રેખા $r = i - j + k + t(i + j - k)$ એ સમતલ $r \cdot (i + j + k) = 5$ ને જે બિંદુએ મળે છે તેનો સ્થાન સદિશ શોધો.

ધારો કે $O(\overrightarrow{0}), A(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}), B(-2 \hat{i}+3 \hat{k}), C(-2 \hat{i}+\hat{j}), D(4 \hat{k})$ એ બિંદુઓ $O, A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો છે. જો $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા $O, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા સમતલને $R$ બિંદુએ છેદે છે,તો $R$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.

$\lambda$ ના કેટલા ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે રેખાઓ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{\lambda^2}$ અને $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{\lambda^2} = \frac{z - 1}{2}$ સમતલીય છે?

સમતલ $x - 2y + 3z = 17$ એ બિંદુઓ $A(-2, 4, 7)$ અને $B(3, -5, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે?

સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ માં રેખા $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{-5}$ નું પ્રતિબિંબ રેખા કઈ છે?

જો બિંદુ $(0, -\frac{1}{2}, 0)$ માંથી પસાર થતી અને રેખાઓ $\overrightarrow{r} = \lambda(\hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k})$ અને $\overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j} - 6\hat{k}) + \mu(-b\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k})$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ હોય,તો $a+b+c+d$ ની કિંમત શોધો :