0 & 0-0 & 1-2 \\ 3-0 & 1-0 & 1-2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y & z-2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $x(0 - (-1)) - y(-1 - (-3)) + (z-2)(1 - 0) = 0$
$x(1) - y(2) + (z-2)(1) = 0$
$x - 2y + z - 2 = 0$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ है।
$XY$-समतल का अभिलंब $\vec{n}_1 = \langle 0, 0, 1 \rangle$ है। समतलों के बीच का कोण $\alpha$ इस प्रकार है: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}| |\vec{n}_1|} = \frac{|1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
अतः,$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$XZ$-समतल का अभिलंब $\vec{n}_2 = \langle 0, 1, 0 \rangle$ है। समतलों के बीच का कोण $\beta$ इस प्रकार है: $\cos \beta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}| |\vec{n}_2|} = \frac{|-2|}{\sqrt{6} \sqrt{1^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
अतः,$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \frac{4}{6} = \frac{2}{6}$.
इसलिए,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$.

(B) समतल $OAB$ का समीकरण सारणिक रूप द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-0 \\ 1-0 & 2-0 & 1-0 \\ 2-0 & 1-0 & 3-0 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $x(6-1) - y(3-2) + z(1-4) = 0 \Rightarrow 5x - y - 3z = 0$ ... $(i)$
समतल $ABC$ का समीकरण:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 2-1 & 1-2 & 3-1 \\ -1-1 & 1-2 & 2-1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $(x-1)(-1+2) - (y-2)(1+4) + (z-1)(-1-2) = 0$
$(x-1)(1) - (y-2)(5) + (z-1)(-3) = 0 \Rightarrow x - 1 - 5y + 10 - 3z + 3 = 0 \Rightarrow x - 5y - 3z + 12 = 0$ ... $(ii)$
समतलों $5x - y - 3z = 0$ और $x - 5y - 3z + 12 = 0$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|5 + 5 + 9|}{\sqrt{25 + 1 + 9} \sqrt{1 + 25 + 9}} = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$

(C) समतल बिंदु $A$ (स्थिति सदिश $\vec{a}$) से गुजरता है और सदिश $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के समानांतर है।
अतः,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ है।
समतल का अभिलंब रूप में समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = \vec{a} \cdot \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{n}$ का मान रखने पर,हमें $\vec{r} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ होता है,इसलिए समीकरण $\vec{r} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ हो जाता है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और दो समतलों,जिनके अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ और $\vec{n_2}$ हैं,के लंबवत समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} x+1 & y-6 & z-2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x+1)(4-6) - (y-6)(2-6) + (z-2)(3-6) = 0$
$-2(x+1) + 4(y-6) - 3(z-2) = 0$
$-2x - 2 + 4y - 24 - 3z + 6 = 0$
$-2x + 4y - 3z - 20 = 0$ या $2x - 4y + 3z + 20 = 0$
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(1, -1, 1)$ और समतल $2x - 4y + 3z + 20 = 0$ के लिए:
$d = \frac{|2(1) - 4(-1) + 3(1) + 20|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2}}$
$d = \frac{|2 + 4 + 3 + 20|}{\sqrt{4 + 16 + 9}} = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$

(D) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y, z$ अंतःखंड हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(2, 3, 5)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$
$\frac{b}{3} = 3 \implies b = 9$
$\frac{c}{3} = 5 \implies c = 15$
इन मानों को समतल के अंतःखंड रूप के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{6} + \frac{y}{9} + \frac{z}{15} = 1$
सरल करने के लिए,समीकरण को $6, 9, 15$ के लघुत्तम समापवर्त्य $90$ से गुणा करने पर:
$15x + 10y + 6z = 90$.

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
दिया गया है कि मूल बिंदु से दूरी $6$ इकाई है।
समतल की मूल बिंदु से दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 6$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{36} \quad (i)$।
$A, B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ और $(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार है: $x = \frac{a}{3}, y = \frac{b}{3}, z = \frac{c}{3}$।
अतः,$a = 3x, b = 3y, c = 3z$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{36}$।
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{36}$।
$9$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$।

(C) दो समतलों के बीच का कोण उनके अभिलंब सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है।
सबसे पहले,हम समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n_1}$ ज्ञात करते हैं। चूँकि $\pi_1$ समतलों $x+2y+3z-6=0$ और $x+2y+2z-5=0$ के लंबवत है,इसका अभिलंब $\overrightarrow{n_1}$ इन दो समतलों के अभिलंबों $\overrightarrow{n_A} = (1, 2, 3)$ और $\overrightarrow{n_B} = (1, 2, 2)$ के सदिश गुणनफल के समांतर होगा।
$\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{n_A} \times \overrightarrow{n_B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) - \hat{j}(2-3) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$.
अब,हम समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n_2}$ ज्ञात करते हैं। अभिलंब सदिश बिंदु $(1, 3, 2)$ और उसके लंब के पाद $(-1, 2, -3)$ को जोड़ने वाला सदिश है।
$\overrightarrow{n_2} = (-1-1)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (-3-2)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} - 5\hat{k}$.
समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (-2)(-2) + (1)(-1) + (0)(-5) = 4 - 1 + 0 = 3$.
$|\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$.
$|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+1+25} = \sqrt{30}$.
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{150}} = \frac{3}{5\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{10}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}\right)$.

(A) मूल बिंदु से $d$ दूरी पर और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ इकाई अभिलंब सदिश है।
दिया गया अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है,जिसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ है।
अतः,इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}}$ है।
मूल बिंदु से दूरी $d = \frac{6}{\sqrt{29}}$ है।
समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ में मान रखने पर:
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{29}$ से गुणा करने पर,हमें $2x - 3y + 4z = 6$ प्राप्त होता है।

(C) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ पर काटता है,इसलिए $\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ होगा।
दिया गया है कि केंद्रक $(6, 6, 3)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 6 \implies a = 18$
$\frac{b}{3} = 6 \implies b = 18$
$\frac{c}{3} = 3 \implies c = 9$
इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{18} + \frac{z}{9} = 1$
पूरे समीकरण को $18$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y + 2z = 18$.

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P(1, -2, 5)$ तक का सदिश है,जो $\vec{n_1} = (1, -2, 5)$ है।
समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$,$(1, 2, -1)$ से $P(1, -2, 5)$ तक का सदिश है,जो $\vec{n_2} = (1-1, -2-2, 5-(-1)) = (0, -4, 6)$ है।
दो समतलों के बीच का न्यून कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (-2)(-4) + (5)(6) = 0 + 8 + 30 = 38$.
परिमाण की गणना: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{38}{\sqrt{30} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{19}{\sqrt{390}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{\sqrt{390}}\right)$.

(B) समतल का समीकरण $a x + b y + c z = 1$ दिया गया है।
चूंकि समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हम इस बिंदु के निर्देशांक को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।
$x = 1$,$y = 2$,और $z = 3$ को $a x + b y + c z = 1$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a(1) + b(2) + c(3) = 1$
$a + 2 b + 3 c = 1$.
अतः,$a + 2 b + 3 c$ का मान $1$ है।

(A) तीन बिंदुओं $A(\vec{a})$,$B(\vec{b})$,और $C(\vec{c})$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right|=0$
दिए गए बिंदु $A(2, 6, -6)$,$B(-3, 10, -9)$,और $C(-5, 0, -6)$ हैं।
सारणिक में मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x-2 & y-6 & z+6 \\ -5 & 4 & -3 \\ -7 & -6 & 0 \end{array}\right|=0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)(0-18) - (y-6)(0-21) + (z+6)(30+28) = 0$
$-18(x-2) + 21(y-6) + 58(z+6) = 0$
$-18x + 21y + 58z + 258 = 0$
दिए गए विकल्पों के आधार पर,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(C) तीन बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदु $A(1, -1, 1)$,$B(1, -2, 3)$ और $C(1, 2, -3)$ हैं।
सारणिक में मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y+1 & z-1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)((-1)(-4) - (2)(3)) = 0$
$(x-1)(4-6) = 0$
$-2(x-1) = 0$
$x = 1$
अब,विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(1, 1, -1)$ अर्थात $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ समीकरण $x=1$ को संतुष्ट करता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) समतल $\pi_1$ का समीकरण जो $(0,1,2), (1,0,-2), (-2,1,0)$ से होकर गुजरता है,सारणिक द्वारा दिया गया है:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-1 & z-2 \\ 1-0 & 0-1 & -2-2 \\ -2-0 & 1-1 & 0-2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y-1 & z-2 \\ 1 & -1 & -4 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(2-0) - (y-1)(-2-8) + (z-2)(0-2) = 0$
$2x + 10(y-1) - 2(z-2) = 0$
$2x + 10y - 10 - 2z + 4 = 0$
$2x + 10y - 2z - 6 = 0 \Rightarrow x + 5y - z = 3$. अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 5, -1)$ है।
समतल $\pi_2$ बिंदु $(1,2,3)$ से गुजरता है और $x+y+z=1$ तथा $2x-3y+z=5$ के लंबवत है। अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$ इन दोनों समतलों के अभिलंबों $(1,1,1)$ और $(2,-3,1)$ का सदिश गुणनफल है:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+3) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(-3-2) = 4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
$\pi_2$ का समीकरण $4(x-1) + 1(y-2) - 5(z-3) = 0 \Rightarrow 4x + y - 5z + 9 = 0$ है।
$\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right| = \left| \frac{(1)(4) + (5)(1) + (-1)(-5)}{\sqrt{1^2+5^2+(-1)^2} \sqrt{4^2+1^2+(-5)^2}} \right|$
$= \left| \frac{4+5+5}{\sqrt{27} \sqrt{42}} \right| = \frac{14}{\sqrt{9 \times 3} \sqrt{6 \times 7}} = \frac{14}{3\sqrt{3} \sqrt{6} \sqrt{7}} = \frac{14}{3 \sqrt{18 \times 7}} = \frac{14}{3 \sqrt{126}} = \frac{14}{3 \times 3 \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{9}$.

(C) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $ax + by + cz + d = 0$ से लंबवत दूरी का सूत्र है:
$D = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
यहाँ दिया गया बिंदु $(1, -1, 2)$ है और समतल $x + 2y + z - 4 = 0$ है,जहाँ $a=1, b=2, c=1, d=-4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$D = \left| \frac{1(1) + 2(-1) + 1(2) - 4}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} \right|$
$D = \left| \frac{1 - 2 + 2 - 4}{\sqrt{1 + 4 + 1}} \right|$
$D = \left| \frac{-3}{\sqrt{6}} \right| = \frac{3}{\sqrt{6}}$
व्यंजक का सरलीकरण करने पर:
$D = \frac{3}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाले और दिए गए समतल $ax + by + cz = d$ के लंबवत समतल का समीकरण सारणिक रूप का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। आवश्यक समतल का अभिलंब सदिश,दो बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिए गए समतल के अभिलंब सदिश का क्रॉस गुणनफल होता है।
मान लीजिए बिंदु $A(1, -1, 6)$ और $B(0, 0, 7)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (0-1, 0-(-1), 7-6) = (-1, 1, 1)$ है।
समतल $x - 2y + z = 6$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, -2, 1)$ है।
आवश्यक समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+2) - \hat{j}(-1-1) + \hat{k}(2-1) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
$(0, 0, 7)$ से गुजरने वाले और $(3, 2, 1)$ अभिलंब सदिश वाले समतल का समीकरण $3(x-0) + 2(y-0) + 1(z-7) = 0$ है,जो सरल करने पर $3x + 2y + z = 7$ हो जाता है।
अब,समीकरण $3x + 2y + z = 7$ में विकल्पों के निर्देशांक रखकर जाँच करें:
$(1, 1, 2)$ के लिए: $3(1) + 2(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7$। यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

(B) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ है।
चूँकि समतल निर्देशांक अक्षों को $P, Q, R$ पर मिलता है,इसलिए $P, Q, R$ के निर्देशांक $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$ हैं।
$\triangle P Q R$ का केंद्रक $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ है।
दिए गए केंद्रक $\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{2}$
$\frac{c}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow c = 1$
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{3/2} + \frac{z}{1} = 1$
$\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} + z = 1$
$3$ से गुणा करने पर,$x + 2y + 3z = 3$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (-1, 2, 3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\langle a, b, c \rangle$ समतल के अभिलंब के दिक-अनुपात हैं।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a(x + 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए दिक-कोसाइन $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ हैं।
अतः,दिक-अनुपात $a, b, c$ को $1, 1, 1$ के रूप में लिया जा सकता है।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$1(x + 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0$
$x + 1 + y - 2 + z - 3 = 0$
$x + y + z - 4 = 0$.

(A) एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
यहाँ,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल पर लंब का पाद $(1,2,3)$ है।
यह बिंदु $(1,2,3)$ समतल पर स्थित है,इसलिए यह $(x_1, y_1, z_1)$ के रूप में कार्य करता है।
मूल बिंदु से लंब के पाद तक का सदिश समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के रूप में कार्य करता है।
अतः,$\vec{n} = (1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$।
इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(B) माना $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ है $\dots (i)$.
यह $(1, -1, -1)$ से भी गुजरता है,इसलिए $a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(-1 - 1) = 0$,जो $-2b - 2c = 0$ यानी $b + c = 0$ में सरल हो जाता है $\dots (ii)$.
यह समतल $2x - y + z + 5 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हैं। अतः $2a - b + c = 0$ $\dots (iii)$.
$(ii)$ से,$c = -b$। इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$2a - b - b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = 2b$,यानी $a = b$।
माना $a = 1$,तो $b = 1$ और $c = -1$।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर,$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0$,जो $x + y - z - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।

(A) समतल का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $X, Y, Z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
दिया गया है कि समतल $X$-अक्ष पर $4$ का अंतःखंड $(a = 4)$ और $Z$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड $(c = 3)$ बनाता है।
चूंकि समतल $Y$-अक्ष के समांतर है,यह $Y$-अक्ष को किसी भी परिमित दूरी पर नहीं काटता है,जिसका अर्थ है कि $Y$-अक्ष पर अंतःखंड $b$ अनंत है $(b \to \infty)$।
इसलिए,पद $\frac{y}{b}$ का मान $\frac{y}{\infty} = 0$ हो जाता है।
समतल का समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{z}{3} = 1$ हो जाता है।
पूरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 4z = 12$ प्राप्त होता है।

(D) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है। यह निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ पर मिलता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से इस समतल की दूरी $h$ दी गई है। दूरी का सूत्र $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = h$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}$।
माना $(x, y, z)$ $\triangle ABC$ के केंद्रक के निर्देशांक हैं। तब $x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,और $z = \frac{c}{3}$ होगा।
इससे $a = 3x$,$b = 3y$,और $c = 3z$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दूरी के समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{h^2}$

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से लंब के पाद $(1,2,2)$ को जोड़ने वाला सदिश है।
अतः,$\vec{n} = (1-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(1,2,2)$ और अभिलंब सदिश $(1,2,2)$ के मान रखने पर:
$1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-2) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 2z - 4 = 0$
$x + 2y + 2z - 9 = 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना बिंदु $P = (-2, -1, 3)$ और लंब का पाद $F = (1, 0, -2)$ है।
समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{PF} = (1 - (-2), 0 - (-1), -2 - 3) = (3, 1, -5)$ के समांतर है।
अतः,$F(1, 0, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, 1, -5)$ वाले समतल का समीकरण है:
$3(x - 1) + 1(y - 0) - 5(z + 2) = 0$
$3x - 3 + y - 5z - 10 = 0$
$3x + y - 5z = 13$
$13$ से भाग देने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{x}{13/3} + \frac{y}{13} + \frac{z}{-13/5} = 1$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ से तुलना करने पर,$a = \frac{13}{3}$,$b = 13$,और $c = -\frac{13}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,$3a + b + 5c$ की गणना करें:
$3(\frac{13}{3}) + 13 + 5(-\frac{13}{5}) = 13 + 13 - 13 = 13$.

(B) माना बिंदु $P = (1,0,-2)$ और लंब का पाद $F = (2,0,-1)$ है।
समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात सदिश $\vec{PF} = (2-1, 0-0, -1-(-2)) = (1, 0, 1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि समतल का समीकरण $ax+by+cz=2$ है,अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।
अतः,$(a, b, c) = \lambda(1, 0, 1) = (\lambda, 0, \lambda)$ किसी स्थिरांक $\lambda$ के लिए।
समतल का समीकरण $\lambda x + 0y + \lambda z = 2$ या $\lambda(x+z) = 2$ हो जाता है।
चूंकि बिंदु $F(2,0,-1)$ समतल पर स्थित है,हम इसके निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\lambda(2 + (-1)) = 2 \implies \lambda(1) = 2 \implies \lambda = 2$.
इसलिए,$a = \lambda = 2$,$b = 0$,और $c = \lambda = 2$.
अंत में,$a^2+b^2+c^2 = 2^2 + 0^2 + 2^2 = 4 + 0 + 4 = 8$.

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दो रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (-1, 2, 1)$ और $\vec{v_2} = (1, 3, 2)$ का क्रॉस गुणनफल है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(-3-2) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
चूँकि समतल बिंदु $(2, 1, k)$ से होकर गुजरता है,इसका समीकरण $1(x-2) + 3(y-1) - 5(z-k) = 0$ है।
बिंदु $(3, -1, 4)$ को समीकरण में रखने पर:
$1(3-2) + 3(-1-1) - 5(4-k) = 0$.
$1(1) + 3(-2) - 20 + 5k = 0$.
$1 - 6 - 20 + 5k = 0$.
$-25 + 5k = 0$.
$5k = 25 \Rightarrow k = 5$.

(A) समतल $P$ बिंदुओं $A_1(1, 0, 0)$,$A_2(0, 1, 0)$ और $A_3(1, 1, 1)$ से होकर गुजरता है।
समतल में स्थित दो सदिश $\vec{v_1} = A_2 - A_1 = (-1, 1, 0)$ और $\vec{v_2} = A_3 - A_1 = (0, 1, 1)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(-1-0) = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
अभिलंब के दिक अनुपात $(1, 1, -1)$ हैं।
रेखा बिंदु $A(3, 0, -5)$ से गुजरती है और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, -1)$ के समानांतर है।
अतः रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-(-5)}{-1}$ अर्थात $\frac{x-3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+5}{-1}$ है।