Composition of Functions Questions in Hindi

(C) $f \circ g(x) = f(\sqrt{x^2 + 1}) = (x^2 + 1) - 1 = x^2$.
चूँकि $f \circ g(x)$ का सह-प्रांत $R$ है और परिसर $[0, \infty)$ है,इसलिए $f \circ g$ आच्छादक फलन नहीं है,अतः यह व्युत्क्रमणीय नहीं है।
अब,$(h \circ f \circ g)(x) = h(f \circ g(x)) = h(x^2)$.
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 \geq 0$ है,इसलिए $h(x^2) = x^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(h \circ f \circ g)(x) = x^2$.
साथ ही,$h(x)$ एक तत्समक फलन नहीं है क्योंकि $x < 0$ के लिए $h(x) = 0 \neq x$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x-2}{2x+1}$.
हमें समीकरण $f(f(x)) = -x$ दिया गया है।
$f(x)$ का मान रखने पर:
$\frac{f(x)-2}{2f(x)+1} = -x$
$\frac{\frac{x-2}{2x+1}-2}{2(\frac{x-2}{2x+1})+1} = -x$
$\frac{x-2-2(2x+1)}{2(x-2)+1(2x+1)} = -x$
$\frac{x-2-4x-2}{2x-4+2x+1} = -x$
$\frac{-3x-4}{4x-3} = -x$
$\frac{3x+4}{4x-3} = x$
$3x+4 = x(4x-3)$
$3x+4 = 4x^2-3x$
$4x^2-6x-4 = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें $2x^2-3x-2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta = \frac{3}{2}$ और $\alpha\beta = -1$.
हमें $4(\alpha^2+\beta^2)$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha^2+\beta^2 = (\frac{3}{2})^2 - 2(-1) = \frac{9}{4} + 2 = \frac{17}{4}$.
अतः,$4(\alpha^2+\beta^2) = 4 \times \frac{17}{4} = 17$.

(B) दिए गए फलन $f(x) = 2x + 1$ और $g(x) = x^2 - 2$ हैं।
संयुक्त फलन $(g \circ f)(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम परिभाषा $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ का उपयोग करते हैं।
$f(x)$ को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(f(x)) = g(2x + 1)$.
चूंकि $g(x) = x^2 - 2$,हम $x$ को $(2x + 1)$ से बदलते हैं:
$g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 2$.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करके वर्ग का विस्तार करने पर:
$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
अब,$2$ घटाने पर:
$4x^2 + 4x + 1 - 2 = 4x^2 + 4x - 1$.
अतः,$(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x - 1$.

(A) दिया गया है $f(x) = \min \{x - [x], -x - [-x]\}$ जहाँ $x \in (0, 1)$ है।
चूँकि $x \in (0, 1)$,इसलिए $[x] = 0$ होगा।
साथ ही,$x \in (0, 1)$ के लिए,$-x \in (-1, 0)$,इसलिए $[-x] = -1$ होगा।
इन मानों को फलन में रखने पर:
$f(x) = \min \{x - 0, -x - (-1)\} = \min \{x, 1 - x\}$ प्राप्त होता है।
अब,संयुक्त फलन $(f \circ f \circ f \circ f)(x)$ का मूल्यांकन करते हैं:
यदि $x \in (0, 1/2]$ है,तो $x \le 1 - x$,इसलिए $f(x) = x$ होगा।
अतः $f(f(x)) = f(x) = x$,और इसी प्रकार $(f \circ f \circ f \circ f)(x) = x$ प्राप्त होगा।
यदि $x \in (1/2, 1)$ है,तो $1 - x < x$,इसलिए $f(x) = 1 - x$ होगा।
अतः $f(f(x)) = f(1 - x) = \min \{1 - x, 1 - (1 - x)\} = \min \{1 - x, x\} = 1 - x$ होगा।
इस प्रकार,$(f \circ f)(x) = f(x)$ प्राप्त होता है।
परिणामस्वरूप,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x)$ होगा।

(D) दिया गया है $f(x) = x^3$ और $g(x) = 3^x$.
हमें $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ को $x \neq 0$ के लिए हल करना है।
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3^x) = (3^x)^3 = 3^{3x}$.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^3) = 3^{x^3}$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $3^{3x} = 3^{x^3}$.
चूँकि आधार समान हैं,इसलिए घातों की तुलना करने पर: $3x = x^3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^3 - 3x = 0$.
$x$ को कॉमन लेने पर: $x(x^2 - 3) = 0$.
चूँकि $x \neq 0$,इसलिए हमें $x^2 - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - 3 = 0$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = [x]$ और $g(x) = |x|$।
हमें $(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
परिभाषा के अनुसार,$(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = g\left(f\left(\frac{-5}{3}\right)\right)$।
सबसे पहले,$f\left(\frac{-5}{3}\right) = \left[\frac{-5}{3}\right]$ की गणना करते हैं।
चूंकि $\frac{-5}{3} = -1.666...$,इसलिए $-1.666...$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $-2$ है।
अतः,$f\left(\frac{-5}{3}\right) = -2$।
अब,इस मान को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = g(-2) = |-2|$।
$-2$ का मापांक $2$ होता है,इसलिए $(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = 2$।

(B) दिया गया है,$f(x)=x^2$ और $g(x)=\frac{1}{x^2}$।
हमें $x^4(f \circ g)(x)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $(f \circ g)(x)$ की गणना करते हैं:
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4}$।
अब,इसे $x^4$ से गुणा करते हैं:
$x^4(f \circ g)(x) = x^4 \times \frac{1}{x^4} = 1$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $g(x) = 1 + x - [x]$.
चूँकि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन है,इसलिए $g(x) = 1 + \{x\}$ है।
हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ का परिसर $[0, 1)$ होता है।
अतः,$g(x) = 1 + \{x\} \in [1, 2)$ है।
अब,हम $f(g(x))$ का मान ज्ञात करते हैं। चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $g(x) \geq 1$ है,और $f(x)$ की परिभाषा के अनुसार $x > 0$ के लिए $f(x) = 5$ है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(g(x)) = 5$ होगा।

(B) दिया गया है,$(g \circ f)^{-1}(t) = t-2$।
दोनों पक्षों का प्रतिलोम लेने पर,हमें $(g \circ f)(t) = (t-2)^{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h(t) = t-2$ का प्रतिलोम $h^{-1}(t) = t+2$ है,इसलिए $(g \circ f)(t) = t+2$ होगा।
इसका अर्थ है कि $g(f(t)) = t+2$।
$f(t) = 3t-2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(3t-2) = t+2$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = 3t-2$ है। तो $3t = u+2$,जिसका अर्थ है कि $t = \frac{u+2}{3}$।
इसे $g(u)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(u) = \frac{u+2}{3} + 2 = \frac{u+2+6}{3} = \frac{u+8}{3}$।
$u$ को $t$ से बदलने पर,हमें $g(t) = \frac{t+8}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$f(x) = (2020 - x^{2019})^{1 / 2019}$.
सबसे पहले,हम $f \circ f(x) = f(f(x))$ ज्ञात करते हैं।
$f(f(x)) = (2020 - (f(x))^{2019})^{1 / 2019}$.
$f(x)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(f(x)) = (2020 - ((2020 - x^{2019})^{1 / 2019})^{2019})^{1 / 2019}$.
$f(f(x)) = (2020 - (2020 - x^{2019}))^{1 / 2019} = (x^{2019})^{1 / 2019} = x$.
चूंकि $f \circ f(x) = x$,फलन $f$ अपना स्वयं का प्रतिलोम है।
इसलिए,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f)(f \circ f(x)) = f \circ f(x) = x$.
अतः,$(f \circ f \circ f \circ f) \left( \frac{2019}{2020} \right) = \frac{2019}{2020}$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{3x+5}{7x-3}$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{3x+5}{7x-3}$.
$y(7x-3) = 3x+5 \Rightarrow 7xy - 3y = 3x+5$.
$x(7y-3) = 3y+5 \Rightarrow x = \frac{3y+5}{7y-3}$.
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{3x+5}{7x-3} = f(x)$. इसलिए,विकल्प $A$ सत्य है।
अब,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \frac{3(\frac{3x+5}{7x-3})+5}{7(\frac{3x+5}{7x-3})-3} = \frac{9x+15+35x-15}{21x+35-21x+9} = \frac{44x}{44} = x$. इसलिए,विकल्प $B$ सत्य है।
चूंकि $(f \circ f)(x) = x$,इसलिए $(f \circ f \circ f)(x) = f((f \circ f)(x)) = f(x) \neq x$.
साथ ही,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f)(f \circ f)(x) = x$. इसलिए,विकल्प $D$ सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $(f \circ f \circ f)(x) = x$ है।

(B) दिया गया है कि संयुक्त फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ आच्छादक है।
परिभाषा के अनुसार,प्रत्येक $z \in C$ के लिए,एक ऐसा अवयव $x \in A$ मौजूद है कि $(g \circ f)(x) = z$ हो।
इसे $g(f(x)) = z$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $f(x) = y$,जहाँ $y \in B$,तो हमें $g(y) = z$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक $z \in C$ के लिए,$B$ में कम से कम एक ऐसा अवयव $y$ मौजूद है जिसके लिए $g(y) = z$ हो।
अतः,$g$ का आच्छादक (surjective) होना आवश्यक है।
इस प्रकार,आवश्यक शर्त यह है कि $g$ आच्छादक है।

(C) दिया गया है कि सभी $x \in D$ के लिए $(g \circ j \circ f)(x) = f(x)$ है।
फलनों की परिभाषाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$g(j(f(x))) = f(x)$
चूंकि $g(x) = 1 - x$,इसलिए:
$1 - j(f(x)) = f(x)$
$f(x) = \frac{1}{x}$ रखने पर:
$1 - j(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}$
$j(\frac{1}{x})$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$j(\frac{1}{x}) = 1 - \frac{1}{x}$
मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$ है। तो $x = \frac{1}{t}$ होगा।
समीकरण में $t$ रखने पर:
$j(t) = 1 - t$
अतः,$j(x) = 1 - x = g(x)$।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} |[x-5]|, & x < 5 \\ [|x-5|], & x \geq 5 \end{cases}$
सबसे पहले,हम $f\left(-\frac{7}{2}\right)$ की गणना करते हैं।
चूँकि $-\frac{7}{2} = -3.5 < 5$,हम पहले मामले का उपयोग करते हैं:
$f\left(-\frac{7}{2}\right) = |[-\frac{7}{2} - 5]| = |[-8.5]| = |-9| = 9$.
अब,हम $(f \circ f)\left(-\frac{7}{2}\right) = f(f(-\frac{7}{2})) = f(9)$ की गणना करते हैं।
चूँकि $9 \geq 5$,हम दूसरे मामले का उपयोग करते हैं:
$f(9) = [|9-5|] = [|4|] = 4$.
अतः,$(f \circ f)\left(-\frac{7}{2}\right) = 4$.

(A) दिया गया है,$g(x)=x^2+x-2$ और $\frac{1}{2}(g \circ f)(x)=2 x^2-5 x+2$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $g(f(x))=4 x^2-10 x+4$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(f(x))^2+(f(x))-2=4 x^2-10 x+4$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $f(x)$ एक रैखिक बहुपद $f(x)=ax+b$ है,तो $(ax+b)^2+(ax+b)-2=4 x^2-10 x+4$।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $a^2 x^2+(2ab+a)x+(b^2+b-2)=4 x^2-10 x+4$।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) a^2=4 \Rightarrow a=2$ या $a=-2$।
$2) 2ab+a=-10$।
$3) b^2+b-2=4 \Rightarrow b^2+b-6=0 \Rightarrow (b+3)(b-2)=0 \Rightarrow b=-3$ या $b=2$।
यदि $a=2$ है,तो $2(2)b+2=-10 \Rightarrow 4b=-12 \Rightarrow b=-3$। अतः $f(x)=2x-3$।
यदि $a=-2$ है,तो $2(-2)b-2=-10 \Rightarrow -4b=-8 \Rightarrow b=2$। अतः $f(x)=-2x+2$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$f(x)=2x-3$ सही विकल्प है।

(C) माना $g(x) = f(f(x))$.
दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 1+x, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3-x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$0 \leq x \leq 2$ के लिए,$f(x) = 1+x$. चूँकि $0 \leq x \leq 2$,इसलिए $1 \leq 1+x \leq 3$.
यदि $1 \leq 1+x \leq 2$ (अर्थात $0 \leq x \leq 1$),तो $f(f(x)) = f(1+x) = 1+(1+x) = 2+x$.
यदि $2 < 1+x \leq 3$ (अर्थात $1 < x \leq 2$),तो $f(f(x)) = f(1+x) = 3-(1+x) = 2-x$.
$2 < x \leq 3$ के लिए,$f(x) = 3-x$. चूँकि $2 < x \leq 3$,इसलिए $0 \leq 3-x < 1$.
अतः,$f(f(x)) = f(3-x) = 1+(3-x) = 4-x$.
इसलिए,$g(x) = \begin{cases} 2+x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \\ 4-x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$x=1$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (2+x) = 3$,$RHL = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 1$. चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए यह $x=1$ पर असतत है.
$x=2$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to 2^-} (2-x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 2^+} (4-x) = 2$. चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए यह $x=2$ पर असतत है.
अतः,$f(f(x))$ $x=1$ और $x=2$ पर असतत है।

(B) दिए गए फलन $f(x)$ और $g(x)$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर परिभाषित हैं।
सबसे पहले,$(f \circ g)(\pi)$ का मान ज्ञात करते हैं:
चूंकि $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $g(\pi) = 0$ होगा।
चूंकि $0$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $f(g(\pi)) = f(0) = 0$ होगा।
अब,$(g \circ f)(e)$ का मान ज्ञात करते हैं:
चूंकि $e$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $f(e) = 1$ होगा।
चूंकि $1$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $g(f(e)) = g(1) = -1$ होगा।
अंत में,योगफल ज्ञात करते हैं:
$(f \circ g)(\pi) + (g \circ f)(e) = 0 + (-1) = -1$.

(D) दिया गया है कि $x \in [1, \infty)$ के लिए $f(x)=e^x$ और $g(x)=\ln(x)$ है।
हम संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ को परिभाषित करते हैं।
फलनों का मान रखने पर,हमें $(f \circ g)(x) = e^{\ln(x)}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x > 0$ के लिए $e^{\ln(x)} = x$ होता है,इसलिए $x \in [1, \infty)$ के लिए $(f \circ g)(x) = x$ प्राप्त होता है।
प्रांत $[1, \infty)$ पर परिभाषित फलन $h(x) = x$ एक तत्समक फलन है।
एक तत्समक फलन अपने प्रांत और परिसर पर एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों होता है।
इसलिए,यह फलन एकैकी आच्छादक (bijective) है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) दिया गया है: $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$.
साथ ही,$g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है।
सबसे पहले,हम सिद्ध करते हैं कि $f$ एकैकी (injection) है:
मान लीजिए $x_1, x_2 \in A$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$.
तब $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,जिसका अर्थ है $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$.
चूंकि $g \circ f$ एक बाइजेक्शन है,यह एकैकी है,इसलिए $x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एक एकैकी फलन है।
अब,हम सिद्ध करते हैं कि $g$ आच्छादक (surjection) है:
मान लीजिए $z \in C$. चूंकि $g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है,यह आच्छादक है।
इसलिए,एक ऐसा $x \in A$ मौजूद है कि $(g \circ f)(x) = z$.
इसका अर्थ है $g(f(x)) = z$.
चूंकि $f(x) \in B$,मान लीजिए $y = f(x)$. तो किसी $y \in B$ के लिए $g(y) = z$.
अतः,$g$ एक आच्छादक फलन है।
इसलिए,$f$ एकैकी है और $g$ आच्छादक है।

(B) दिया गया है कि $g \circ f: A \rightarrow C$ एकैकी है।
परिभाषा के अनुसार,यदि $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ है,तो सभी $x_1, x_2 \in A$ के लिए $x_1 = x_2$ होता है।
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। तब $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ होगा।
चूंकि $g \circ f$ एकैकी है,यह दर्शाता है कि $x_1 = x_2$ है।
अतः,$f$ का एकैकी होना अनिवार्य है।
हालाँकि,$g$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $A = \{1\}$,$B = \{2, 3\}$,$C = \{4\}$,$f(1) = 2$,$g(2) = 4$,$g(3) = 4$ है,तो $g \circ f(1) = 4$ एकैकी है,लेकिन $g$ एकैकी नहीं है।
इसलिए,$f$ एकैकी है और $g$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है।

(C) दिया गया है,$f(x) = ax + b$ और $g(x) = cx^3 + d$।
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$।
$(f \circ g)(x) = a(cx^3 + d) + b = acx^3 + ad + b$।
माना $y = (f \circ g)(x) = acx^3 + ad + b$।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,$y$ के पदों में $x$ का मान निकालें:
$y - ad - b = acx^3$।
$x^3 = \frac{y - ad - b}{ac}$।
$x = \left( \frac{y - ad - b}{ac} \right)^{\frac{1}{3}}$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(f \circ g)^{-1}(x) = \left( \frac{x - ad - b}{ac} \right)^{\frac{1}{3}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = 1 - x$,$g(x) = \frac{1}{1 - x}$,और $h(x) = \frac{1}{x}$।
हमें समीकरण $f(F(h(x))) = g(x)$ दिया गया है।
$f$ और $g$ के व्यंजक रखने पर,हमें $1 - F(h(x)) = \frac{1}{1 - x}$ प्राप्त होता है।
$F(h(x))$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F(h(x)) = 1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x - 1}{1 - x} = \frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $t = h(x) = \frac{1}{x}$। तो $x = \frac{1}{t}$।
$F(h(x))$ के व्यंजक में $x = \frac{1}{t}$ रखने पर,हमें $F(t) = \frac{1/t}{1/t - 1} = \frac{1/t}{(1 - t)/t} = \frac{1}{1 - t}$ प्राप्त होता है।
अतः,$F(x) = \frac{1}{1 - x} = g(x)$।
इसलिए,$F(2022) = g(2022)$।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2x - 3}{3x - 2}$.
$f(f(x))$ की गणना करें:
$f(f(x)) = \frac{2(\frac{2x - 3}{3x - 2}) - 3}{3(\frac{2x - 3}{3x - 2}) - 2}$
$= \frac{2(2x - 3) - 3(3x - 2)}{3(2x - 3) - 2(3x - 2)}$
$= \frac{4x - 6 - 9x + 6}{6x - 9 - 6x + 4}$
$= \frac{-5x}{-5} = x$.
चूंकि $f(f(x)) = x$,फलन स्वयं का प्रतिलोम है।
किसी भी सम संख्या $n$ के लिए,$f_n(x) = x$ होता है।
चूंकि $32$ एक सम संख्या है,इसलिए $f_{32}(x) = x$ होगा।

(C) दिया गया है $f(x) = -|x|$.
सबसे पहले,हम $(f \circ f \circ f)(x)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$f(f(f(x))) = f(f(-|x|)) = f(-|-|x||) = f(-|x|) = -|-|x|| = -|x| = f(x)$.
अतः,$(f \circ f \circ f)(x) = f(x)$.
इसी प्रकार,$(f \circ f \circ f)(-x) = f(-x)$.
इसलिए,$(f \circ f \circ f)(x) + (f \circ f \circ f)(-x) = f(x) + f(-x)$.
चूंकि $f(x) = -|x|$,इसलिए $f(-x) = -|-x| = -|x| = f(x)$.
अतः,$f(x) + f(-x) = f(x) + f(x) = 2f(x)$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = 3x-2$ और $g(x) = x^2+2$.
हमें $(g \circ f)(x) + (f \circ g)(x)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (f(x))^2 + 2 = (3x-2)^2 + 2 = 9x^2 - 12x + 4 + 2 = 9x^2 - 12x + 6$.
इसके बाद,$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3(g(x)) - 2 = 3(x^2+2) - 2 = 3x^2 + 6 - 2 = 3x^2 + 4$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$(g \circ f + f \circ g)(x) = (9x^2 - 12x + 6) + (3x^2 + 4) = 12x^2 - 12x + 10$.
अब,$f(x)$ और $g(x)$ के मान रखकर विकल्पों की जाँच करने पर:
$12g(x) - 4f(x) - 22 = 12(x^2+2) - 4(3x-2) - 22 = 12x^2 + 24 - 12x + 8 - 22 = 12x^2 - 12x + 10$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $\lim _{x \rightarrow 0} g(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमा का मूल्यांकन करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा के लिए $(x \rightarrow 0^-)$: $f(x) = 2-x$। जैसे $x \rightarrow 0^-$,$f(x) \rightarrow 2^+$। चूँकि $f(x) > 2$,हम $g(x) = x-7$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\lim _{x \rightarrow 0^-} g(f(x)) = \lim _{f(x) \rightarrow 2^+} (f(x)-7) = 2-7 = -5$।
दाएँ पक्ष की सीमा के लिए $(x \rightarrow 0^+)$: $f(x) = x+2$। जैसे $x \rightarrow 0^+$,$f(x) \rightarrow 2^+$। पुनः,चूँकि $f(x) > 2$,हम $g(x) = x-7$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\lim _{x \rightarrow 0^+} g(f(x)) = \lim _{f(x) \rightarrow 2^+} (f(x)-7) = 2-7 = -5$।
चूँकि दोनों सीमाएँ समान हैं,$\lim _{x \rightarrow 0} g(f(x)) = -5$।

(A) दिया गया फलन $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} x & \text{यदि } x \in Q \\ 1-x & \text{यदि } x \notin Q \end{cases}$।
हमें समुच्चय $S = \{x \in [0,1] : (f \circ f)(x) = x\}$ ज्ञात करना है।
स्थिति $1$: यदि $x \in Q$ है,तो $f(x) = x$। चूँकि $x \in [0,1]$ और $x$ परिमेय है,इसलिए $f(x) \in Q$। अतः,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x) = x$। यह सभी $x \in Q \cap [0,1]$ के लिए सत्य है।
स्थिति $2$: यदि $x \notin Q$ है,तो $f(x) = 1-x$। चूँकि $x$ अपरिमेय है और $x \in [0,1]$,इसलिए $1-x$ भी अपरिमेय है और $1-x \in [0,1]$। अतः,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(1-x) = 1-(1-x) = x$। यह सभी $x \in [0,1] \setminus Q$ के लिए सत्य है।
चूँकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(f \circ f)(x) = x$ है,इसलिए समुच्चय $S$ संपूर्ण अंतराल $[0,1]$ है।

(A) दिया गया है,$f(x) = (p - x^n)^{1/n}$,जहाँ $p > 0$ है।
$f[f(x)]$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ को फलन $f$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f[f(x)] = f((p - x^n)^{1/n})$
$= (p - ((p - x^n)^{1/n})^n)^{1/n}$
$= (p - (p - x^n))^{1/n}$
$= (p - p + x^n)^{1/n}$
$= (x^n)^{1/n}$
$= x$.

(C) दिया गया है,$g\{f(x)\}=|\sin x|$ और $f\{g(x)\}=(\sin \sqrt{x})^2$।
आइए विकल्प $f(x)=\sin ^2 x$ और $g(x)=\sqrt{x}$ की जाँच करें।
सबसे पहले,$f\{g(x)\}$ की गणना करें:
$f\{g(x)\} = f(\sqrt{x}) = \sin ^2(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$।
यह दी गई शर्त से मेल खाता है।
अगला,$g\{f(x)\}$ की गणना करें:
$g\{f(x)\} = g(\sin ^2 x) = \sqrt{\sin ^2 x} = |\sin x|$।
यह भी दी गई शर्त से मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $f(x)=\sin ^2 x$ और $g(x)=\sqrt{x}$ है।

(A) दिया गया है,$f(x)=x^2-3$.
सबसे पहले,हम $(f \circ f \circ f)(-1)$ की गणना करते हैं:
$f(-1) = (-1)^2 - 3 = -2$
$f(f(-1)) = f(-2) = (-2)^2 - 3 = 1$
$f(f(f(-1))) = f(1) = (1)^2 - 3 = -2$.
इसके बाद,$(f \circ f \circ f)(0)$ की गणना करते हैं:
$f(0) = (0)^2 - 3 = -3$
$f(f(0)) = f(-3) = (-3)^2 - 3 = 6$
$f(f(f(0))) = f(6) = (6)^2 - 3 = 33$.
इसके बाद,$(f \circ f \circ f)(1)$ की गणना करते हैं:
$f(1) = (1)^2 - 3 = -2$
$f(f(1)) = f(-2) = (-2)^2 - 3 = 1$
$f(f(f(1))) = f(1) = (1)^2 - 3 = -2$.
इन मानों का योग करने पर:
$(f \circ f \circ f)(-1) + (f \circ f \circ f)(0) + (f \circ f \circ f)(1) = -2 + 33 - 2 = 29$.
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$f(4 \sqrt{2}) = (4 \sqrt{2})^2 - 3 = 32 - 3 = 29$.
अतः,यह व्यंजक $f(4 \sqrt{2})$ के बराबर है।

(C) दिया गया है कि $f(x)=|x|$ और $g(x)=[x-3]$ है।
$-\frac{8}{5} < x < \frac{8}{5}$ के लिए,$f(x)=|x|$ का परिसर $0 \leq f(x) < \frac{8}{5}$ है,अर्थात $0 \leq f(x) < 1.6$ है।
हमें $g(f(x)) = [f(x)-3]$ के मान ज्ञात करने हैं।
स्थिति $1$: यदि $0 \leq f(x) < 1$ है,तो $-3 \leq f(x)-3 < -2$ होगा। अतः,$[f(x)-3] = -3$ होगा।
स्थिति $2$: यदि $1 \leq f(x) < 1.6$ है,तो $-2 \leq f(x)-3 < -1.4$ होगा। अतः,$[f(x)-3] = -2$ होगा।
इन स्थितियों को मिलाने पर,मानों का समुच्चय $\{-3, -2\}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$f(x)=x-[x]$ और $g(x)=[x]$ जहाँ $x \in R$ है।
हमें $f(g(x))$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(g(x)) = f([x])$.
$f(x)$ की परिभाषा के अनुसार,$f([x]) = [x] - [[x]]$.
चूँकि $[x]$ एक पूर्णांक है,इसलिए किसी पूर्णांक का महत्तम पूर्णांक फलन वह पूर्णांक स्वयं होता है,अर्थात $[[x]] = [x]$.
अतः,$f(g(x)) = [x] - [x] = 0$.

(C) दिए गए फलन $f(x) = 2x + 3$ और $g(x) = x^2 + 7$ हैं।
हमें $x$ के वे मान ज्ञात करने हैं जिनके लिए $g(f(x)) = 8$ हो।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $g(f(x))$ की गणना करें:
$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$.
इसे $8$ के बराबर रखने पर:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$.
दोनों पक्षों से $7$ घटाने पर:
$(2x + 3)^2 = 1$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$2x + 3 = 1$ या $2x + 3 = -1$.
स्थिति $1$: $2x + 3 = 1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$.
स्थिति $2$: $2x + 3 = -1 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$.
अतः,$x$ के मान $-1$ और $-2$ हैं।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} 0, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.
चूँकि $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $g(\pi) = 0$ होगा। चूँकि $0$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $f(g(\pi)) = f(0) = 0$ होगा।
चूँकि $e$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $f(e) = 1$ होगा। चूँकि $1$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $g(f(e)) = g(1) = -1$ होगा।
अतः,$(f \circ g)(\pi) + (g \circ f)(e) = 0 + (-1) = -1$ होगा।

(D) दिया गया है कि $f(x) = (20 - x^4)^{1/4}$ है।
सबसे पहले,$f(1/2)$ की गणना करें:
$f(1/2) = (20 - (1/2)^4)^{1/4} = (20 - 1/16)^{1/4} = (319/16)^{1/4}$।
अब,$f(f(1/2)) = f((319/16)^{1/4})$ की गणना करें:
$f((319/16)^{1/4}) = (20 - ((319/16)^{1/4})^4)^{1/4}$।
$= (20 - 319/16)^{1/4}$।
$= ((320 - 319)/16)^{1/4}$।
$= (1/16)^{1/4}$।
$= (1/2^4)^{1/4} = 1/2 = 2^{-1}$।

(D) हमारे पास है,$f(x) = \begin{cases} 1 + x, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3 - x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$f(f(x))$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
जब $0 \leq f(x) \leq 2$,तब $f(f(x)) = 1 + f(x)$.
जब $2 < f(x) \leq 3$,तब $f(f(x)) = 3 - f(x)$.
$x \in [0, 3]$ के लिए गणना करने पर:
यदि $0 \leq x \leq 1$,तो $1 \leq f(x) \leq 2$,इसलिए $f(f(x)) = 1 + (1 + x) = 2 + x$.
यदि $1 < x \leq 2$,तो $2 < f(x) \leq 3$,इसलिए $f(f(x)) = 3 - (1 + x) = 2 - x$.
यदि $2 < x \leq 3$,तो $0 \leq f(x) < 1$,इसलिए $f(f(x)) = 1 + (3 - x) = 4 - x$.
अतः,$f(f(x)) = \begin{cases} 2 + x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x, & 1 < x \leq 2 \\ 4 - x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 1^-} f(f(x)) = 3$,$\lim_{x \to 1^+} f(f(x)) = 1$. चूंकि $3 \neq 1$,यह $x = 1$ पर असंतत है।
$x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 2^-} f(f(x)) = 0$,$\lim_{x \to 2^+} f(f(x)) = 2$. चूंकि $0 \neq 2$,यह $x = 2$ पर असंतत है।
इसलिए,$a = 1$ और $b = 2$.
$2a + 3b = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8$.

(C) दिया गया है $f(x)=e^x$।
$h(x)=(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(e^x) = e^{e^x}$।
अब,$h(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{e^x}) = e^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = e^{e^x} \cdot e^x$।
चूँकि $h(x) = e^{e^x}$,इसलिए $h^{\prime}(x) = h(x) \cdot e^x$।
अतः,$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = e^x$।
अब,$\log h(x) = \log(e^{e^x}) = e^x \cdot \log e = e^x$।
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \log h(x)$।

(D) दिया गया है कि $f(x) = \sqrt{x}$ और $g(x) = 1 + x^2$ है।
संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{1 + x^2}$ है।
अवकलज $(f \circ g)^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करेंगे:
$(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (1 + x^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)$.
$(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
अब,अवकलज में $x = 1$ रखने पर:
$(f \circ g)^{\prime}(1) = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) $f \circ g(x) = f(g(x)) = \sqrt{x - 3\sqrt{x} + 2}$ के लिए,प्रांत $S$ हेतु $x \ge 0$ और $x - 3\sqrt{x} + 2 \ge 0$ होना चाहिए।
$u = \sqrt{x}$ रखने पर,$(u-1)(u-2) \ge 0$ प्राप्त होता है,जिसका हल $u \le 1$ या $u \ge 2$ है।
अतः $S = [0, 1] \cup [4, \infty)$।
$g \circ f(x) = g(f(x)) = \sqrt{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$ के लिए,प्रांत $T$ हेतु $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ होना चाहिए।
अतः $x \le 1$ या $x \ge 2$,यानी $T = (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$।
अब,$S \cap T = [0, 1] \cup [4, \infty)$।

(A) दिया गया है कि $g(f(x)) = |\sin x|$ और $f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$.
आइए विकल्प $A$ का परीक्षण करें: $f(x) = \sin ^2 x$ और $g(x) = \sqrt{x}$.
तब $g(f(x)) = g(\sin ^2 x) = \sqrt{\sin ^2 x} = |\sin x|$। यह पहली शर्त से मेल खाता है।
इसके बाद,$f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sin ^2(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$। यह दूसरी शर्त से भी मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 3}$।
सबसे पहले,$f(f(x))$ ज्ञात करें:
$f(f(x)) = f\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) = \frac{3\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) - 4}{2\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) - 3}$
$= \frac{3(3x - 4) - 4(2x - 3)}{2(3x - 4) - 3(2x - 3)} = \frac{9x - 12 - 8x + 12}{6x - 8 - 6x + 9} = \frac{x}{1} = x$।
अब,$f(f(f(x)))$ ज्ञात करें:
$f(f(f(x))) = f(f(f(x))) = f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 3}$।

(B) दिया गया है,$f(x)=2^{100} x+1$ और $g(x)=3^{100} x+1$.
हमें $x$ का मान ज्ञात करना है जिसके लिए $f(g(x))=x$ हो।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f(3^{100} x+1) = x$
$2^{100}(3^{100} x+1) + 1 = x$
$2^{100} \cdot 3^{100} x + 2^{100} + 1 = x$
$6^{100} x + 2^{100} + 1 = x$
$x(6^{100} - 1) = -(2^{100} + 1)$
$x = -\frac{2^{100} + 1}{6^{100} - 1}$
चूंकि $x$ का केवल एक ही मान समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए वास्तविक संख्याओं $x$ का समुच्चय एक एकल समुच्चय (singleton) है।