Basic Concepts of ITF Questions in Gujarati

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{(x + 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$.
બંને બાજુ $x(x^2 + 1)$ વડે ગુણતા: $(x + 1)^2 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 2x + 1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + 2x + 1 = (A + B)x^2 + Cx + A$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^2$ માટે: $A + B = 1$.
$x$ માટે: $C = 2$.
અચળ પદ: $A = 1$.
$A = 1$ ને $A + B = 1$ માં મૂકતા,$1 + B = 1$,તેથી $B = 0$.
આમ,$A = 1$ અને $C = 2$.
આપણે $\sin^{-1}\left(\frac{A}{C}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી કિંમત $\frac{\pi}{6}$ છે.

(A) ધારો કે $\sin^{-1}(e^{i\theta}) = x + iy$.
તેથી,$e^{i\theta} = \sin(x + iy)$.
નિત્યસમ $\sin(x + iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x \cosh y + i \cos x \sinh y = \cos \theta + i \sin \theta$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$\sin x \cosh y = \cos \theta$ અને $\cos x \sinh y = \sin \theta$.
તેથી,$\cosh y = \frac{\cos \theta}{\sin x}$ અને $\sinh y = \frac{\sin \theta}{\cos x}$.
નિત્યસમ $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 x} - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 x} = 1$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$\cos^4 x = \sin^2 \theta$ મળે છે.
તેથી,$x = \cos^{-1}(\sqrt{\sin \theta})$.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sin \theta = \frac{1}{2}$,અને $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin \theta > 0$ અને $\cos \theta < 0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta$ બીજા ચરણમાં હોવો જોઈએ.
સંદર્ભ ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
બીજા ચરણમાં,$\theta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
આમ,$\theta$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{5\pi}{6}$ છે.

(D) આપેલ છે કે ${\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{x}} \right) = \theta $.
આનો અર્થ એ થાય કે $\cos \theta = \frac{1}{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{x}\right)^2} = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$.
હવે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}}{\frac{1}{x}} = \sqrt{x^2 - 1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $\theta = \cot ^{ - 1}x$. તેથી,$\cot \theta = x = \frac{x}{1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + x^2$.
તેથી,$\csc \theta = \sqrt{1 + x^2}$.
કારણ કે $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
આમ,$\sin (\cot ^{ - 1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = (1 + x^2)^{-1/2}$.

(A) ધારો કે $\sin^{-1} \frac{5}{13} = x$.
તેથી,$\sin x = \frac{5}{13}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,તેથી $\cos x = \sqrt{1 - \left( \frac{5}{13} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
આમ,$\cos \left( \sin^{-1} \frac{5}{13} \right) = \cos x = \frac{12}{13}$.
અહીં $\frac{12}{13}$ એ વિકલ્પ $A$ માં આપેલ છે,તેથી સાચો જવાબ $A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ કોટેન્જન્ટ વિધેય માટે વિસ્તાર $(0, \pi)$ છે.
કારણ કે $x > 0$ માટે $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ થાય છે,તેથી:
$\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot^{-1}(\sqrt{3})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$,તેથી $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ થાય.
તેથી,$\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

(C) ધારો કે $\sin^{-1}x = \theta$.
તેથી,$\sin \theta = x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$.
કારણ કે $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,તેથી $\csc^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ થાય.
$\sin \theta = x$ મૂકતા,આપણને $\csc^2 \theta = \frac{1}{x^2}$ મળે છે.
તેથી,$1 + \cot^2(\sin^{-1}x) = \frac{1}{x^2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${\sin ^{ - 1}}\frac{1}{2} = {\tan ^{ - 1}}x$
આપણે જાણીએ છીએ કે ${\sin ^{ - 1}}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ કારણ કે $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{\pi}{6} = {\tan ^{ - 1}}x$
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ (tangent) લેતા: $x = \tan \frac{\pi}{6}$
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય છે,તેથી $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(C) $\tan ^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} \right)$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x = a \sin \theta$ આદેશ લઈએ છીએ.
તેથી,$\sin \theta = \frac{x}{a}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin ^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$.
$x = a \sin \theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^2 - (a \sin \theta)^2}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^2(1 - \sin^2 \theta)}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^2 \cos^2 \theta}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{a \cos \theta} \right)$
$= \tan ^{-1} (\tan \theta) = \theta$
$\theta$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $\sin ^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\theta = \tan ^{ - 1}x$.
તેથી,$x = \tan \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$.
આ પદમાં $x = \tan \theta$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
તેથી,$\cos (\tan ^{ - 1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.

(B) ધારો કે $x = \tan \theta$,જ્યાં $\theta = \tan^{-1} x$ છે.
તેથી,$\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan \left[ \sec^{-1} \sqrt{1 + x^2} \right] = \tan \left[ \sec^{-1} (\sec \theta) \right]$.
કારણ કે $\sec^{-1} (\sec \theta) = \theta$ થાય,તેથી:
$\tan \theta = x$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec(-x) = \sec(x)$.
તેથી,$\sec(-30^o) = \sec(30^o)$.
હવે,પદાવલિ $\sec^{-1}(\sec(30^o))$ બને છે.
$\sec^{-1}(x)$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ છે,અને $30^o$ આ અંતરાલમાં આવે છે,
તેથી,$\sec^{-1}(\sec(30^o)) = 30^o$.

(C) ધારો કે $\tan^{-1} 2 = \alpha \implies \tan \alpha = 2$.
ધારો કે $\cot^{-1} 3 = \beta \implies \cot \beta = 3$.
આપેલ પદાવલિ $\sec^2 \alpha + \csc^2 \beta$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ અને $\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sec^2 \alpha + \csc^2 \beta = (1 + \tan^2 \alpha) + (1 + \cot^2 \beta)$.
$\tan \alpha = 2$ અને $\cot \beta = 3$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$.

(B) $\cos^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
અહીં $\frac{7\pi}{6} > \pi$ હોવાથી,આપણે સીધું $\cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$ લખી શકતા નથી.
આપણે $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ અને $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું.
$\cos^{-1} \left( \cos \frac{7\pi}{6} \right) = \cos^{-1} \left( \cos \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) \right)$
$= \cos^{-1} \left( -\cos \frac{\pi}{6} \right)$
$= \pi - \cos^{-1} \left( \cos \frac{\pi}{6} \right)$
$= \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

(A) ધારો કે $\cos ^{ - 1}x = \theta$. તેથી $x = \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$.
હવે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
તેથી,$\tan (\cos ^{ - 1}x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ${\sin ^{ - 1}}x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $\left[ { - \frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}} \right]$ છે.
દરેક $x \in [ - 1, 1]$ માટે ${\sin ^{ - 1}}( - x) = - {\sin ^{ - 1}}x$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
${\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \left( \frac{\pi }{3} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$,તેથી ${\sin ^{ - 1}}\left( \frac{{\sqrt 3 }}{2} \right) = \frac{\pi }{3}$.
આમ,${\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - \frac{\pi }{3}$.

(D) ધારો કે $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{25} \right)$.
તેથી $\cos \theta = \frac{7}{25}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{7}{25}$,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સામેની બાજુ શોધીએ: $\text{સામેની બાજુ} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.
તેથી,$\cot \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{સામેની બાજુ}} = \frac{7}{24}$.
આમ,$\cot \left[ \cos^{-1} \left( \frac{7}{25} \right) \right] = \frac{7}{24}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$.
આપણે $\sin x = \sin(\pi - x)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$,તેથી $-\frac{\pi}{2} \le \pi - x \le \frac{\pi}{2}$ મળે.
તેથી,$\sin^{-1}(\sin x) = \sin^{-1}(\sin(\pi - x)) = \pi - x$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(\sin x) = x$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ હોય.
અહીં $10$ રેડિયન એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં નથી,તેથી આપણે એવો ખૂણો $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ શોધવો પડશે જેથી $\sin(y) = \sin(10)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(x) = \sin(n\pi + (-1)^n x)$.
$n = 3$ લેતા,$\sin(10) = \sin(3\pi - 10)$.
$3\pi \approx 9.42$ હોવાથી,$3\pi < 10 < 3.5\pi$.
ચોક્કસ રીતે,$3\pi < 10 < 3\pi + \frac{\pi}{2}$.
બધી બાજુઓમાંથી $3\pi$ બાદ કરતા,આપણને $0 < 10 - 3\pi < \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-\frac{\pi}{2} < 3\pi - 10 < 0$ મળે છે.
$3\pi - 10$ એ મુખ્ય મૂલ્ય શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં હોવાથી,$\sin^{-1}(\sin 10) = \sin^{-1}(\sin(3\pi - 10)) = 3\pi - 10$ થાય.

(C) ધારો કે $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{3}{4}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,જો સામેની બાજુ $3$ હોય અને પાસેની બાજુ $4$ હોય,તો કર્ણ $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ થાય.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{3}{5}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: ${\left[ \sin \left( \tan^{-1} \frac{3}{4} \right) \right]^2} = (\sin \theta)^2 = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x$ ના મુખ્ય મૂલ્યની શાખાનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ પદ $\sin^{-1} \left( \sin \frac{5\pi}{3} \right)$ છે.
પ્રથમ,અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\sin \frac{5\pi}{3} = \sin \left( 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,$\sin^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3}$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી મુખ્ય મૂલ્ય $-\frac{\pi}{3}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}x = \sin^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$.
ધારો કે $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$,તેથી $\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
નિત્યસમ $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$.
આમ,$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
હવે,$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = 3$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3)$.
મૂળ સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા: $\tan^{-1}x = \tan^{-1}(3)$.
આમ,$x = 3$.

(A) આપેલ છે કે $\theta = \sin^{-1}[\sin(-600^\circ)]$.
$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ હોવાથી,$\theta = \sin^{-1}[-\sin(600^\circ)]$.
હવે,$600^\circ$ ને $360^\circ + 240^\circ$ તરીકે લખતા: $\sin(600^\circ) = \sin(360^\circ + 240^\circ) = \sin(240^\circ)$.
વળી,$\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ)$.
આ કિંમત મૂકતા: $\theta = \sin^{-1}[-(-\sin(60^\circ))] = \sin^{-1}[sin(60^\circ)]$.
$60^\circ$ એ મુખ્ય કિંમત શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં હોવાથી,$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin (\cot ^{ - 1}(x + 1)) = \cos (\tan ^{ - 1}x)$.
પ્રથમ,$\cot ^{ - 1}(x + 1)$ ને $\sin ^{ - 1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો. ધારો કે $\theta = \cot ^{ - 1}(x + 1)$,તો $\cot \theta = x + 1$. નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot ^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + (x + 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$.
ત્યારબાદ,$\tan ^{ - 1}x$ ને $\cos ^{ - 1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો. ધારો કે $\phi = \tan ^{ - 1}x$,તો $\tan \phi = x$. નિત્યસમ $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan ^2 \phi}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + 2x + 2 = 1 + x^2$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $2x + 2 = 1$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = -1$,જે આપે છે $x = -\frac{1}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^o - \theta) = \cot(\theta)$ થાય છે.
$\theta = \cot^{-1} \frac{1}{3}$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\tan \left( 90^o - \cot^{-1} \frac{1}{3} \right) = \cot \left( \cot^{-1} \frac{1}{3} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $\cot(\cot^{-1} x) = x$ થાય છે,તેથી:
$\cot \left( \cot^{-1} \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $\theta \in [-1, 1]$ છે.
આપેલ પદાવલિમાં,ધારો કે $\theta = \sqrt{1-x}$.
પદાવલિ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$0 \le 1-x \le 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $0 \le x \le 1$.
તેથી,$\cos^{-1}\sqrt{1-x} + \sin^{-1}\sqrt{1-x} = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ${\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ નિત્યસમ છે.
આપેલ સમીકરણ ${\cot ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}3 = \frac{\pi }{2}$ છે.
આ સમીકરણને ${\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કિંમતો સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,$x = 3$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ થાય છે.
તે જ રીતે,$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos^{-1}(\frac{1}{2}) + 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} + 2(\frac{\pi}{6})$
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$
$= \frac{2\pi}{3}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1}(\cos x) = x$ જ્યાં $x \in [0, \pi]$ અને $\sin^{-1}(\sin x) = x$ જ્યાં $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
પ્રથમ,$\cos^{-1}(\cos \frac{5\pi}{3})$ ને સરળ બનાવીએ:
$\cos \frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
કારણ કે $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$,તેથી $\cos^{-1}(\cos \frac{5\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
હવે,$\sin^{-1}(\sin \frac{5\pi}{3})$ ને સરળ બનાવીએ:
$\sin \frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3})$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી $\sin^{-1}(\sin \frac{5\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{3}) = 0$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^o$ કારણ કે $\sin(60^o) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
તે જ રીતે,$\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^o$ કારણ કે $\sin(30^o) = \frac{1}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^o - 30^o = 30^o$.

(C) આપેલ છે કે $A = \tan^{-1}x$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $x = \tan A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A$ ના સ્વરૂપમાં $\sin 2A$ માટેનું ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ છે:
$\sin 2A = \frac{2\tan A}{1 + \tan^2 A}$.
આ નિત્યસમમાં $x = \tan A$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sin 2A = \frac{2x}{1 + x^2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$. તેથી $\cos \theta = \frac{3}{5}$ થાય.
$\cos \theta = \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ મળે.
આમ,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ થાય.
આપણે $\tan(2\theta)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(2\theta) = \frac{2(4/3)}{1 - (4/3)^2} = \frac{8/3}{1 - 16/9} = \frac{8/3}{-7/9} = \frac{8}{3} \times \left(-\frac{9}{7}\right) = -\frac{24}{7}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2\cos^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \frac{\pi}{2}$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\cos^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ મળે.
કારણ કે $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}},$ તેથી $\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1+x}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$1+x = 1$ મળે,
જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.

(A) ધારો કે $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)$.
તેથી $2\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 2\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
સૂત્ર $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
ગુણાકાર કરતા $3 - 3 \tan^2 \theta = \sqrt{5} + \sqrt{5} \tan^2 \theta$ મળે.
પદોને ગોઠવતા: $(3 + \sqrt{5}) \tan^2 \theta = 3 - \sqrt{5}$.
$\tan^2 \theta = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\tan^2 \theta = \frac{(3 - \sqrt{5})^2}{9 - 5} = \frac{(3 - \sqrt{5})^2}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\tan \theta = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

(A) ધારો કે $\cos^{-1} \frac{4}{5} = x$,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = \frac{4}{5}$.
આપણે $\sin \left( \frac{x}{2} \right)$ શોધવાની જરૂર છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos x = 1 - 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4}{5} = 1 - 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)$
$2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
$\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{10}$
કારણ કે $\cos^{-1} \frac{4}{5}$ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $\frac{x}{2}$ પણ પ્રથમ ચરણમાં હશે,તેથી $\sin \left( \frac{x}{2} \right)$ ધન હોવું જોઈએ.
તેથી,$\sin \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

(D) ${\sin^{-1}}(x)$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
અહીં $\frac{2\pi}{3}$ એ અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં આવતું નથી,તેથી આપણે પદને સાદું રૂપ આપીશું.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$.
તેથી,$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
હવે,${\sin^{-1}}[\sin(\frac{2\pi}{3})] = {\sin^{-1}}[\sin(\frac{\pi}{3})]$.
કારણ કે $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી જવાબ $\frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ ${\sin ^{ - 1}} \theta + {\cos ^{ - 1}} \theta = \frac{\pi }{2}$ એ તમામ $\theta \in [-1, 1]$ માટે સાચું છે.
આપેલ પદાવલિમાં,$\theta = \sqrt x$ છે.
તેથી,શરત $-1 \le \sqrt x \le 1$ બને છે.
કારણ કે $\sqrt x$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $0 \le \sqrt x \le 1$ મળે.
બધી બાજુઓનો વર્ગ કરતા,આપણને $0^2 \le x \le 1^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $0 \le x \le 1$ થાય છે.
આમ,જે અંતરાલ માટે સમીકરણ સાચું છે તે $x \in [0, 1]$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x > 0$ માટે $f(x) = 1$. કારણ કે $x = \frac{5\pi}{4} > 0$,તેથી $f(x) = 1$ થશે.
આમ,$y = \cos^{-1}(\cos(|x| - 1))$.
કારણ કે $x = \frac{5\pi}{4} > 0$,તેથી $|x| = x$,એટલે કે $y = \cos^{-1}(\cos(x - 1))$.
$x = \frac{5\pi}{4}$ માટે,$x - 1 = \frac{5\pi}{4} - 1 \approx 3.927 - 1 = 2.927$.
કારણ કે $0 \le 2.927 \le \pi$ (જ્યાં $\pi \approx 3.14159$),તેથી પદનું સાદું રૂપ $y = x - 1$ થાય છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1$.
$x = \frac{5\pi}{4}$ પર કિંમત લેતા,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = \frac{5\pi}{4}} = 1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ થાય છે $\theta = \tan^{-1} x$.
અહીં $0 < x < 1$ હોવાથી,$0 < \tan \theta < 1$,જેનો અર્થ છે $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,અને તેથી $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sin^{-1} (\sin 2\theta) = 2\theta$.
હવે $\theta = \tan^{-1} x$ મૂકતા,આપણને $y = 2 \tan^{-1} x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{2}{1 + x^2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x + \frac{1}{x} = 2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 1 = 2x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2x + 1 = 0$ થાય છે.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(x - 1)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
આપણે $\sin^{-1} x$ નું મુખ્ય મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $\sin^{-1}(1)$ મળે છે.
કારણ કે $\sin(\pi / 2) = 1$,તેથી મુખ્ય મૂલ્ય $\pi / 2$ છે.

(A) ધારો કે $\theta = \sin^{-1}(0.8)$. તેથી $\sin \theta = 0.8 = \frac{4}{5}$.
આપણે $\sin(2\theta)$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
કારણ કે $\sin \theta = \frac{4}{5}$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\sin(2\theta) = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25} = 0.96$.

(B) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}(\sin x)$ એ $2\pi$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
તેને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} x - 2k\pi, & 2k\pi - \frac{\pi}{2} \le x \le 2k\pi + \frac{\pi}{2} \\ (2k+1)\pi - x, & 2k\pi + \frac{\pi}{2} < x < 2k\pi + \frac{3\pi}{2} \end{cases}$
જ્યાં $k \in I$.
કારણ કે $\sin^{-1}(\sin x)$ એ બધા $x \in R$ માટે સતત વિધેય છે,તેથી તે દરેક જગ્યાએ સતત છે.
જોકે,વિધેય એવા બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી જ્યાં ઢાળ અચાનક બદલાય છે,જે બિંદુઓ $x = (2k + 1)\frac{\pi}{2}$ છે,જ્યાં $k \in I$.
આમ,વિધેય બધા $x$ માટે સતત છે પરંતુ $x = (2k + 1)\frac{\pi}{2}$ માટે વિકલનીય નથી.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$.
આમ,$l = \sec^{-1}(1) = 0$.
તે જ રીતે,$\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,તેથી $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$.
આમ,$m = \sec^{-1}(1) = 0$.
બંને લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $0$ છે,તેથી $l$ અને $m$ બંનેનું અસ્તિત્વ છે.

(B) $|\sin^{-1}x| = |x|$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $f(x) = |\sin^{-1}x|$ અને $g(x) = |x|$ ના આલેખનું વિશ્લેષણ કરીએ.
$1$. $\sin^{-1}x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે.
$2$. $x = 0$ આગળ,$|\sin^{-1}0| = 0$ અને $|0| = 0$ બંને સમાન છે. તેથી,$x = 0$ એક ઉકેલ છે.
$3$. $x \in (0, 1]$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}x > x$. બંને બાજુ ધન હોવાથી,$|\sin^{-1}x| = \sin^{-1}x$ અને $|x| = x$ થાય. આમ,$x > 0$ માટે $\sin^{-1}x = x$ નો કોઈ ઉકેલ નથી કારણ કે તમામ $x \in (0, 1]$ માટે $\sin^{-1}x$ એ $x$ કરતા મોટું છે.
$4$. $x \in [-1, 0)$ માટે,$|\sin^{-1}x| = |-\sin^{-1}(-x)| = |\sin^{-1}(-x)|$ થાય. કારણ કે $-x > 0$,તેથી $\sin^{-1}(-x) > -x$,જેનો અર્થ છે કે $|\sin^{-1}x| > |x|$.
$5$. તેથી,આલેખ માત્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર જ છેદે છે.
$6$. ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $1$ છે.

(D) સાચો ક્રમ નક્કી કરવા માટે,આપણે ઇન્વર્સ સેકન્ટ વિધેયની કિંમતોનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
$1$. $\sec^{-1}(1) = 0$
$2$. $\sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$
$3$. $\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094$
$4$. $\sec^{-1}(-1) = \pi \approx 3.141$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $0 < 1.047 < 2.094 < 3.141$ મળે છે.
આમ,સાચો ક્રમ $\sec^{-1}(1) < \sec^{-1}(2) < \sec^{-1}(-2) < \sec^{-1}(-1)$ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{2k+1} (\sin^{-1} x)^{2k+1} - \cot^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left( \alpha_1 + 3\alpha_3 (\sin^{-1} x)^2 + \dots + (2n+1)\alpha_{2n+1} (\sin^{-1} x)^{2n} \right) + \frac{1}{1+x^2}$.
અહીં $\alpha_i > 0$ હોવાથી અને $(\sin^{-1} x)^{2k}$ પદો અઋણ હોવાથી,$f'(x) > 0$ તમામ $x \in (-1, 1)$ માટે થાય છે.
આમ,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે એક-એક છે.
પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે,તેથી વિસ્તાર $[f(-1), f(1)]$ છે.
$f(-1) = \alpha_1(-\pi/2) + \dots + \alpha_{2n+1}(-\pi/2)^{2n+1} - (3\pi/4)$ અને $f(1) = \alpha_1(\pi/2) + \dots + \alpha_{2n+1}(\pi/2)^{2n+1} - (\pi/4)$.
વિસ્તાર $[f(-1), f(1)]$ એ $R$ નો ઉપગણ છે પણ $R$ જેટલો નથી,તેથી વિધેય અંતર્વિષ્ટ (into) છે.
તેથી,$f(x)$ એક-એક અને અંતર્વિષ્ટ છે.

(B) ધારો કે $t = x^2$. $x \in R - \{0\}$ હોવાથી,$t > 0$ થાય.
$\cos^{-1}(t + \frac{1}{t} - 1)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$-1 \leq t + \frac{1}{t} - 1 \leq 1$ હોવું જોઈએ.
$t > 0$ માટે $t + \frac{1}{t} \geq 2$ હોવાથી,$t + \frac{1}{t} - 1 \geq 1$ થાય.
તેથી,માત્ર શક્ય કિંમત $t + \frac{1}{t} - 1 = 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $t + \frac{1}{t} = 2$.
આ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $t = 1$,એટલે કે $x^2 = 1$.
હવે $x^2 = 1$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos^{-1}(1 + 1 - 1) + \sin^{-1}(1 - 1) + \tan^{-1}(1)$
$= \cos^{-1}(1) + \sin^{-1}(0) + \tan^{-1}(1)$
$= 0 + 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^{-1} 2x = \cos^{-1} x$
ધારો કે $\cos^{-1} x = \theta$,તો $x = \cos \theta$. $\cos^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,$x \in [-1, 1]$ હોવું જોઈએ.
વળી,$\sin^{-1} 2x$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $2x \in [-1, 1]$,એટલે કે $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ હોવું જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \ge 0$ માટે $\cos^{-1} x = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$.
તેથી,$\sin^{-1} 2x = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$
$\Rightarrow 2x = \sqrt{1-x^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4x^2 = 1 - x^2$
$\Rightarrow 5x^2 = 1$
$\Rightarrow x^2 = \frac{1}{5}$
$\Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$
ઉકેલો તપાસતા:
જો $x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ લઈએ,તો $\sin^{-1}(2(-\frac{1}{\sqrt{5}})) = \sin^{-1}(-\frac{2}{\sqrt{5}})$,જે ઋણ છે. પરંતુ $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{5}})$ એ બીજા ચરણમાં છે (ધન). તેથી,$x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ એ ઉકેલ નથી.
જો $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ લઈએ,તો $\sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}})$,જે સાચું છે.
તેથી,એકમાત્ર ઉકેલ $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ છે.

(B) ધારો કે $y = \cot^{-1}x$. અસમતા $y^2 - 5y + 6 > 0$ બને છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(y - 3)(y - 2) > 0$ મળે છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $y < 2$ અથવા $y > 3$ હોય.
$y = \cot^{-1}x$ મૂકતા,આપણને $\cot^{-1}x < 2$ અથવા $\cot^{-1}x > 3$ મળે છે.
કારણ કે વિધેય $\cot^{-1}x$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,તેથી બંને બાજુ કોટિજ્યા (cotangent) વિધેય લેતા અસમતાની નિશાની બદલાઈ જશે.
$\cot^{-1}x < 2$ માટે,આપણને $x > \cot 2$ મળે છે.
$\cot^{-1}x > 3$ માટે,આપણને $x < \cot 3$ મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,ઉકેલ ગણ $x \in (-\infty, \cot 3) \cup (\cot 2, \infty)$ મળે છે.