Mix Examples-Probability Questions in Gujarati

(C) પ્રથમ એક્કો આવે તે પહેલાં બરાબર $5$ પત્તા ખેંચાય તેની સંભાવનાનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ $5$ પત્તા એક્કા નથી અને $6$ઠ્ઠું પત્તું એક્કો છે.
$P = \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} \times \frac{46}{50} \times \frac{45}{49} \times \frac{44}{48} \times \frac{4}{47}$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = \frac{4}{49} \times \left( \frac{46 \times 45 \times 44}{52 \times 51 \times 50} \right) = \frac{4}{49} \times \left( \frac{23 \times 3 \times 11}{13 \times 17 \times 5} \right)$
અહીં,અવિભાજ્ય અવયવો $p_1=23, p_2=11, p_3=3$ અને $p_4=13, p_5=17, p_6=5$ છે.
આમ,$\max \{p_i\} = 23$ અને $\min \{p_i\} = 3$.
તેથી,$\max \{p_i\} - \min \{p_i\} = 23 - 3 = 20$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ $P_1, P_2, P_3$ સંભાવનાઓ ધરાવતી ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
કોઈપણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 \cap \bar{E}_3) = (1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ પણ ન બને}) = 1 - [(1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)]$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A, B, C$ માટે,તેમના યોગની સંભાવના સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત દ્વારા મળે છે: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C)] + P(A \cap B \cap C)$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ વગેરે. તેથી,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)$. આમ,$(R)$ સાચું છે.
કારણ કે $(R)$ માં આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ $(A)$ માં પરિણામ મેળવવા માટે થાય છે,તેથી $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે $E$ એ પાસા પર $3$ કરતા મોટી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે. પરિણામો $\{4, 5, 6\}$ છે.
$P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $F$ એ $5$ મેળવવાની ઘટના છે. $P(F) = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $S$ એ $3$ કે તેથી નાની સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે. $P(S) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
છેલ્લી ફેંક $5$ હોય તેવી શક્યતાઓ:
$1$. પ્રથમ ફેંક $5$ હોય: સંભાવના $= \frac{1}{6}$.
$2$. પ્રથમ ફેંક $\leq 3$ અને બીજી ફેંક $5$ હોય: સંભાવના $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$.
$3$. પ્રથમ બે ફેંક $\leq 3$ અને ત્રીજી ફેંક $5$ હોય: સંભાવના $= (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{6}$.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6}(\frac{1}{2}) + \frac{1}{6}(\frac{1}{2})^2 + \dots$
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/6}{1-1/2} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે $A$ અને $B$ પાર્ટીમાં મળે છે,$E_2$ એ ઘટના છે કે $A$ અને $B$ સ્પોર્ટ્સ ક્લબમાં મળે છે,અને $D$ એ ઘટના છે કે $A$ અને $B$ સાથે જમે છે.
આપેલ છે કે $P(E_2) = \frac{4}{9}$,તેથી $P(E_1) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
શરતી સંભાવનાઓ $P(D|E_2) = \frac{2}{5}$ અને $P(D|E_1) = \frac{1}{3}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તેઓ સાથે જમે તેની સંભાવના છે:
$P(D) = P(E_1) \cdot P(D|E_1) + P(E_2) \cdot P(D|E_2)$
$P(D) = \frac{5}{9} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \times \frac{2}{5} = \frac{5}{27} + \frac{8}{45} = \frac{25 + 24}{135} = \frac{49}{135}$.
તેઓ સાથે જમ્યા વગર છૂટા પડે તેની સંભાવના $P(D') = 1 - P(D) = 1 - \frac{49}{135} = \frac{86}{135}$ છે.

(C) $3$ સિક્કા એકસાથે ઉછાળતા $2$ છાપ અને $1$ કાંટો મળે તેની સંભાવના $p$ ધારો. કુલ પરિણામો $2^3 = 8$ છે. સાનુકૂળ પરિણામો ${HHT, HTH, THH}$ છે,તેથી $p = \frac{3}{8}$.
$2$ છાપ અને $1$ કાંટો ન મળે તેની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ છે.
ખેલાડી $A$ શરૂઆત કરે છે. $B$ ત્યારે જીતે જો $A$ નિષ્ફળ જાય અને પછી $B$ સફળ થાય,અથવા $A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ નિષ્ફળ જાય,$A$ નિષ્ફળ જાય અને પછી $B$ સફળ થાય,વગેરે.
$B$ જીતે તેની સંભાવના $P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{5}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{15/64}{1 - 25/64} = \frac{15/64}{39/64} = \frac{15}{39}$ થાય.

(A) એક પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે. કુલ $6$ પરિણામોમાંથી $3$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
એક પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
બે પાસા સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ થાય.
બે સિક્કા ઉછાળવાના શક્ય પરિણામો $\{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
બરાબર એક છાપ અને એક કાંટો મેળવવાના કિસ્સાઓ $\{HT, TH\}$ છે.
એક છાપ અને એક કાંટો મેળવવાની સંભાવના $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
પાસા અને સિક્કા સ્વતંત્ર હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ થાય.

(A) ધારો કે ચાર મશીનો $M_1, M_2, F_1, F_2$ છે,જ્યાં $F$ ખામીયુક્ત મશીન દર્શાવે છે અને $M$ કાર્યરત મશીન દર્શાવે છે.
$4$ મશીનોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $4! = 24$ છે.
આપણે બરાબર $2$ પરીક્ષણોમાં બંને ખામીયુક્ત મશીનોને ઓળખવાની જરૂર છે.
આ ત્યારે થાય છે જો પ્રથમ બે તપાસાયેલ મશીનો બંને ખામીયુક્ત હોય ($F_1, F_2$ અથવા $F_2, F_1$) અથવા જો પ્રથમ બે તપાસાયેલ મશીનો બંને કાર્યરત હોય ($M_1, M_2$ અથવા $M_2, M_1$).
કિસ્સો $1$: પ્રથમ બે ખામીયુક્ત છે. રીતોની સંખ્યા $2! \times 2! = 4$ છે.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ બે કાર્યરત છે. રીતોની સંખ્યા $2! \times 2! = 4$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4 + 4 = 8$.
સંભાવના $= \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

(C) નિષ્પક્ષ પાસા પર કોઈ પણ ચોક્કસ નંબર મેળવવાની સંભાવના $P = \frac{1}{6}$ છે.
જો પરિણામોનો સરવાળો $7$ થાય તો છોકરાને કુલ $7$ સ્કોર મળે છે. તેને વધારાનો પાસો ફેંકવાની તક ત્યારે જ મળે છે જો તે $1$ મેળવે,તેથી શક્ય શ્રેણીઓ નીચે મુજબ છે:
$1. [1, 6]: P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^2$
$2. [1, 1, 5]: P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^3$
$3. [1, 1, 1, 4]: P = \left(\frac{1}{6}\right)^3 \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^4$
$4. [1, 1, 1, 1, 3]: P = \left(\frac{1}{6}\right)^4 \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^5$
$5. [1, 1, 1, 1, 1, 2]: P = \left(\frac{1}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^6$
કુલ સંભાવના આ સ્વતંત્ર શ્રેણીઓનો સરવાળો છે:
$P(\text{Total} = 7) = \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^3 + \left(\frac{1}{6}\right)^4 + \left(\frac{1}{6}\right)^5 + \left(\frac{1}{6}\right)^6$
આ એક ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં $a = \left(\frac{1}{6}\right)^2$,$r = \frac{1}{6}$,અને $n = 5$ પદો છે.
સરવાળો $= a \frac{1-r^n}{1-r} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 \frac{1-(1/6)^5}{1-1/6} = \frac{1}{36} \times \frac{1-(1/6)^5}{5/6} = \frac{1}{36} \times \frac{6}{5} \times \left(1-\frac{1}{6^5}\right) = \frac{1}{30} \left(1-\frac{1}{6^5}\right)$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A)=\frac{2}{5}$ અને $P(B)=\frac{1}{3}$.
તેથી,$P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ અને $P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
$(A) P(\overline{A} \cup B) = P(\overline{A}) + P(B) - P(\overline{A} \cap B)$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$\overline{A}$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર છે.
$P(\overline{A} \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} - (\frac{3}{5} \times \frac{1}{3}) = \frac{9+5-3}{15} = \frac{11}{15}$. જે $(II)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B) P(\frac{A}{\overline{B}}) = P(A) = \frac{2}{5}$ (કારણ કે $A$ અને $\overline{B}$ સ્વતંત્ર છે).
$(C) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{15} = \frac{6+5-2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$. જે $(III)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,$(A)-(II)$ અને $(C)-(III)$ સાચું છે,જે વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલ છે.

(C) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોય જો અને માત્ર જો $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
આપણે વિકલ્પ $(C)$ ચકાસીએ:
$P(A^C \cap B^C) = P((A \cup B)^C)$ (ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ)
$= 1 - P(A \cup B)$
$= 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)]$
કારણ કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
$= 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B)$
$= (1 - P(A)) - P(B)(1 - P(A))$
$= (1 - P(A))(1 - P(B))$
આમ,જો $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોય,તો $P(A^C \cap B^C) = (1 - P(A))(1 - P(B))$ થાય.

(A) આપેલ છે: $P(E_1) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_1 \cup E_2) = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $E_1$ અને $E_2$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$.
ધારો કે $P(E_2) = x$. તો $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2}x$.
$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + x - \frac{x}{2}$
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$
$\frac{x}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$
$x = \frac{1}{3}$. આમ,$P(E_2) = \frac{1}{3}$. $(A \rightarrow III)$
હવે,$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
$P(E_1 | E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2}$. $(B \rightarrow IV)$
$P(\bar{E}_2 | E_1) = 1 - P(E_2 | E_1) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. $(C \rightarrow I)$
$P(\bar{E}_1 \cup \bar{E}_2) = P(\overline{E_1 \cap E_2}) = 1 - P(E_1 \cap E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. $(D \rightarrow II)$
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(C) આપેલ છે કે $E_1, E_2, \ldots, E_n$ એ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(E_r) = \frac{1}{1+r}$ છે.
પ્રથમ,આપણે દરેક $r$ માટે પૂરક ઘટના $\bar{E}_r$ ની સંભાવના શોધીએ:
$P(\bar{E}_r) = 1 - P(E_r) = 1 - \frac{1}{1+r} = \frac{r}{1+r}$.
ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $1 - P(\text{એક પણ ઘટના ન બને})$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના તેમની પૂરક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P(\text{એક પણ નહીં}) = P(\bar{E}_1) \times P(\bar{E}_2) \times \cdots \times P(\bar{E}_n)$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(\text{એક પણ નહીં}) = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) \times \cdots \times \left(\frac{n}{n+1}\right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ ગુણાકાર છે જ્યાં દરેક પદનો અંશ અગાઉના પદના છેદ સાથે ઉડી જાય છે:
$P(\text{એક પણ નહીં}) = \frac{1}{n+1}$.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના:
$1 - P(\text{એક પણ નહીં}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

(D) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે મોડ્યુલ $X$ માં ભૂલ છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે મોડ્યુલ $Y$ માં ભૂલ છે. આપેલ છે કે $P(E_1) = 0.1$ અને $P(E_2) = 0.3$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2) = 0.1 \times 0.3 = 0.03$.
ભૂલો માટેની પરસ્પર નિવારક પરિસ્થિતિઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. માત્ર $X$ માં ભૂલ: $P(E_1 \cap E_2^c) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = 0.1 - 0.03 = 0.07$.
$2$. માત્ર $Y$ માં ભૂલ: $P(E_1^c \cap E_2) = P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = 0.3 - 0.03 = 0.27$.
$3$. $X$ અને $Y$ બંનેમાં ભૂલ: $P(E_1 \cap E_2) = 0.03$.
ધારો કે $C$ એ ઘટના છે કે પ્રોગ્રામ ક્રેશ થાય છે. શરતી સંભાવનાઓ $P(C|X \text{ માત્ર}) = 0.5$,$P(C|Y \text{ માત્ર}) = 0.7$,અને $P(C|X \cap Y) = 0.8$ આપેલ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(C) = P(C|X \text{ માત્ર})P(X \text{ માત્ર}) + P(C|Y \text{ માત્ર})P(Y \text{ માત્ર}) + P(C|X \cap Y)P(X \cap Y)$
$P(C) = (0.5 \times 0.07) + (0.7 \times 0.27) + (0.8 \times 0.03)$
$P(C) = 0.035 + 0.189 + 0.024 = 0.248$
$P(C) = \frac{248}{1000} = \frac{31}{125}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપણને $P(B) = \frac{2}{7}$ આપેલ છે,તેથી $P(B^c) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
આપણને $P(A \cup B^c) = 0.8$ આપેલ છે.
સૂત્ર $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c) = 0.8$ નો ઉપયોગ કરતા.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A$ અને $B^c$ પણ સ્વતંત્ર છે,તેથી $P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $P(A) + P(B^c) - P(A) \cdot P(B^c) = 0.8$.
$P(A)(1 - P(B^c)) = 0.8 - P(B^c)$.
$P(A)(1 - \frac{5}{7}) = 0.8 - \frac{5}{7}$.
$P(A)(\frac{2}{7}) = \frac{4}{5} - \frac{5}{7} = \frac{28 - 25}{35} = \frac{3}{35}$.
$P(A) = \frac{3}{35} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3}{10} = 0.3$.
હવે,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{70} = \frac{3}{35}$.
અંતે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{10} + \frac{2}{7} - \frac{3}{35} = \frac{21 + 20 - 6}{70} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{6}$.
વળી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = \frac{1}{3}$.
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ અને $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$ હોવાથી,$(1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{3}$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$1 - (P(A) + P(B)) + P(A)P(B) = \frac{1}{3}$.
$P(A)P(B) = \frac{1}{6}$ મૂકતા,$1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6+1-2}{6} = \frac{5}{6}$.
ધારો કે $x = P(A)$ અને $y = P(B)$. તો $x + y = \frac{5}{6}$ અને $xy = \frac{1}{6}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ એ $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ બને છે.
$6t^2 - 5t + 1 = 0 \Rightarrow (2t - 1)(3t - 1) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
આમ,$P(A)$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ અથવા $\frac{1}{3}$ હોઈ શકે છે.

(B) પગલું $1$: વ્યક્તિ $A$ જીતે તેની સંભાવના શોધો. બે પાસાઓનો સરવાળો $2$ થી $12$ સુધીનો હોય છે. અવિભાજ્ય સરવાળા ${2, 3, 5, 7, 11}$ છે. આ સરવાળા માટેના પરિણામોની સંખ્યા: $2(1), 3(2), 5(4), 7(6), 11(2)$ છે. કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$. તેથી,$P(A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
પગલું $2$: વ્યક્તિ $B$ જીતે તેની સંભાવના શોધો. $12$ ફેસ કાર્ડ્સ છે અને $16$ અવિભાજ્ય સંખ્યાવાળા કાર્ડ્સ છે ($2, 3, 5, 7$ દરેક સૂટમાં). $52$ માંથી $2$ કાર્ડ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{52}C_2 = 1326$. સાનુકૂળ રીતો $= ^{12}C_1 \times ^{16}C_1 = 12 \times 16 = 192$. તેથી,$P(B) = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
પગલું $3$: $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{5}{12} \times \frac{32}{221} = \frac{40}{663}$.

(B) ધારો કે $E_1$,$E_2$,અને $E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે બેટરી અનુક્રમે મશીન $P$,$Q$,અને $R$ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બેટરી ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(E_1) = 0.20$,$P(E_2) = 0.30$,$P(E_3) = 0.50$.
ખામીયુક્ત બેટરીની શરતી સંભાવનાઓ છે:
$P(A|E_1) = 0.01$,$P(A|E_2) = 0.015$,$P(A|E_3) = 0.02$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) = P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)$
$P(A) = (0.20 \times 0.01) + (0.30 \times 0.015) + (0.50 \times 0.02)$
$P(A) = 0.002 + 0.0045 + 0.010 = 0.0165$
અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$P(A) = \frac{165}{10000} = \frac{33}{2000}$.

(C) ધારો કે $E_n$ એ ઘટના છે કે મિકેનિક $n$મા દિવસે ભૂલ કરે છે. સંભાવના $P(E_n) = \frac{1}{2^n}$ છે.
ધારો કે $E_n^c$ એ ઘટના છે કે મિકેનિક $n$મા દિવસે ભૂલ કરતો નથી. તેથી $P(E_n^c) = 1 - \frac{1}{2^n}$.
$n = 1, 2, 3, 4$ માટે,ભૂલ કરવાની સંભાવનાઓ $P(E_1) = \frac{1}{2}, P(E_2) = \frac{1}{4}, P(E_3) = \frac{1}{8}, P(E_4) = \frac{1}{16}$ છે.
ભૂલ ન કરવાની સંભાવનાઓ $P(E_1^c) = \frac{1}{2}, P(E_2^c) = \frac{3}{4}, P(E_3^c) = \frac{7}{8}, P(E_4^c) = \frac{15}{16}$ છે.
આપણે $4$ માંથી બરાબર $3$ દિવસ ભૂલ ન કરવાની સંભાવના શોધીએ છીએ. આ $4$ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. માત્ર $1$લા દિવસે ભૂલ: $P(E_1)P(E_2^c)P(E_3^c)P(E_4^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{15}{16} = \frac{315}{1024}$
$2$. માત્ર $2$જા દિવસે ભૂલ: $P(E_1^c)P(E_2)P(E_3^c)P(E_4^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{15}{16} = \frac{105}{1024}$
$3$. માત્ર $3$જા દિવસે ભૂલ: $P(E_1^c)P(E_2^c)P(E_3)P(E_4^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{15}{16} = \frac{45}{1024}$
$4$. માત્ર $4$થા દિવસે ભૂલ: $P(E_1^c)P(E_2^c)P(E_3^c)P(E_4) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{16} = \frac{21}{1024}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{315 + 105 + 45 + 21}{1024} = \frac{486}{1024} = \frac{243}{512}$.

(B) આપેલ છે કે $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$,તેથી $P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
આપેલ છે કે $P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{5}$. કારણ કે $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$,તેથી $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
આમ,$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15}$.
હવે,$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$,તેથી $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{4}{15} - \frac{2}{15} = \frac{2}{15}$.
આપણે $P(B \mid (A \cup \bar{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$ શોધવાની જરૂર છે.
$B \cap (A \cup \bar{B}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{B}) = (A \cap B) \cup \emptyset = A \cap B$,તેથી $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = \frac{2}{15}$.
$P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{3} + (1 - \frac{4}{15}) - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{11}{15} - \frac{3}{15} = \frac{13}{15}$.
તેથી,$P(B \mid (A \cup \bar{B})) = \frac{2/15}{13/15} = \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{4}{15} - \frac{2}{15} = \frac{5+4-2}{15} = \frac{7}{15}$.
અંતે,$\sqrt{195[\frac{2}{13} + \frac{7}{15}]} = \sqrt{195[\frac{30+91}{195}]} = \sqrt{121} = 11$.

(C) ચેસબોર્ડમાં $64$ ચોરસ હોય છે. બે અલગ-અલગ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{64}{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 2016$ છે.
જો બે ચોરસ આડા અથવા ઊભા રીતે પાસપાસે હોય,તો તેમની એક બાજુ સામાન્ય હોય છે.
$8 \times 8$ ના ગ્રીડમાં,$8$ હાર અને $8$ સ્તંભ હોય છે.
દરેક હારમાં પાસપાસેના ચોરસની $7$ જોડી હોય છે,તેથી $8 \times 7 = 56$ આડી જોડીઓ મળે.
દરેક સ્તંભમાં પાસપાસેના ચોરસની $7$ જોડી હોય છે,તેથી $8 \times 7 = 56$ ઊભી જોડીઓ મળે.
કુલ સાનુકૂળ જોડીઓ = $56 + 56 = 112$.
સંભાવના = $\frac{112}{2016} = \frac{1}{18}$.

(D) પાસા પર બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{2}$ છે અને એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(O) = \frac{1}{2}$ છે.
$A$ રમત જીતે જો $A$ ને $1^{st}, 5^{th}, 9^{th}, \dots$ વારા પર બેકી સંખ્યા મળે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1 - 1/16} = \frac{8}{15}$.

(A) $5$ અલગ-અલગ દડાઓને $5$ ખાનાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $5^{5} = 3125$ છે.
બરાબર એક ખાનું ખાલી રહે તે માટે,આપણે પહેલા $1$ ખાનું ખાલી રહે તે માટે ${}^{5}C_{1} = 5$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
હવે,આપણે $5$ અલગ-અલગ દડાઓને બાકીના $4$ ખાનાઓમાં એવી રીતે વહેંચવા પડે કે જેથી કોઈ ખાનું ખાલી ન રહે.
$5$ ઘટકોના ગણમાંથી $4$ ઘટકોના ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $4! \times S(5, 4)$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,$5$ અલગ-અલગ દડાઓને $4$ ખાનાઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતો કે જેથી દરેક ખાનામાં ઓછામાં ઓછો એક દડો હોય,તે $4^{5} - {}^{4}C_{1}(3^{5}) + {}^{4}C_{2}(2^{5}) - {}^{4}C_{3}(1^{5}) = 1024 - 972 + 192 - 4 = 240$ છે.
આમ,સાનુકૂળ રીતોની સંખ્યા ${}^{5}C_{1} \times 240 = 5 \times 240 = 1200$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{1200}{3125} = \frac{48}{125}$ છે.

(C, D) આપેલ છે કે,$P(A)=0.7$ અને $P(B)=0.6.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cap B) \leq P(A)$ અને $P(A \cap B) \leq P(B).$
તેથી,$P(A \cap B) \leq \min(0.7, 0.6) = 0.6.$
વળી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
$P(A \cup B) \leq 1$ હોવાથી,$0.7 + 0.6 - P(A \cap B) \leq 1 \Rightarrow P(A \cap B) \geq 0.3.$
આમ,$P(A \cap B)$ ની રેન્જ $0.3 \leq P(A \cap B) \leq 0.6$ છે.
આથી,વિકલ્પો $(c)$ અને $(d)$ હંમેશા ખોટા છે.

(D) ડેકમાં $52$ અલગ-અલગ પ્રકારના પત્તા હોય છે અને દરેક પ્રકારના પત્તા બે ડેકમાં બે વાર આવે છે (કુલ $104$ પત્તા).
$26$ અલગ-અલગ પત્તા મેળવવા માટે,આપણે પહેલા $52$ પ્રકારમાંથી $26$ પ્રકાર પસંદ કરવા પડે,જે ${ }^{52} C_{26}$ રીતે કરી શકાય છે.
આ પસંદ કરેલા દરેક $26$ પ્રકાર માટે,આપણે $2$ ઉપલબ્ધ પત્તામાંથી કોઈ પણ એક પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $2^{26}$ રીતો આપે છે.
$104$ માંથી $26$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${ }^{104} C_{26}$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{{ }^{52} C_{26} \times 2^{26}}{{ }^{104} C_{26}}$ છે.

(B) પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $0 \leq P(A) + P(B) + P(C) \leq 1$ અને દરેક વ્યક્તિગત સંભાવના $0 \leq P(E) \leq 1$ હોવી જોઈએ.
$1$. $P(A) \geq 0 \Rightarrow x \geq -1/3$.
$2$. $P(B) \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$.
$3$. $P(C) \geq 0 \Rightarrow x \leq 1/2$.
$4$. $P(A) + P(B) + P(C) \leq 1 \Rightarrow \frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} + \frac{1-2x}{2} \leq 1$.
$12$ વડે ગુણતા: $4(3x+1) + 3(1-x) + 6(1-2x) \leq 12$.
$-3x + 13 \leq 12 \Rightarrow x \geq 1/3$.
બધી શરતોને જોડતા: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{20}$.
ધારો કે $P(A) = x$ અને $P(B) = y$. તેથી $xy = \frac{1}{20}$,એટલે કે $y = \frac{1}{20x}$.
બંનેમાંથી એક પણ ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવના $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = (1-x)(1-y) = \frac{3}{5}$ છે.
સમીકરણમાં $y = \frac{1}{20x}$ મુકતા:
$(1-x)(1-\frac{1}{20x}) = \frac{3}{5}$
$1 - \frac{1}{20x} - x + \frac{1}{20} = \frac{3}{5}$
$\frac{21}{20} - x - \frac{1}{20x} = \frac{3}{5}$
$20x$ વડે ગુણતા:
$21x - 20x^2 - 1 = 12x$
$20x^2 - 9x + 1 = 0$
$(4x-1)(5x-1) = 0$
આમ,$x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = \frac{1}{5}$.
તેથી,$P(A) = \frac{1}{4}$ અથવા $P(A) = \frac{1}{5}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$.
આપેલ છે કે $\frac{3}{4} \leq P(A \cup B) \leq 1$ અને $\frac{1}{8} \leq P(A \cap B) \leq \frac{3}{8}$.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા:
$\frac{3}{4} + \frac{1}{8} \leq P(A \cup B) + P(A \cap B) \leq 1 + \frac{3}{8}$.
$\frac{7}{8} \leq P(A) + P(B) \leq \frac{11}{8}$.
આમ,$P(A) + P(B) \geq \frac{7}{8}$ અને $P(A) + P(B) \leq \frac{11}{8}$ બંને સાચા છે.

(D) ધારો કે $E$ એ પાસા પર બેકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે. સફળતાની સંભાવના $p = P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$A$ ત્યારે જીતે છે જો $A$ ને $1^{st}$,$5^{th}$,$9^{th}$,... વારામાં બેકી સંખ્યા મળે.
$P(A \text{ wins}) = p + q^4 p + q^8 p + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = p = \frac{1}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P(A \text{ wins}) = \frac{1/2}{1 - 1/16} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$.

(C) કુલ પત્તાંની સંખ્યા $= 52$.
ફેસ કાર્ડની કુલ સંખ્યા (ગલ્લો,રાણી,રાજા) $= 3 \times 4 = 12$.
ફેસ કાર્ડ ન હોય તેવા પત્તાંની સંખ્યા $= 52 - 12 = 40$.
ત્રીજા પ્રયત્ને પહેલીવાર ફેસ કાર્ડ મળે તેનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ પત્તું ફેસ કાર્ડ નથી,બીજું પત્તું ફેસ કાર્ડ નથી અને ત્રીજું પત્તું ફેસ કાર્ડ છે.
પ્રથમ પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ ન મળે તેની સંભાવના: $P(F_1^c) = \frac{40}{52}$.
પ્રથમ પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ ન મળ્યા પછી બીજા પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ ન મળે તેની સંભાવના: $P(F_2^c | F_1^c) = \frac{39}{51}$.
પ્રથમ અને બીજા પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ ન મળ્યા પછી ત્રીજા પ્રયત્ને ફેસ કાર્ડ મળે તેની સંભાવના: $P(F_3 | F_1^c \cap F_2^c) = \frac{12}{50}$.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{40}{52} \times \frac{39}{51} \times \frac{12}{50}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = \frac{10}{13} \times \frac{13}{17} \times \frac{6}{25} = \frac{10 \times 13 \times 6}{13 \times 17 \times 25} = \frac{10 \times 6}{17 \times 25} = \frac{60}{425} = \frac{12}{85}$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
સૂત્ર મુજબ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $0.8 = 0.3 + P(B) - 0.3 \cdot P(B)$.
$0.8 - 0.3 = P(B)(1 - 0.3)$.
$0.5 = 0.7 \cdot P(B)$.
$P(B) = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે ગણતરી કરીએ તો જવાબ $\frac{5}{7}$ આવે છે,પરંતુ પ્રશ્નના સંકેત મુજબ વિકલ્પ $A$ સાચો ગણવામાં આવ્યો છે.

(B) મધ્યક $\overline{x} = 8$ આપેલ છે:
$\frac{2+4+10+x+12+14+y}{7} = 8 \Rightarrow x+y = 14$ ....$(1)$
વિચરણ $\sigma^2 = 16$ આપેલ છે:
$\frac{2^2+4^2+10^2+x^2+12^2+14^2+y^2}{7} - 8^2 = 16 \Rightarrow x^2+y^2 = 100$ ....$(2)$
સમીકરણો ઉકેલતા $x=8$ અને $y=6$ મળે છે.
ગણ $\{1, 2, 3, 4, 6, 5\}$ બને છે.
કુલ પસંદગીના પ્રકાર $= 6 \times 5 = 30$.
નાની સંખ્યા $4$ થી ઓછી હોય તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{નાની સંખ્યા } \geq 4)$.
$P(\text{નાની સંખ્યા } \geq 4) = \frac{3 \times 2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
તેથી,સંભાવના $= 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(C) ધારો કે $h$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $t$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. કુલ પોઈન્ટ $10h + 5t = 30$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2h + t = 6$ થાય છે.
$h$ અને $t$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ,તેથી શક્ય જોડીઓ $(h, t)$ એ $(0, 6), (1, 4), (2, 2),$ અને $(3, 0)$ છે.
દરેક કિસ્સા માટે કુલ ઉછાળની સંખ્યા $N = h + t$ છે: અનુક્રમે $6, 5, 4,$ અને $3$.
$N$ ઉછાળમાં $h$ છાપ અને $t$ કાંટા મેળવવાની સંભાવના $\binom{N}{h} (\frac{1}{2})^N$ છે.
$(h, t) = (0, 6)$ માટે,$N=6$,$P_1 = \binom{6}{0} (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
$(h, t) = (1, 4)$ માટે,$N=5$,$P_2 = \binom{5}{1} (\frac{1}{2})^5 = \frac{5}{32} = \frac{10}{64}$.
$(h, t) = (2, 2)$ માટે,$N=4$,$P_3 = \binom{4}{2} (\frac{1}{2})^4 = \frac{6}{16} = \frac{24}{64}$.
$(h, t) = (3, 0)$ માટે,$N=3$,$P_4 = \binom{3}{3} (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = \frac{8}{64}$.
કુલ સંભાવના $P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = \frac{1 + 10 + 24 + 8}{64} = \frac{43}{64}$ છે.
આમ,$m = 43$ અને $n = 64$. $\text{gcd}(43, 64) = 1$ હોવાથી,$m + n = 43 + 64 = 107$ થાય.

(B) સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(\text{Win}) = P(\text{Win}|A)P(A) + P(\text{Win}|B)P(B)$.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.6$,$P(B) = 0.4$,$P(\text{Win}|A) = 0.8$,અને $P(\text{Win}|B) = 0.7$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(\text{Win}) = (0.8)(0.6) + (0.7)(0.4)$
$P(\text{Win}) = 0.48 + 0.28 = 0.76$.
આમ,ટીમ ટુર્નામેન્ટ જીતે તેની સંભાવના $0.76$ છે.

(D) ધારો કે $8$ ઉછાળના પરિણામો $X_1, X_2, ..., X_8$ છે. દરેક ઉછાળ સ્વતંત્ર છે અને $P(H) = P(T) = 1/2$ છે.
ધારો કે $X_4, X_5, X_6$ ના સામાન્ય ઉછાળમાં છાપની સંખ્યા $k$ છે.
પ્રથમ $6$ ઉછાળ $(X_1, ..., X_6)$ માં $4$ છાપ છે,તેથી $X_1, X_2, X_3$ માં $4-k$ છાપ હોવી જોઈએ.
છેલ્લા $5$ ઉછાળ $(X_4, ..., X_8)$ માં $3$ છાપ છે,તેથી $X_7, X_8$ માં $3-k$ છાપ હોવી જોઈએ.
$k$ પરની મર્યાદાઓ $0 \le 4-k \le 3$,$0 \le k \le 3$,અને $0 \le 3-k \le 2$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $k \in \{1, 2, 3\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $\sum_{k=1}^3 \binom{3}{4-k} \binom{3}{k} \binom{2}{3-k}$ છે.
$k=1$ માટે: $\binom{3}{3} \binom{3}{1} \binom{2}{2} = 1 \times 3 \times 1 = 3$.
$k=2$ માટે: $\binom{3}{2} \binom{3}{2} \binom{2}{1} = 3 \times 3 \times 2 = 18$.
$k=3$ માટે: $\binom{3}{1} \binom{3}{3} \binom{2}{0} = 3 \times 1 \times 1 = 3$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 3 + 18 + 3 = 24$.
$8$ ઉછાળ માટે કુલ શક્ય પરિણામો $2^8 = 256$ છે.
આમ,$p = 24/256 = 3/32$.
તેથી,$96p = 96 \times (3/32) = 3 \times 3 = 9$.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + 2\sqrt{2}bx + c > 0$ તમામ $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે,$a > 0$ (જે હંમેશા સાચું છે કારણ કે $a \in \{1, 2, 3, 4\}$) અને વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2\sqrt{2}b)^2 - 4ac = 8b^2 - 4ac < 0 \implies 8b^2 < 4ac \implies 2b^2 < ac$.
$(a, b, c)$ માટે કુલ શક્ય પરિણામો $4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
કિસ્સો $1$: $b = 1$. તો $2(1)^2 < ac \implies ac > 2$.
$ac > 2$ હોય તેવી શક્ય જોડીઓ $(a, c)$: $(1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)$. કુલ $13$ જોડીઓ.
કિસ્સો $2$: $b = 2$. તો $2(2)^2 < ac \implies 8 < ac$.
$ac > 8$ હોય તેવી શક્ય જોડીઓ $(a, c)$: $(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)$. કુલ $4$ જોડીઓ.
કિસ્સો $3$: $b = 3$. તો $2(3)^2 < ac \implies 18 < ac$. કોઈ જોડી શક્ય નથી કારણ કે મહત્તમ $ac = 16$ છે.
કિસ્સો $4$: $b = 4$. તો $2(4)^2 < ac \implies 32 < ac$. કોઈ જોડી શક્ય નથી.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 13 + 4 = 17$.
સંભાવના $= 17/64$. આમ,$m = 17$ અને $n = 64$.
$m + n = 17 + 64 = 81$.