ગણ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ માંથી ત્રણ સંખ્યાઓ વારાફરતી અને પુનરાવર્તન સાથે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે $p_1$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી મહત્તમ સંખ્યા ઓછામાં ઓછી $81$ હોય તેની સંભાવના છે અને $p_2$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી ન્યૂનતમ સંખ્યા વધુમાં વધુ $40$ હોય તેની સંભાવના છે.
$(1)$ $\frac{625}{4} p_1$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
$(2)$ $\frac{125}{4} p_2$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?

ગણ $S = \{2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^{25}\}$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. $\log_2(ab)$ પૂર્ણાંક હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $B_{i} (i=1, 2, 3)$ એ નમૂના અવકાશમાં ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. માત્ર $B_{1}$ બને તેની સંભાવના $\alpha$ છે,માત્ર $B_{2}$ બને તેની સંભાવના $\beta$ છે અને માત્ર $B_{3}$ બને તેની સંભાવના $\gamma$ છે. ધારો કે $p$ એ સંભાવના છે કે કોઈ પણ ઘટના $B_{i}$ બનતી નથી અને આ $4$ સંભાવનાઓ સમીકરણો $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ અને $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ નું પાલન કરે છે (બધી સંભાવનાઓ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે તેમ ધારવામાં આવે છે). તો $\frac{P(B_{1})}{P(B_{3})}$ ની કિંમત .......... છે.

એક પક્ષપાતી પાસાની સપાટીઓ પર $2, 4, 8, 16, 32, 32$ અંકો અંકિત કરેલા છે અને $n$ અંકવાળી સપાટી મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{n}$ છે. જો પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે,તો મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $48$ થાય તેની સંભાવના કેટલી?

જો એક નિષ્પક્ષ છ-બાજુવાળા પાસાના બે ફેંકમાં મળતી સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તો તમામ $x \in R$ માટે $x^{2}+\alpha x+\beta > 0$ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ત્રણ પાત્રોમાં અનુક્રમે $2$ સફેદ અને $3$ કાળા,$3$ સફેદ અને $2$ કાળા,અને $1$ સફેદ અને $4$ કાળા દડા છે. જો દરેક પાત્રમાંથી એક દડો કાઢવામાં આવે,તો પસંદગીમાં $1$ કાળો અને $2$ સફેદ દડા હોવાની સંભાવના કેટલી છે?