Basic Concepts of ITF Questions in Hindi

(B) दी गई असमिका: $\tan^{-1} \frac{x}{\pi} < \frac{\pi}{3}$.
चूंकि फलन $f(t) = \tan(t)$ अंतराल $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में एक वर्धमान फलन है,इसलिए दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$\tan(\tan^{-1} \frac{x}{\pi}) < \tan(\frac{\pi}{3})$
$\frac{x}{\pi} < \sqrt{3}$
$x < \sqrt{3} \times \pi$
अनुमानित मान $\sqrt{3} \approx 1.732$ और $\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$x < 1.732 \times 3.14159 \approx 5.441$
चूंकि $x \in N$ (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) है,इसलिए $x < 5.441$ को संतुष्ट करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक $x = 5$ है।
अतः,$x$ का अधिकतम मान $5$ है।

(C) माना $\cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = \alpha$.
तब $\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$,जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
हमें $\tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$.
$\cos \alpha$ का मान रखने पर:
$\tan \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{5}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{5}}{3}}} = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}}$.
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(3 - \sqrt{5})$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{\frac{(3 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{(3 - \sqrt{5})^2}{9 - 5}} = \sqrt{\frac{(3 - \sqrt{5})^2}{4}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

(C) $\sin^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\frac{7\pi}{6}$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित नहीं है,इसलिए हम व्यंजक को सरल करेंगे।
हम जानते हैं कि $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$ होता है।
अतः,$\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6}) = \sin^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{6}))$.
चूंकि $-\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए इसका मान $-\frac{\pi}{6}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1} |x| + \cos ^{-1} |2x| = \pi$.
चूंकि $\cos ^{-1} y$ का परिसर $[0, \pi]$ है,योग $\pi$ होने के लिए,हम प्रांत की जांच करते हैं: $|x| \leq 1$ और $|2x| \leq 1$,जिसका अर्थ है $|x| \leq 1/2$.
स्थिति $1$: $x = 0$.
$x = 0$ रखने पर: $\cos ^{-1}(0) + \cos ^{-1}(0) = \pi/2 + \pi/2 = \pi$. अतः,$x = 0$ एक हल है।
स्थिति $2$: $x \neq 0$.
मान लीजिए $\cos ^{-1} |x| = \alpha$ और $\cos ^{-1} |2x| = \beta$. तो $\alpha + \beta = \pi$,जिसका अर्थ है $\beta = \pi - \alpha$.
दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर: $\cos(\beta) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
मान रखने पर: $|2x| = -|x|$.
चूंकि $|2x| \geq 0$ और $-|x| \leq 0$,यह समानता केवल तभी संभव है जब $|2x| = 0$ और $|x| = 0$,जो पुनः $x = 0$ की ओर ले जाता है।
अतः,एकमात्र वास्तविक हल $x = 0$ है। वास्तविक हलों की संख्या $1$ है।

(C) हमें समीकरण $\sin^{-1} \theta = \sin^{-1}(\sin 5)$ दिया गया है।
प्रतिलोम ज्या (inverse sine) फलन की परिभाषा के अनुसार,$\sin^{-1}(\sin x) = x$ केवल तभी होता है जब $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ हो।
यहाँ,$x = 5$ रेडियन है। चूँकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $2\pi \approx 6.28$ है। अतः,$5$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$ में नहीं है।
हम जानते हैं कि ज्या फलन का आवर्तकाल $2\pi$ है,इसलिए $\sin(5) = \sin(5 - 2\pi)$।
यहाँ $5 - 2\pi \approx 5 - 6.28 = -1.28$,जो कि $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल के भीतर स्थित है।
इसलिए,$\sin^{-1}(\sin 5) = \sin^{-1}(\sin(5 - 2\pi)) = 5 - 2\pi$।
अतः,$\theta = \sin(5 - 2\pi)$।

(C) हमें $\tan^{-1} \left( \cot \frac{43\pi}{4} \right)$ का मुख्य मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,कोटिस्पर्शज्या (cotangent) फलन के तर्क को सरल बनाएं:
$\frac{43\pi}{4} = \frac{40\pi + 3\pi}{4} = 10\pi + \frac{3\pi}{4}$.
चूंकि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $\cot(n\pi + \theta) = \cot \theta$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\cot \left( \frac{43\pi}{4} \right) = \cot \left( 10\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = \cot \frac{3\pi}{4}$.
अब,सर्वसमिका $\cot \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ का उपयोग करके $\cot \theta$ को $\tan$ के रूप में व्यक्त करें:
$\cot \frac{3\pi}{4} = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{2\pi - 3\pi}{4} \right) = \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right)$.
अतः,$\tan^{-1} \left( \cot \frac{43\pi}{4} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$.
चूंकि $-\frac{\pi}{4}$,$\tan^{-1}x$ की मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में स्थित है,इसलिए मान $-\frac{\pi}{4}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \cos(\tan^{-1}x)$.
माना $\theta = \cot^{-1}(1 + x)$,तो $\cot \theta = 1 + x$. हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$,इसलिए $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}}$.
माना $\phi = \tan^{-1}x$,तो $\tan \phi = x$. हम जानते हैं कि $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \phi}}$,इसलिए $\cos(\tan^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 + (1 + x)^2 = 1 + x^2$.
$1 + 1 + 2x + x^2 = 1 + x^2$.
$2 + 2x = 1$.
$2x = -1$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(D) माना $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}$.
तब $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$.
$\cos \theta$ का मान रखने पर,हमें $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\tan^{-1} (\sin \theta) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ हो जाता है।
चूंकि $\tan \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$ है।

(A) माना कि $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = y$ है।
तब,$\sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है।
चूँकि $\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है,इसलिए मुख्य मान $\frac{\pi}{4}$ है।

(B) माना कि $\cot ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = y$ है। तब,$\cot y = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.
हम जानते हैं कि $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\cot y = -\cot \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
गुणधर्म $\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cot y = \cot \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cot \left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
$\cot^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $(0, \pi)$ है।
चूंकि $\frac{2\pi}{3} \in (0, \pi)$,इसलिए मुख्य मान $\frac{2\pi}{3}$ है।

(C) माना $y = \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$.
तब,$\sin y = -\frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए $-\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
अतः,$\sin y = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
$\sin ^{-1} x$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है।
चूंकि $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,इसलिए $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ का मुख्य मान $-\frac{\pi}{6}$ है।

(D) माना कि $y = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ है।
अतः,$\cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
$\cos^{-1} x$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है।
चूँकि $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$,इसलिए $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।

(A) माना $cosec^{-1}(2) = y$ है।
तब,$cosec(y) = 2$ होगा।
हम जानते हैं कि $cosec(\frac{\pi}{6}) = 2$ होता है।
चूंकि $cosec^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}$ है,और $\frac{\pi}{6}$ इस अंतराल में स्थित है।
अतः,$cosec^{-1}(2)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।

(B) माना $\tan ^{-1}(-\sqrt{3}) = y$ है।
तब,$\tan y = -\sqrt{3}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$,इसलिए $\tan y = -\tan \frac{\pi}{3} = \tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)$।
$\tan ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ होता है।
चूंकि $-\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $\tan ^{-1}(-\sqrt{3})$ का मुख्य मान $-\frac{\pi}{3}$ है।

(C) माना कि $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = y$.
तब,$\cos y = -\frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos y = -\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
सर्वसमिका $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos y = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$.
$\cos ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है।
चूँकि $\frac{2 \pi}{3} \in [0, \pi]$,इसलिए $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ का मुख्य मान $\frac{2 \pi}{3}$ है।

(D) माना $\tan ^{-1}(-1) = y$ है।
तब,$\tan y = -1$ होगा।
चूँकि $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$,इसलिए $\tan y = -\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$ होगा।
$\tan ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है।
चूँकि $-\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $\tan ^{-1}(-1)$ का मुख्य मान $-\frac{\pi}{4}$ है।

(A) माना कि $\sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = y$ है।
तब,$\sec y = \frac{2}{\sqrt{3}}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\sec \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ होता है।
$\sec ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ है।
चूंकि $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$,इसलिए $\sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।

(B) माना कि $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = y$ है।
तब,$\cot y = \sqrt{3}$।
हम जानते हैं कि $\cot \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ होता है।
$\cot ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $(0, \pi)$ है।
चूंकि $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$,इसलिए $\cot ^{-1}(\sqrt{3})$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।

(C) माना $y = \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।
तब $\cos y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos y = -\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$ है।
सर्वसमिका $\cos (\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos y = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ प्राप्त होता है।
$\cos ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है।
चूंकि $\frac{3 \pi}{4} \in [0, \pi]$,इसलिए $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ का मुख्य मान $\frac{3 \pi}{4}$ है।

(D) माना कि $cosec^{-1}(-\sqrt{2}) = y$ है।
तब,$cosec\; y = -\sqrt{2}$ होगा।
हम जानते हैं कि $cosec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$,इसलिए $cosec\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$ होगा।
$cosec^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}$ है।
चूँकि $-\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}$,इसलिए $cosec^{-1}(-\sqrt{2})$ का मुख्य मान $-\frac{\pi}{4}$ है।

(A) माना $\tan ^{-1}(1)=x$. तब,$\tan x=1=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)$. अतः,$\tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$.
माना $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=y$. तब,$\cos y=-\frac{1}{2}=-\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$. अतः,$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2 \pi}{3}$.
माना $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=z$. तब,$\sin z=-\frac{1}{2}=-\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$. अतः,$\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan ^{-1}(1)+\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6}$.
हर $4, 3, 6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$= \frac{3 \pi + 8 \pi - 2 \pi}{12} = \frac{9 \pi}{12} = \frac{3 \pi}{4}$.

(B) माना $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=x$.
तब,$\cos x=\frac{1}{2}=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
अतः,$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$.
माना $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=y$.
तब,$\sin y=\frac{1}{2}=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
अतः,$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}+2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) यह दिया गया है कि $\sin ^{-1} x=y$ है।
हम जानते हैं कि प्रतिलोम ज्या फलन (inverse sine function) $\sin ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर (range) $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ होता है।
अतः,किसी भी $x$ के लिए जो प्रांत $[-1, 1]$ में है,$y$ का मान इस परिसर के भीतर होना चाहिए।
इसलिए,$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$।

(D) माना $\tan ^{-1} \sqrt{3} = x$.
तब,$\tan x = \sqrt{3} = \tan \frac{\pi}{3}$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ है।
अतः,$\tan ^{-1} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
माना $\sec ^{-1}(-2) = y$.
तब,$\sec y = -2 = -\sec \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sec \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sec \frac{2 \pi}{3}$.
हम जानते हैं कि $\sec ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi] - \left\{ \frac{\pi}{2} \right\}$ है।
अतः,$\sec ^{-1}(-2) = \frac{2 \pi}{3}$.
इस प्रकार,$\tan ^{-1}(\sqrt{3}) - \sec ^{-1}(-2) = \frac{\pi}{3} - \frac{2 \pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$.

(A) माना $x = \sec \theta$ है। चूँकि $x > 1$,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है।
तब,$\sqrt{x^{2}-1} = \sqrt{\sec^{2} \theta - 1} = \sqrt{\tan^{2} \theta} = \tan \theta$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$ होगा।
$\theta = \sec ^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें सरलतम रूप $\sec ^{-1} x$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\left| \tan \frac{x}{2} \right|\right)$
चूँकि $x < \pi$ है,इसलिए $\frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$ है। यदि $x > 0$ माना जाए,तो $\tan \frac{x}{2}$ धनात्मक है,अतः $\left| \tan \frac{x}{2} \right| = \tan \frac{x}{2}$ होगा।
$= \tan ^{-1}\left(\tan \frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}$

(C) दिया गया व्यंजक: $\tan ^{-1}\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)$
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{\cos x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)$
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \frac{\pi}{4}$ और $B = x$ है:
$= \tan ^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)$
$= \frac{\pi}{4}-x$

(D) दिया गया व्यंजक: $\tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$
मान लीजिए $x = a \sin \theta$ है। तब $\frac{x}{a} = \sin \theta$,जिसका अर्थ है $\theta = \sin ^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$।
$x = a \sin \theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \tan ^{-1} \left(\frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^{2} - a^{2} \sin ^{2} \theta}}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^{2}(1 - \sin ^{2} \theta)}}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{a \sin \theta}{a \cos \theta}\right)$
$= \tan ^{-1} (\tan \theta)$
$= \theta = \sin ^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$

(B) माना कि $\sin ^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = x$.
तब,$\sin x = \frac{1}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
अतः,$\sin ^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1} \left[2 \cos \left(2 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right)\right] = \tan ^{-1} \left[2 \cos \left(2 \times \frac{\pi}{6}\right)\right]$.
$= \tan ^{-1} \left[2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]$.
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$= \tan ^{-1} \left[2 \times \frac{1}{2}\right] = \tan ^{-1} (1)$.
चूंकि $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$,इसलिए मान $\frac{\pi}{4}$ है।

(C) हमें $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है।
चूंकि $\frac{2 \pi}{3} \approx 120^\circ$,जो $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ अंतराल में नहीं है,इसलिए हम गुणधर्म $\sin(\pi - x) = \sin x$ का उपयोग करेंगे।
अतः,$\sin \frac{2 \pi}{3} = \sin \left(\pi - \frac{2 \pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3}$ होता है।
अब,$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right) = \sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right)$।
चूंकि $\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,इसलिए $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $\frac{\pi}{3}$ है।

(D) हमें $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$\tan ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है।
चूंकि $\frac{3 \pi}{4} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,हम गुणधर्म $\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$ का उपयोग करेंगे।
अतः,$\tan \frac{3 \pi}{4} = \tan \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tan \frac{\pi}{4} = \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$।
अब,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$।
चूंकि $-\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $\tan ^{-1}\left(\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\frac{\pi}{4}$।

(B) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(\cos x) = x$ यदि $x \in [0, \pi]$,जो $\cos ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा है।
यहाँ,$\frac{7 \pi}{6} \notin [0, \pi]$ है।
कोण को मुख्य सीमा में लाने के लिए हम $\cos(2\pi - \theta) = \cos \theta$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं।
$\cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right) = \cos \left(2 \pi - \frac{7 \pi}{6}\right) = \cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)$।
चूंकि $\frac{5 \pi}{6} \in [0, \pi]$,इसलिए:
$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right) = \cos ^{-1}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}\right) = \frac{5 \pi}{6}$।

(C) माना कि $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = x$ है।
अतः,$\sin x = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $\sin ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है,इसलिए $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$ होगा।
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \left(\frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sin \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$।
$= \sin \left(\frac{2\pi + \pi}{6}\right) = \sin \left(\frac{3\pi}{6}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$।
चूंकि $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ है,इसलिए अंतिम मान $1$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\frac{3 \pi}{5} \notin [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए हम सीधे $\sin ^{-1}(\sin x) = x$ नहीं लिख सकते।
हम गुणधर्म $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$\sin(\frac{3 \pi}{5}) = \sin(\pi - \frac{3 \pi}{5}) = \sin(\frac{2 \pi}{5})$।
चूंकि $\frac{2 \pi}{5} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5}) = \frac{2 \pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5}) = \frac{2 \pi}{5}$।

(D) दिया गया समीकरण $\tan ^{-1} 2 x+\tan ^{-1} 3 x=\frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x+3x}{1-(2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{5x}{1-6x^2} \right) = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{5x}{1-6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
यदि $x = -1$ लेते हैं,तो $\tan ^{-1}(-2) + \tan ^{-1}(-3) = -(\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3)$ होगा,जो ऋणात्मक है और $\frac{\pi}{4}$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,केवल $x = \frac{1}{6}$ ही सही हल है।

(A) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(\cos x) = x$ यदि $x \in [0, \pi]$,जो $\cos ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा है।
यहाँ,$\frac{13 \pi}{6} \notin [0, \pi]$ है।
अब,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right) = \cos ^{-1}\left[\cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{6}\right)\right]$.
चूंकि $\cos(2 \pi + \theta) = \cos \theta$,इसलिए:
$\cos ^{-1}\left[\cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{6}\right)\right] = \cos ^{-1}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\right]$.
चूंकि $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$,हमें प्राप्त होता है:
$\cos ^{-1}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\right] = \frac{\pi}{6}$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}(\tan x) = x$ केवल तभी होता है जब $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,जो $\tan ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा है।
यहाँ,दिया गया मान $\frac{7 \pi}{6}$ है,और $\frac{7 \pi}{6} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$।
हम टेंजेंट फलन की आवधिकता का उपयोग करके व्यंजक को सरल बना सकते हैं: $\tan \left(\pi + \theta\right) = \tan \theta$।
अतः,$\tan \left(\frac{7 \pi}{6}\right) = \tan \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)$।
चूंकि $\frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$।

(C) माना $\tan^{-1} x = y$ है। तब $\tan y = x$ होगा।
चूंकि $\tan y = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{x}{1}$,हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार कर सकते हैं जहाँ लंब $x$ है और आधार $1$ है।
कर्ण $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ होगा।
इसलिए,$\sin y = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$।
अतः,$\sin(\tan^{-1} x) = \sin y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$।

(D) $x = 0$ के निकट $\sin^{-1} x$ और $\tan^{-1} x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$\sin^{-1} x = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
इन मानों को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{6}) - (x - \frac{x^3}{3})}{3x^3}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{3}}{3x^3} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}}{3} = \frac{\frac{1+2}{6}}{3} = \frac{3/6}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
चूंकि $L = 1/6$ दिया गया है,$6L + 1$ का मान होगा:
$6(1/6) + 1 = 1 + 1 = 2$

(B) दिया गया व्यंजक: $\tan ^{-1}\left(\frac{\cos \left(\frac{15 \pi}{4}\right)-1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)$
चूंकि $\frac{15 \pi}{4} = 4 \pi - \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cos \left(\frac{15 \pi}{4}\right) = \cos \left(4 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1}\right) = \tan ^{-1}(1-\sqrt{2})$.
सर्वसमिका $\tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2}-1$.
इसलिए,$\tan \left(-\frac{\pi}{8}\right) = -(\sqrt{2}-1) = 1-\sqrt{2}$.
अतः,$\tan ^{-1}(1-\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{8}$.

(C) माना $\tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) = \theta$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{4}{3}$।
एक समकोण त्रिभुज में जिसकी सम्मुख भुजा $4$ और आसन्न भुजा $3$ है,कर्ण $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ होगा।
अतः,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ और $\sin \theta = \frac{4}{5}$ होगा।
माना दिया गया व्यंजक $E = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{10} \cos \theta + \frac{2}{5} \sin \theta\right)$ है।
$\cos \theta$ और $\sin \theta$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{10} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \times \frac{4}{5}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{9}{50} + \frac{8}{25}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{9}{50} + \frac{16}{50}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{25}{50}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
चूँकि $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{\pi}{3}$ है।

(C) माना $x = \tan ^{-1}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)$.
तर्क को सरल करने पर: $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$x = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
माना $y = \sec ^{-1}\left(\sqrt{\frac{8+4 \sqrt{3}}{6+3 \sqrt{3}}}\right)$.
तर्क को सरल करने पर: $\sqrt{\frac{4(2+\sqrt{3})}{3(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,$y = \sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$x + y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिया गया फलन $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ है।
विषम/सम की जाँच करने के लिए,हम $g(-u)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(e^{-u}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u)$.
इसे $g(-u)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(-u) = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u) \right) - \frac{\pi}{2} = \pi - 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^u) = -g(u)$.
चूँकि $g(-u) = -g(u)$,फलन विषम है।
एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $g'(u)$ ज्ञात करते हैं:
$g'(u) = \frac{d}{du} (2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
चूँकि सभी $u \in (-\infty, \infty)$ के लिए $e^u > 0$ है,इसलिए $g'(u) > 0$ है।
अतः,$g$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।

(A) माना $S = \sum_{k=0}^{10} \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right) \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)$.
सर्वसमिका $\sec A \sec B = \frac{\sin(B-A)}{\cos A \cos B \sin(B-A)}$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $B-A = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\sec A \sec B = \frac{\sin(\pi/2)}{\cos A \cos B \sin(\pi/2)} = \frac{\tan B - \tan A}{\sin(\pi/2)} = \tan B - \tan A$.
यहाँ,$A = \frac{7 \pi}{12} + \frac{k \pi}{2}$ और $B = \frac{7 \pi}{12} + \frac{(k+1) \pi}{2}$.
इसलिए,योग $\sum_{k=0}^{10} (\tan(\frac{7 \pi}{12} + \frac{(k+1) \pi}{2}) - \tan(\frac{7 \pi}{12} + \frac{k \pi}{2}))$ बन जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $\tan(\frac{7 \pi}{12} + \frac{11 \pi}{2}) - \tan(\frac{7 \pi}{12})$.
चूँकि $\tan(\theta + \frac{11 \pi}{2}) = \tan(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cot \theta$,योग $-\cot(\frac{7 \pi}{12}) - \tan(\frac{7 \pi}{12}) = -(\frac{\cos(7 \pi / 12)}{\sin(7 \pi / 12)} + \frac{\sin(7 \pi / 12)}{\cos(7 \pi / 12)}) = -\frac{1}{\sin(7 \pi / 12) \cos(7 \pi / 12)} = -\frac{2}{\sin(7 \pi / 6)} = -\frac{2}{-1/2} = 4$ है।
व्यंजक $\sec^{-1}(\frac{1}{4} \times 4) = \sec^{-1}(1) = 0$ है।

(A) हमें व्यंजक $\cot ^{-1}\left(2 \cos \left(2 \operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2})\right)\right)$ दिया गया है।
सबसे पहले,$\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2})$ का मान ज्ञात करें।
चूंकि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$,इसलिए $\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$ है।
अब,इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$2 \cos \left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$।
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,इसलिए व्यंजक $2 \times 0 = 0$ हो जाता है।
अंत में,हमें $\cot ^{-1}(0)$ ज्ञात करना है।
चूंकि $\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,इसलिए $\cot ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $\cot ^{-1} x = t$ है।
तब,$x = \cot t$ होगा।
हम सर्वसमिका $1 + \cot^2 t = \operatorname{cosec}^2 t$ जानते हैं।
$x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 + x^2 = \operatorname{cosec}^2 t$ प्राप्त होता है।
अतः,$\operatorname{cosec} t = \sqrt{1 + x^2}$।
चूँकि $\sin t = \frac{1}{\operatorname{cosec} t}$ होता है,इसलिए $\sin t = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$।
अतः,$\sin (\cot ^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$।

(A) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\frac{3 \pi}{4}$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित नहीं है,इसलिए हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{3 \pi}{4}\right) = \sin ^{-1}\left[\sin \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)\right]$
सर्वसमिका $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$= \sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{4}\right)$
चूंकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए व्यंजक का सरल मान है:
$= \frac{\pi}{4}$

(C) माना $\theta = \sin ^{-1} 0.8$ है। तब $\sin \theta = 0.8$ होगा।
हमें $\sin(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,पहले हम $\cos \theta$ ज्ञात करते हैं।
$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$ है।
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(2\theta) = 2 \times 0.8 \times 0.6 = 0.96$।

(C) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(x)$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\frac{2 \pi}{3}$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित नहीं है,इसलिए हम गुणधर्म $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$ का उपयोग करेंगे।
$\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right) = \sin ^{-1}\left(\sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)\right)$
$= \sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$
$= \frac{\pi}{3}$