Mix Examples-ITF Questions in Hindi

(A) माना $x = \frac{ab}{cr}$,$y = \frac{bc}{ar}$,और $z = \frac{ca}{br}$ है।
हमें दिया गया है कि $a^2+b^2+c^2=r^2$ है।
गुणनफल $xyz = \frac{ab}{cr} \times \frac{bc}{ar} \times \frac{ca}{br} = \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2} = 1$ प्राप्त होता है।
जब $xyz = 1$ होता है,तो हम सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,दिए गए व्यंजक का मान $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}\left(x+\frac{2}{x}\right) - \tan^{-1}\left(x-\frac{2}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $A = x+\frac{2}{x}$ और $B = x-\frac{2}{x}$.
तब $A-B = (x+\frac{2}{x}) - (x-\frac{2}{x}) = \frac{4}{x}$.
और $1+AB = 1 + (x+\frac{2}{x})(x-\frac{2}{x}) = 1 + (x^2 - \frac{4}{x^2}) = x^2 - \frac{4}{x^2} + 1$.
अतः,$\tan^{-1}\left(\frac{4/x}{1 + x^2 - 4/x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
इसका अर्थ है कि $\frac{4/x}{1 + x^2 - 4/x^2} = \frac{4}{x}$.
मान लीजिए $x \neq 0$,$4/x$ से विभाजित करने पर हमें $1 + x^2 - 4/x^2 = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 4/x^2 = 0$ हो जाता है।
इस प्रकार $x^4 = 4$,इसलिए $x^2 = 2$,जो $x = \pm \sqrt{2}$ देता है।
दोनों मान मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं। इसलिए,$2$ हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(x+1)+\tan ^{-1}(x-1)+\tan ^{-1} x=\tan ^{-1} 3$.
सर्वसमिका $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1} \left( \frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)} \right) + \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} 3$.
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-(x^2-1)} \right) + \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} 3$.
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{2-x^2} \right) + \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} 3$.
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2x}{2-x^2} + x}{1 - \frac{2x^2}{2-x^2}} \right) = \tan ^{-1} 3$.
$\frac{2x + 2x - x^3}{2-x^2-2x^2} = 3$.
$\frac{4x-x^3}{2-3x^2} = 3$.
$4x - x^3 = 6 - 9x^2$.
$x^3 - 9x^2 - 4x + 6 = 0$.
चूंकि $x < 0$,हम देखते हैं कि $x = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 - 9(-1)^2 - 4(-1) + 6 = -1 - 9 + 4 + 6 = 0$.
$(x+1)$ से विभाजित करने पर,$(x+1)(x^2 - 10x + 6) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = -1$ और $x = 5 \pm \sqrt{19}$ हैं। $x < 0$ होने के कारण,हम $x = -1$ लेते हैं।
$500x^4 + 270x^2 + 997$ में $x = -1$ रखने पर:
$500(-1)^4 + 270(-1)^2 + 997 = 500 + 270 + 997 = 1767$.

(C) हम सर्वसमिका $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ का उपयोग करते हैं।
प्रत्येक पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$1. \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+x(x+1)}\right) = \tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}(x)$
$2. \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+1)(x+2)}\right) = \tan^{-1}(x+2) - \tan^{-1}(x+1)$
$3. \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+2)(x+3)}\right) = \tan^{-1}(x+3) - \tan^{-1}(x+2)$
इनका योग करने पर,हमें $y = \tan^{-1}(x+3) - \tan^{-1}(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = \frac{1}{1+(x+3)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$x=0$ पर मान रखने पर:
$y'(0) = \frac{1}{1+3^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{10} - 1 = -\frac{9}{10}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$ है।
$\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}$ को परिभाषित होने के लिए,$x(x+1) \geq 0$ होना चाहिए।
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क को $0 \leq \sqrt{x^2+x+1} \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \leq x^2+x+1 \leq 1$।
असमिका $x^2+x+1 \leq 1$ सरल होकर $x^2+x \leq 0$ हो जाती है,या $x(x+1) \leq 0$।
$x(x+1) \geq 0$ और $x(x+1) \leq 0$ को संयोजित करने पर,हमें $x(x+1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ की जाँच करने पर: $\tan ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$। यह एक हल है।
$x = -1$ की जाँच करने पर: $\tan ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$। यह भी एक हल है।
अतः,कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(C) माना कि $\theta = \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\phi = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$,और अतः $\tan \theta = 1$ होगा।
दिया गया व्यंजक $\tan (\theta + \phi)$ है।
सूत्र $\tan (\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$ का उपयोग करने पर:
$\tan (\theta + \phi) = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - (1)(\frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$.

(C) हम सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1} (x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2})$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$\sin^{-1} \frac{4}{5} + \sin^{-1} \frac{5}{13}$ की गणना करें:
$= \sin^{-1} \left(\frac{4}{5} \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} + \frac{5}{13} \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}\right)$
$= \sin^{-1} \left(\frac{4}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{5}{13} \times \frac{3}{5}\right)$
$= \sin^{-1} \left(\frac{48}{65} + \frac{15}{65}\right) = \sin^{-1} \frac{63}{65}$.
अब,व्यंजक $\pi + \sin^{-1} \frac{63}{65} + \sin^{-1} \frac{16}{65}$ हो जाता है।
मान लीजिए $\alpha = \sin^{-1} \frac{63}{65}$,तो $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{63}{65})^2} = \sqrt{\frac{4225 - 3969}{4225}} = \sqrt{\frac{256}{4225}} = \frac{16}{65}$.
अतः,$\sin^{-1} \frac{63}{65} = \cos^{-1} \frac{16}{65}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\pi + \cos^{-1} \frac{16}{65} + \sin^{-1} \frac{16}{65}$.
चूंकि $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,हमें $\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $\theta_1 = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$. तब $\cos \theta_1 = \frac{4}{5}$.
सर्वसमिका $\tan \theta_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2 \theta_1}}{\cos \theta_1} = \frac{\sqrt{1-(16/25)}}{4/5} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$ का उपयोग करते हुए.
अतः,$\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
अब,व्यंजक $\tan \left(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)$ हो जाता है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan \left(\tan^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right)\right)$.
$= \tan \left(\tan^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right)\right) = \tan \left(\tan^{-1} \left(\frac{17/12}{6/12}\right)\right) = \tan \left(\tan^{-1} \left(\frac{17}{6}\right)\right) = \frac{17}{6}$.

(A) दिया गया समीकरण: $x^2 + 5|x| - 6 = 0$.
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम लिख सकते हैं: $|x|^2 + 5|x| - 6 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(|x| + 6)(|x| - 1) = 0$.
इससे $|x| = 1$ या $|x| = -6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|x|$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|x| = 1$,जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$।
मान लीजिए $\alpha = 1$ और $\beta = -1$।
अतः,$|\tan^{-1} \alpha - \tan^{-1} \beta| = |\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)|$.
$= |\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})| = |\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}| = |\frac{\pi}{2}| = \frac{\pi}{2}$.

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2y = x + z$ . . . $(i)$
साथ ही,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$.
सूत्र $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} (\frac{a+b}{1-ab})$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\tan^{-1} (\frac{2y}{1-y^2}) = \tan^{-1} (\frac{x+z}{1-xz})$.
इसका अर्थ है $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.
$(i)$ से $x+z = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$.
चूंकि $y < 1$,इसलिए $1-y^2 = 1-xz$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y^2 = xz$ हो जाता है।
अतः,$x, y, z$ के $A.P.$ और $G.P.$ दोनों में होने के कारण,$x = y = z$ होगा।

(D) दिया गया है कि $x, y, z$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ $(i)$।
साथ ही,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$।
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर,$\tan^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$।
चूंकि $y^2 = xz$,हर समान हैं,इसलिए $2y = x+z$ (ii)।
$(i)$ और (ii) से,$x, y, z$ $A$.$P$. और $G$.$P$. दोनों में हैं,जिसका अर्थ है $x = y = z$।

(C) माना $x = 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$.
तब $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{5}$.
सूत्र $\tan x = \frac{2 \tan (x/2)}{1 - \tan^2 (x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\tan x = \frac{2(1/5)}{1 - (1/5)^2} = \frac{2/5}{24/25} = \frac{5}{12}$.
अब,$\tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं।
सूत्र $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{5/12 + 1}{1 - 5/12} = \frac{17/12}{7/12} = \frac{17}{7}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}(1-x)-2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
माना $\sin ^{-1} x = \theta$,तो $x = \sin \theta$. जहाँ $x \in [-1, 1]$,इसलिए $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$.
दोनों तरफ $\sin$ लेने पर: $1-x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\theta) = \cos(2\theta)$.
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $1-x = 1 - 2x^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2x^2 - x = 0$,जिसका अर्थ है $x(2x-1) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = \frac{1}{2}$.
$x = 0$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. यह एक हल है।
$x = \frac{1}{2}$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1-\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) - 2(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2}$.
इसलिए,केवल $x = 0$ ही सही हल है।

(A) माना $\theta = \operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,इसलिए $\theta = \sin^{-1} \frac{3}{5} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$ है।
माना $\alpha = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,तो $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,जिससे $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$ है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{3/4 + 2/3}{1 - (3/4)(2/3)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{9/12 + 8/12}{1 - 6/12} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{17/12}{6/12} \right) = \tan^{-1} \frac{17}{6}$ है।
व्यंजक $\cot \left( \frac{2019 \pi}{2} - \theta \right)$ है।
चूंकि $\frac{2019 \pi}{2} = 1009 \pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cot \left( 1009 \pi + \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cot \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta$ होता है।
चूंकि $\theta = \tan^{-1} \frac{17}{6}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{17}{6}$ प्राप्त होता है।

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ जानते हैं: $\sec ^2(\theta) = 1 + \tan ^2(\theta)$ और $\operatorname{cosec}^2(\theta) = 1 + \cot ^2(\theta)$.
माना $\theta_1 = \tan ^{-1} 3$,तो $\tan(\theta_1) = 3$.
माना $\theta_2 = \cot ^{-1} 3$,तो $\cot(\theta_2) = 3$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec ^2(\tan ^{-1} 3) = 1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
$\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$10 + 10 = 20$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{2}$ है।
डोमेन के लिए,हमारे पास $x(x+1) \ge 0$ और $0 \le x^2+x+1 \le 1$ होना चाहिए।
शर्त $x^2+x+1 \le 1$ का अर्थ है $x^2+x \le 0$,जिसका अर्थ है $x(x+1) \le 0$।
$x(x+1) \ge 0$ और $x(x+1) \le 0$ को संयोजित करने पर,हमें $x(x+1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=0$ या $x=-1$।
यदि $x=0$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} (0) + \sin ^{-1} (1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ हो जाता है। यह एक हल है।
यदि $x=-1$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} (0) + \sin ^{-1} (1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ हो जाता है। यह भी एक हल है।
अतः,कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(C) दिया गया है कि $\cos ^{-1}(x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(z)=3 \pi$ है।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(\theta)$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
इसलिए,प्रत्येक पद $\cos ^{-1}(x)$,$\cos ^{-1}(y)$,और $\cos ^{-1}(z)$ का अधिकतम मान $\pi$ है।
उनका योग $3 \pi$ होने के लिए,प्रत्येक पद का मान $\pi$ होना चाहिए।
अतः,$\cos ^{-1}(x)=\pi$,$\cos ^{-1}(y)=\pi$,और $\cos ^{-1}(z)=\pi$ है।
इसका अर्थ है कि $x = \cos(\pi) = -1$,$y = \cos(\pi) = -1$,और $z = \cos(\pi) = -1$ है।
अब,इन मानों को व्यंजक $x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1)$
$= (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2)$
$= 2 + 2 + 2 = 6$.

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + (2r-1)x + (r^2-r+1)}\right)$ है,जहाँ $r=1, 2, \dots, n$ है।
हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{1 + (x+r)(x+r-1)} = \frac{(x+r) - (x+r-1)}{1 + (x+r)(x+r-1)}$.
अतः,$T_r = \tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)$.
$r=1$ से $n$ तक इन पदों का योग करने पर:
$y = \sum_{r=1}^{n} [\tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$y = (\tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}(x)) + (\tan^{-1}(x+2) - \tan^{-1}(x+1)) + \dots + (\tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x+n-1))$.
$y = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(x+n)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$x=0$ पर मान रखने पर:
$y'(0) = \frac{1}{1+n^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1+n^2} - 1 = \frac{1 - 1 - n^2}{1+n^2} = -\frac{n^2}{1+n^2}$.

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^{\infty} \cot ^{-1}(2r^2) = \sum_{r=1}^{\infty} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2r^2}\right)$ है।
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{2r^2} = \frac{2}{4r^2} = \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{r=1}^{\infty} [\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)]$.
योग का विस्तार करने पर:
$S = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + (\tan^{-1} 7 - \tan^{-1} 5) + \dots$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$S = \lim_{n \to \infty} [\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1)]$.
चूंकि $\lim_{n \to \infty} \tan^{-1}(2n+1) = \frac{\pi}{2}$ और $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,
अतः $S = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया है कि $\frac{(x+1)^{2}}{x^{3}+x}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}$.
बाईं ओर के अंश का विस्तार करने पर: $\frac{x^{2}+2x+1}{x(x^{2}+1)} = \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+1)} + \frac{2x}{x(x^{2}+1)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}+1}$.
इसकी तुलना $\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$ से करने पर,हमें $A=1$,$B=0$,और $C=2$ प्राप्त होता है।
अब,हम $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1}{A}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{B}\right)+\sec ^{-1} C$ का मान ज्ञात करते हैं।
ध्यान दें कि $\cot^{-1}(\frac{1}{0})$ का मान $\cot^{-1}(\infty) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $\operatorname{cosec}^{-1}(1) + \cot^{-1}(\infty) + \sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$.

(B) द्विघात समीकरण $4^{\sec^2 \alpha} x^2 + 2x + (\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (2)^2 - 4(4^{\sec^2 \alpha})(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \geq 0$
$4^{\sec^2 \alpha}(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \leq 1$
चूंकि $\sec^2 \alpha \geq 1$,इसलिए $4^{\sec^2 \alpha} \geq 4$ और $\beta^2 - \beta + \frac{1}{2} = (\beta - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4}$।
अतः,$4^{\sec^2 \alpha}(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \geq 4 \times \frac{1}{4} = 1$।
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$4^{\sec^2 \alpha} = 4$ और $\beta = \frac{1}{2}$ होना चाहिए,जिससे $\cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos^2 \alpha + \cos^{-1} \beta = 1 + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 1 + \frac{\pi}{3}$।

(B) माना $\theta = 2 \tan^{-1} x$. तब $\cot \theta = \cot(2 \tan^{-1} x) = \frac{1 - x^2}{2x}$.
दिया गया समीकरण $\sin(2 \cos^{-1}(\cot \theta)) = 0$ है।
इसका अर्थ है $2 \cos^{-1}(\cot \theta) = n\pi$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,$\cos^{-1}(\cot \theta) = \frac{n\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\cot \theta = \cos(\frac{n\pi}{2})$.
$\cos^{-1}$ के परिसर के लिए,$0 \le \cos^{-1}(\cot \theta) \le \pi$,इसलिए $n = 0, 1, 2$ हो सकता है।
स्थिति $1$: $n=0 \implies \cot \theta = 1 \implies x^2 + 2x - 1 = 0 \implies x = -1 \pm \sqrt{2}$.
स्थिति $2$: $n=1 \implies \cot \theta = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
स्थिति $3$: $n=2 \implies \cot \theta = -1 \implies x^2 - 2x - 1 = 0 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$.
इस प्रकार,कुल $6$ हल प्राप्त होते हैं।

(A) माना $x = \cos \theta$. जैसे $x \rightarrow 1$,वैसे $\theta \rightarrow 0$.
इस मान को सीमा में रखने पर:
$\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos \theta}-1}{\theta^2}$
अंश और हर को $(\sqrt{\cos \theta}+1)$ से गुणा करने पर:
$= \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos \theta - 1}{\theta^2(\sqrt{\cos \theta}+1)}$
सर्वसमिका $\cos \theta - 1 = -2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{-2 \sin^2(\frac{\theta}{2})}{\theta^2(\sqrt{\cos \theta}+1)}$
$= \lim _{\theta}$ ${\rightarrow 0} -2 \cdot \left(\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\frac{\theta}{2} \cdot 2}\right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\cos \theta}+1}$
$= -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+1} = -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

(D) $a, b, 8, 5, 10$ का माध्य $6$ दिया गया है:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6 \implies a+b+23 = 30 \implies a+b = 7$.
प्रसरण $6.80$ है:
$\frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - (6)^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+189}{5} = 42.80$.
$a^2+b^2 = 25$.
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ से,$49 = 25 + 2ab \implies ab = 12$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{a} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{b} = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{a+b}{ab-1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{7}{12-1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{7}{11}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{3 x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4 x}{5}\right)=\sin ^{-1}(x)$.
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर:
$\frac{3x}{5}\sqrt{1-\frac{16x^2}{25}} + \frac{4x}{5}\sqrt{1-\frac{9x^2}{25}} = x$.
यदि $x=0$ है,तो समीकरण सत्य है।
$x \neq 0$ के लिए,$x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3}{25}\sqrt{25-16x^2} + \frac{4}{25}\sqrt{25-9x^2} = 1$.
$3\sqrt{25-16x^2} + 4\sqrt{25-9x^2} = 25$.
माना $3\sqrt{25-16x^2} = 25 - 4\sqrt{25-9x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9(25-16x^2) = 625 + 16(25-9x^2) - 200\sqrt{25-9x^2}$.
$225 - 144x^2 = 625 + 400 - 144x^2 - 200\sqrt{25-9x^2}$.
$200\sqrt{25-9x^2} = 800$.
$\sqrt{25-9x^2} = 4$.
$25-9x^2 = 16 \Rightarrow 9x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x=1$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(3/5) + \sin^{-1}(4/5) = \sin^{-1}(1) = \pi/2$. यह सत्य है।
$x=-1$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(-3/5) + \sin^{-1}(-4/5) = -(\sin^{-1}(3/5) + \sin^{-1}(4/5)) = -\pi/2 = \sin^{-1}(-1)$. यह सत्य है।
$x$ के मान $0, 1, -1$ हैं। अतः योग $0 + 1 + (-1) = 0$ है।

(B) माना $f(x) = 2(\cos ^{-1} x)^2-\pi \cos ^{-1} x+\frac{\pi^2}{4}$ है।
माना $y = \cos ^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $y \in [0, \pi]$ है।
अतः $f(y) = 2y^2 - \pi y + \frac{\pi^2}{4}$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(y) = 2(y^2 - \frac{\pi}{2}y) + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8}$ है।
$y \in [0, \pi]$ के लिए,न्यूनतम मान $y = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है,जो $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8}$ है।
अधिकतम मान सीमा $y = \pi$ पर प्राप्त होता है (क्योंकि $|\pi - \frac{\pi}{4}| > |0 - \frac{\pi}{4}|$) है।
$f(\pi) = 2(\pi - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{3\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^2}{8} = \frac{9\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{4}$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $\frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए,$\operatorname{Cos}^{-1}(-x) + \operatorname{Sin}^{-1}(-x) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिए गए फलन $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(-x) + \operatorname{Sin}^{-1}(-x) + \operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ में इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ प्राप्त होता है।
$\operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ का प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है।
स्थिति $1$: यदि $x \in [1, \infty)$,तो $\operatorname{Cos}^{-1}(-x)$ और $\operatorname{Sin}^{-1}(-x)$ के प्रांत (जो $[-1, 1]$ है) के अनुसार केवल $x = 1$ संभव है।
$f(1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.
स्थिति $2$: यदि $x \in (-\infty, -1]$,तो $\operatorname{Cos}^{-1}(-x)$ और $\operatorname{Sin}^{-1}(-x)$ के प्रांत के अनुसार केवल $x = -1$ संभव है।
$f(-1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(-1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.
अतः,फलन का परिसर $\{0, \pi\}$ है।

(D) माना $u = x^2 + 2x + k$ है। समीकरण $2 \operatorname{Cot}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\operatorname{Cot}^{-1}(u) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ का उपयोग करने पर:
$2(\frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$
$\pi - 2 \operatorname{Tan}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$
$\operatorname{Tan}^{-1}(u) = 0$,जिसका अर्थ है $u = 0$ है।
अतः,$x^2 + 2x + k = 0$ है।
इस द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक हल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k$ है।
$D > 0$ रखने पर,$4 - 4k > 0$,जो सरल होकर $4 > 4k$ या $k < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$k \in (-\infty, 1)$ है।

(A) माना $\theta = \tan^{-1} \left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)$ है। तब $\tan \theta = \frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$ है।
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\sec^2 \theta = 1 + \frac{a^2}{b^2-a^2} = \frac{b^2-a^2+a^2}{b^2-a^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sec \theta = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$ है।
अब,माना $\phi = \cos^{-1} x$ है। तब $\cos \phi = x$ है,जिसका अर्थ है कि $\sin \phi = \sqrt{1-x^2}$ है।
इसलिए,$\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
दिया गया समीकरण $\cot \phi = \sec \theta$ है,इसलिए $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x^2}{1-x^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$ है।
वज्र-गुणन करने पर: $x^2(b^2-a^2) = b^2(1-x^2) = b^2 - b^2x^2$ है।
$x^2(b^2-a^2+b^2) = b^2$ है।
$x^2(2b^2-a^2) = b^2$ है।
$x^2 = \frac{b^2}{2b^2-a^2}$ है।
वर्गमूल लेने पर,$x = \frac{b}{\sqrt{2b^2-a^2}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है,$x=\sin \left(2 \tan ^{-1} 2\right)$ और $y=\sin \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)$.
$x$ के लिए,मान लीजिए $\tan ^{-1} 2 = \alpha$,अतः $\tan \alpha = 2$.
तब $x = \sin(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2(2)}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$y$ के लिए,मान लीजिए $\tan ^{-1} \frac{4}{3} = \beta$,अतः $\tan \beta = \frac{4}{3}$.
$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (16/9)}} = \frac{1}{\sqrt{25/9}} = \frac{3}{5}$ का उपयोग करते हुए.
तब $y = \sin(\beta/2) = \sqrt{\frac{1 - \cos \beta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 3/5}{2}} = \sqrt{\frac{2/5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$.
चूंकि $0.8 > 0.447$,इसलिए $x > y$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 \tan^{-1} x)] = 0$ है।
माना $\theta = 2 \tan^{-1} x$. तब $\cot \theta = \cot (2 \tan^{-1} x) = \frac{1 - \tan^2(\tan^{-1} x)}{2 \tan(\tan^{-1} x)} = \frac{1 - x^2}{2x}$.
समीकरण $\sin [2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x})] = 0$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = n\pi$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,$\cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = \frac{n\pi}{2}$.
दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर,$\frac{1 - x^2}{2x} = \cos(\frac{n\pi}{2})$.
परिभाषित होने के लिए,$\cos^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ में होना चाहिए,इसलिए $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$.
$\cos(\frac{n\pi}{2})$ के लिए संभावित मान $0, 1, -1$ हैं।
स्थिति $1$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
स्थिति $2$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$.
स्थिति $3$: $\frac{1 - x^2}{2x} = -1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$.
ये सभी $6$ मान शर्त $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$x$ के $6$ भिन्न मान प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $\cos ^{-1} x = \theta$,तो $x = \cos \theta$,जहाँ $\theta \in [0, \pi]$.
समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\cos ^{-1}(1-\cos \theta) - 2\theta = \frac{\pi}{2}$.
$\cos ^{-1}(1-\cos \theta) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर:
$1-\cos \theta = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\theta) = -\sin(2\theta)$.
$1-\cos \theta = -2\sin \theta \cos \theta$.
$1 - (1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})) = -2(2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}))\cos \theta$.
$2\sin^2(\frac{\theta}{2}) = -4\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})\cos \theta$.
स्थिति $1$: $\sin(\frac{\theta}{2}) = 0 \implies \theta = 0 \implies x = \cos 0 = 1$.
$x=1$ की जाँच करने पर: $\cos ^{-1}(0) - 2\cos ^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. यह एक हल है।
स्थिति $2$: $\sin(\frac{\theta}{2}) = -2\cos(\frac{\theta}{2})\cos \theta$.
$\tan(\frac{\theta}{2}) = -2\cos \theta$. चूँकि $\theta \in [0, \pi]$,$\tan(\frac{\theta}{2}) \ge 0$ और $-2\cos \theta$ ऋणात्मक हो सकता है। $\theta \in [0, \pi/2]$ के लिए,$\cos \theta \ge 0$,इसलिए $-2\cos \theta \le 0$. केवल $\theta=0$ पर ही प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है (जो पहले ही मिल चुका है)।
अतः,केवल एक ही हल है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\cos ^4 \frac{\pi}{8}+\cos ^4 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{5 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{7 \pi}{8} = k$.
$\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$\cos^4(\frac{\pi}{2} + \theta) = \sin^4 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos^4 \frac{5 \pi}{8} = \cos^4(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = \sin^4 \frac{\pi}{8}$ और $\cos^4 \frac{7 \pi}{8} = \cos^4(\frac{\pi}{2} + \frac{3 \pi}{8}) = \sin^4 \frac{3 \pi}{8}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$k = (\cos^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{\pi}{8}) + (\cos^4 \frac{3 \pi}{8} + \sin^4 \frac{3 \pi}{8})$.
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए,$k = [(\cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8})^2 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8}] + [(\cos^2 \frac{3 \pi}{8} + \sin^2 \frac{3 \pi}{8})^2 - 2 \sin^2 \frac{3 \pi}{8} \cos^2 \frac{3 \pi}{8}]$.
चूंकि $\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{1}{4} \sin^2(2 \theta)$,इसलिए $k = [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4}] + [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{3 \pi}{4}]$.
$k = 2 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अब,$\sin^{-1}(\sqrt{\frac{k}{2}}) + \cos^{-1}(\frac{k}{3}) = \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3/2}{2}}) + \cos^{-1}(\frac{3/2}{3}) = \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2})$.
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(B) दिया गया है,$\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{8} + 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$.
सूत्र $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \tan^{-1} \frac{1}{8} = \tan^{-1} \frac{16}{63}$.
$2 \tan^{-1} \frac{1}{5} = \tan^{-1} \frac{5}{12}$.
अब,$\theta = \tan^{-1} \frac{16}{63} + \tan^{-1} \frac{5}{12} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$.
$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \frac{16}{63} + \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \frac{3}{4}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{1}{7} = \tan^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.
इस प्रकार,$\tan \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$.
$\sqrt{m} + \sqrt{n} = -1 + \sqrt{2}$ और $m < n$ होने के कारण,$m = 1$ और $n = 2$ प्राप्त होता है।
अतः $(m^n + n^m)^{m+n} = (1^2 + 2^1)^{1+2} = 3^3 = 27$.

(D) हम सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $2 \tan^{-1} (\theta) = \sin^{-1} (\frac{2 \theta}{1 + \theta^2}) = \cos^{-1} (\frac{1 - \theta^2}{1 + \theta^2}) = \sec^{-1} (\frac{1 + \theta^2}{1 - \theta^2})$.
$x = \sin (2 \tan^{-1} 2)$ के लिए:
$x = \sin (\sin^{-1} (\frac{2 \times 2}{1 + 2^2})) = \frac{4}{5} = 0.8$.
$y = \cos (2 \tan^{-1} 3)$ के लिए:
$y = \cos (\cos^{-1} (\frac{1 - 3^2}{1 + 3^2})) = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -0.8$.
$z = \sec (2 \tan^{-1} 4)$ के लिए:
$z = \sec (\sec^{-1} (\frac{1 + 4^2}{1 - 4^2})) = \frac{1 + 16}{1 - 16} = \frac{17}{-15} \approx -1.133$.
मानों की तुलना करने पर: $-1.133 < -0.8 < 0.8$,जिसका अर्थ है कि $z < y < x$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\sum_{k=1}^n \tan^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} \right) = \tan^{-1} \theta$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$.
हम योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{1+k(k+1)} = \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}$.
अतः,$\tan^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} \right) = \tan^{-1} (k+1) - \tan^{-1} k$.
अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला बन जाता है:
$\sum_{k=1}^n (\tan^{-1} (k+1) - \tan^{-1} k) = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} (n+1) - \tan^{-1} n)$.
मध्यवर्ती पदों को काटने के बाद,हमें प्राप्त होता है:
$\tan^{-1} (n+1) - \tan^{-1} 1 = \tan^{-1} \theta$.
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} \right) = \tan^{-1} \theta$.
$\tan^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right) = \tan^{-1} \theta$.
अतः,$\theta = \frac{n}{n+2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\operatorname{Sin}^{-1} x - \operatorname{Cos}^{-1} x = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Sin}^{-1} x$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{Sin}^{-1} x - (\frac{\pi}{2} - \operatorname{Sin}^{-1} x) = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
$2\operatorname{Sin}^{-1} x - \frac{\pi}{2} = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर: $\sin(2\operatorname{Sin}^{-1} x - \frac{\pi}{2}) = 3x - 2$.
$-\cos(2\operatorname{Sin}^{-1} x) = 3x - 2$.
$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \operatorname{Sin}^{-1} x$,हमें $\cos(2\operatorname{Sin}^{-1} x) = 1 - 2x^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$-(1 - 2x^2) = 3x - 2$.
$2x^2 - 1 = 3x - 2 \implies 2x^2 - 3x + 1 = 0$.
$(2x - 1)(x - 1) = 0$.
इस प्रकार,$x = 1$ या $x = \frac{1}{2}$.
$x = 1$ की जाँच करने पर: $\operatorname{Sin}^{-1}(1) - \operatorname{Cos}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. दायाँ पक्ष: $\operatorname{Sin}^{-1}(3(1) - 2) = \operatorname{Sin}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$. अतः $x = 1$ एक हल है।
$x = \frac{1}{2}$ की जाँच करने पर: $\operatorname{Sin}^{-1}(\frac{1}{2}) - \operatorname{Cos}^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$. दायाँ पक्ष: $\operatorname{Sin}^{-1}(3(\frac{1}{2}) - 2) = \operatorname{Sin}^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. अतः $x = \frac{1}{2}$ एक हल है।
दिया गया है कि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = 1$ और $\beta = \frac{1}{2}$.
तब $3\alpha + 4\beta = 3(1) + 4(\frac{1}{2}) = 3 + 2 = 5$.

(C) हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$।
अतः,दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{r^2+\frac{3}{4}}\right)$ है।
हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{r^2+1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{1+(r^2-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1+(r-\frac{1}{2})(r+\frac{1}{2})}$।
सर्वसमिका $\tan ^{-1}(a) - \tan ^{-1}(b) = \tan ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(r+\frac{1}{2})-(r-\frac{1}{2})}{1+(r+\frac{1}{2})(r-\frac{1}{2})}\right) = \tan ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}\right)$।
अब,योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी बन जाता है:
$S_n = \sum_{r=1}^n \left[\tan ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}\right)\right]$
$S_n = \left(\tan ^{-1} \frac{3}{2} - \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right) + \left(\tan ^{-1} \frac{5}{2} - \tan ^{-1} \frac{3}{2}\right) + \dots + \left(\tan ^{-1} \left(n+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1} \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,और शेष रहता है $S_n = \tan ^{-1}\left(n+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।
जब $n \rightarrow \infty$ हो तब सीमा लेने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \tan ^{-1}(\infty) - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \tan ^{-1}(2)$।

(A) दिया गया है $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right)$.
हम जानते हैं कि $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| + |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|}{|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| - |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|}\right)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{-3\pi}{2} < x < \frac{-\pi}{2}$,इसलिए $\frac{-3\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{-\pi}{4}$।
इस अंतराल में,$\cos \frac{x}{2} < 0$ और $\sin \frac{x}{2} < 0$,और $|\sin \frac{x}{2}| > |\cos \frac{x}{2}|$ है।
व्यंजक को सरल करने पर $y = \operatorname{Sin}^{-1}(\cot(\frac{x}{2}))$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ होगा।

(D) दिया गया समीकरण: $\operatorname{Tan}^{-1} 1 + \frac{1}{2} \operatorname{Cos}^{-1} x^2 - \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right) = 0$.
माना $x^2 = \cos 2\theta$,जहाँ $2\theta \in [0, \pi]$. तब $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{2}\cos\theta$ और $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{2}\sin\theta$.
तीसरा पद $\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4}+\theta)\right) = \frac{\pi}{4} + \theta$ हो जाता है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(2\theta) - (\frac{\pi}{4} + \theta) = 0$.
यह $0 = 0$ में सरल हो जाता है,जो एक सर्वसमिका है।
हालाँकि,फलन के परिभाषित होने के लिए $1-x^2 \ge 0$ अर्थात $x^2 \le 1$ और हर शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $x^2 \neq 1$.
साथ ही $x^2 \ge 0$. अतः,$x^2 \in [0, 1)$.
चूँकि $x^2$ के अनंत मान इस अंतराल में संभव हैं,इसलिए हलों की संख्या अनंत है।

(D) माना $x = \cos \theta$. तब $f(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{2\cos^2 \theta - 1}\right) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{\cos 2\theta}\right) = \operatorname{Sec}^{-1}(\sec 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$.
अतः,$\frac{df}{dx} = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.
अब,माना $x = \tan \phi$. तब $g(x) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \phi}-1}{\tan \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sec \phi - 1}{\tan \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1-\cos \phi}{\sin \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\tan \frac{\phi}{2}\right) = \frac{\phi}{2} = \frac{1}{2}\tan^{-1}x$.
अतः,$\frac{dg}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$.
$g(x)$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलज $\frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{1/(2(1+x^2))} = -\frac{4(1+x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \cos(\tan^{-1}(\sin(\tan^{-1} x)))$।
$\tan^{-1} x = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ का उपयोग करने पर,$\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः ${f(x) = \cos(\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}))$ होगा।
$\tan^{-1} \theta = \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \cos(\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{x^2}{1+x^2}}}) = \sqrt{\frac{1+x^2}{1+2x^2}}$ प्राप्त होता है।
अब,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \sqrt{\frac{1+(f(x))^2}{1+2(f(x))^2}}$।
$f(x)^2 = \frac{1+x^2}{1+2x^2}$ रखने पर,$(f \circ f)(x) = \sqrt{\frac{1+\frac{1+x^2}{1+2x^2}}{1+2(\frac{1+x^2}{1+2x^2})}} = \sqrt{\frac{2+3x^2}{3+4x^2}}$।
जब $x \rightarrow \infty$,तब $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2+3x^2}{3+4x^2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$।

(A) समीकरण $y = \sin^{2} (\cot^{-1} \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})$ दिया गया है।
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1 + x}{1 - x} = \frac{1 + \cos 2\theta}{1 - \cos 2\theta} = \frac{2\cos^{2}\theta}{2\sin^{2}\theta} = \cot^{2}\theta$ होता है।
अतः,$y = \sin^{2} (\cot^{-1} \sqrt{\cot^{2}\theta}) = \sin^{2} (\cot^{-1} (\cot\theta)) = \sin^{2}\theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1 - x}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{2} - \frac{x}{2}) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है $y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{2 a x}{a^2+x^2}\right)$।
माना $x=a \tan \theta$,तो $\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$।
व्यंजक में $x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2-a^2 \tan ^2 \theta}{a^2+a^2 \tan ^2 \theta}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{2 a^2 \tan \theta}{a^2+a^2 \tan ^2 \theta}\right)$
$y=\cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}$ और $\sin 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$y=\cos ^{-1}(\cos 2 \theta) + \sin ^{-1}(\sin 2 \theta)$
$y=2 \theta + 2 \theta = 4 \theta$।
अब $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ वापस रखने पर:
$y=4 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$।
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a}$
$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot \frac{a^2}{a^2+x^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4 a}{a^2+x^2}$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^2 - 16x + 5 = 0$ है।
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 3, b = -16, c = 5$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\left(\frac{-16}{3}\right) = \frac{16}{3}$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$ है।
चूंकि $\alpha \beta = \frac{5}{3} > 1$,हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\tan^{-1} \alpha + \tan^{-1} \beta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right)$।
इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right)\right] - \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right) = \pi$।

(C) दिया गया है $x+iy = \frac{1+7i}{(2-i)^2}$.
हर का विस्तार करने पर: $(2-i)^2 = 4 + i^2 - 4i = 4 - 1 - 4i = 3 - 4i$.
अतः,$x+iy = \frac{1+7i}{3-4i}$.
अंश और हर को संयुग्मी $(3+4i)$ से गुणा करने पर:
$x+iy = \frac{(1+7i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{3 + 4i + 21i + 28i^2}{9 - 16i^2} = \frac{3 + 25i - 28}{9 + 16} = \frac{-25 + 25i}{25} = -1 + i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x = -1$ और $y = 1$ प्राप्त होता है।
अब,$\operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \frac{y}{x} - \frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$= \operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \left(\frac{1}{-1}\right) - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{cosec}\left(\tan^{-1}(-1) - \frac{\pi}{4}\right)$.
चूंकि $\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए:
$= \operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

(C) दिया गया है,$\sinh (2 \tanh ^{-1} x) = \frac{11}{60}$।
सर्वसमिका $\sinh (2 \theta) = \frac{2 \tanh \theta}{1 - \tanh ^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \tanh ^{-1} x$,हमें $\tanh \theta = x$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{2x}{1 - x^2} = \frac{11}{60}$
$120x = 11(1 - x^2)$
$11x^2 + 120x - 11 = 0$
$11x^2 + 121x - x - 11 = 0$
$11x(x + 11) - 1(x + 11) = 0$
$(11x - 1)(x + 11) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{11}$ या $x = -11$।
चूँकि $\tanh ^{-1} x$ का प्रांत $(-1, 1)$ है,इसलिए $x = -11$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$x = \frac{1}{11}$।

(A) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right)$ और $\sin ^{-1} \left(\frac{5}{13}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{5}{12}\right)$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{5}{12}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
पहले दो पदों के लिए सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} \left[\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \left(\frac{4}{3} \times \frac{5}{12}\right)}\right] + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
$= \tan ^{-1} \left[\frac{\frac{16+5}{12}}{\frac{36-20}{36}}\right] + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{21}{12} \times \frac{36}{16}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
चूंकि $x > 0$ के लिए $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए:
$= \frac{\pi}{2}$.

(C) हमारे पास $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+\sin ^{-1} \frac{1}{3}$ है।
चूंकि $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$,इसलिए $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{2}$। अतः,$A-V$।
$(B)$ मान लीजिए $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{(-1)^n}{2}\right), n \in Z$ है। तो $\sin \theta=\frac{(-1)^n}{2}=\sin\left((-1)^n \frac{\pi}{6}\right)$। व्यापक हल $\theta=k \pi+(-1)^k\left((-1)^n \frac{\pi}{6}\right)$ है,जो $k \pi \pm \frac{\pi}{6}, k \in Z$ में सरल हो जाता है। यह $I$ से मेल खाता है।
$(C)$ मान लीजिए $\alpha=\tan ^{-1}\left(\sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}\right) = \tan ^{-1}(\sqrt{2}+1)$ है। चूंकि $\tan \frac{3\pi}{8} = \sqrt{2}+1$,इसलिए $\alpha = \frac{3\pi}{8}$। अतः,$C-IV$।
$(D)$ मान लीजिए $t=\sin ^{-1}|\sin x|$ है। तो $t=\sqrt{t} \Rightarrow t^2-t=0 \Rightarrow t(t-1)=0$। अतः $t=0$ या $t=1$। $\sin ^{-1}|\sin x|=0 \Rightarrow |\sin x|=0 \Rightarrow x=k\pi$। $\sin ^{-1}|\sin x|=1 \Rightarrow |\sin x|=\sin 1 \Rightarrow x=k\pi \pm 1$। इन दोनों को मिलाने पर,व्यापक हल $x=k\pi \pm 1, k \in Z$ प्राप्त होता है। अतः,$D-II$।