Basic Concepts of ITF Questions in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $\cot ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $(0, \pi)$ है।
चूंकि तर्क $\frac{-1}{\sqrt{3}}$ ऋणात्मक है,हम गुणधर्म $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$\cot ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।
हम जानते हैं कि $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है और $\cos^{-1} x$ के लिए $[0, \pi]$ है।
सबसे पहले,$\tan^{-1}(\tan \frac{5\pi}{6})$ का मान ज्ञात करें:
$\tan^{-1}(\tan(\pi - \frac{\pi}{6})) = \tan^{-1}(-\tan \frac{\pi}{6}) = \tan^{-1}(\tan(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi}{6}$.
इसके बाद,$\cos^{-1}(\cos \frac{13\pi}{6})$ का मान ज्ञात करें:
$\cos^{-1}(\cos(2\pi + \frac{\pi}{6})) = \cos^{-1}(\cos \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$.
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 0$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
सबसे पहले,$\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)$ का मान ज्ञात करें:
चूंकि $\sin(\frac{-\pi}{6}) = \frac{-1}{2}$,इसलिए $\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \frac{-\pi}{6}$ है।
इसके बाद,$\sin ^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान ज्ञात करें:
चूंकि $\sin(\frac{-\pi}{3}) = \frac{-\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin ^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{-\pi}{3}$ है।
इन मानों को जोड़ने पर:
$\frac{-\pi}{6} + (\frac{-\pi}{3}) = \frac{-\pi - 2\pi}{6} = \frac{-3\pi}{6} = \frac{-\pi}{2}$।

(B) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ (या $30^{\circ}$)।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ (या $30^{\circ}$)।
हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ (या $120^{\circ}$)।
इन मानों को जोड़ने पर:
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$.

(D) माना कि $y = \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ है।
तब,$\sin y = -\frac{1}{2}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ होता है।
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ होगा।
अतः,मुख्य मान $-\frac{\pi}{6}$ है।

(C) माना कि $\alpha = \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ है। चूँकि $\sin ^{-1} x$ का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है,इसलिए $\sin \alpha = -\frac{1}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$,जिससे $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
माना कि $\beta = \cos ^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ है। चूँकि $\cos ^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $\cos \beta = -\frac{\sqrt{3}}{2} = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$,जिससे $\beta = \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को जोड़ने पर,$\alpha + \beta = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $C$ का मान $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हमें व्यंजक $\cos ^{-1}\left(\cot \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\cos ^{-1}\left(\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)$ दिया गया है।
सबसे पहले,आंतरिक त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करें:
$\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
$\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right) = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\cos ^{-1}(0) + \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ और $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
इन मानों को जोड़ने पर:
$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

(B) दिया गया समीकरण: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2 \csc x)$.
सूत्र $2 \tan^{-1} \theta = \tan^{-1} \left( \frac{2 \theta}{1 - \theta^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x} \right) = \tan^{-1} (2 \csc x)$.
चूंकि $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$.
मान लीजिए $\sin x \neq 0$,तो हम सरल कर सकते हैं:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1 \Rightarrow \cot x = 1$.
अतः,$x = \frac{\pi}{4}$.
अब,$\sin x + \cos x$ का मान ज्ञात करें:
$\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2 \times \left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{3}$.
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
मान लीजिए $x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan ^{-1} x$ होगा।
समीकरण में $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right)=\frac{1}{2} \theta$
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right)=\frac{1}{2} \theta$
$\frac{\pi}{4}-\theta=\frac{1}{2} \theta$
$\frac{\pi}{4}=\frac{3 \theta}{2}$
$\theta=\frac{\pi}{6}$
चूंकि $x = \tan \theta$,इसलिए $x = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(D) दिया गया समीकरण: $4 \sin ^{-1} x + 6 \cos ^{-1} x = 3 \pi$
हम जानते हैं कि: $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
समीकरण को इस प्रकार लिखें: $4(\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x) + 2 \cos ^{-1} x = 3 \pi$
सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $4(\frac{\pi}{2}) + 2 \cos ^{-1} x = 3 \pi$
सरल करने पर: $2 \pi + 2 \cos ^{-1} x = 3 \pi$
दोनों पक्षों से $2 \pi$ घटाने पर: $2 \cos ^{-1} x = \pi$
$2$ से भाग देने पर: $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर: $x = \cos(\frac{\pi}{2})$
अतः: $x = 0$

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left[ \sqrt{\frac{1 + \cos(x/2)}{1 - \cos(x/2)}} \right]$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ और $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2(x/4)}{2 \sin^2(x/4)}}$
$y = \tan^{-1} \sqrt{\cot^2(x/4)}$
$y = \tan^{-1} (\cot(x/4))$
चूँकि $\cot \theta = \tan(\pi/2 - \theta)$,इसलिए:
$y = \tan^{-1} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{4} \right) \right]$
$y = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{4}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{4} \right) = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है।
दिया गया व्यंजक $\cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right)\right)$ है।
चूंकि $\frac{7 \pi}{6} > \pi$,हम सीधे $\cos ^{-1}(\cos \theta) = \theta$ नहीं लिख सकते।
हम गुणधर्म $\cos(2 \pi - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करते हैं।
$\cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right) = \cos \left(2 \pi - \frac{5 \pi}{6}\right) = \cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
अब,$\cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right) = \frac{5 \pi}{6}$,जो अंतराल $[0, \pi]$ में स्थित है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $[0, \pi]$ है।
दिया गया व्यंजक $\cos ^{-1}\left(\cos \frac{8 \pi}{3}\right)$ है।
चूंकि $\frac{8 \pi}{3} = 2 \pi + \frac{2 \pi}{3}$,इसलिए $\cos \frac{8 \pi}{3} = \cos \left(2 \pi + \frac{2 \pi}{3}\right) = \cos \frac{2 \pi}{3}$ होता है।
चूंकि $\frac{2 \pi}{3} \in [0, \pi]$,इसलिए $\cos ^{-1}\left(\cos \frac{2 \pi}{3}\right) = \frac{2 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही मान $\frac{2 \pi}{3}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin \left(\cot ^{-1}(x+1)\right)=\cos \left(\tan ^{-1} x\right)$
मान लीजिए $\theta_1 = \cot ^{-1}(x+1)$। तब $\cot \theta_1 = x+1$। सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2+2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$।
मान लीजिए $\theta_2 = \tan ^{-1} x$। तब $\tan \theta_2 = x$। सर्वसमिका $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+2x+2 = 1+x^2$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $2x+2 = 1$।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = -1$,जिससे $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
सर्वसमिका $\tan ^{-1} a - \tan ^{-1} b = \tan ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(x) = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
इसे सरल करने पर $\frac{\pi}{4} = \tan ^{-1} x + \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \tan ^{-1} x$
$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$
अतः,$x = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(B) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
चूंकि $\frac{7 \pi}{6}$ इस अंतराल में नहीं है,इसलिए हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan (\pi + \frac{\pi}{6})\right)$
सर्वसमिका $\tan (\pi + \theta) = \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$= \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right)$
चूंकि $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,इसलिए व्यंजक का मान है:
$= \frac{\pi}{6}$

(C) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की मुख्य शाखाओं के मान जानते हैं:
$\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1}(x)$
$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1}(-\sqrt{3}) - \sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\tan ^{-1}(\sqrt{3}) - \frac{\pi}{4} + \left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$
$= -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi - \frac{\pi}{3}$
$= \pi - \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)$
$= \pi - \left(\frac{4\pi + 4\pi + 3\pi}{12}\right)$
$= \pi - \frac{11\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} 6x = \frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan^{-1}(u) + \tan^{-1}(v) = \tan^{-1}\left(\frac{u+v}{1-uv}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{x + 6x}{1 - (x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 6x^2}\right) = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{7x}{1 - 6x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$7x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 7x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(6)(-1)}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 24}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{12}$
चूंकि शर्त $x \geq 0$ है,इसलिए हम ऋणात्मक मान को अस्वीकार करते हैं:
$x = \frac{-7 + \sqrt{73}}{12}$
अतः,$x$ का केवल एक ही मान्य मान होने के कारण,समुच्चय $A$ एक एकल समुच्चय है।

(D) दिया गया समीकरण: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2 \operatorname{cosec} x)$ है।
सूत्र $2 \tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sin x}\right)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$।
यदि $\sin x \neq 0$ है,तो हम सरल कर सकते हैं:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1$,जिसका अर्थ है $\cot x = 1$।
अतः,$x = \frac{\pi}{4}$।

(B) माना $\cos ^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) = x$.
तब,$\cos x = -\frac{3}{5}$.
चूंकि $\cos ^{-1}$ का परिसर $[0, \pi]$ है और $\cos x$ ऋणात्मक है,इसलिए $x$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
अब,हमें $\sin(2x)$ का मान ज्ञात करना है।
द्विगुणित कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
मान रखने पर: $\sin(2x) = 2 \times \left(\frac{4}{5}\right) \times \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.

(C) हम जानते हैं कि $\tan \left(\frac{7 \pi}{4}\right) = \tan \left(2 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.
अतः,$\cos ^{-1}\left(\tan \left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right) = \cos ^{-1}(-1)$.
चूंकि $\cos (\pi) = -1$,इसलिए $\cos ^{-1}(-1) = \pi$.

(B) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान जानते हैं:
$\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
$\sec ^{-1}(-2) = \pi - \sec ^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2}) = -\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}}{-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{-3\pi + 8\pi}{12}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{5\pi}{12}} = -\frac{\pi}{3} \times \frac{12}{5\pi} = -\frac{4}{5}$

(B) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
दिया गया व्यंजक $\sin ^{-1}(\sin \frac{23 \pi}{6})$ है।
सबसे पहले,कोण $\frac{23 \pi}{6}$ को सरल करें:
$\frac{23 \pi}{6} = \frac{24 \pi - \pi}{6} = 4 \pi - \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\sin(4 \pi - \theta) = -\sin \theta$,इसलिए:
$\sin(\frac{23 \pi}{6}) = \sin(4 \pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
अब,$\sin ^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi}{6}$,जो अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की मुख्य मान शाखाओं को जानते हैं:
$1$. $\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1}(x)$,इसलिए $\tan ^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
$2$. $\sec ^{-1}(-x) = \pi - \sec ^{-1}(x)$,इसलिए $\sec ^{-1}(-2) = \pi - \sec ^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$3$. $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$.
इन मानों को जोड़ने पर:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3}$.

(C) हम जानते हैं कि $\sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$ है।
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$।
पदों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}) + 2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 3 + 2}{2\sqrt{3}} = \frac{5+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समीकरण $2 \cos \left(2 \tan ^{-1} x\right)=1$ है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\cos \left(2 \tan ^{-1} x\right) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ तब होता है जब $\theta = \frac{\pi}{3}$ हो।
अतः,$2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{3}$।
$2$ से भाग देने पर,$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$x = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)$।
चूंकि $\tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $[0, \pi]$ है और $\tan ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
सबसे पहले,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)$ पर विचार करें।
चूंकि $\frac{13 \pi}{6} = 2 \pi + \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\cos \frac{13 \pi}{6} = \cos \frac{\pi}{6}$ होता है।
अतः,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right) = \cos ^{-1}\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$।
अब,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)$ पर विचार करें।
चूंकि $\frac{7 \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\tan \frac{7 \pi}{6} = \tan \frac{\pi}{6}$ होता है।
अतः,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$।
इन परिणामों को जोड़ने पर,हमें $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2 \pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $x = \sec \theta$ है। चूँकि $x > 1$,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है।
तब,$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$ होगा।
$\theta = \sec ^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें सरलतम रूप $\sec ^{-1} x$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\tan^{-1} x = \theta$ है।
तब,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$ होगा।
एक समकोण त्रिभुज में,सम्मुख भुजा $x$ है और आसन्न भुजा $1$ है।
कर्ण $\sqrt{(\text{सम्मुख भुजा})^2 + (\text{आसन्न भुजा})^2} = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ होगा।
अब,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।
अतः,$\sin (\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ है।
सही विकल्प $A$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है और $\sec^{-1} x$ के लिए $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ है।
सबसे पहले,$\tan^{-1}(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात करें:
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,इसलिए $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ होता है।
अतः,$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$।
इसके बाद,$\sec^{-1}(-2)$ का मान ज्ञात करें:
चूंकि $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$,इसलिए $\sec(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{2\pi}{3}) = -2$ होता है।
अतः,$\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3}$।
अंत में,व्यंजक की गणना करें:
$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2) = -\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{3} = -\pi$।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना कि $\theta = \tan^{-1} x$.
तब,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
एक समकोण त्रिभुज में,सम्मुख भुजा $x$ है और आसन्न भुजा $1$ है।
कर्ण $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ होगा।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
अतः,$\cos(\tan^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
दिया गया व्यंजक $\tan ^{-1}(\tan \frac{31 \pi}{6})$ है।
सबसे पहले,कोण $\frac{31 \pi}{6}$ को सरल करें:
$\frac{31 \pi}{6} = \frac{30 \pi + \pi}{6} = 5 \pi + \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\tan(n \pi + \theta) = \tan \theta$,इसलिए $\tan(5 \pi + \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{\pi}{6}$ होता है।
अतः,$\tan ^{-1}(\tan \frac{31 \pi}{6}) = \tan ^{-1}(\tan \frac{\pi}{6})$.
चूंकि $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,इसलिए इसका मान $\frac{\pi}{6}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$ होता है।
इसलिए,$\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$।
हम यह भी जानते हैं कि $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
इन मानों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 0$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$। इसलिए,$\cos(-680^{\circ}) = \cos(680^{\circ})$।
हम $680^{\circ}$ को $720^{\circ} - 40^{\circ}$ के रूप में लिख सकते हैं,जो $4\pi - 40^{\circ}$ है।
चूंकि $\cos(2n\pi - \theta) = \cos(\theta)$,इसलिए $\cos(680^{\circ}) = \cos(40^{\circ})$।
$\cos^{-1}(x)$ की मुख्य मान शाखा $[0, \pi]$ है।
अतः,$\cos^{-1}[\cos(40^{\circ})] = 40^{\circ}$।
$40^{\circ}$ को रेडियन में बदलने पर: $40 \times \frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{18} = \frac{2\pi}{9}$।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $y = \cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)$ है।
तब $\cot y = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cot^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $(0, \pi)$ है।
चूंकि $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\cot\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ होगा।
अतः,$\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि $\frac{2\pi}{3} \in (0, \pi)$,इसलिए मुख्य मान $\frac{2\pi}{3}$ है।

(A) माना कि $\theta = \tan^{-1} x$.
तब,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में,$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$.
यहाँ,लंब $x$ है और आधार $1$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,कर्ण $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ है।
अब,$\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
अतः,$\cos (\tan^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है.

(C) हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है।
दिया गया व्यंजक $\sin^{-1}\left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right)$ है।
चूंकि $\frac{7 \pi}{6}$ अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में स्थित नहीं है,इसलिए हम व्यंजक को सरल करते हैं।
$\sin \frac{7 \pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
अब,$\sin^{-1}\left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$.
चूंकि $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,इसलिए मान $-\frac{\pi}{6}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\sin^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin^{-1} \left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए व्यंजक $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)$ बन जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) फलन $f(x) = \tan^{-1} x$ सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए परिभाषित है।
इसका परिसर विवृत अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
ग्राफ मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है क्योंकि $\tan^{-1}(0) = 0$ होता है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \frac{\pi}{2}$ और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\frac{\pi}{2}$ होता है।
ग्राफ निरंतर वर्धमान है और $y = \frac{\pi}{2}$ तथा $y = -\frac{\pi}{2}$ पर क्षैतिज अनंतस्पर्शी (asymptotes) रखता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ में दिया गया ग्राफ $f(x) = \tan^{-1} x$ फलन को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(x)$ की मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
दिया गया व्यंजक $\sin^{-1}\left(\sin \frac{5\pi}{3}\right)$ है।
सबसे पहले,साइन फलन के अंदर के कोण को सरल करें:
$\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$.
चूंकि $\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta)$,इसलिए:
$\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
अब,इस मान को व्यंजक में वापस रखें:
$\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
चूंकि $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए मान $-\frac{\pi}{3}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}\right)$.
मान लीजिए $2^x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1}(2^x)$.
$y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(2^x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x) = \frac{2}{1 + 4^x} \cdot 2^x \log 2 = \frac{2^{x+1} \log 2}{1 + 4^x}$.
इसकी तुलना $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x+1} \log 2}{f(x)}$ से करने पर,हमें $f(x) = 1 + 4^x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(0) = 1 + 4^0 = 1 + 1 = 2$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\cos \left[\cot ^{-1}(-\sqrt{3})+\frac{\pi}{6}\right]$
हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ होता है।
अतः,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3})$।
चूंकि $\cot \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$,इसलिए $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left[\pi - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right]$
$= \cos [\pi]$
$= -1$।

(D) दिया गया व्यंजक: $\sin^{-1}\left(\cos \frac{53\pi}{5}\right)$
हम $\frac{53\pi}{5}$ को $10\pi + \frac{3\pi}{5}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\cos\left(10\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$।
अब,$\sin^{-1}\left(\cos \frac{3\pi}{5}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right)\right)$
$= \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{5\pi - 6\pi}{10}\right)\right)$
$= \sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)\right)$
$= -\frac{\pi}{10}$।

(C) माना $\theta = \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$,तब $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
हमें $\sin(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(2\theta) = 2 \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = \frac{4 \sqrt{5}}{9}$।

(B) दिया गया है,$\sin \left(2 \sin ^{-1} 0.8\right)$.
माना $\sin ^{-1} 0.8 = \theta$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = 0.8$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2\theta = 2 \times 0.8 \times 0.6$.
$\sin 2\theta = 1.6 \times 0.6 = 0.96$.
अतः,इसका मान $0.96$ है.

(C) दिया गया है,$\frac{3x+1}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x+3)$ से गुणा करने पर:
$3x+1 = A(x+3) + B(x-1)$
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$3x+1 = (A+B)x + (3A-B)$
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$A+B = 3$ $(i)$
$3A-B = 1$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(A+B) + (3A-B) = 3+1$
$4A = 4 \Rightarrow A = 1$
समीकरण $(i)$ में $A=1$ रखने पर:
$1+B = 3 \Rightarrow B = 2$
अब,$\sin^{-1} \frac{A}{B}$ का मान ज्ञात करें:
$\sin^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

(D) माना $L = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{\operatorname{Cos}^{-1} x}}{\sqrt{2(1-x)}}$.
$t = \operatorname{Cos}^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \cos t$. जब $x \rightarrow 1^{-}$,तब $t \rightarrow 0^{+}$.
चूंकि $1 - x = 1 - \cos t = 2 \sin^2(t/2)$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$L = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{2(2 \sin^2(t/2))}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{2 \sin(t/2)}$.
छोटे $\theta$ के लिए $\sin \theta \approx \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin(t/2) \approx t/2$.
$L = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{2(t/2)} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{t} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{t}} = \infty$.

(C) दिया गया है,$a=3, b=4$ और $A=\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
दी गई जानकारी से,$\sin A = \frac{3}{4}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{3}{3/4} = \frac{4}{\sin B}$.
$\Rightarrow 4 = \frac{4}{\sin B}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
अतः,$B = \sin^{-1}(1) = 90^{\circ}$.