समीकरण theta=tan ^{-1}(2 tan theta)-frac{1}{2 | vedclass

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Question

(C) माना $x = 	an 	heta$. समीकरण $	heta = 	an^{-1}(2x) - \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{6x}{9+x^2}ight)$ बन जाता है।माना $\alpha = \frac{1}{2}

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$3$

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(C) माना $x = 	an 	heta$. समीकरण $	heta = 	an^{-1}(2x) - \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{6x}{9+x^2}ight)$ बन जाता है।माना $\alpha = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{6x}{9+x^2}ight)$,तो $\sin(2\alpha) = \frac{6x}{9+x^2}$।$\sin(2\alpha) = \frac{2	an \alpha}{1+	an^2 \alpha}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{2	an \alpha}{1+	an^2 \alpha} = \frac{6x}{9+x^2}$ प्राप्त होता है।$	an \alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $	an \alpha = \frac{x}{3}$ या $	an \alpha = \frac{3}{x}$ प्राप्त होता है।स्थिति $I$: $	an \alpha = \frac{x}{3}$. $	an(	heta + \alpha) = 2x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x + x/3}{1 - x^2/3} = 2x$ प्राप्त होता है।यह सरल होकर $\frac{4x/3}{(3-x^2)/3} = 2x \Rightarrow \frac{4x}{3-x^2} = 2x$ हो जाता है।या तो $x=0$ या $2 = 3-x^2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x = \pm 1$।$x=0$ के लिए,$	heta=0$। $x=1$ के लिए,$	heta=\pi/4$। $x=-1$ के लिए,$	heta=-\pi/4$।स्थिति $II$: $	an \alpha = 3/x$. $	an(	heta + \alpha) = 2x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x + 3/x}{1 - 3} = 2x \Rightarrow \frac{x^2+3}{-2x} = 2x \Rightarrow x^2+3 = -4x^2 \Rightarrow 5x^2 = -3$ प्राप्त होता है,जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।अतः,वास्तविक हल $	heta \in \{0, \pi/4, -\pi/4\}$ हैं,जो कुल $3$ हल देते हैं।

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