Mix Examples-ITF Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $3\cos^{-1}\left(x^2 - 5x - \frac{11}{2}\right) = \pi$
$3$ से भाग देने पर: $\cos^{-1}\left(x^2 - 5x - \frac{11}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$
दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर: $x^2 - 5x - \frac{11}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
चूंकि $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए: $x^2 - 5x - \frac{11}{2} = \frac{1}{2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 5x - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 6)(x + 1) = 0$
अतः,मूल $x = 6$ और $x = -1$ हैं।
चूंकि $\alpha > \beta$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = 6$ और $\beta = -1$ होगा।
अब,$(\alpha^2 + \beta^3) = (6)^2 + (-1)^3 = 36 - 1 = 35$.

(D) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ होता है।
अतः,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3)$
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ होता है।
अब,$\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3)$ के लिए,चूंकि $2 \times 3 = 6 > 1$ है,हम सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \pi + \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करेंगे:
$\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3) = \pi + \tan^{-1}(\frac{2+3}{1-2 \times 3})$
$= \pi + \tan^{-1}(\frac{5}{1-6})$
$= \pi + \tan^{-1}(\frac{5}{-5})$
$= \pi + \tan^{-1}(-1)$
$= \pi - \tan^{-1}(1)$
$= \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

(B) दिया गया समीकरण $\tan^{-1} 2x + \tan^{-1} 3x = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करते हुए (जहाँ $AB < 1$):
$\tan^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$.
$5x = 1 - 6x^2$.
$6x^2 + 5x - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6x^2 + 6x - x - 1 = 0$.
$6x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$.
$(6x - 1)(x + 1) = 0$.
अतः,$x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$.
मूल समीकरण में हलों की जाँच करने पर:
$x = \frac{1}{6}$ के लिए,$\tan^{-1} (1/3) + \tan^{-1} (1/2) = \tan^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$। यह एक मान्य हल है।
$x = -1$ के लिए,$\tan^{-1} (-2) + \tan^{-1} (-3)$ एक ऋणात्मक मान देता है,जो $\frac{\pi}{4}$ नहीं हो सकता।
अतः,केवल $1$ हल प्राप्त होता है।

(D) माना व्यंजक $E = \cos ^{-1} [ \cot (A) + B + C ]$ है,जहाँ:
$A = \sin ^{-1} \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = 15^{\circ} = \frac{\pi}{12}$.
$B = \cos ^{-1} \left( \frac{\sqrt{12}}{4} \right) = \cos ^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$.
$C = \sec ^{-1} \sqrt{2} = \cos ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,गणना के अनुसार अंतिम उत्तर $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $y = \cot^{-1} x$ है। असमिका $y^2 - 7y + 10 > 0$ बन जाती है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(y - 5)(y - 2) > 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $y < 2$ या $y > 5$।
चूँकि $\cot^{-1} x$ का परिसर $(0, \pi)$ है,इसलिए $0 < \cot^{-1} x < \pi$ होता है।
अतः,$0 < \cot^{-1} x < 2$ या $5 < \cot^{-1} x < \pi$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cot$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है,इसलिए जब हम इसे लागू करते हैं तो असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$0 < \cot^{-1} x < 2$ के लिए,$x > \cot 2$ प्राप्त होता है।
$5 < \cot^{-1} x < \pi$ के लिए,$\cot \pi < x < \cot 5$ प्राप्त होता है,जो $-\infty < x < \cot 5$ है।
अतः,$x \in (-\infty, \cot 5) \cup (\cot 2, \infty)$।

(D) दिया गया है $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,$\cos(\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2}) = \cos \alpha$ प्राप्त होता है।
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha - \frac{xy}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - x^2)(1 - \frac{y^2}{4}) = (\cos \alpha - \frac{xy}{2})^2$.
$1 - \frac{y^2}{4} - x^2 + \frac{x^2y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha + \frac{x^2y^2}{4}$.
$1 - \frac{y^2}{4} - x^2 = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha$.
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$4 - y^2 - 4x^2 = 4 \cos^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$.
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos^2 \alpha$.
चूंकि $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$,इसलिए:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin^2 \alpha$.

(A) माना कि $\sin ^{-1} \frac{12}{13}=x$,$\cos ^{-1} \frac{4}{5}=y$,और $\tan ^{-1} \frac{63}{16}=z$ है।
तब $\sin x = \frac{12}{13}$,$\cos y = \frac{4}{5}$,और $\tan z = \frac{63}{16}$ है।
इनसे,हमें प्राप्त होता है $\cos x = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13}$,$\sin y = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$।
अतः,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$ और $\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$।
अब,$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - (\frac{12}{5} \times \frac{3}{4})} = \frac{\frac{48+15}{20}}{1 - \frac{36}{20}} = \frac{63/20}{-16/20} = -\frac{63}{16}$।
चूंकि $\tan(x+y) = -\frac{63}{16}$ और $\tan z = \frac{63}{16}$ है,इसलिए $\tan(x+y) = -\tan z = \tan(\pi - z)$।
चूंकि $x, y, z$ प्रथम चतुर्थांश में हैं,इसलिए $x+y+z = \pi$।

(A) माना $\sin ^{-1} \frac{3}{5}=x$. तब,$\sin x=\frac{3}{5} \Rightarrow \cos x=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$.
$\therefore \tan x=\frac{3}{4} \Rightarrow x=\tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
$\therefore \sin ^{-1} \frac{3}{5}=\tan ^{-1} \frac{3}{4} \dots(1)$.
अब,माना $\cos ^{-1} \frac{12}{13}=y$. तब,$\cos y=\frac{12}{13} \Rightarrow \sin y=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$.
$\therefore \tan y=\frac{5}{12} \Rightarrow y=\tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
$\therefore \cos ^{-1} \frac{12}{13}=\tan ^{-1} \frac{5}{12} \dots(2)$.
अब,बायां पक्ष ($L$.$H$.$S$) लें: $\cos ^{-1} \frac{12}{13}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan ^{-1} \frac{5}{12}+\tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{5}{12}+\frac{3}{4}}{1-\left(\frac{5}{12} \cdot \frac{3}{4}\right)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{20+36}{48}}{\frac{48-15}{48}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{56}{33} \right)$.
$\tan ^{-1} \frac{56}{33}$ को $\sin ^{-1}$ में बदलने के लिए,माना $\tan ^{-1} \frac{56}{33} = z$. तब $\tan z = \frac{56}{33}$.
सर्वसमिका $\sin z = \frac{\tan z}{\sqrt{1+\tan^2 z}} = \frac{56/33}{\sqrt{1+(56/33)^2}} = \frac{56/33}{\sqrt{(1089+3136)/1089}} = \frac{56/33}{65/33} = \frac{56}{65}$.
अतः,$\tan ^{-1} \frac{56}{33} = \sin ^{-1} \frac{56}{65} = \text{दायां पक्ष (R.H.S)}$.

(A) दिया गया समीकरण: $2 \tan ^{-1}(\cos x)=\tan ^{-1}(2 \csc x)$
सूत्र $2 \tan ^{-1} \theta = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \theta}{1 - \theta^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x} \right) = \tan ^{-1} (2 \csc x)$
तर्कों की तुलना करने पर:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = 2 \csc x$
चूंकि $\csc x = \frac{1}{\sin x}$:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$
यह मानते हुए कि $\sin x \neq 0$,दोनों पक्षों से $2$ और एक $\sin x$ को काटने पर:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1$
$\cot x = 1$
$\tan x = 1$
अतः,$x = \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}(1-x)-2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $-2 \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}(1-x)$
सर्वसमिका $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \theta = \cos ^{-1} \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-2 \sin ^{-1} x = \cos ^{-1}(1-x)$
माना $\sin ^{-1} x = y$,तो $x = \sin y$. समीकरण $-2y = \cos ^{-1}(1 - \sin y)$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर: $\cos(-2y) = 1 - \sin y$
चूंकि $\cos(-2y) = \cos(2y) = 1 - 2\sin^2 y$,इसलिए: $1 - 2\sin^2 y = 1 - \sin y$
$2\sin^2 y - \sin y = 0$
$\sin y(2\sin y - 1) = 0$
इससे $\sin y = 0$ या $\sin y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = \sin y$,संभावित मान $x = 0$ या $x = \frac{1}{2}$ हैं।
$x = 0$ के लिए जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. यह एक हल है।
$x = \frac{1}{2}$ के लिए जाँच करने पर: $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = -\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2}$.
अतः,केवल $x = 0$ ही सही हल है।

(D) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$.
माना $x = \tan \theta$। चूंकि $-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{6}$ है।
तब $y = \tan^{-1}\left(\frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}\right) = \tan^{-1}(\tan 3\theta) = 3\theta$।
चूंकि $x = \tan \theta$,इसलिए $\theta = \tan^{-1} x$ है।
अतः,$y = 3\tan^{-1} x$।
अब,$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(\tan \theta) = \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dy}$।
चूंकि $y = 3\theta$,इसलिए $\theta = \frac{y}{3}$,अतः $\frac{d\theta}{dy} = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{dx}{dy} = \sec^2 \theta \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 + \tan^2 \theta}{3} = \frac{1 + x^2}{3}$।

(A) माना $x = \tan \theta$,तब $\theta = \tan^{-1} x$। चूँकि $0 < x < 1$,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ है।
व्यंजक $y = \sin^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,$y = \sin^{-1}(\cos 2\theta)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos 2\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)$,इसलिए $y = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right)$ है।
दिया गया है $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,तो $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $0 < \frac{\pi}{2} - 2\theta < \frac{\pi}{2}$।
अतः,$y = \frac{\pi}{2} - 2\theta = \frac{\pi}{2} - 2\tan^{-1} x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = 0 - 2\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{-2}{1+x^2}$।

(B) माना $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{5}$,जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ है।
$\cos^{-1}$ फलन के अंदर का पद $\frac{3}{5} \cos kx - \frac{4}{5} \sin kx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos \alpha \cos kx - \sin \alpha \sin kx = \cos(\alpha + kx)$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \sum_{k=1}^{6} k \cos^{-1}(\cos(\alpha + kx))$.
$x$ के $0$ के निकट मानों के लिए,$\cos^{-1}(\cos(\alpha + kx)) = \alpha + kx$ होता है।
इसलिए,$y = \sum_{k=1}^{6} k(\alpha + kx) = \sum_{k=1}^{6} (k\alpha + k^2 x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{6} k^2$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$\frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{6} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2$.
वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,$n=6$ के लिए:
$\frac{6(7)(13)}{6} = 91$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} \frac{3 x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4 x}{5}=\sin ^{-1} x$
सूत्र $\sin ^{-1} A + \sin ^{-1} B = \sin ^{-1} (A \sqrt{1-B^2} + B \sqrt{1-A^2})$ का उपयोग करने पर:
$\sin ^{-1}\left(\frac{3 x}{5} \sqrt{1-\frac{16 x^{2}}{25}}+\frac{4 x}{5} \sqrt{1-\frac{9 x^{2}}{25}}\right)=\sin ^{-1} x$
तर्कों की तुलना करने पर:
$\frac{3 x}{5} \sqrt{1-\frac{16 x^{2}}{25}}+\frac{4 x}{5} \sqrt{1-\frac{9 x^{2}}{25}}=x$
स्थिति $1$: $x=0$ एक हल है।
स्थिति $2$: $x \neq 0$,$x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3}{5} \sqrt{\frac{25-16 x^{2}}{25}} + \frac{4}{5} \sqrt{\frac{25-9 x^{2}}{25}} = 1$
$3 \sqrt{25-16 x^{2}} + 4 \sqrt{25-9 x^{2}} = 25$
$4 \sqrt{25-9 x^{2}} = 25 - 3 \sqrt{25-16 x^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16(25-9 x^{2}) = 625 + 9(25-16 x^{2}) - 150 \sqrt{25-16 x^{2}}$
$400 - 144 x^{2} = 625 + 225 - 144 x^{2} - 150 \sqrt{25-16 x^{2}}$
$150 \sqrt{25-16 x^{2}} = 450$
$\sqrt{25-16 x^{2}} = 3$
$25 - 16 x^{2} = 9 \Rightarrow 16 x^{2} = 16 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
मूल समीकरण में $x=1, -1, 0$ रखने पर,सभी मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$x$ के वास्तविक मानों की संख्या $3$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}$।
$\sin^{-1}(u)$ के प्रांत के लिए,हमें $-1 \leq u \leq 1$ की आवश्यकता है। चूँकि $u$ एक पूर्णांक है (महत्तम पूर्णांक फलन के कारण),$u \in \{-1, 0, 1\}$।
स्थिति $1$: मान लीजिए $x^2 + \frac{1}{3} = k_1$ और $x^2 - \frac{2}{3} = k_2$,जहाँ $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$।
$x \in [-1, 1]$ दिया गया है,इसलिए $x^2 \in [0, 1]$।
अतः $x^2 + \frac{1}{3} \in [1/3, 4/3]$,इसलिए $[x^2 + 1/3] \in \{0, 1\}$।
और $x^2 - 2/3 \in [-2/3, 1/3]$,इसलिए $[x^2 - 2/3] \in \{-1, 0\}$।
स्थिति $I$: $[x^2 + 1/3] = 0$ और $[x^2 - 2/3] = -1$।
इसका अर्थ है $0 \leq x^2 + 1/3 < 1 \Rightarrow -1/3 \leq x^2 < 2/3$ और $-1 \leq x^2 - 2/3 < 0 \Rightarrow -1/3 \leq x^2 < 2/3$।
समीकरण में मान रखने पर: $\sin^{-1}(0) + \cos^{-1}(-1) = x^2 \Rightarrow 0 + \pi = x^2 \Rightarrow x^2 = \pi$।
चूँकि $\pi \approx 3.14$,यह $[0, 2/3)$ में नहीं है। अतः कोई हल नहीं है।
स्थिति $II$: $[x^2 + 1/3] = 1$ और $[x^2 - 2/3] = 0$।
इसका अर्थ है $1 \leq x^2 + 1/3 < 2 \Rightarrow 2/3 \leq x^2 < 5/3$ और $0 \leq x^2 - 2/3 < 1 \Rightarrow 2/3 \leq x^2 < 5/3$।
समीकरण में मान रखने पर: $\sin^{-1}(1) + \cos^{-1}(0) = x^2 \Rightarrow \pi/2 + \pi/2 = x^2 \Rightarrow x^2 = \pi$।
चूँकि $\pi \approx 3.14$,यह $[2/3, 1]$ में नहीं है (चूँकि $x \in [-1, 1]$ का अर्थ $x^2 \leq 1$ है)। अतः कोई हल नहीं है।
इस प्रकार,हलों की संख्या $0$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(r+1)-r}{1+r(r+1)}\right) = \tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)$ है।
अतः,योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$\sum_{r=1}^{n} \left[\tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)\right] = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \dots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$।
यह $\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1) = \tan ^{-1}(n+1) - \frac{\pi}{4}$ में सरल हो जाता है।
अब,$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \tan \left(\tan ^{-1}(n+1) - \frac{\pi}{4}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos \left(2 \tan ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)\right)$.
मान लीजिए $\theta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}$. तब $\cot \theta = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{\sqrt{x/(1-x)}}{\sqrt{1+x/(1-x)}} = \sqrt{x}$ का उपयोग करने पर.
अतः,$\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}} = \sin ^{-1} \sqrt{x}$.
इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \cos \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{x}\right)$.
सर्वसमिका $2 \tan ^{-1} u = \cos ^{-1} \left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \cos \left(\cos ^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right) = \frac{1-x}{1+x}$.
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$.
अब विकल्पों की जाँच करते हैं। $(1-x)^2 f^{\prime}(x) + 2(f(x))^2$ पर विचार करें:
$(1-x)^2 \left(\frac{-2}{(1+x)^2}\right) + 2 \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2 = \frac{-2(1-x)^2}{(1+x)^2} + \frac{2(1-x)^2}{(1+x)^2} = 0$.
अतः,$(1-x)^{2} f^{\prime}(x)+2(f(x))^{2}=0$ सही है।

(C) हमें व्यंजक $\cos ^{-1}(\cos (-5))+\sin ^{-1}(\sin (6))-\tan ^{-1}(\tan (12))$ का मान ज्ञात करना है।
$1$. $\cos ^{-1}(\cos (-5))$ के लिए: चूँकि $\cos(-x) = \cos(x)$,यह $\cos ^{-1}(\cos (5))$ है। चूँकि $5 \in [\pi, 2\pi]$,हम $\cos ^{-1}(\cos x) = 2\pi - x$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\cos ^{-1}(\cos (5)) = 2\pi - 5$.
$2$. $\sin ^{-1}(\sin (6))$ के लिए: चूँकि $6 \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$,हम $\sin ^{-1}(\sin x) = x - 2\pi$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\sin ^{-1}(\sin (6)) = 6 - 2\pi$.
$3$. $\tan ^{-1}(\tan (12))$ के लिए: चूँकि $12 \in (3\pi + \frac{\pi}{2}, 4\pi + \frac{\pi}{2})$,हम $\tan ^{-1}(\tan x) = x - 4\pi$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\tan ^{-1}(\tan (12)) = 12 - 4\pi$.
इन मानों को जोड़ने पर: $(2\pi - 5) + (6 - 2\pi) - (12 - 4\pi) = 2\pi - 5 + 6 - 2\pi - 12 + 4\pi = 4\pi - 11$.

(A) माना $A = 3 \tan ^{-1} \frac{1}{2} + 2 \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$.
चूंकि $\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \tan ^{-1} 2$,इसलिए $A = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + 2(\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} 2)$.
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$A = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + 2(\frac{\pi}{2}) = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \pi$.
अतः,$\tan A = \tan(\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \pi) = \tan(\tan ^{-1} \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
अब,माना $B = \frac{1}{2} \tan ^{-1}(2 \sqrt{2})$. माना $\tan ^{-1}(2 \sqrt{2}) = \theta$,तो $\tan \theta = 2 \sqrt{2}$.
हमें $\tan(\frac{\theta}{2})$ ज्ञात करना है। $\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,माना $t = \tan(\theta/2)$.
$2 \sqrt{2} = \frac{2t}{1 - t^2} \implies \sqrt{2} = \frac{t}{1 - t^2} \implies \sqrt{2} - \sqrt{2} t^2 = t \implies \sqrt{2} t^2 + t - \sqrt{2} = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 \sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$.
चूंकि $\tan ^{-1}(2 \sqrt{2})$ अंतराल $(0, \pi/2)$ में है,इसलिए $t > 0$,अतः $t = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,व्यंजक का मान $50(\frac{1}{2}) + 4 \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 25 + 4 = 29$ है।

(D) दिया गया है $x = \sin(2 \tan^{-1} \alpha) = \frac{2 \alpha}{1 + \alpha^2}$.
दिया गया है $y = \sin(\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{4}{3})$। मान लीजिए $\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$,तो $\tan \theta = \frac{4}{3}$।
सर्वसमिका $\sin(\frac{\theta}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\cos \theta = \frac{3}{5}$,हमें $y = \sqrt{\frac{1 - 3/5}{2}} = \sqrt{\frac{2/5}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $y^2 = 1 - x$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{5} = 1 - \frac{2 \alpha}{1 + \alpha^2}$
$\frac{2 \alpha}{1 + \alpha^2} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$10 \alpha = 4(1 + \alpha^2)$
$4 \alpha^2 - 10 \alpha + 4 = 0$
$2 \alpha^2 - 5 \alpha + 2 = 0$
$(2 \alpha - 1)(\alpha - 2) = 0$
अतः,$\alpha = 2$ या $\alpha = \frac{1}{2}$।
हमें $\sum_{\alpha \in S} 16 \alpha^3 = 16(2^3) + 16(\frac{1}{2})^3 = 16(8) + 16(\frac{1}{8}) = 128 + 2 = 130$ ज्ञात करना है।

(C) माना $f(x) = \cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right) = k$.
सबसे पहले,$\cos(\sin^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$.
तब,$\tan^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \theta \implies \tan \theta = \sqrt{1-x^2} \implies \cot \theta = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos(\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})) = k$ प्राप्त होता है।
माना $\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) = \phi \implies \sin \phi = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \implies \cos \phi = \sqrt{1 - \frac{x^2}{1-x^2}} = \sqrt{\frac{1-2x^2}{1-x^2}}$.
अतः,$\sqrt{\frac{1-2x^2}{1-x^2}} = k \implies \frac{1-2x^2}{1-x^2} = k^2 \implies 1-2x^2 = k^2 - k^2x^2 \implies x^2(k^2-2) = k^2-1 \implies x^2 = \frac{k^2-1}{k^2-2}$.
चूंकि $x^2 = \alpha^2 = \beta^2$,हमारे पास $\alpha^2 = \beta^2 = \frac{k^2-1}{k^2-2}$ है।
दिया गया है कि $x^2 - bx - 5 = 0$ के मूल $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ और $\frac{\alpha}{\beta}$ हैं।
ध्यान दें कि $\frac{\alpha}{\beta}$ का मान $1$ या $-1$ हो सकता है। यदि $\alpha = \beta$ है,तो $\frac{\alpha}{\beta} = 1$,लेकिन समीकरण $x^2-bx-5=0$ के मूल $\frac{2}{\alpha^2}$ और $1$ होंगे। गुणनफल $= \frac{2}{\alpha^2} = -5$,जो असंभव है क्योंकि $\alpha^2 > 0$ है। अतः $\alpha = -\beta$,इसलिए $\frac{\alpha}{\beta} = -1$.
मूल $\frac{2}{\alpha^2}$ और $-1$ हैं। गुणनफल: $\frac{2}{\alpha^2}(-1) = -5 \implies \frac{2}{\alpha^2} = 5 \implies \alpha^2 = \frac{2}{5}$.
मूलों का योग: $\frac{2}{\alpha^2} - 1 = b \implies 5 - 1 = 4 = b$.
$\alpha^2 = \frac{k^2-1}{k^2-2} = \frac{2}{5}$ से $\implies 5k^2 - 5 = 2k^2 - 4 \implies 3k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{3}$.
अंत में,$\frac{b}{k^2} = \frac{4}{1/3} = 12$.

(A) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(x) - 2 \sin ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$
सर्वसमिका $\sin ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(x)$ का उपयोग करते हुए,हम प्रतिस्थापित करते हैं:
$\cos ^{-1}(x) - 2(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(x)) = \cos ^{-1}(2x)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\cos ^{-1}(x) - \pi + 2 \cos ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$
$3 \cos ^{-1}(x) = \pi + \cos ^{-1}(2x)$
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर:
$\cos(3 \cos ^{-1}(x)) = \cos(\pi + \cos ^{-1}(2x))$
सर्वसमिका $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$ और $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करते हुए:
$4x^3 - 3x = -2x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$4x^3 - x = 0$
$x(4x^2 - 1) = 0$
अतः,हल $x = 0$,$x = \frac{1}{2}$,और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।
मूल समीकरण में हलों की जाँच करने पर:
$x = 0$ के लिए: $\cos^{-1}(0) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ और $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$. (मान्य)
$x = \frac{1}{2}$ के लिए: $\cos^{-1}(\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} - 2(\frac{\pi}{6}) = 0$ और $\cos^{-1}(1) = 0$. (मान्य)
$x = -\frac{1}{2}$ के लिए: $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} - 2(-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$ और $\cos^{-1}(-1) = \pi$. (मान्य)
हलों का योग $0 + \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = 0$ है।

(A) हमें व्यंजक $\sin ^{-1}(\sin 1 \cos 4+\cos 1 \sin 4)$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम प्रतिलोम ज्या फलन के अंदर के व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$\sin 1 \cos 4 + \cos 1 \sin 4 = \sin(1+4) = \sin 5$.
अतः,व्यंजक $\sin ^{-1}(\sin 5)$ बन जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(\sin x) = x$ केवल तभी होता है जब $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ हो।
चूंकि $3.13 \leq \pi \leq 3.15$,इसलिए $1.565 \leq \frac{\pi}{2} \leq 1.575$ है।
चूंकि $5$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में नहीं है,हम एक पूर्णांक $k$ ज्ञात करते हैं ताकि $5 - 2k\pi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ हो।
$k=1$ के लिए,$5 - 2\pi \approx 5 - 2(3.14) = 5 - 6.28 = -1.28$ है।
चूंकि $-1.575 \leq -1.28 \leq -1.565$,इसलिए मान $5 - 2\pi$ है।
$\pi \approx 3.14$ लेने पर,मान $5 - 6.28 = -1.28$ प्राप्त होता है।
$-1.28$ के निकटतम पूर्णांक $-1$ है।

(A) दिया गया है कि $\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17} = \tan ^{-1} \frac{77}{36} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{77}{36} - \frac{3}{4}}{1 + \frac{77}{36} \cdot \frac{3}{4}} \right) = \tan ^{-1} \frac{8}{15} = \sin ^{-1} \frac{8}{17}$.
अतः,$\alpha = 8$.
अब,$\sin ^{-1}(\sin 8) + \cos ^{-1}(\cos 8)$ का मान ज्ञात करने पर:
$\sin ^{-1}(\sin 8) = 3\pi - 8$ और $\cos ^{-1}(\cos 8) = 8 - 2\pi$.
योग = $(3\pi - 8) + (8 - 2\pi) = \pi$.

(B) दिया गया है $g(x) = f(x) + f(1-x)$.
अवकलन करने पर,$g'(x) = f'(x) - f'(1-x)$.
चूंकि $g$ अंतराल $(0, \alpha)$ में ह्रासमान है और $(\alpha, 1)$ में वर्धमान है,इसलिए $x = \alpha$ पर $g'(x) = 0$ होगा।
अतः,$f'(\alpha) = f'(1-\alpha)$.
चूंकि $f''(x) > 0$,$f'(x)$ एक वर्धमान फलन है।
इसलिए,$f'(\alpha) = f'(1-\alpha)$ का अर्थ है $\alpha = 1-\alpha$,जिससे $\alpha = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\alpha = \frac{1}{2}$ पर $\tan^{-1}(2\alpha) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\alpha}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\alpha = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\tan^{-1}(2 \cdot \frac{1}{2}) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{1/2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1/2+1}{1/2}\right)$
$= \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3)$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3)$ के लिए,चूंकि $2 \cdot 3 > 1$,हम सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हैं।
$\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{2+3}{1-6}\right) = \pi + \tan^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
अतः,कुल योग $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin^{-1} x = 2 \tan^{-1} x$ है।
माना $\tan^{-1} x = \theta$,तो $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta \in (-\pi/4, \pi/4]$ क्योंकि $x \in (-1, 1]$ है।
समीकरण $\sin^{-1}(\tan \theta) = 2\theta$ बन जाता है।
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर,हमें मिलता है $\tan \theta = \sin(2\theta)$।
$\tan \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta$.
$\sin \theta (\frac{1}{\cos \theta} - 2 \cos \theta) = 0$.
इससे $\sin \theta = 0$ या $\frac{1}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\sin \theta = 0 \implies \theta = 0$,जिससे $x = \tan 0 = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $2 \cos^2 \theta = 1 \implies \cos^2 \theta = 1/2 \implies \cos \theta = \pm 1/\sqrt{2}$.
चूंकि $\theta \in (-\pi/4, \pi/4]$,$\cos \theta$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $\cos \theta = 1/\sqrt{2}$।
इसका अर्थ है $\theta = \pi/4$ या $\theta = -\pi/4$।
यदि $\theta = \pi/4$,तो $x = \tan(\pi/4) = 1$।
यदि $\theta = -\pi/4$,तो $x = \tan(-\pi/4) = -1$,लेकिन डोमेन $x \in (-1, 1]$ है,इसलिए $x = -1$ को छोड़ दिया जाएगा।
अतः,हल $x = 0$ और $x = 1$ हैं। हलों की संख्या $2$ है।

(D) माना $\sin^{-1} x = \theta$. तब $x = \sin \theta$.
दिया गया है $\cos(2\theta) = \frac{1}{9}$.
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$1 - 2x^2 = \frac{1}{9}$.
$2x^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies x^2 = \frac{4}{9} \implies x = \frac{2}{3}$ (चूंकि $m, n$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए)।
अतः,$m = 2$ और $n = 3$.
द्विघात समीकरण $2x^2 - 3x - 2 + 3 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $2x^2 - 3x + 1 = 0$ बनता है।
गुणनखंड करने पर: $(2x - 1)(x - 1) = 0$.
मूल $x = 1$ और $x = \frac{1}{2}$ हैं।
$\alpha > \beta$ होने के कारण,$\alpha = 1$ और $\beta = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $(1, \frac{1}{2})$ को विकल्पों में जाँचने पर:
$5x + 8y = 9$ के लिए: $5(1) + 8(\frac{1}{2}) = 5 + 4 = 9$.
अतः,बिंदु रेखा $5x + 8y = 9$ पर स्थित है।

(A) माना $\sin ^{-1} \alpha = A, \sin ^{-1} \beta = B, \sin ^{-1} \gamma = C$ है।
अतः $A+B+C = \pi$,जिसका अर्थ है $\sin A = \alpha, \sin B = \beta, \sin C = \gamma$।
दिया गया समीकरण $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma) = 3\alpha\beta$ है।
इसे $(\alpha+\beta)^2 - \gamma^2 = 3\alpha\beta$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta - \gamma^2 = 3\alpha\beta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2 = \alpha\beta$ हो जाता है।
$2\alpha\beta$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}{2\alpha\beta} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
कोसाइन के नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}{2\alpha\beta} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $\cos C = \frac{1}{2}$,इसलिए $C = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\gamma = \sin C = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) हमें दिया गया है कि $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} y$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos ^{-1} x - (\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} y) = \alpha$
$\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2} + \alpha$।
चूँकि $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]$,इसलिए $\frac{\pi}{2} + \alpha \in [0, \frac{3\pi}{2}]$ है।
दोनों पक्षों का कोसाइन (cosine) लेने पर:
$\cos(\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y) = \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$
$xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = -\sin \alpha$
$xy + \sin \alpha = \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(xy + \sin \alpha)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$
$x^2y^2 + 2xy \sin \alpha + \sin^2 \alpha = 1 - x^2 - y^2 + x^2y^2$
$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$
$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha = \cos^2 \alpha$।
$\cos^2 \alpha$ का न्यूनतम मान $0$ है,जो $\alpha = \frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $0$ है।

(A) यदि $a=1, b=0$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$। चूँकि $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,हमारे पास $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) = 0$ है। इसका अर्थ है $\sin^{-1}(x) = -\cos^{-1}(y)$। $\sin^{-1}$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ और $\cos^{-1}$ का परिसर $[0, \pi]$ होने के कारण,यह $x^2+y^2=1$ की ओर ले जाता है। अतः,$(A) \rightarrow p$.
$(B)$ यदि $a=1, b=1$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(xy) = \frac{\pi}{2}$। यह $\cos^{-1}(x) - \cos^{-1}(y) = \cos^{-1}(xy)$ है। दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर: $xy + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = xy$,जिसका अर्थ है $(1-x^2)(1-y^2) = 0$,अर्थात $(x^2-1)(y^2-1) = 0$। अतः,$(B) \rightarrow q$.
$(C)$ यदि $a=1, b=2$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(2xy) = \frac{\pi}{2}$। यह $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) = \sin^{-1}(2xy)$ में सरल हो जाता है। $\sin(A+B)$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $x^2+y^2=1$ प्राप्त होता है। अतः,$(C) \rightarrow p$.
$(D)$ यदि $a=2, b=2$,तो $\sin^{-1}(2x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(2xy) = \frac{\pi}{2}$। यह $\sin^{-1}(2x) = \cos^{-1}(y) - \cos^{-1}(2xy)$ की ओर ले जाता है। इसे हल करने पर $(4x^2-1)(y^2-1) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$(D) \rightarrow s$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\tan x)$
सर्वसमिका $1+\cos(2x) = 2\cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2} \tan^{-1}(\tan x)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sqrt{2}|\cos x| = \sqrt{2} \tan^{-1}(\tan x)$ या $|\cos x| = \tan^{-1}(\tan x)$ हो जाता है।
हमें प्रांत $D = \left(-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ में $y = |\cos x|$ और $y = \tan^{-1}(\tan x)$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
$1$. $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में,$\tan^{-1}(\tan x) = x$ होता है। समीकरण $|\cos x| = x$ है। चूँकि $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \setminus \{0\}$ के लिए $|\cos x| > 0$ है और $x=0$ पर $|\cos 0| = 1 \neq 0$ है,इसलिए $x > 0$ के लिए एक हल मिलता है और $x \leq 0$ के लिए कोई हल नहीं मिलता।
$2$. $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ में,$\tan^{-1}(\tan x) = x - \pi$ होता है। समीकरण $|\cos x| = x - \pi$ है। इस अंतराल में एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।
$3$. $\left(-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right)$ में,$\tan^{-1}(\tan x) = x + \pi$ होता है। समीकरण $|\cos x| = x + \pi$ है। इस अंतराल में एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।
कुल हलों की संख्या $1 + 1 + 1 = 3$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ है।
मान लीजिए $x = \frac{6y}{9-y^2}$ है। तब समीकरण $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \frac{2\pi}{3}$ हो जाता है।
स्थिति $I$: यदि $x > 0$ है,तो $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \tan^{-1}(x)$ होता है। समीकरण $2\tan^{-1}(x) = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$ बन जाता है।
$\frac{6y}{9-y^2} = \sqrt{3} \Rightarrow 6y = 9\sqrt{3} - \sqrt{3}y^2 \Rightarrow \sqrt{3}y^2 + 6y - 9\sqrt{3} = 0 \Rightarrow y^2 + 2\sqrt{3}y - 9 = 0$ है।
$y$ के लिए हल करने पर: $y = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 36}}{2} = -\sqrt{3} \pm \sqrt{12} = -\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x > 0$ है,हमें $y \in (0, 3)$ चाहिए,इसलिए $y = \sqrt{3}$ है।
स्थिति $II$: यदि $x < 0$ है,तो $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \tan^{-1}(x) + \pi$ होता है। समीकरण $2\tan^{-1}(x) + \pi = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow 2\tan^{-1}(x) = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow \tan^{-1}(x) = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ बन जाता है।
$\frac{6y}{9-y^2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 6\sqrt{3}y = -9 + y^2 \Rightarrow y^2 - 6\sqrt{3}y - 9 = 0$ है।
$y$ के लिए हल करने पर: $y = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{108 + 36}}{2} = 3\sqrt{3} \pm \sqrt{36} = 3\sqrt{3} \pm 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x < 0$ है,हमें $y \in (-3, 0)$ चाहिए,इसलिए $y = 3\sqrt{3} - 6$ है।
हलों का योग: $\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6 = 4\sqrt{3} - 6$ है।

(A) $1$. $E_1$ के लिए,$\frac{x}{x-1} > 0 \implies x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.
$2$. $f(x) = \log_e(\frac{x}{x-1})$ के लिए,$x \in E_1$ के लिए $u = \frac{x}{x-1}$ का परिसर $(0, 1) \cup (1, \infty)$ है। अतः,$\log_e(u)$ का मान $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ है। इसलिए,$P \rightarrow 4$.
$3$. $E_2$ के लिए,हमें $-1 \leq \log_e(\frac{x}{x-1}) \leq 1 \implies \frac{1}{e} \leq \frac{x}{x-1} \leq e$ की आवश्यकता है।
$\frac{x}{x-1} \geq \frac{1}{e} \implies \frac{ex - x + 1}{e(x-1)} \geq 0 \implies x \in (-\infty, \frac{1}{1-e}] \cup (1, \infty)$ हल करने पर।
$\frac{x}{x-1} \leq e \implies \frac{x - ex + e}{x-1} \leq 0 \implies \frac{x(1-e) + e}{x-1} \leq 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup [\frac{e}{e-1}, \infty)$ हल करने पर।
सर्वनिष्ठ लेने पर $x \in (-\infty, \frac{1}{1-e}] \cup [\frac{e}{e-1}, \infty)$ प्राप्त होता है। इसलिए,$S \rightarrow 1$.
$4$. $g(x) = \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1}))$ का परिसर। चूँकि $\log_e(\frac{x}{x-1})$ का मान $0$ को छोड़कर $[-1, 1]$ के सभी मान लेता है,इसलिए $g$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \setminus \{0\}$ है। इसमें $(0, 1)$ शामिल है। इसलिए,$Q \rightarrow 2$.
$5$. $f$ का प्रांत $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ है,जिसमें $(-\infty, \frac{1}{1-e}] \cup [\frac{e}{e-1}, \infty)$ शामिल है। इसलिए,$R \rightarrow 1$.

(D) $(P)$ $\left(\frac{1}{y^2}\left(\frac{\cos (\tan ^{-1} y)+y \sin (\tan ^{-1} y)}{\cot (\sin ^{-1} y)+\tan (\sin ^{-1} y)}\right)^2+y^4\right)^{1 / 2}$
$= \left[\frac{1}{y^2}\left[\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y \cdot y}{\sqrt{1+y^2}}\right)}{\left(\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right)}\right]^2+y^4\right]^{1 / 2}$
$= \left(\frac{1}{y^2} \cdot y^2(1-y^4)+y^4\right)^{1 / 2} = 1$
$(Q)$ $\cos x+\cos y=-\cos z$ और $\sin x+\sin y=-\sin z$.
दोनों पक्षों का वर्ग करके जोड़ने पर: $(\cos x+\cos y)^2 + (\sin x+\sin y)^2 = \cos^2 z + \sin^2 z = 1$.
$2 + 2\cos(x-y) = 1 \Rightarrow \cos(x-y) = -1/2$.
$\cos(x-y) = 2\cos^2(\frac{x-y}{2}) - 1 = -1/2 \Rightarrow 2\cos^2(\frac{x-y}{2}) = 1/2 \Rightarrow \cos^2(\frac{x-y}{2}) = 1/4 \Rightarrow \cos(\frac{x-y}{2}) = 1/2$.
$(R)$ $\cos 2 x(\cos (\frac{\pi}{4}-x)-\cos (\frac{\pi}{4}+x)) = 2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$.
$\cos 2 x(\sqrt{2} \sin x) = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$.
$\sqrt{2} \sin x [\cos 2 x - \sqrt{2}(\cos x - \sin x)] = 0$.
$\sin x = 0$ या $\cos^2 x - \sin^2 x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x) \Rightarrow (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0$.
$\sec x = \sqrt{2}$.
$(S)$ $\cot (\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
$\sin (\tan ^{-1}(x \sqrt{6})) = \frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{1+6 x^2}}$.
$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{1+6 x^2}} \Rightarrow 1+6x^2 = 6(1-x^2) = 6-6x^2 \Rightarrow 12x^2 = 5 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(B) फलन $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ एक $2\pi$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है।
अंतराल $[0, 4\pi]$ में,$f(x)$ का ग्राफ दो त्रिकोणीय तरंगों से बना है।
विशेष रूप से,$x \in [0, \pi]$ के लिए $f(x) = x$,$x \in [\pi, 2\pi]$ के लिए $f(x) = 2\pi - x$,$x \in [2\pi, 3\pi]$ के लिए $f(x) = x - 2\pi$,और $x \in [3\pi, 4\pi]$ के लिए $f(x) = 4\pi - x$ है।
हमें $f(x)$ और रेखा $y = 1 - \frac{x}{10}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 0$ और $y = 1$ है।
$x = \pi \approx 3.14$ पर,$f(\pi) = \pi \approx 3.14$ और $y = 1 - 0.314 = 0.686$ है।
$x = 2\pi \approx 6.28$ पर,$f(2\pi) = 0$ और $y = 1 - 0.628 = 0.372$ है।
$x = 3\pi \approx 9.42$ पर,$f(3\pi) = \pi \approx 3.14$ और $y = 1 - 0.942 = 0.058$ है।
$x = 4\pi \approx 12.56$ पर,$f(4\pi) = 0$ और $y = 1 - 1.256 = -0.256$ है।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,रेखा $y = 1 - \frac{x}{10}$ अंतराल $[0, 4\pi]$ में $f(x)$ के ग्राफ को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।
अतः,बिंदुओं की संख्या $3$ है।

(D) दिया गया है $\alpha = 3 \sin^{-1}\left(\frac{6}{11}\right)$। चूंकि $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) < \sin^{-1}\left(\frac{6}{11}\right) < \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$,इसलिए $\frac{\pi}{6} < \sin^{-1}\left(\frac{6}{11}\right) < \frac{\pi}{3}$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ प्राप्त होता है। अतः,$\cos \alpha < 0$ है।
दिया गया है $\beta = 3 \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$। चूंकि $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) < \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right) < \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$,इसलिए $\frac{\pi}{3} < \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right) < \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल में,$\cos \beta < 0$ और $\sin \beta < 0$ है।
अब,$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ और $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ है।
इनका योग करने पर,$\frac{3\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{5\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ में,$\cos(\alpha + \beta) > 0$ है। अंतराल $(2\pi, \frac{5\pi}{2})$ में भी,$\cos(\alpha + \beta) > 0$ है।
इसलिए,$\cos(\alpha + \beta) > 0$ सही है।
सही विकल्प $(B), (C), (D)$ हैं।

(D) माना $f(x) = 16((\sec^{-1} x)^2 + (\operatorname{cosec}^{-1} x)^2)$ है।
हम जानते हैं कि सभी $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ के लिए $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $a = \sec^{-1} x$ है। तब $\operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2} - a$ होगा।
$\sec^{-1} x$ का प्रांत $a \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर, हमें प्राप्त होता है $f(a) = 16(a^2 + (\frac{\pi}{2} - a)^2) = 16(a^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi a + a^2) = 16(2a^2 - \pi a + \frac{\pi^2}{4}) = 32a^2 - 16\pi a + 4\pi^2$।
यह $a$ में एक द्विघात समीकरण है जो ऊपर की ओर खुलता है। इसका शीर्ष $a = \frac{-(-16\pi)}{2(32)} = \frac{\pi}{4}$ पर है।
चूंकि $a \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$, न्यूनतम मान $a = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
$\text{न्यूनतम} = f(\frac{\pi}{4}) = 32(\frac{\pi^2}{16}) - 16\pi(\frac{\pi}{4}) + 4\pi^2 = 2\pi^2 - 4\pi^2 + 4\pi^2 = 2\pi^2$।
अधिकतम मान अंतराल $[0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ की सीमाओं पर प्राप्त होता है, जो $a=0$ या $a=\pi$ हैं।
$f(0) = 16(0^2 + (\frac{\pi}{2} - 0)^2) = 16(\frac{\pi^2}{4}) = 4\pi^2$।
$f(\pi) = 16(\pi^2 + (\frac{\pi}{2} - \pi)^2) = 16(\pi^2 + \frac{\pi^2}{4}) = 16(\frac{5\pi^2}{4}) = 20\pi^2$।
अतः, अधिकतम मान $20\pi^2$ है और न्यूनतम मान $2\pi^2$ है।
योग $20\pi^2 + 2\pi^2 = 22\pi^2$ है।

(B) हमें समीकरण $\sec^2(\tan^{-1} \alpha) + \operatorname{cosec}^2(\cot^{-1} \beta) = 36$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sec^2(\tan^{-1} x) = 1 + x^2$ और $\operatorname{cosec}^2(\cot^{-1} x) = 1 + x^2$ का उपयोग करने पर:
$(1 + \alpha^2) + (1 + \beta^2) = 36$
$\alpha^2 + \beta^2 = 34$.
हमें $\alpha + \beta = 8$ भी दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha + \beta)^2 = 64
\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta = 64$.
$\alpha^2 + \beta^2 = 34$ रखने पर:
$34 + 2\alpha\beta = 64
2\alpha\beta = 30
\alpha\beta = 15$.
अब,$\alpha$ और $\beta$ ज्ञात करने के लिए:
$x^2 - 8x + 15 = 0
(x - 3)(x - 5) = 0$.
चूंकि $\alpha \leq \beta$,इसलिए $\alpha = 3$ और $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$.

(A) दिया गया समीकरण $\cos^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1)$ है।
सर्वसमिका $\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos^{-1} x$ को $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $-2 \sin^{-1} x - \sin^{-1}(2x + 1) = \frac{\pi}{2}$,या $2 \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $\sin^{-1} x = \theta$,तो $x = \sin \theta$। समीकरण $2\theta + \sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2}$ बन जाता है।
$\sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2} - 2\theta$.
दोनों तरफ $\sin$ लेने पर: $2x + 1 = \sin(-\frac{\pi}{2} - 2\theta) = -\cos(2\theta)$.
$2x + 1 = -(1 - 2\sin^2 \theta) = 2\sin^2 \theta - 1$.
चूंकि $x = \sin \theta$,हमारे पास $2x + 1 = 2x^2 - 1$ है,जो $2x^2 - 2x - 2 = 0$ या $x^2 - x - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
चूंकि $\sin^{-1} x$ का डोमेन $[-1, 1]$ है और $\sin^{-1}(2x + 1)$ के लिए $-1 \le 2x + 1 \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 0$ होना आवश्यक है,इसलिए केवल $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ मान्य है।
$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ के लिए,$2x - 1 = 1 - \sqrt{5} - 1 = -\sqrt{5}$।
अतः,$(2x - 1)^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5$।

(C) दिया गया है $y = \cos \left(\frac{\pi}{3} + \cos^{-1} \frac{x}{2}\right)$.
चूंकि $\cos^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $y = \cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{2} + \cos^{-1} \frac{x}{2}\right)$.
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$y = \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}$.
$y = \frac{x}{4} - \sqrt{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{4 - x^2}{4}} = \frac{x - \sqrt{3(4 - x^2)}}{4}$.
$4y = x - \sqrt{3(4 - x^2)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(4y - x)^2 = 3(4 - x^2)$.
$16y^2 + x^2 - 8xy = 12 - 3x^2$.
$4x^2 + 16y^2 - 8xy = 12$.
$4$ से भाग देने पर:
$x^2 + 4y^2 - 2xy = 3$.
इसे $x^2 - 2xy + y^2 + 3y^2 = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$(x - y)^2 + 3y^2 = 3$।

(C) माना $x = \tan \theta$. समीकरण $\theta = \tan^{-1}(2x) - \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{6x}{9+x^2}\right)$ बन जाता है।
माना $\alpha = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{6x}{9+x^2}\right)$,तो $\sin(2\alpha) = \frac{6x}{9+x^2}$।
$\sin(2\alpha) = \frac{2\tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{2\tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha} = \frac{6x}{9+x^2}$ प्राप्त होता है।
$\tan \alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $\tan \alpha = \frac{x}{3}$ या $\tan \alpha = \frac{3}{x}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: $\tan \alpha = \frac{x}{3}$. $\tan(\theta + \alpha) = 2x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x + x/3}{1 - x^2/3} = 2x$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{4x/3}{(3-x^2)/3} = 2x \Rightarrow \frac{4x}{3-x^2} = 2x$ हो जाता है।
या तो $x=0$ या $2 = 3-x^2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x = \pm 1$।
$x=0$ के लिए,$\theta=0$। $x=1$ के लिए,$\theta=\pi/4$। $x=-1$ के लिए,$\theta=-\pi/4$।
स्थिति $II$: $\tan \alpha = 3/x$. $\tan(\theta + \alpha) = 2x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x + 3/x}{1 - 3} = 2x \Rightarrow \frac{x^2+3}{-2x} = 2x \Rightarrow x^2+3 = -4x^2 \Rightarrow 5x^2 = -3$ प्राप्त होता है,जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,वास्तविक हल $\theta \in \{0, \pi/4, -\pi/4\}$ हैं,जो कुल $3$ हल देते हैं।

(C) माना $t = \tan \theta$ है। तब $\theta = \tan^{-1} t$ होगा।
$x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$.
$y = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$.
चूंकि $x = \theta$ और $y = \theta$ है,इसलिए $y = x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1}(\sec x - \tan x)$।
हम प्रतिलोम स्पर्शज्या फलन के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sec x - \tan x = \frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$,$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$,और $1 = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - \sin x}{\cos x} = \frac{(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})^2}{(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})} = \frac{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}}$
अंश और हर को $\cos\frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1 - \tan\frac{x}{2}}{1 + \tan\frac{x}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$
अतः,$y = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$

(B) माना $x = \tan \theta$ है। चूँकि $x \in (1, \infty)$,इसलिए $\theta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ है।
अतः $2\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ होगा।
$f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2\tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)$
$f(x) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) + \cos^{-1}(\cos 2\theta)$
चूँकि $2\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$,इसलिए $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = \pi - 2\theta$ और $\cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ होगा।
अतः,$f(x) = (\pi - 2\theta) + 2\theta = \pi$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x) = \pi$ एक अचर फलन है,इसलिए इसका अवकलज $f'(x) = 0$ होगा।

(A) दिया गया है $\alpha = 3 \sin^{-1} \left(\frac{6}{11}\right)$ और $\beta = 3 \cos^{-1} \left(\frac{4}{9}\right)$.
चूंकि $\frac{6}{11} > \frac{1}{2}$,और $\sin^{-1} x$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $\sin^{-1} \left(\frac{6}{11}\right) > \sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$\alpha = 3 \sin^{-1} \left(\frac{6}{11}\right) > 3 \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{2}$.
साथ ही,$\frac{6}{11} < \frac{\sqrt{3}}{2}$ होने के कारण,$\alpha < 3 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \pi$. अतः,$\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$,जो $II$ चतुर्थांश में है।
इसलिए,$\cos \alpha < 0$.
$\beta$ के लिए,चूंकि $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$,और $\cos^{-1} x$ एक ह्रासमान फलन है,इसलिए $\cos^{-1} \left(\frac{4}{9}\right) > \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\beta = 3 \cos^{-1} \left(\frac{4}{9}\right) > 3 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \pi$.
चूंकि $\frac{4}{9} > 0$,इसलिए $\beta < 3 \left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}$. अतः,$\beta \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$,जो $III$ चतुर्थांश में है।
$III$ चतुर्थांश में,$\cos \beta < 0$ और $\sin \beta < 0$ होता है।
अतः,विकल्प $A$ गलत है।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(6x - 1)(x + 1) = 0$
इससे $x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि शर्त $x \geq 0$ है,इसलिए $x = -1$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,एकमात्र हल $x = \frac{1}{6}$ है।
इसलिए,यह समुच्चय एक एकल समुच्चय (singleton set) है।

(C) माना $x = \tan \theta$ है। अतः $\theta = \tan^{-1} x$ है।
$x = \sqrt{3}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
व्यंजक $y = \sin^{-1}(\sin 2\theta) + \sec^{-1}(\sec 2\theta)$ बन जाता है।
$x > 1$ के लिए,$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = \pi - 2\tan^{-1} x$ और $\sec^{-1}(\frac{1+x^2}{1-x^2}) = 2\tan^{-1} x - \pi$ होता है।
अतः,$y = (\pi - 2\tan^{-1} x) + (2\tan^{-1} x - \pi) = 0$ है।
चूँकि $y$ एक अचर है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} x + \cos ^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$.
हम जानते हैं कि $y > 0$ के लिए $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$.
साथ ही,$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \tan ^{-1}(3)$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right) = \tan ^{-1}(3)$.
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर: $\tan ^{-1}\left(\frac{x + \frac{1}{y}}{1 - \frac{x}{y}}\right) = \tan ^{-1}(3)$.
इससे $\frac{xy + 1}{y - x} = 3$ प्राप्त होता है,जो $xy + 1 = 3y - 3x$ में सरल हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $xy + 3x - 3y = -1$.
गुणनखंड करने के लिए दोनों पक्षों में $9$ जोड़ने पर: $x(y+3) - 3(y+3) + 9 = -1 + 9$.
$(x-3)(y+3) = 8$.
चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक पूर्णांक हैं,$x \ge 1$ और $y \ge 1$. अतः,$y+3 \ge 4$.
$8$ के गुणनखंड जिनके लिए $y+3 \ge 4$ है,वे हैं:
$1) y+3 = 4 \implies y=1$. तब $x-3 = 2 \implies x=5$.
$2) y+3 = 8 \implies y=5$. तब $x-3 = 1 \implies x=4$.
अतः,$(5, 1)$ और $(4, 5)$ दो धनात्मक पूर्णांक हल हैं।
इसलिए,कुल $2$ हल हैं।

(D) माना $\tan ^{-1} 2 = \alpha$,जिसका अर्थ है $\tan \alpha = 2$।
माना $\cot ^{-1} 3 = \beta$,जिसका अर्थ है $\cot \beta = 3$।
हमें $\sec ^2 \alpha + \operatorname{cosec}^2 \beta$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ और $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sec ^2 \alpha + \operatorname{cosec}^2 \beta = (1 + \tan ^2 \alpha) + (1 + \cot ^2 \beta)$।
$\tan \alpha = 2$ और $\cot \beta = 3$ के मान रखने पर:
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2) = (1 + 4) + (1 + 9) = 5 + 10 = 15$।

(B) माना $\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \theta$. तब $\tan \theta = \frac{3}{4}$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin \theta = \frac{3/4}{\sqrt{1 + (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{25/16}} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left[\sin \left(\tan ^{-1} \frac{3}{4}\right)\right]^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$.
माना $\tan ^{-1} \frac{4}{3} = \phi$. तब $\tan \phi = \frac{4}{3}$.
सर्वसमिका $\sin \phi = \frac{\tan \phi}{\sqrt{1 + \tan^2 \phi}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin \phi = \frac{4/3}{\sqrt{1 + (4/3)^2}} = \frac{4/3}{\sqrt{25/9}} = \frac{4/3}{5/3} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left[\sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)\right]^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.
दोनों मानों को जोड़ने पर: $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.